Как упростить выражение (ЕГЭ 2022)

Хочешь узнать, что такое ДОСАДА?

Это когда на ЕГЭ ты увидишь, что знаешь, как решить неравенство, но не сможешь его упростить.

И «проедешь мимо кассы».

Чтобы этого не случилось, нужно освоить преобразование алгебраических выражений. 

Приведение подобных, разложение на множители, сокращение, сложение и вычитание, деление и умножение дробей – вот это вот всё…

Кстати, от 30 до 40% ошибок на ЕГЭ – это ошибки именно в подобных простых вещах.

Отнесись к ним серьезно!

Как упростить алгебраическое выражение – коротко о главном

Базовые операции упрощения

Приведение подобных: чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.

\( \displaystyle 2a+3c+4a+5c=6a+8c\)

Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения и т.д.

\( \displaystyle a{{b}^{2}}+{{a}^{2}}c=a\left( {{b}^{2}}+ac \right)\)
\( \displaystyle 4{{x}^{2}}-16xy+16{{y}^{2}}=4\left( {{x}^{2}}-4xy+4{{y}^{2}} \right)=4{{\left( x-2y \right)}^{2}}\)

Сокращение дроби: числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.

\( \displaystyle \frac{a\left( a+b \right)}{{{a}^{2}}}=\frac{a\left( a+b \right)}{a\cdot a}=\frac{a+b}{a}\)


ВАЖНО: сокращать можно только множители!

Сложение и вычитание дробей:

\( \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}\);

\( \displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d-c\cdot b}{b\cdot d}\)

Умножение и деление дробей:

\( \displaystyle \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\);

\( \displaystyle \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}\)

Как упростить выражение – подробно

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

\( \displaystyle \frac{\frac{m-n}{2m-n}-\frac{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+m}{2{{m}^{2}}+mn-{{n}^{2}}}}{\left( 4{{n}^{4}}+4m{{n}^{2}}+{{m}^{2}} \right):\left( 2{{n}^{2}}+m \right)}\cdot \left( {{n}^{2}}+n+mn+m \right):\frac{n+1}{2m-n} \)


Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.

Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа −1.

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители. Освежи эти темы, если подзабыл.

Вспомнил? А сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них – это…

Приведение подобных

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.

Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.

Например, в сумме \( \displaystyle 2ab+3ab+b\) подобные слагаемые – это \( \displaystyle 2ab\) и \( \displaystyle 3ab\).

Вспомнил?

Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы.

Например, буква \( \displaystyle a\) – это стул. Тогда чему равно выражение \( \displaystyle 2a+3a\)?

Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, \( \displaystyle 5\) стульев: \( \displaystyle 2a+3a=5a\).

А теперь попробуй такое выражение: \( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a\).

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.

Например, \( \displaystyle a\) – это (как обычно) стул, а \( \displaystyle b\) – это стол.

Тогда:

\( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a=2\)стула\( \displaystyle+3\)стола\( \displaystyle-\)стул\( \displaystyle+8\)столов\( \displaystyle +7\)стульев\( \displaystyle=8\)стульев\( \displaystyle +11\)столов\( \displaystyle=8a+11b\)

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами.

Например, в одночлене \( \displaystyle 3a{{b}^{2}}\) коэффициент равен \( \displaystyle 3\). А в \( \displaystyle -7bx\) он равен \( \displaystyle \left( -7 \right)\).

Итак, правило приведения подобных: 

Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.

Потренируйтесь приводить подобные на следующих примерах:

Примеры.

  • \( \displaystyle a-2b+3b+6a\);
  • \( \displaystyle a+ab-3a+2ba\);
  • \( \displaystyle {{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}-ab+2a{{b}^{2}}\).

Ответы:

  • \( \displaystyle \underline{a}-\underline{\underline{2b}}+\underline{\underline{3b}}+\underline{6a}=7a+b\).
  • \( \displaystyle \underline{a}+\underline{\underline{ab}}-\underline{3a}+\underline{\underline{2ba}}=-2a+3ab\) (\( \displaystyle ab\) и \( \displaystyle 2ba\) подобны, так как \( \displaystyle 2ba=2ab\), следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).
  • \( \displaystyle {{a}^{2}}b+\underline{a{{b}^{2}}}-ab+\underline{2a{{b}^{2}}}={{a}^{2}}b+\underline{3}\underline{a{{b}^{2}}}-ab\).

Разложение на множители

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.

После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения.

Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.

Для этого реши несколько примеров (разложить на множители).

Примеры

  • \( \displaystyle a{{b}^{2}}+{{a}^{2}}c\)
  • \( \displaystyle {{a}^{3}}{{b}^{4}}-3a{{b}^{2}}+8{{a}^{2}}{{b}^{3}}\)
  • \( \displaystyle 4{{x}^{2}}-16xy+16{{y}^{2}}\)
  •  \( \displaystyle {{a}^{2}}+6ay+9{{y}^{2}}-4\)

Ответы:

  • \( \displaystyle a{{b}^{2}}+{{a}^{2}}c=a\left( {{b}^{2}}+ac \right)\)
  • \( \displaystyle {{a}^{3}}{{b}^{4}}-3a{{b}^{2}}+8{{a}^{2}}{{b}^{3}}=a{{b}^{2}}\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-3+8ab \right)\)
  • \( \displaystyle 4{{x}^{2}}-16xy+16{{y}^{2}}=4\left( {{x}^{2}}-4xy+4{{y}^{2}} \right)=4{{\left( x-2y \right)}^{2}}\)
  •  \( \displaystyle {{a}^{2}}+6ay+9{{y}^{2}}-4={{\left( a+3y \right)}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( a+3y-2 \right)\left( a+3y+2 \right)\)

Сокращение дроби

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?

В этом вся прелесть сокращения.

Все просто:

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим (или умножаем) на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

  • числитель и знаменатель разложить на множители;
  • если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.

Примеры

\( \displaystyle \frac{72}{30}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{2\cdot 2\cdot 3}{5}=\frac{12}{5}\)

\( \displaystyle \frac{a\left( a+b \right)}{{{a}^{2}}}=\frac{a\left( a+b \right)}{a\cdot a}=\frac{a+b}{a}\)

\( \displaystyle \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}}=\frac{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}{{{\left( a+b \right)}^{2}}}=\frac{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}{\left( a+b \right)\left( a+b \right)}=\frac{a-b}{a+b}\)

Принцип, я думаю, понятен?

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Сокращать можно только множители.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Например: надо упростить \( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}\).

Некоторые делают так: \( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}=-1\), что абсолютно неверно.

Еще пример: сократить \( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}+xy+1}{{{y}^{2}}+xy+1}\).

«Самые умные» сделают так:

\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}+xy+1}{{{y}^{2}}+xy+1}=\frac{x\left( x+y \right)+1}{y\left( x+y \right)+1}=\frac{x+1}{y+1}\).

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: \( \left( x+y \right)\) – это множитель, значит можно сокращать.

Но нет: \( \displaystyle \left( x+y \right)\) – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

Вот другой пример: \( \frac{abc}{5ac}\).

\( \displaystyle \frac{a\cdot b\cdot c}{5\cdot a\cdot c}\) – это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на \( a\), а потом и на \( c\):

\( \displaystyle \frac{a\cdot b\cdot c\text{ }:a}{5\cdot a\cdot c\text{ }:a}=\frac{b\cdot c\text{ }:c}{5\cdot c\text{ }:c}=\frac{b}{5}\) – верно.

Можно и сразу поделить на \( ac\):

\( \displaystyle \frac{a\cdot b\cdot c\text{ }:ac}{5\cdot a\cdot c\text{ }:ac}=\frac{b}{5}\).

Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров.

Примеры:

1) \( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}\)


2) \( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\)


3) \( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}y-4y}{{{x}^{2}}-4x+4}\)


4) \( \displaystyle \frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}\)

Решения:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать \( {{x}^{2}}\) и \( x\)? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\frac{{{x}^{2}}}{x}=x\)

Первым действием должно быть разложение на множители:

\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{\left( x-1 \right)}=x+1\).

2. \( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{\text{ }{{\left( x+y \right)}^{2}}\text{ }:\left( x+y \right)}{\left( x-y \right)\left( x+y \right):\left( x+y \right)}=\frac{x+y}{x-y}\)

3. \( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}y-4y}{{{x}^{2}}-4x+4}=\frac{y\left( {{x}^{2}}-4 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{y\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{y\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)}\)

4. \( \displaystyle \frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}=\frac{\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}=a-b\).

Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю

Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

1) \( \displaystyle \frac{2}{3}-\frac{1}{4}\)


2) \( \displaystyle \frac{3}{8}+\frac{2}{6}-\frac{5}{2}\)


3) \( \displaystyle 3\frac{4}{7}-1\frac{2}{3}\)

Ответы:

1. Знаменатели \( 3\) и \( 4\) – взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

\( \displaystyle \frac{2\cdot 4-1\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{5}{12}\)

2. Здесь общий знаменатель равен \( 24\):

\( \displaystyle \frac{3\cdot 3+2\cdot 4-5\cdot 12}{24}=\frac{-43}{24}\).

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше – по привычной схеме:

\( \displaystyle 3\frac{4}{7}-1\frac{2}{3}=\frac{25\cdot 3}{7}-\frac{5\cdot 7}{3}=\frac{75-35}{21}=\frac{40}{21}\).

