28 июля

1 comments

Обратная зависимость (ЕГЭ – 2021)

Сейчас мы будем говорить об обратной зависимости, или другими словами – обратной пропорциональности, как о функции.

Ты помнишь, что функция – это определенного рода зависимость?

Если ты еще не читал тему «Функции», настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое – функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: линейную и квадратичную.

Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Начнём!

Итак, ты вспомнил, что такое функция? Повторим:

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция \( y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \( x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \( y\) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому значению»?

Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»!

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы можно подставить в зависимость. Например, для функции \( y=\sqrt{x}\) отрицательные значения аргумента \( x\) – недопустимы.

Это функция вида \( \displaystyle y=\frac{k}{x}\), где \( k\ne 0\).

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.

Давай определим область определения. Чему может быть равен \( x\)? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить – это \( 0\), поэтому \( x\ne 0\):

\( D\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)\)

или, что то же самое,

\( D\left( y \right)=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Такая запись означает, что \( x\) может быть любым числом, кроме \( 0\).

  • Знак «\( \mathbb{R}\)» обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел.
  • Знаком «\( \backslash \)» обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»).
  • Число \( 0\) в фигурных скобках означает просто число \( 0\).

Получается, что из всех возможных чисел мы исключаем \( 0\)).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если \( k\ne 0\), то на что бы мы его не делили, \( 0\) не получится:

\( E\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)\) или \( E\left( y \right)=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Также возможны некоторые вариации формулы \( y=\frac{k}{x}\). Например, \( y=\frac{k}{x+a}\) – это тоже функция, описывающая обратную зависимость.

Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

  • \( D\left( y \right)=\left( -\infty ;-a \right)\cup \left( -a;+\infty \right)\)
  • \( E\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)\).

Давай посмотрим на такую функцию: \( \displaystyle y=\frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}\). 

Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении \( x\) увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально?

Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

\( \displaystyle y=\frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}=\frac{x-5}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}=\frac{1}{x+5},\text{ }x\ne 5\).

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой: \( x\ne 5\).

Почему так? А потому, что выражение \( \left( x-5 \right)\) было в исходном выражении в знаменателе, поэтому если мы возьмём значение \( x=5\) и подставим его в исходную функцию (а ведь именно её нам нужно исследовать), то что мы получим?

Ноль, делённый на ноль. Но ведь на ноль нельзя делить ничего, даже другой ноль. Поэтому \( x\) никак не может быть равен \( 5\).

Но почему тогда мы также не пишем \( x=-5\)? Оно ведь тоже в знаменателе!

А всё потому, что оно как было в знаменателе, так там и осталось, следовательно мы и так видим, что такое значение икса невозможно.

А поэтому - зачем лишний раз писать? Да-да, математики - народ ленивый, без надобности напрягаться не станут:)

Вот еще пример: \( \displaystyle y=\frac{x+2}{x-3}\).

Тут сложнее: ведь числитель и знаменатель теперь уж точно не сокращаются. Но все-же мы можем попробовать:

\( \displaystyle y=\frac{x+2}{x-3}=\frac{x-3+3+2}{x-3}=\frac{\left( x-3 \right)+5}{x-3}\)

Ты понял, что я сделал? В числителе я добавил и вычел одно и то же число (\( 3\)), таким образом я вроде бы ничего не изменил, но теперь в числителе есть часть, равная знаменателю.

Теперь я почленно поделю, то есть разобью эту дробь на сумму двух дробей:

\( \displaystyle y=\frac{\left( x-3 \right)+5}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{5}{x-3}\)

(и правда, если привести то что у меня получилось к общему знаменателю, получится как-раз наша начальная дробь):

\( \displaystyle y=\underbrace{\left( \frac{x-3}{x-3} \right)}_{=1}+\frac{5}{x-3}=1+\frac{5}{x-3}.\)

Ух ты! Снова получается обратная зависимость, только теперь к ней еще прибавляется число \( \displaystyle 1\).

Этот метод нам очень пригодится позже при построении графиков.

А теперь самостоятельно приведи выражения к виду обратной зависимости:

  1. 1
    \( \displaystyle y=\frac{x-1}{x+2}\)
  2. 2
    \( \displaystyle y=\frac{x+5}{{{x}^{2}}+4{x}-5}\)
  3. 3
    \( \displaystyle y=\frac{2{x}-3}{x+1}\)

Решение примера №1

\( \displaystyle y=1-\frac{3}{x+2}\)

Решение примера №2

Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»).

Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: \( \displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=0\).

Я найду их устно с помощью теоремы Виета: \( \displaystyle {{x}_{1}}=-5\), \( \displaystyle {{x}_{2}}=1\). Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения».

Итак, получаем: \( \displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=\left( x+5 \right)\left( x-1 \right)\), следовательно:

\( \displaystyle y=\frac{x+5}{\left( x+5 \right)\left( x-1 \right)}=\frac{1}{x-1},\text{ }x\ne -5\)

Решение примера №3

Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка? Наверняка в том, что в числителе у нас \( \displaystyle 2x\), а в знаменателе – просто \( \displaystyle x\).

Это не беда. Нам нужно будет сократить на \( \displaystyle \left( x+2 \right)\), поэтому в числителе следует вынести \( \displaystyle 2\) за скобки (чтобы в скобках \( \displaystyle x\) получился уже без коэффициента):

\( \displaystyle y=\frac{2{x}-3}{x+1}=\frac{2\left( x-\frac{3}{2} \right)}{x+1}=2\cdot \frac{x-1,5}{x+1}=2\cdot \frac{x+1-1-1,5}{x+1}=...\) дальше сам.

Ответ: \( \displaystyle y=2-\frac{5}{x+1}\).

Как всегда, начнем с самого простого случая: \( \displaystyle y=\frac{1}{x}\).

Составим таблицу

\( \displaystyle \mathbf{x}\)\( \displaystyle -3\)\( \displaystyle -2\)\( \displaystyle -1\)\( \displaystyle -0,5\)\( \displaystyle 0,5\)\( \displaystyle 1\)\( \displaystyle 2\)\( \displaystyle 3\)\( \displaystyle 4\)
\( \displaystyle \mathbf{y}\)\( \displaystyle -\frac{1}{3}\)\( \displaystyle -\frac{1}{2}\)\( \displaystyle -1\)\( \displaystyle -2\)\( \displaystyle 2\)\( \displaystyle \;1\)\( \displaystyle \frac{1}{2}\)\( \displaystyle \frac{1}{3}\)\( \displaystyle \frac{1}{4}\)

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Теперь их надо плавно соединить, но как? Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть. График будет выглядеть так:

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом.

Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям \( \displaystyle Ox\) и \( \displaystyle Oy\), но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Оно и понятно: так как \( \displaystyle x\ne 0\), график не может пересекать ось \( \displaystyle Oy\). Но и \( \displaystyle y\ne 0\), так что график никогда не коснется и оси \( \displaystyle Ox\).

Ну что же, теперь посмотрим…

На что влияют коэффициенты

Рассмотрим такие функции:

\( \displaystyle y=\frac{1}{x};\text{ }y=\frac{2}{x};\text{ }y=\frac{4}{x};\text{ }y=-\frac{1}{x};\text{ }y=-\frac{3}{x}\):

Ух ты, какая красота!

Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь? Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси \( \displaystyle Ox\).

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например, \( \displaystyle y=\frac{1}{x-1}+2\)?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная \( \displaystyle y=\frac{1}{x}\), только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен \( x\)? Правильно, \( x\ne 1\). Значит, график никогда не достигнет прямой \( x=1\).

А чему не может быть равен \( y\)? Теперь \( y\ne 2\). Значит, теперь график будет стремиться к прямой \( y=2\), но никогда ее не пересечет.

Итак, теперь прямые \( x=1\) и \( y=2\) выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции \( \displaystyle y=\frac{1}{x}\).

Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим в теме «Построение графика обратной зависимости».

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления.

1. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac{k}{x}\). Определите \( k\).

2. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac{k}{x}\). Определите \( k\)

3. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac{1}{x+a}\). Определите \( a\).

4. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac{1}{x}+a\). Определите \( a\).

5. На рисунке приведены графики функций \( \displaystyle y=\frac{a}{x},\text{ }y=\frac{b}{x}\) и \( y=\frac{c}{x}\).

Выбери верное соотношение:

a. \( a>b>c\)

b. \( c>a>b\)

c. \( b>c>a\)

d. \( a=c>b\)

Ответы:

  1. 1
    \( \displaystyle 3.\)
  2. 2
    \( \displaystyle -2.\)
  3. 3
    \( \displaystyle 1.\)
  4. 4
    \( \displaystyle -2.\)
  5. 5
    \( \displaystyle a.\)

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный – это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние.

И правда, вспомним формулу скорости: \( \displaystyle v=\frac{S}{t}\), где \( v\) – скорость, \( t\) – время в пути, \( S\) – расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время: \( \displaystyle t=\frac{S}{v}\)

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью \( 40\) км/ч, и доезжает за \( 1\) час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью \( 60\) км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

\( \displaystyle 60\) км/ч – \( 60\) мин.

\( \displaystyle 60\) км/ч – \( x\) мин.

Далее ты определял, что это обратная пропорциональность, так как чем больше скорость, тем меньше время. Значит, чтобы решить эту пропорцию, нужно поделить числа «крест-накрест»:

\( \displaystyle \frac{40}{x}=\frac{60}{60}\text{ }\Rightarrow \text{ }x=40\)(мин).

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:

\( \displaystyle t\left( v \right)=\frac{S}{v}\).

Известно, что \( t\left( 40 \right)=60\), тогда:

\( \frac{S}{40}=60\text{ }\Rightarrow \text{ }S=40\cdot 60=2400\).

Нужно найти \( t\left( 60 \right)\):

\( \displaystyle t\left( 60 \right)=\frac{2400}{60}=40\) (мин).

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.

Придумал? Молодец, если да. Удачи!

1. Определение

Функция, описывающая обратную зависимость, – это функция вида \( \displaystyle y=\frac{k}{x}\), где \( k\ne 0\).

По-другому эту функцию называют обратной пропорциональностью, так как увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.

При этом \( x\ne 0\)

\( D\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)\) или, что то же самое, \( D\left( y \right)=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

График обратной зависимости – гипербола.

2. Коэффициенты \( \displaystyle k\), \( {a}\) и \( b\).

\( \displaystyle k\) – отвечает за «пологость» и направление графика: чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента \( \displaystyle k\) влияет на то, в каких четвертях расположен график:

  • если \( \displaystyle k>0\), то ветви гиперболы расположены в \( \displaystyle I\) и \( \displaystyle III\) четвертях;
  • если \( \displaystyle k<0\), то во \( \displaystyle II\) и \( \displaystyle IV\).

x=a – это вертикальная асимптота,то есть вертикаль, к которой стремится график.

Число \( b\) отвечает за смещение графика функции вверх на величину \( b\), если \( b>0\), и смещение вниз, если \( b<0\).

Следовательно, \( y=b\) – это горизонтальная асимптота.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Теперь дело за тобой!

Я рассказал тебе все про обратную зависимость. Теперь ты знаешь очень многое!

Самое главное, что ты изучил эту тему сам. С помощью этой статьи, но сам. Нашел время и разобрался. И я очень горжусь тобой.

Уверен, однажды это поможет тебе!

А теперь мы хотим узнать твое мнение об этой статье. Напиши его в комментариях ниже!

Помогла ли тебе эта статья?  Понравилась? 🙂

Остались вопросы? Задай их! 

Мы обязательно ответим!

Успехов!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    С.М.
    01 ноября 2019
    Очень красиво излагаете!

    Александр (админ)
    01 ноября 2019
    Спасибо, С.М!

    Мария Соколюк
    17 декабря 2019
    Кратно и доступно.Спасибо.

    Александр (админ)
    17 декабря 2019
    Мария, спасибо большое за отзыв на нашу работу! Удачи!

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >