26 июля

0 comments

Квадратичная функция (ЕГЭ – 2021)

Построение графика квадратичной функции, ее области определения, коэффициенты, вершина параболы, все варианты ее расположения...

Все, что нужно знать для сдачи ОГЭ и ЕГЭ, в одном месте.

Для начала скажи мне, что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

А мы пока повторим.

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция \( y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \( x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \( y\) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»!

Все дело в понятии «область определения»:

Для некоторых функций не все аргументы можно подставить в зависимость.

Например, для функции \( y=\sqrt{x}\) отрицательные значения аргумента \( x\) – недопустимы.

Кстати, а с линейной функцией ты уже дружишь? Про нее все написано в теме «Линейная функция» – там ты поймешь, что в функциях ничего страшного нет и научишься понимать и использовать коэффициенты (это циферки перед буквой \( x\)).

И еще, надеюсь, ты умеешь решать квадратные уравнения? Освежить память можно, почитав тему «Квадратные уравнения».

Итак, приступим!

Квадратичная функция – это функция вида \( y=a{{x}^{2}}+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) ­– любые числа (они и называются коэффициентами). 

Число \( a\) называют старшим или первым коэффициентом такой функции, \( b\) – вторым коэффициентом, а \( c\) – свободным членом.

Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения \( D\left( y \right)\) и область значений\( E\left( y \right)\).

Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции \( y=a{{x}^{2}}+bx+c\)? Правильно, любыми. Ведь в эту формулу можно подставить любое число (в отличии, например, от функции \( y=\frac{1}{x}\) – в нее нельзя подставить \( x=0\)).

Значит, область определения – все действительные числа:

\( D\left( y \right)=\mathbb{R}\) или \( D\left( y \right)=\left( -\infty ;+\infty \right)\).

А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?

Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию \( y={{x}^{2}}\) \( \left( a=1,\text{ }b=0,\text{ }c=0 \right)~\), чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю. Значит, эта функция всегда не меньше нуля. А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше. Таким образом, можем написать для \( y={{x}^{2}}:E\left( y \right)=\left[ 0;+\infty \right)\).

В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.

Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем.

Построение графика квадратичной функции

Начнем с простейшей квадратичной функции – \( y={{x}^{2}}\).

Составим таблицу значений:

x

-2

-1

0

1

2

y

4

1

0

1

4

Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.

Рассмотрим теперь другую функцию: \( y={{x}^{2}}-2{x}-3\).

Составим таблицу значений:

x

-2

-1

0

1

2

3

4

y

5

0

-3

-4

-3

0

5

Сравним два рисунка. Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах. Во второй параболе вершина переместилась в точку \( \left( 1;-4 \right)\), а ветви переехали вместе с ней. Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.

Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида \( y=a{{x}^{2}}\) (\( b=0\), \( c=0\) – пусть не мешают).

Построим на одном рисунке графики нескольких функций: при \( a= -2,\text{ }-1,\frac{1}{2},\text{ }1,\text{ }3:\) 

Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?

Во-первых, это невозможно не заметить, если \( \displaystyle \mathbf{a}<\mathbf{0}\), ветви парабол направлены вниз, а если \( \displaystyle \mathbf{a}>\mathbf{0}\) – вверх.

Так, хорошо. Значит, если парабола пересекает ось \( \displaystyle Ox\) в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения. Если не пересекает – корней нет. Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси \( \displaystyle Ox\) вершиной:

А что такое вершина параболы?

Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при \( \displaystyle D=0\), получим формулу вершины:

\( \displaystyle {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}\).

Это тоже бывает очень полезно.

Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:

А теперь порешаем задачки.

1. График какой из функций избражен на рисунке?

a) \( y=-{{x}^{2}}+2x+5\)

b) \( y={{x}^{2}}-2x+5\)

c) \( y=-{{x}^{2}}-2x+4\)

d) \( y=-{{x}^{2}}+2x+4\)

2. Найдите сумму корней квадратного уравнения \( a{{x}^{2}}+bx+c=0\), если на рисунке приведен график функции \( y=a{{x}^{2}}+bx+c\):

3. Найдите произведение корней квадратного уравнения \( a{{x}^{2}}+bx+c=0\), если на рисунке приведен график функции \( y=a{{x}^{2}}+bx+c\):

4. По графику функции \( y={{x}^{2}}+bx+c\) определите коэффициенты \( b\) и \( c\):

Решения:

1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, \( \displaystyle a<0\). То есть вариант b) сразу не подходит.

Дальше посмотрим на точку пересечения с осью \( \displaystyle Oy:y=4\). Что нам дает эта точка? Вспоминай.

Это – свободный член c. Значит, \( \displaystyle c=4\) – отбросим вариант a).

Ну что же, \( \displaystyle a=-1,c=4,\) осталось определить b. Тут нам поможет вершина. Напоминаю, что ее координата вычисляется по формуле: \( \displaystyle {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}\).

В нашем случае \( \displaystyle {{x}_{в}}=1\). Тогда:

\( \displaystyle 1=\frac{-b}{2\cdot \left( -1 \right)}\text{ }\Rightarrow \text{ }b=2\).

Итак, наша парабола задается формулой: \( \displaystyle y=-{{x}^{2}}+2x+4\). Это вариант ответа d)

2. Проще простого: корни – это точки пересечения параболы с осью \( \displaystyle Ox\).

Смотрим: \( \displaystyle {{x}_{1}}=1\), \( \displaystyle {{x}_{2}}=5\). Значит, их сумма \( \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6\).

3. То же самое: \( \displaystyle {{x}_{1}}=-1\), \( \displaystyle {{x}_{2}}=3\). Произведение: \( \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-3\).

4. Хм… Ну, коэффициент с мы бы нашли, да только по оси \( \displaystyle Oy\) нет обозначений. Зато показаны точки пересечения с осью \( \displaystyle Ox\). А это ведь корни уравнения \( \displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0:{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=4\).

Как это нам поможет?

Кстати, чему равен старший коэффициент?

Он равен \( \displaystyle 1\). Как называется такое квадратное уравнение? Вспоминай: оно называется приведенным. Теперь догадался? Можно ведь применить теорему Виета. Точно! Ведь она говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком:

\( \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b\),

а произведение – свободному члену:

\( \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=c\).

Ну вот и решили: \( \displaystyle b=-\left( -1+4 \right)=-3\), \( \displaystyle c=-1\cdot 4=-4\).

Ответ: \( \displaystyle -3;\text{ -}4.\)

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратичная функция – функция вида \( y=a{{x}^{2}}+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) ­– любые числа (коэффициенты), \( c\) – свободный член.

График квадратичной функции – парабола.
Вершина параболы: \( \displaystyle {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}\).

Квадратичная функция вида: \( y=a{{x}^{2}}\).

Если коэффициент \( \displaystyle \mathbf{a}<\mathbf{0}\), ветви параболы направлены вниз, если \( \displaystyle \mathbf{a}>\mathbf{0}\) - ветви параболы направлены вверх.


Чем больше значение \( \displaystyle a\) (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше \( \displaystyle a\), тем парабола шире.

Варианты расположения параболы в зависимости от коэффициента \( \displaystyle a\) и дискриминанта \( \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\).

Для построения параболы необходимо:

  1. 1
    Найти координаты вершины
  2. 2
    Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы
  3. 3
    Найти точки пересечения параболы с осью \( \displaystyle Ox\) (нули), если они есть, решив уравнение \( \displaystyle 0=a{{x}^{2}}+bx+c\)
  4. 4
    Найти точку пересечения с осью \( \displaystyle Oy\), решив уравнение \( \displaystyle y=a\cdot 0+b\cdot 0+c=c\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Теперь хотим услышать тебя!

Сегодня ты разобрался с квадратичной функцией. И я очень тобой горжусь, ведь это очень важная вещь!

Мы очень хотим узнать твое мнение об этой статье! Напиши его в окмментариях ниже.

Понравилась ли тебе статья? Разобрался с построением графика? 

Если у тебя остались вопросы, не стесняйся писать их там же. В комментариях.

Мы непременно ответим!

Успехов!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>