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

\( \displaystyle \frac{{{a}^{2}}b}{4}+\frac{a}{6}\) или \( \displaystyle \frac{x}{x-2}+\frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}\).

Начнем с простого:

Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

\( \displaystyle \frac{{{a}^{2}}b}{4}+\frac{a}{6}\overset{\text{общий знаменатель равен 12}}{\mathop{=}}\,\frac{{{a}^{2}}b\cdot 3}{4}+\frac{a\cdot 2}{6}=\frac{3{{a}^{2}}b+2a}{12}\)

Теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

\( \displaystyle \frac{{{a}^{2}}b}{4}+\frac{a}{6}=\frac{3{{a}^{2}}b+2a}{12}=\frac{a\left( 3ab+2 \right)}{12}\).

Примеры:

1. \( \displaystyle \frac{ab}{3}-\frac{2ab}{5}\)


2. \( \displaystyle \frac{3a+1}{4}+\frac{2a-3}{10}\)


3. \( \displaystyle \frac{2{{x}^{2}}-5}{3}+\frac{3x+2}{2}-\frac{2{{x}^{2}}-2x-1}{4}\)

Ответы:

1. \( \displaystyle \frac{5ab-3\cdot 2ab}{15}=\frac{5ab-6ab}{15}=-\frac{ab}{15}\)


2. \( \displaystyle \frac{5\left( 3a+1 \right)+2\left( 2a-3 \right)}{20}=\frac{15a+5+4a-6}{20}=\frac{19a-1}{20}\)


3. \( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{4\left( 2{{x}^{2}}-5 \right)+6\left( 3x+2 \right)-3\left( 2{{x}^{2}}-2x-1 \right)}{12}=\\=\frac{\underline{8{{x}^{2}}}-\underline{\underline{20}}+\underline{\underline{\underline{18x}}}+\underline{\underline{12}}-\underline{6{{x}^{2}}}+\underline{\underline{\underline{6x}}}+\underline{\underline{3}}}{12}=\frac{2{{x}^{2}}-5+24x}{12}\end{array}\)

Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

  • в первую очередь мы определяем общие множители;
  • затем выписываем все общие множители по одному разу;
  • и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Пример: \( \displaystyle \frac{1}{12}+\frac{1}{30}\).

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

\( \displaystyle 12=2\cdot 2\cdot 3\);

\( \displaystyle 30=2\cdot 3\cdot 5\).

\( \displaystyle 12=\underline{2}\cdot 2\cdot \underline{\underline{3}}\);

\( \displaystyle 30=\underline{2}\cdot \underline{\underline{3}}\cdot 5\).

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

\( \displaystyle \underline{\text{2}}\cdot \underline{\underline{\text{3}}}\cdot \text{2}\cdot \text{5}=60\) – это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

  • раскладываем знаменатели на множители;
  • определяем общие (одинаковые) множители;
  • выписываем все общие множители по одному разу;
  • домножаем их на все остальные множители, не общие.

Пример: \( \displaystyle \frac{1}{a{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}b}\).

Итак, по порядку (и полезная хитрость!):

1) раскладываем знаменатели на множители:

\( \displaystyle a{{b}^{2}}=a\cdot b\cdot b\) \( \displaystyle {{a}^{2}}b=a\cdot a\cdot b\)

2) определяем общие (одинаковые) множители:

\( \displaystyle a{{b}^{2}}=\underline{a}\cdot \underline{\underline{b}}\cdot b\) \( \displaystyle {{a}^{2}}b=\underline{a}\cdot a\cdot \underline{\underline{b}}\)

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

\( \displaystyle \underline{a}\cdot \underline{\underline{b}}\cdot a\cdot b={{a}^{2}}{{b}^{2}}\).

Значит, общий знаменатель здесь \( \displaystyle {{a}^{2}}{{b}^{2}}\). Первую дробь нужно домножить на \( \displaystyle a\), вторую – на \( \displaystyle b\):

\( \displaystyle \frac{1}{a{{b}^{2}}}\ \cdot \ a+\frac{1}{{{a}^{2}}b}\ \cdot \ b=\frac{a+b}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}\)

А вот и полезная хитрость:

Если в разных знаменателях есть один и тот же множитель в разной степени, то в общем знаменателе такой множитель будет в максимальной из этих степеней.

Например: \( \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}{{x}^{2}}{{b}^{3}}y}-\frac{1}{a{{x}^{3}}{{b}^{2}}{{y}^{4}}}\).

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

\( \displaystyle \mathbf{a}\) в степени \( \displaystyle 2\)

\( \displaystyle x\) в степени \( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle b\) в степени \( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle y\) в степени \( \displaystyle 4\).

Получим:

\( \displaystyle \frac{1\cdot x\cdot {{y}^{3}}}{{{a}^{2}}{{x}^{2}}{{b}^{3}}y}-\frac{1\cdot a\cdot b}{a{{x}^{3}}{{b}^{2}}{{y}^{4}}}=\frac{x{{y}^{3}}-ab}{{{a}^{2}}{{x}^{3}}{{b}^{3}}{{y}^{4}}}\).

Усложним задание:

\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}\).

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из \( \displaystyle x\) единицу, то ты очень и очень неправ!

Давай вспомним основное свойство дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, \( \displaystyle \frac{2}{5}\) , и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, \( \displaystyle 1\). Что поучилось?

\( \displaystyle \frac{2+1}{5+1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\ne \frac{2}{5}\).

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить \( \displaystyle x\), чтобы получить \( \displaystyle x+1\)?

Вот на \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) и домножай. А \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) домножай на \( \displaystyle x\):

\( \displaystyle \frac{1\cdot \left( x-1 \right)}{x}+\frac{1\cdot x}{x-1}=\frac{x-1+x}{x\left( x-1 \right)}=\frac{2x-1}{x\left( x-1 \right)}\).

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например, \( \displaystyle x\) – это элементарный множитель. \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) – тоже. А вот \( \displaystyle {{x}^{2}}\) – нет: он раскладывается на множители \( \displaystyle {{x}^{2}}=x\cdot x\).

Это как в физике: элементарная частица – это неделимая частица, то есть она не состоит ни из каких других частиц.

Например, молекула – это не элементарная частица, так как она состоит из нескольких атомов.

Атом – тоже не элементарная, так как состоит из протонов, нейтронов и электронов.

А вот эти протоны, нейтроны и электроны поделить нельзя. Значит, они – элементарные частицы.

Что скажешь насчет выражения \( \displaystyle {{x}^{2}}-1\)? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители: \( \displaystyle {{x}^{2}}-1=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\)

(О разложении на множители ты уже читал в теме «Разложение на множители»).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами – это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Решим несколько примеров

  1. \( \displaystyle \frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{2}}-1}\).
  2. \( \displaystyle \frac{1}{{{x}^{2}}-4}+\frac{1}{{{x}^{2}}+4x+4}\)
  3. \( \displaystyle \frac{1}{xy-2{{x}^{2}}}-\frac{x}{4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\).
  4. \( \displaystyle \frac{2x}{x-5}-\frac{1-2{{x}^{2}}}{25-{{x}^{2}}}\)
  5. \( \displaystyle \frac{4b}{a-b}+\frac{4ab-{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)
  6. \( \displaystyle \frac{x}{8-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}\)
  7. \( \displaystyle \frac{1}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}-\frac{1}{\left( b-c \right)\left( a-c \right)}-\frac{1}{\left( c-a \right)\left( b-a \right)}\) 
  8.  \( \displaystyle \frac{2x}{{{x}^{2}}-4}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{{{x}^{3}}-8}\)
  9. \( \displaystyle 2-\frac{1}{{{b}^{2}}-1}-\frac{b}{b+1}\)

Пример №1:

\( \displaystyle \frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}\).

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель \( \displaystyle \left( x-1 \right)\). Он пойдет в общий знаменатель в степени \( \displaystyle 2\) (помнишь, почему?).

Множитель \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) – элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1\cdot \left( x+1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1\cdot \left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{\left( x+1 \right)-\left( x-1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)}=\frac{x+1-x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)}=\\=\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)}\end{array}\)

Пример №2

\( \displaystyle \frac{1}{{{x}^{2}}-4}+\frac{1}{{{x}^{2}}+4x+4}\)

Прежже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют формулы сокращенного умножения:

\( \displaystyle {{x}^{2}}-4=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\);

\( \displaystyle {{x}^{2}}+4x+4={{\left( x+2 \right)}^{2}}\).

Отлично! Тогда:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{{x}^{2}}-4}+\frac{1}{{{x}^{2}}+4x+4}=\frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}+\frac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\frac{\left( x+2 \right)+\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\\=\frac{2x}{\left( x-2 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}}\end{array}\)

Пример №3

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки \( \displaystyle x\); во втором – разность квадратов:

\( \displaystyle \frac{1}{xy-2{{x}^{2}}}-\frac{x}{4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{1}{x\left( y-2x \right)}-\frac{x}{\left( 2x-y \right)\left( 2x+y \right)}\).

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то \( \displaystyle \left( y-2x \right)\) и \( \displaystyle \left( 2x-y \right)\) так похожи… И правда:

\( \displaystyle \left( y-2x \right)=-\left( 2x-y \right)\).

Так и напишем:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{xy-2{{x}^{2}}}-\frac{x}{4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{1}{x\left( y-2x \right)}-\frac{x}{\left( 2x-y \right)\left( 2x+y \right)}=\\=\frac{1}{x\left( y-2x \right)}-\frac{x}{-\left( y-2x \right)\left( 2x+y \right)}=\frac{1}{x\left( y-2x \right)}+\frac{x}{\left( y-2x \right)\left( 2x+y \right)}\end{array}\)

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

\( \displaystyle \frac{1}{x\left( y-2x \right)}+\frac{x}{\left( y-2x \right)\left( 2x+y \right)}=\frac{2x+y+{{x}^{2}}}{x\left( y-2x \right)\left( 2x+y \right)}=\frac{{{x}^{2}}+2x+y}{x\left( {{y}^{2}}-4{{x}^{2}} \right)}\).

Усвоил? Решай дальше!

Примеры 4-9

4) \( \displaystyle \frac{2x}{x-5}-\frac{1-2{{x}^{2}}}{25-{{x}^{2}}}=\frac{2x}{x-5}-\frac{1-2{{x}^{2}}}{\left( 5-x \right)\left( 5+x \right)}=\frac{2x\cdot \left( x+5 \right)}{\left( x-5 \right)}+\)

\( \displaystyle +\frac{1-2{{x}^{2}}}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}=\frac{2x\left( x+5 \right)+1-2{{x}^{2}}}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}=\frac{2{{x}^{2}}+10x+1-2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-25}=\) \( \displaystyle=\frac{10x+1}{{{x}^{2}}-25}\)

5) \( \displaystyle \frac{4b}{a-b}+\frac{4ab+{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{4b}{a-b}+\frac{4ab+{{a}^{2}}}{\left( b-a \right)\left( b+a \right)}=\frac{4b\cdot \left( a+b \right)}{\left( a-b \right)}-\)

\( \displaystyle -\frac{4ab+{{a}^{2}}}{\left( a-b \right)\left( b+a \right)}=\frac{4b\left( a+b \right)-\left( 4ab+{{a}^{2}} \right)}{\left( a-b \right)\left( b+a \right)}=\frac{4ba+4{{b}^{2}}-4ab-{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\) \( \displaystyle=\frac{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\)

6) \( \displaystyle \frac{x}{8-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}=\)…

Тут надо вспомнить еще одну формулу сокращенного умножения – разность кубов:

\( \displaystyle \frac{x}{8-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}=\frac{x}{{{2}^{3}}-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}\)

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: \( \displaystyle {{\left( x+2 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+4x+4\).

А \( \displaystyle {{x}^{2}}+2x+4={{x}^{2}}+2\cdot x+{{2}^{2}}\) – это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем – это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение.

Неполный квадрат суммы – это один из множителей в разложении разности кубов:

\( \displaystyle \frac{x}{8-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}=\frac{x}{{{2}^{3}}-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}=\frac{x}{\left( 2-x \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}+\) \( \displaystyle +\frac{1\cdot \left( 2-x \right)}{{{x}^{2}}+2x+4}=\frac{x+2-x}{\left( 2-x \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{2}{8-{{x}^{3}}}\)

7) \( \displaystyle \frac{1}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}-\frac{1}{\left( b-c \right)\left( a-c \right)}-\frac{1}{\left( c-a \right)\left( b-a \right)}=\)…

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

\( \displaystyle \frac{1}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}-\frac{1}{\left( b-c \right)\left( a-c \right)}-\frac{1}{\left( a-c \right)\left( a-b \right)}\).


Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписываем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

\( \displaystyle \frac{1\cdot \left( a-c \right)}{\underline{\underline{\underline{\left( a-b \right)}}}\underline{\left( b-c \right)}}-\frac{1\cdot \left( a-b \right)}{\underline{\left( b-c \right)}\underline{\underline{\left( a-c \right)}}}-\frac{1\cdot \left( b-c \right)}{\underline{\underline{\left( a-c \right)}}\underline{\underline{\underline{\left( a-b \right)}}}}=\) \( \displaystyle=\frac{\left( a-c \right)-\left( a-b \right)-\left( b-c \right)}{\underline{\underline{\underline{\left( a-b \right)}}}\underline{\left( b-c \right)}\cdot \underline{\underline{\left( a-c \right)}}}=\frac{a-c-a+b-b+c}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( a-c \right)}=0.\)

8) \( \displaystyle \frac{{2x}}{{{x^2} – 4}} – \frac{1}{{x + 2}} – \frac{{{x^2}}}{{{x^3} – 8}} = \frac{{2{x^{{ }^{\left| \cdot {\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)} \right. }}}}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} – \frac{{{1^{{ }^{\left| \cdot {\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)} \right. }}}}}{{\left( {x + 2} \right)}} – \frac{{x^{{2}^{\left| \cdot {\left( {x + 2} \right)} \right. }}}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} = \)

\( \displaystyle=\frac{2x\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)-\left( {{x}^{3}}-8 \right)-{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\) \( \displaystyle=\frac{2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+8x-{{x}^{3}}+8-{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{2{{x}^{2}}+8x+8}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\) \( \displaystyle=\frac{2\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{2{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\) \( \displaystyle=\frac{2\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}\)

9) \( \displaystyle 2-\frac{1}{{{b}^{2}}-1}-\frac{b}{b+1}\).

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь – это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл).

И нет ничего проще, чем разделить число на \( \displaystyle 1\). При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

\( \displaystyle 2-\frac{1}{{{b}^{2}}-1}-\frac{b}{b+1}=\frac{2}{1}-\frac{1}{{{b}^{2}}-1}-\frac{b}{b+1}\).

То, что нужно!

\( \displaystyle \frac{2}{1}-\frac{1}{{{b}^{2}}-1}-\frac{b}{b+1}=\frac{2\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}{1}-\frac{1}{\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}-\) \( \displaystyle -\frac{b\left( b-1 \right)}{b+1}=\frac{2\left( {{b}^{2}}-1 \right)-1-b\left( b-1 \right)}{\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}=\) \( \displaystyle=\frac{2{{b}^{2}}-2-1-{{b}^{2}}+b}{\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}=\frac{{{b}^{2}}+b-3}{\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}=\frac{{{b}^{2}}+b-3}{{{b}^{2}}-1}\)

Умножение и деление дробей

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

\( \displaystyle {{\left( \frac{{{\left( 2+{{3}^{2}}-16 \right)}^{2}}\left( 1-\frac{8}{5} \right)}{3} \right)}^{3}}\)

Посчитал?

Должно получиться \( \displaystyle -125\).

Итак, напоминаю.

Первым делом вычисляется степень.

Вторым – умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой:

\( \begin{array}{l}{{\left( \frac{{{\left( 2+{{3}^{2}}-16 \right)}^{2}}\left( 1-\frac{8}{5} \right)}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{{{\left( 2+9-16 \right)}^{2}}\left( 1-\frac{8}{5} \right)}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{{{\left( -5 \right)}^{2}}\left( 1-\frac{8}{5} \right)}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{25\cdot \left( 1-\frac{8}{5} \right)}{3} \right)}^{3}}=\\{{\left( \frac{25\cdot \frac{-3}{5}}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{\frac{{{25}^{5}}\cdot \left( -3 \right)}{5}}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{5\cdot \left( -3 \right)}{3} \right)}^{3}}={{\left( 5\cdot \left( -1 \right) \right)}^{3}}={{\left( -5 \right)}^{3}}=-125\end{array}\)

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое!

Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных, сложение дробей, сокращение дробей и так далее.

Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять формулы сокращенного умножения или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель – представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение \( \displaystyle \left( \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \right)\cdot \frac{5xy}{x+y}\).

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель – представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

\( \displaystyle \frac{x\cdot x}{y}-\frac{y\cdot y}{x}=\frac{x\cdot x-y\cdot y}{yx}=\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{yx}=\frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)}{yx}\).

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь – элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

2) Получаем:

\( \displaystyle \left( \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \right)\cdot \frac{5xy}{x+y}=\frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)}{yx}\cdot \frac{5xy}{\left( x+y \right)}\).

Умножение дробей: что может быть проще.

\( \displaystyle \frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)}{yx}\cdot \frac{5xy}{\left( x+y \right)}=\frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)\cdot 5xy}{yx\left( x+y \right)}\).

3) Теперь можно и сократить:

\( \displaystyle \frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)\cdot 5xy}{yx\left( x+y \right)}=5\left( x-y \right)\).

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Упрости выражение \( \displaystyle \left( \frac{t+3}{3t-1}+\frac{t+3}{t+1} \right):\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}\).

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Решение:

Перво-наперво определим порядок действий.

Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.

Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.

Схематически пронумерую действия:

\( \displaystyle \overbrace{\overbrace{\left( \overbrace{\frac{t+3}{3t-1}+\frac{t+3}{t+1}}^{1} \right):\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}}^{2}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}}^{3}\).

Теперь покажу весть процесс:

\( \displaystyle \left( \frac{{\left( t+3 \right)}^{\left| \cdot \left( t+1 \right) \right.}}{3t-1}+\frac{{\left( t+3 \right)}^{\left| \cdot \left( 3t-1 \right) \right.}}{t+1} \right):\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=\) \( \displaystyle=\frac{\left( t+3 \right)\left( t+1 \right)+\left( t+3 \right)\left( 3t-1 \right)}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)}:\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=\) \( \displaystyle=\frac{{{t}^{2}}+3t+t+3+3{{t}^{2}}+9t-t-3}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)}:\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=\)

\( \displaystyle \frac{4{{t}^{2}}+12t}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)}:\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=\frac{4t\left( t+3 \right)}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)}:\frac{t\left( t+3 \right)}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=\).

\( \displaystyle=\frac{4t\left( t+3 \right)}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)}\cdot \frac{1-3t}{t\left( t+3 \right)}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=\frac{4t\left( t+3 \right)\cdot {{\left( 1-3t \right)}^{-1}}}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)\cdot t\left( t+3 \right)}+\) \( \displaystyle +\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=\frac{-4}{\left( t+1 \right)}+\frac{{{t}^{2}}+3}{\left( t+1 \right)}=\) \( \displaystyle \frac{-4+{{t}^{2}}+3}{t+1}=\frac{{{t}^{2}}-1}{t+1}=\frac{\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)}{t+1}=t-1\)

Напоследок дам тебе два полезных совета:

  • Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.
  • То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Разберем 4 примера

  1. \( \displaystyle \left( \frac{{{x}^{2}}}{x+y}-\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}} \right):\left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}-\frac{x}{x+y} \right)\)
  2. \( \displaystyle \left( \frac{10{{a}^{2}}}{3+2a}-5a \right):\frac{30{{a}^{2}}-15a}{8{{a}^{3}}+27}\)
  3. \( \displaystyle \left( \frac{3b}{{{b}^{2}}-4{{a}^{2}}}-\frac{2}{2a+b}+\frac{1}{2a-b} \right):\left( \frac{2{{b}^{2}}+8{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}+2 \right)\)

И обещанная в самом начале:

  1. \( \displaystyle \frac{\frac{m-n}{2m-n}-\frac{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+m}{2{{m}^{2}}+mn-{{n}^{2}}}}{\left( 4{{n}^{4}}+4m{{n}^{2}}+{{m}^{2}} \right):\left( 2{{n}^{2}}+m \right)}\cdot \left( {{n}^{2}}+n+mn+m \right):\frac{n+1}{2m-n}\).

Ответы:

  • \( \displaystyle \frac{x\left( x-y \right)}{x+y}\)
  • \( \displaystyle \frac{4{{a}^{2}}-6a+9}{1-2a}\)
  • \( \displaystyle -\frac{1}{8a}\)
  • \( \displaystyle -1\)

Решения (краткие):

1) \( \displaystyle \left( \frac{{{x}^{2}}}{x+y}-\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}} \right):\left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}-\frac{x}{x+y} \right)=\)

\( \displaystyle={{x}^{2}}\left( \frac{1}{x+y}-\frac{x}{{{\left( x+y \right)}^{2}}} \right):\left( x\left( \frac{x}{\left( x+y \right)\left( x-y \right)}-\frac{1}{x+y} \right) \right)=\) \( \displaystyle={{x}^{2}}\cdot \frac{x+y-x}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}:\left( x\cdot \frac{x-\left( x-y \right)}{\left( x+y \right)\left( x-y \right)} \right)=\) \( \displaystyle=x\cdot \frac{y}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left( x+y \right)\left( x-y \right)}{y}=\frac{x\left( x-y \right)}{\left( x+y \right)}\)

2) \( \displaystyle \left( \frac{10{{a}^{2}}}{3+2a}-5a \right):\frac{30{{a}^{2}}-15a}{8{{a}^{3}}+27}=\)

\( \displaystyle=5a\left( \frac{2a}{2a+3}-1 \right):\frac{15a\left( 2a-1 \right)}{\left( 2a+3 \right)\left( 4{{a}^{2}}-6a+9 \right)}=\) \( \displaystyle=5a\cdot \frac{2a-\left( 2a+3 \right)}{2a+3}\cdot \frac{\left( 2a+3 \right)\left( 4{{a}^{2}}-6a+9 \right)}{15a\left( 2a-1 \right)}=\) \( \displaystyle=\frac{-3\left( 4{{a}^{2}}+6a-9 \right)}{3\left( 2a-1 \right)}=\frac{4{{a}^{2}}+6a-9}{1-2a}\)

3) \( \displaystyle \left( \frac{3b}{{{b}^{2}}-4{{a}^{2}}}-\frac{2}{2a+b}+\frac{1}{2a-b} \right):\left( \frac{2{{b}^{2}}+8{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}+2 \right)=\)

\( \displaystyle=\frac{3b-2\left( b-2a \right)-\left( b+2a \right)}{\left( b-2a \right)\left( b+2a \right)}:\frac{2\left( {{b}^{2}}+4{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\)

\( \displaystyle=\frac{2a}{\left( b-2a \right)\left( b+2a \right)}\cdot \frac{-1\left( 2a-b \right)\left( b+2a \right)}{16{{a}^{2}}}=-\frac{1}{8a}\).


4) \( \displaystyle \frac{\frac{m-n}{2m-n}-\frac{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+m}{2{{m}^{2}}+mn-{{n}^{2}}}}{\left( 4{{n}^{4}}+4m{{n}^{2}}+{{m}^{2}} \right):\left( 2{{n}^{2}}+m \right)}\cdot \left( {{n}^{2}}+n+mn+m \right):\frac{n+1}{2m-n}=\)

\( \displaystyle=\frac{\frac{m-n}{2m-n}-\frac{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+m}{\left( m+n \right)\left( 2m-n \right)}}{\frac{{{\left( 2{{n}^{2}}+m \right)}^{2}}}{2{{n}^{2}}+m}}\cdot \left( n\left( n+1 \right)+m\left( n+1 \right) \right)\cdot \frac{2m-n}{n+1}=\) \( \displaystyle=\frac{\frac{\left( m-n \right)\left( m+n \right)-\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}}+m \right)}{\left( 2m-n \right)\left( m+n \right)}}{2{{n}^{2}}+m}\cdot \left( n+1 \right)\left( n+m \right)\cdot \frac{2m-n}{n+1}=\) \( \displaystyle=\frac{{{m}^{2}}-{{n}^{2}}-{{m}^{2}}-{{n}^{2}}-m}{\left( 2{{n}^{2}}+m \right)\left( 2m-n \right)\left( m+n \right)}\cdot \frac{\left( n+1 \right)\left( n+m \right)\cdot \left( 2m-n \right)}{\left( n+1 \right)}=\) \( \displaystyle=\frac{-2{{n}^{2}}-m}{2{{n}^{2}}+m}=-1\)

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Вебинар: Выделение полного квадрата

Выделение полного квадрата – самый главный навык, относящийся к формулам сокращенного умножения.

Этот навык поможет вам решать квадратные уравнения, раскладывать выражение на множители, разобраться с с уравнением окружности в задаче с параметром (18-я задача), которая дает целых 4 первичных балла.

В общем, метод выделения полного квадрата – бесценный навык.

Берите тетрадку, ручку и смотрите видео. Алексей разберет 8 примеров! Слушайте условие, ставьте на паузу, решайте и потом сравнивайте с тем, как решил Алексей.

Кстати, само видео – это отрывок из вебинара, целиком посвященного формулам сокращенного умножения (решено 119 задач). Его можно посмотреть чуть ниже.

Вебинар: Формулы сокращенного умножения. Разбор 119 задач

Зачем нужны формулы сокращенного умножения и где они применяются.

Эти формулы нужны для задачи №9 – на преобразование выражений. Также они нужны для решения уравнений и неравенств, очень часто пригождаются в задачах №13 и 15.

А в 18 задаче без них вообще нечего делать.

Цель этого видео в том, чтобы вы тему “Формулы сокращенного умножения” закрыли полностью, чтобы научились решать любую задачу на ЕГЭ. Для этого вы вместе с репетитором Алексеем Шевчуком решите 119 задач.

Какие формулы сокращенного умножения вы научитесь применять, посмотрев это видео? Да все… :)

  1. Разность квадратов
    • как быстро раскрыть скобки в выражениях типа (a-b)(a+b)
    • как раскладывать разность квадратов на множители (то есть на произведение двух скобок)
    • как вычислять страшные числа, такие как (137^2 – 113^2).
  2. Квадрат суммы и квадрат разности – это очень похожие друг на друга формулы
    • как быстро возводить скобки в квадрат – например, (2x+3)^2
    • как распознавать, что выражение является квадратом суммы или разности.
    • Например, (4x^2– 12x + 9) – это то же самое, что (2x+3)^2. 3)
  3. Выделение полного квадрата (есть отдельное видео по этому умению – см выше)
    • это невероятно полезный и мощный метод – его можно применять от квадратных уравнений до задач с параметром
    • например, из выражения 4x^2 – 12x + 8 можно выделить полный квадрат разности: 4x^2 – 12x+ 8 = (2x + 3)^2 – 1.
    • как понять, что идёт в скобки, а что остаётся за ними.
  4. Сумма кубов, разность кубов, куб суммы и куб разности иногда встречаются в сложных уравнениях

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Твой час настал!

Упрощай и властвуй! 

Преобразование алгебраических выражений может очень помочь в решении многих задач. А порой это и будет основой решения ВСЕЙ задачи. Это касается, например, разложения на множители в уравнениях.

Сегодня ты научился очень важным навыкам. И я очень горжусь тобой.

А теперь мы хотим услышать тебя. Напиши ниже в комментариях свое мнение об этой статье.

Помогла ли она тебе? Все ли было достаточно подробно?

И еще. Ты можешь задать любой вопрос! И мы ответим тебе!

Успехов!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *