21 июля

1 comments

Построение графика линейной функции. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое линейная функция.

Начнем с небольшой проверки:

  • Как выглядит линейная функция в общем виде (формула)?
  • Почему она называется линейной?
  • Как влияет коэффициент при \( \displaystyle x\) на график линейной функции?

Если хоть один вопрос вызвал затруднения, прочти тему «Линейная функция».

Приступим к покорению линий и графиков!

Итак, ты уже умеешь обращаться с линейной функцией, анализировать ее график и строить его по точкам. Кстати, сколько нужно точек, чтобы построить график линейной функции?

Скажу сразу, эта тема настолько простая, что много нового ты здесь не выучишь. Но ты научишься не теряться во всяких нестандартных ситуациях.

Итак, дамы и господа, линейная функция:

\( \displaystyle y=kx+b\)

Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, (например, \( \displaystyle 0\) и \( \displaystyle 1\)), подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.

Затем отмечаешь эти две точки на координатной плоскости, прикладываешь линейку, и график готов. Просто и быстро, и ничего выдумывать не надо.

Но бывает, что функция задана по-другому, например, неявно. Сейчас разберем, как быстро справляться с такими ситуациями.

Постройте график уравнения \( \displaystyle 2y+3x=6\).

Ну а что тут сложного? Чтобы произвести построение графика линейной функции выражаем y и строим по точкам.

Это да, но можно сделать проще и интересней!

Выясним, в какой точке эта прямая будет пересекать ось \( \displaystyle Ox\).

Что характерно для этой точке? Правильно, \( \displaystyle y=0\). Так и пишем:

\( \displaystyle 2\cdot 0+3x=6\text{ }\Rightarrow \text{ }x=2\)

А теперь проделаем то же самое с другой осью: в какой точке график пересекает ось \( \displaystyle Oy\)?

\( \displaystyle x=0\text{ }\Rightarrow \text{ }2y+3\cdot 0=6\text{ }\Rightarrow \text{ }y=3\)

Бум! Вот и они – две точки графика. Осталось только приложить линейку:

Согласись, это было быстро и просто!

А теперь сам:

\( \displaystyle 4x-5y=3\)

Ладно, а как еще можно задать функцию?

Ну, например словесно:

Прямая проходит через точку \( \displaystyle A\left( 2;3 \right)\), а ее угловой коэффициент равен \( \displaystyle 0,75\).

Ну что же, вспоминаем: что такое угловой коэффициент?

Это, с одной стороны, коэффициент при \( \displaystyle x\), а с другой – это тангенс угла между прямой и осью \( \displaystyle Ox\).

Вот это мы и используем когда делаем построение графика линейной функции: ставим точку \( \displaystyle A\), и рисуем прямоугольный треугольник так, что один его катет параллелен оси \( \displaystyle Ox\), а другой – перпендикулярен.

При этом второй катет должен быть ровно в \( \displaystyle 0,75\) раз больше первого.

Очень удобно в этом случае, чтобы первый катет был равен \( \displaystyle 4\), тогда второй будет равен \( \displaystyle 3\):

Прямая, уравнение которой имеет вид \( y=-2x+b\) (\( b\) неизвестно), проходит через точку \( M\left( 1;2 \right)\). Постройте ее.

Справился?

Должно получиться вот так:

Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку \( A\left( 3;1 \right)\) и параллельной прямой \( y=-1,5x+1\).

Строить график прямой \( y=-1,5x+1\) нельзя.

О, это что-то новенькое. Про параллельность прямых мы еще не учили.

Но как обычно, все просто. Нарисуем несколько параллельных прямых на координатной плоскости:

Что у них общего? Вообще, какие параметры важны для графиков? Конечно же, коэффициенты \( k\) и \( b\).

И сразу становится ясно: раз \( k\) отвечает за наклон, а наклон у них одинаковый (это же параллельные прямые, а ось \( Ox\) – секущая), значит, у них одинаковый коэффициент \( k\)!

Вернемся к задаче. Напомню условие:

Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку \( A\left( 3;1 \right)\) и параллельной прямой \( y=-1,5x+1\).

Итак, угловой коэффициент нашей прямой \( y=-1,5x+1\) равен угловому коэффициенту прямой , то есть \( -1,5\). Теперь задача становится точь в точь как мы решали до этого:

График пересекает ось ординат в точке \( \displaystyle y=5,5\). Это и есть коэффициент \( \displaystyle b\):

\( \displaystyle y=-1,5x+5,5\)

Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку \( A\left( -1;2 \right)\) и параллельной прямой \( y=2x+8\). Строить график прямой \( y=2x+8\) нельзя.

Ответ: \( y=2x+4\).

И еще один тип прямых. Самый простой из всех.

\( y=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}\)

Хм… Даже на линейную функцию непохоже, чего это он самый простой?

А вот почему: достаточно небольшого преобразования, и получится самая обычная линейная функция:

\( y=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{x+1}=x-1\)

Вот и все!

А, нет, не все… еще ведь ОДЗ: на ноль делить нельзя, бла бла бла…

Ладно, ничего сложного здесь нет: \( x+1\ne 0\text{ }\Rightarrow \text{ }x\ne -1\).

Это и есть все отличие от обычной прямой: просто надо будет выколоть из графика одну точку: \( y=x-5\).

Теперь сам: \( y=\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x-2}\).

Ответ: \( y=x-1,\text{ }x\ne 2\)

График линейной функции – прямая линия. Прямую можно провести через две точки.

Чтобы построить график линейной функции вида \( \displaystyle y=kx+b\), нужно:

  • вычислить координаты любых двух точек (взять любые два значения аргумента \( x\) и вычислить соответствующие два значения \( y\),
  • для каждой пары \( \left( x;y \right)\) найти точку в системе координат, и провести прямую через эти две точки.

Пример для функции \( y=2x+1\):

Проще всего найти функцию, если аргумент: \( x=0:y\left( 0 \right)=2\cdot 0+1=1\).

Итак, первая точка имеет координаты \( \left( 0;1 \right)\).

Теперь возьмем любое другое число в качестве \( x\), например, \( x=1:y\left( 1 \right)=2\cdot 1+1=3\).

Вторая точка имеет координаты \( \left( 1;3 \right)\).

Угловой коэффициент \( \displaystyle k\) – это тангенс угла наклона прямой. Для его нахождения выберем две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\) на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \( \displaystyle AB\)

\( \displaystyle k=tg\alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{2}{1}=2\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Что думаешь?

Поздравляю! Ты разблокировал достижение "Мастер прямых"! 🙂

Ты увидел, как можно строить график любой линейной функции.

Конечно, можно было бы придумать еще миллион «интересных случаев», но хватит терять время на эту халявную тему, пора уже перейти к более серьезным вещам!

А пока что мы будем очень твое мнение об этой статье. Напиши его в комментариях ниже.

Была ли эта статья полезна? Понравилась ли она тебе?

Разобрался ли ты с неявными функциями?

И если остались вопросы, пиши их. Мы обязательно тебе ответим.

Успехов!

  • Александр Кель:

    Нелли
    09 мая 2019
    Спасибо

    Александр (админ)
    09 мая 2019
    Пожалуйста, Нелли. Удачи на экзаменах!

    Мм
    25 ноября 2019
    Я учусь в 7 классе и т.к меня не было много дней я не мог самостоятельно понять тему по книге.

    Александр (админ)
    05 мая 2020

    И какова дальше эта история, Мм? Вы разобрались с этой темой? С помощью нашего учебника?
    ыпрчпатсап

    05 мая 2020
    ееееееееееееее пятёрка!!!!!!

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >