Расстояние от точки до прямой

Это совсем короткая тема. И совсем не сложная.

Но она очень полезная в решении задач по стереометрии!

Более того, БОЛЬШИНСТВО задач стереометрии просят тебя найти какое-то расстояние в пространстве. Между диагональю и точкой, например…

Читай эту статью и сможешь без труда найти расстояние от точки до прямой!

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

Чтобы найти расстояние от точки до прямой в пространстве, нужно из этой точки опустить перпендикуляр на прямую и найти длину этого перпендикуляра.

Вот так:

В задачах, как правило, отрезок \(\displaystyle AH\) – это высота какой-либо фигуры (чаще всего – треугольника).

Давай убедимся в этом на примерах.

Задача:

Дан куб \( \displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) с ребром, равным \( \displaystyle 2\).

Найти расстояние от точки \( \displaystyle {{A}_{1}}\) до прямой \( \displaystyle D{{C}_{1}}\).

Решаем:

Первым делом организуем треугольник. Как?

Да очень просто – соединим точку \( \displaystyle {{A}_{1}}\) с точками \( \displaystyle D\) и \( \displaystyle {{C}_{1}}\).

Так можно делать в любой задаче, потому что любые три точки лежат в одной плоскости.

Итак, получился треугольник \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D.\)

Теперь найдем требуемое расстояние от точки до прямой:

Чтобы найти расстояние от точки \( \displaystyle {{A}_{1}}\) до прямой \( \displaystyle D{{C}_{1}}\), теперь достаточно найти высоту \( \displaystyle {{A}_{1}}H\) в \( \displaystyle \Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D.\)

Что же это за треугольник? Смотри внимательно:

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}\) – диагональ квадрата со стороной \( \displaystyle 2\), значит \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}^{2}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\), то есть \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Но \( \displaystyle {{A}_{1}}D\) – тоже диагональ квадрата со стороной \( \displaystyle 2\), значит \( \displaystyle {{A}_{1}}{{D}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\); \( \displaystyle {{A}_{1}}D=2\sqrt{2}\).

А \( \displaystyle D{{C}_{1}}\)? Конечно же , и это диагональ квадрата со стороной \( \displaystyle 2\), поэтому \( \displaystyle D{{C}_{1}}^{2}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\); \( \displaystyle D{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Что вышло? Равносторонний треугольник получился!

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{A}_{1}}D=D{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Значит, \( \displaystyle AH\) — не только высота, но и медиана, \( \displaystyle H{{C}_{1}}=\frac{D{{C}_{1}}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\).

Осталось применить теорему Пифагора:

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{H}^{2}}={{A}_{1}}{{C}_{1}}^{2}-H{{C}_{1}}^{2}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=6\).

Следовательно, расстояние от точки до прямой равно:

\( \displaystyle {{A}_{1}}H=\sqrt{6}\).

Задача решена. И теперь глянь как можно подготовиться к ЕГЭ…

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Что скажешь?

Короткая тема, не правда ли? Но важная.

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.» (с) Козьма Прутков

Определяйте понятия и вам будет легче жить.

Вот мы и определили как померять расстояние от точки до прямой.

Кстати, заметил, что мы опять строим треугольник? Везде прямоугольные треугольники… К чему бы это?

Пиши нам в комментариях как тебе эта простая тема.

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *