Коротко о главном Начальный уровень

ОДЗ. Коротко о главном.

ОДЗ - это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Функции, для которых важна ОДЗ:

Тип функции ОДЗ
Обратная зависимость  .
Корень  
Показательная функция  
Логарифмическая функция  
Тригонометрические функции

 

 

\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]

\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

Что такое ОДЗ?

Это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Например, если перед тобой уравнение  , то ни  , ни   не могут быть отрицательными:

 

Часто в задачах бывает очень важно учесть ОДЗ. То есть некоторые из решений на самом деле решениями не являются.

Давай разберем пример, наглядно показывающий что такое ОДЗ:

Решим уравнение  .

Все очень просто, если ты уже освоил тему «Иррациональные уравнения». Возводим левую и правую части уравнения в квадрат:

 .

Теперь решаем квадратное уравнение. Я воспользуюсь теоремой Виета (если забыл что это такое - посмотри тему «Квадратные уравнения»). Получаем корни:

 

Вроде все? А давай-ка теперь сделаем проверку – подставим полученные значения в начальное уравнение:

  – все верно.

  – неверно! А все почему?

Да потому, что мы не учли ОДЗ: ведь по определению квадратный корень из любого числа не может быть отрицательным. Значит, глядя на уравнение   мы должны сразу же написать:

 

Если помнишь тему «Иррациональные уравнения», ты сразу скажешь, что второе условие в этой системе писать необязательно. И правда, мы ведь потом возведем все в квадрат, и получится, что  , а значит – автоматически неотрицательно. Итак, с помощью этих рассуждений приходим к такой области допустимых значений:

 .

Тогда сразу становится ясно, что корень   не подходит. И остается единственный ответ  .

Функции, для которых важна ОДЗ

Всего мы изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ. Вот они:

Тип функции ОДЗ
Обратная зависимость  .
Степенная функция (корень)  
Показательная функция  
Логарифмическая функция  
Тригонометрическая функция

 

 

\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]

\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

Рассмотрим примеры с каждой из этих функций:

1. ОДЗ обратной зависимости

 .

Замечаем, что в знаменателе правой части формула сокращенного умножения:

 .

ОДЗ:  

Теперь можно спокойно избавляться от одинаковых знаменателей:

 

Согласно ОДЗ второй корень не подходит.

Ответ:  .

2. ОДЗ степенной функции

 .

Такой пример мы уже рассматривали, поэтому реши его самостоятельно.

Ответ:  .

3. ОДЗ показательной функции

 

Не пугайся, тут все просто:

ОДЗ:  

Обе части уравнения строго положительны, поэтому делим все на правую часть:

 

Теперь возможны два варианта: либо основание степени равно  , либо показатель равен  :

 

(квадратное уравнение реши сам)

Теперь вспомним ОДЗ: корень   – «сторонний».

Ответ:  .

4. ОДЗ логарифмической функции

 .

ОДЗ:  

 

С учетом ОДЗ нужно отбросить отрицательный корень:

Ответ:  .

5. ОДЗ тригонометрической функции

\[\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\]

ОДЗ:  .

Для наглядности изображу область допустимых значений на единичной окружности в виде выколотых точек:

Что такое ОДЗ тригонометрической функции

\[\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\left( {\sin x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \]

\[\left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}\\x = \frac{\pi }{2} + \pi k,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\]

Очевидно, что вторая группа корней не подходит по ОДЗ.

Ответ:  .

Комментарии

Леонид
13 марта 2018

Я ничего не понял Особенно вот это : \[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\] \[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\] Это какая то ссылка ?

ответить

Александр (админ)
13 марта 2018

Привет, Леонид. Очисти кэш своего браузера, пожалуйста (ctrl + F5). Эта абракадабра - математический язык, который "понимает" браузер. Но к сожалению иногда она отображается так как у тебя. Лечится чисткой кэша.

ответить

Артём Сергеевич Жогов
14 июля 2018

Скорее, дело не в кэше, а в устаревшем браузере, который, как раз, эту абракадару не понимает. Лечится установкой Я.Браузера или google chrome

ответить

Александр (админ)
15 июля 2018

Артем Сергеевич, спасибо за подсказку. Обязательно нужно установить последний браузер. Тут Вы все верно сказали. Но иногда даже последняя версия браузера выдает абракадабру. Нужно обновить страницу. Если не помогает, очистить кэш - ctrl + F. (Или ctrl + cmf + E - на компьютерах MAC) .

ответить

вууу
29 мая 2018

Это магия, Гарри

ответить

Карина
05 ноября 2018

у меня тоже так .эм...

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть