Коротко о главном Начальный уровень

Построение графика линейной функции. Коротко о главном.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

График линейной функции – прямая линия. Прямую можно провести через две точки.

Чтобы построить график линейной функции вида  , нужно:

  • вычислить координаты любых двух точек (взять любые два значения аргумента   и вычислить соответствующие два значения  
  • для каждой пары   найти точку в системе координат, и провести прямую через эти две точки.

Пример для функции  :

Проще всего найти функцию, если аргумент:  .

Итак, первая точка имеет координаты  .

Теперь возьмем любое другое число в качестве  , например,  .

Вторая точка имеет координаты  .

Угловой коэффициент   – это тангенс угла наклона прямой. Для его нахождения выберем две точки   и   на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой  

 .

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое линейная функция, и с чем ее едят. Если ты считаешь себя профи по части линейных функций, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему «Линейная функция».

Начнем с небольшой проверки:

Как выглядит линейная функция в общем виде (формула)?

Почему она называется линейной?

Как влияет коэффициент при   на график линейной функции?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, прочти тему «Линейная функция».

Итак, ты уже умеешь обращаться с линейной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам. Кстати, сколько нужно точек, чтобы построить график линейной функции?

Скажу сразу, эта тема настолько простая, что много нового ты здесь не выучишь. Но ты научишься не теряться во всяких нестандартных ситуациях.

Итак, дамы и господа, линейная функция:  .

Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, (например,   и  ), подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.

Затем отмечаешь эти две точки на координатной плоскости, прикладываешь линейку, и график готов. Просто и быстро, и ничего выдумывать не надо.

Но бывает, что функция задана по-другому, например, неявно. Сейчас разберем, как быстро справляться с такими ситуациями.

Разберем пример:

Постройте график уравнения  .

Ну а что тут сложного? Чтобы произвести построение графика линейной функции выражаем y и строим по точкам. Это да, но можно сделать проще и интересней.

Выясним, в какой точке эта прямая будет пересекать ось  . Что характерно для этой точке? Правильно,  . Так и пишем:

 

А теперь проделаем то же самое с другой осью: в какой точке график пересекает ось  ?

 

Вот и они – две точки графика. Осталось только приложить линейку:

Построение графика линейной функции 2y+3x=6

Согласись, это было быстро и просто?

А теперь сам:

 

Ладно, а как еще можно задать функцию?

Ну, например словесно:

Прямая проходит через точку  , а ее угловой коэффициент равен  .

Ну что же, вспоминаем: что такое угловой коэффициент?

Это, с одной стороны, коэффициент при  , а с другой – это тангенс угла между прямой и осью  . Вот это мы и используем когда делаем построение графика линейной функции: ставим точку  , и рисуем прямоугольный треугольник так, что один его катет параллелен оси  , а другой – перпендикулярен. При этом второй катет должен быть ровно в   раз больше первого. Очень удобно в этом случае, чтобы первый катет был равен  , тогда второй будет равен  :

Построение графика линейной функции по коэффициентам

Теперь реши сам:

Прямая, уравнение которой имеет вид   (  неизвестно), проходит через точку  . Постройте ее.

Справился?

Должно получиться вот так:

Построение графика линейной функции с неизвестным коэффициентом

Еще пример:

Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку   и параллельной прямой  . Строить график прямой   нельзя.

О, это что-то новенькое. Про параллельность прямых мы еще не учили.

Но как обычно, все просто. Нарисуем несколько параллельных прямых на координатной плоскости:

Построение графика линейной функции параллельной прямой

Что у них общего? Вообще, какие параметры важны для графиков? Конечно же, коэффициенты   и  . И сразу становится ясно: раз   отвечает за наклон, а наклон у них одинаковый (это же параллельные прямые, а ось   – секущая), значит, у них одинаковый коэффициент  !

Вернемся к задаче. Напомню условие:

Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку   и параллельной прямой  .

Итак, угловой коэффициент нашей прямой   равен угловому коэффициенту прямой , то есть  . Теперь задача становится точь в точь как мы решали до этого:

нахождение уравнения прямой

График пересекает ось ординат в точке  . Это и есть коэффициент  :

 

И снова пример для самостоятельного решения:
Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку   и параллельной прямой  . Строить график прямой   нельзя.

Ответ:  .

И еще один тип прямых. Самый простой из всех:

 

Хм… Даже на линейную функцию непохоже, чего это он самый простой?

А вот почему: достаточно небольшого преобразования, и получится самая обычная линейная функция:

 

Вот и все!

А, нет, не все… еще ведь ОДЗ: на ноль делить нельзя, бла бла бла…

Ладно, ничего сложного здесь нет:  . Это и есть все отличие от обычной прямой : просто надо будет выколоть из графика одну точку:  .

график линейной функции с выколотой точкой

Теперь сам:  .

Ответ:  

Ну вот, ты увидел, как можно строить график любой линейной функции. Конечно, можно было бы придумать еще миллион «интересных случаев», но хватит терять время на эту халявную тему, пора уже перейти к более серьезным вещам.

Удачи!

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть