Логарифмические неравенства. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

В начальном уровне теории мы с тобой разобрали, как решать простейшие логарифмические неравенства вида:

 

Мы сформулировали основное правило их решения, которое гласит, что:

решение логарифмического неравенства вида
 

равносильно решению следующих систем:

а)  

б)  

Неравенство   в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

а)  

б)  

Также мы привели несколько примеров таких неравенств, которые некоторыми (не очень обременительными) процедурами приводятся к простейшему виду. Так что при изложении дальнейшего материала в этой статье, я буду уже предполагать, что с базовыми навыками решения логарифмических неравенств ты знаком.

Однако за бортом у нас осталось несколько случаев:

1. А что, если нет такого метода, когда неравенство можно привести к простейшему виду, описанному выше?

2. А что, если основание у логарифма не постоянное число, а некоторая функция, зависящая от переменной  ?

3. А что, если основания в логарифмических неравенствах разные?

Ответы на эти вопросы дадут нам с тобой ключи, необходимые для решения более сложных логарифмических неравенств, нежели простейшие.

Я начну с первого метода, который мы используем не только при решении неравенств, но также и при отыскании корней некоторых уравнений: метод замены переменной.

Давай рассмотрим следующий пример:

 

Что мне видно сразу? А то, что  , и поскольку

 ,

То я перейду к равносильному неравенству вида:

 

Мы с тобой видим, что такое неравенство уже нельзя назвать элементарным. Почему? Да потому, что логарифм в него входит во второй степени. А разве такие неравенства мы называли элементарными? Вот и я думаю, что нет. Как же нам поступить? Я думаю, что замена здесь напрашивается сама собой:  , тогда наше исходное неравенство будет равносильно следующему:

 .

Его ты без проблем решишь методом интервалов. Тогда ты можешь сделать вывод, что:

 

Или я могу записать решение в виде совокупности (я напомню, что решением совокупности есть те числа, которые являются решением первого ИЛИ второго неравенства, то есть их объединение):

 

Сделаю обратную замену:

 

Учитывая, что из ОДЗ следует, что  , то получу следующую систему относительно  :

 

Говоря русским языком, моему неравенству принадлежат те  , которые меньше одной восьмой ИЛИ больше  , И одновременно при этом больше нуля:

 

Все не так уж и сложно, правда? Вот еще один пример на замену переменных в неравенстве:

 

Мне кажется, здесь опять замена напрашивается сама собой:  

Тогда я получу:

 

Решу данное неравенство методом интервалов (ну а ты, конечно, проделаешь это самостоятельно!) Давай сравним? У меня получилось:

 

Эта запись эквивалентна вот такой:   но пока я не вернулся к исходной переменной x мне удобнее «думать» в терминах систем и совокупностей решений.

Теперь я вспоминаю, что у меня   и  , тогда исходное неравенство будет равносильна вот такой системе:

 

Первое неравенство совокупности я опять-таки представлю как систему:

 

Ее решениями будут:  . (Ты ведь сам сможешь это без проблем получить, решив два простейших логарифмических неравенства?).

Решением неравенства   будет :  .

Тогда мою систему относительно   я запишу вот в таком виде уже относительно просто  :

 

Тебе осталось лишь пожинать плоды, записав правильный ответ

 

Я так думаю, что метод замены переменной тебе вполне ясен? Здесь нет ничего сложного: ты просто подбираешь удобную замену (ах, если бы это всегда было так просто на практике, затем решаешь новое неравенство уже относительно введенной переменной, а потом делаешь обратную замену, пристально следя за «судьбой» того, что ты заменял. В любом случае, в конце статьи я приведу задачи, чтобы ты мог потренироваться в их решении.

Теперь я хочу «вывалить» несколько видов неравенств, которые повергают неподготовленного ученика если не в ужас, то в некоторое смятение.

Например, менее тривиальным является случай, когда неравенство имеют переменное основание:

  (1)

где   – некоторые функции, зависящие от  , а   – один из знаков:  . Хитрые математики, когда видят логарифмы, сразу же стараются от них избавиться, переходя к равносильным неравенствам. В частности для неравенства выше равносильным будет вот такое:

 

Бывают еще более печальные случаи, когда неравенство имеет вид:

 , (2)

то есть представляет собой логарифмическое неравенство с РАЗНЫМИ основаниями, но одинаковыми выражениями «сверху». Для него равносильной системой будет следующая:

 

Все становится все ужаснее и ужаснее, правда? Но ничего, скоро мы перейдем к примерам (очень важным!) и все встанет на свои места!

Вот последний вид «сложного» неравенства:

  (3)

Ему равносильна следующая система:

 

Представленный метод решения неравенств (1), (2), (3) говорит нам о том, как от сложного логарифмического неравенства (но одного!) перейти к простым неравенствам (но к целой системе!). По сути этот метод позволяет одно сложное свести к системе простых. Этот метод получил название декомпозиции (или рационализации). На самом деле, можно и не запоминать все формулы в каждой системе. Все, кроме первой – это просто-напросто ОДЗ (ну в самом деле, просто взгляни на них), а первое – это так называемое условие сохранения знака. К нему ты всегда можешь прийти, рассматривая случаи, когда   и когда  . В частности, если  , то неравенство   влечет за собой  . С другой стороны, так как   неравенство   имеет место только тогда, когда   или  . Получили, что при   неравенства   и   равносильны (учитывая, конечно, ОДЗ). Аналогично ты можешь получить, что эти же неравенства будут равносильны и при  . Но если ты и эту формулу забыл, то ничего страшного, просто придется дольше поработать. Ты всегда можешь решить логарифмическое неравенство, опираясь только на определение логарифмической функции. В частности, неравенство

 

Равносильно следующей системе:

 

Где сложное условие   я заменил совокупностью из двух систем. Решение любого сложного логарифмического уравнения я рекомендую начинать с ОДЗ. В некоторых случаях это позволит тебе не решать одну из двух систем, поскольку будет заведомо известно, что ее решение не лежит в ОДЗ.

Ты уже в трепете перед этими сложными формулами? Я тебя понимаю. Однако, все, что я могу сказать: аппетит приходит во время еды. И большинство «монструозных» задач С3, имеющих в своем составе логарифмы, сводятся в конечном счете к одному из неравенств вида (1)-(3), либо решаются при помощи некоторой замены переменной. Я не хочу быть более голословным, поэтому перейду к примерам прямо сейчас. Обрати внимание, все следущие примеры взяты из ЕГЭ предыдущих лет!

Пример 1: (на хорошую замену)

 

Во многих случаях, при решении «сложных» неравенств, может полезной оказаться одна из следующих формул:

 ,  .

В данном случае мне удобно воспользоваться второй формулой. Понимаешь, почему? Да все потому, что все три логарифма содержат в себе тройку «наверху»!!

Если я преобразую исходное неравенство, то у меня получится:

 

Теперь нам стала видна замена:  . Тогда исходное неравенство преобразуется к виду:

 

 

Теперь все, что мне осталось – это решить данное неравенство методом интервалов. (не забываем, что те числа, которые «нулят» числитель будут «закрашенными», а нулящие знаменатель – «выколотые», так как не принадлежат ОДЗ.)

Решением неравенства относительно   будет вот такое множество:

 

Теперь вернусь к переменной  , тогда границы моего решения относительно y для переменной x будут следующие:

 

А вот еще один пример на «сложную» замену переменной:

Пример 2:

 

Вначале найдем ОДЗ:

 

Вы можете оспорить второе выражение системы: В самом деле, откуда оно берется? А во всем виновато соотношение:  , которое применимо к нашему случаю даст:

 

Второе выражение преобразуем вот так:

 

Тогда наше неравенство преобразуется к вот такому виду:

 

Ага, теперь замена напрашивается сама собой!!

 , в таком случае я получу:

 

Откуда я получу следующее решение относительно  :

 

Теперь вернемся к исходной переменной  :

 

Однако, нам с тобой надо учесть накладываемые ограничения на  :

 

Тогда я запишу ответ:

 

Теперь приведем пример неравенства с переменным основанием:

Пример 3:

 

Мы можем преобразовать его к виду:

 

Тогда, наше неравенство имеет вид (1). Я напомню, что в этом случае решить наше неравенство – это все равно, что решить вот такую систему:

 

Второе и третье неравенства системы выполняются автоматически. Четвертое, очевидно, имеет место, если   не равно  .

Ну а первое неравенство равносильно вот такому уравнению:

 

Решение этого неравенства – множество

 

Ноль, которую вы должны отбросить, не принадлежит решению. Тогда ответ совпадет с решением неравенства  

Запишем ответ:

 

Пример 4:

 

Данное неравенство имеет вид (2). Значит перейдем к равносильной ему системе:

 

Теперь твоя цель – решить методом интервалов каждое из указанных в системе неравенств, а затем найти область их пересечения. Я самоустраняюсь от этой (хоть и тривиальной, но достаточно трудоемкой) задачи, и доверяю ее тебе. Окончательный ответ будет вот таким:

 

В данной статье я постарался объяснить тебе подходы к решению одних из самых трудных задач, встречающихся в школьном курсе – решению логарифмических неравенств. Я надеюсь, чтение и разбор примеров оказались для тебя полезными и время ты потратил не зря. Опять-таки повторюсь: чтобы освоить методы решения, тебе нужно совсем немного: всего три вещи: практика, практика и практика.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть