Тела и поверхности вращения. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое тела и поверхности вращения?

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.

Вот самый простой пример: цилиндр.

Берем прямоугольник и начинаем вращать его вокруг одной из сторон.

Смотри

Было Вращаем Стало

Вращение цилиндра

А теперь гораздо хитрее. Бывает так, что ось вращения находится далеко от фигуры, которая вращается.

Например, так

Ось вращения

Вращаем

Вращение

Что получится? Бублик. А по научному ТОР.

фигура ТОР

Ну и так вот можно любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.

Ну, а поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.

Здесь мы рассмотрим подробно несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

Шар

Шар – тело вращения, полученное вращением полуокружности вокруг диаметра.

Было Вращаем Стало

Шар

Вообще-то есть и другое определение шара – через ГМТ (геометрическое место точек)

Шар – геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.

Скажу тебе по секрету, что хоть второе определение и пугающее на вид, оно удобнее в обращении. Задумайся, ведь если тебя попросят сказать, что такое шар, ты скажешь что-то вроде

«ну …там есть центр и радиус…, подразумевая, что все точки внутри шара находятся я на расстоянии не большем, чем радиус.

Ну, в общем, шар он и есть шар.

Названия, которые ты должен знать:

Шар. Центр и радиусШар. Диаметр и диаметральное сечение

Незнакомое тебе, наверное, только одно.

Диаметральное сечение шара – сечение, проходящее через центр. Это сечение иногда еще называют большим кругом.

А вообще:

  • Любое сечение шара – круг.
  • Граница шара называется сфера. (Так же, как граница круга – окружность.)

Площадь поверхности сферы

Площадь поверхности сферы

 

  - радиус

Откуда взялось? Умные математики придумали – это не так уж просто – придется просто запомнить.

Объём шара

Объём шара

 

  - радиус

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Если ты знаком с производной, то можешь заметить это

 

И это не случайно! Но почему это так вышло, мы тоже здесь обсуждать не будем – читай теорию для сильного уровня.

Цилиндр

Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

Вообще – то полное имя этого тела «прямой круговой цилиндр», но составители задач и мы вместе с ними по дружбе называем его просто цилиндром. Названия, относящиеся к цилиндру, такие:

Цилиндр

Основания у цилиндра – это круги

Еще у цилиндра есть так называемая развертка.

Развертка цилиндра Представь, что у нас от цилиндра осталась только боковая поверхность, и мы ее разрезали вдоль образующей и развернули.

Что получится? Представь себе, прямоугольник.

Прямоугольник

Развертка цилиндра – прямоугольник.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра

 

  - радиус

  - высота, она же образующая.

Откуда взялась эта формула? Это как раз легко! Именно потому, что цилиндр можно развернуть, и получится прямоугольник  .

Площадь прямоугольника

Площадь этого прямоугольника и есть площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь прямоугольника, как мы хорошо помним равна произведению сторон, поэтому

 

Площадь полной поверхности цилиндра

Прибавляем теперь площадь двух кругов – оснований и получаем

Площадь полной поверхности цилиндра  

Можно вынести (хотя и не обязательно)  :

 

Но эту формулу неудобно запоминать!

Гораздо проще запомнить, что полная поверхность – сумма боковой поверхности и еще двух кругов – оснований, а боковая поверхность – прямоугольник. И тогда   можно вообще не запоминать, ты всегда сам напишешь, что

 

Объём цилиндра

Объем цилиндра

 

  - радиус основания

  - высота

Это точно как у призмы и параллелепипеда

 , только у призмы и параллелепипеда   - это площадь многоугольника, а у цилиндра   - это площадь круга.

Конус

Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Было Вращаем Стало

Конус

И опять же, полное название этого тела: «прямой круговой конус», но во всех задачах у нас говорится просто «конус».

Названия, относящиеся к конусу:

Названия, относящиеся к конусу

Что тут нужно твердо помнить?

  • Основание корпуса – круг
  • Все образующие конуса – равны.

Ясно ли это? Вроде должно быть ясно, ведь образующая – это гипотенуза (одна и та же!) Треугольника, который вращаем, а радиус основания – катет.

У конуса тоже есть развертка.

развертка конуса

Снова представим, что основания нет, разрежем боковую поверхность вдоль образующей и развернём кулек. Что получится?

Представь себе сектор круга. Пусть длина образующей равна  .

Развертка конуса 2 Развертка конуса – сектор круга радиуса  

Площадь поверхности конуса:

Как найти площадь боковой поверхности корпуса? Вспомним о развертке, Ведь для цилиндра все было просто именно с помощью развертки.

Боковая поверхность

По формуле площади сектора  

Где   - угол при вершине в радианах.

И это уже формула. В некоторых задачах бывает дан именно угол при вершине в развертке конуса. Но если все же даны только образующая и радиус основания? Как быть?

Боковая поверхность 2

Нужно осознать, что же такое дуга в развертке? Это бывшая окружность основания! Поэтому длина этой дуги равна  .

С другой стороны, длина этой же дуги равна  , так как это дуга окружности радиуса  . Поэтому

 

Подставляем

 

Итак,

 , где

  - радиус окружности основания,

  - длина образующей

Ну, и осталось площадь полной поверхности конуса. Прибавим к боковой поверхности площадь круга основания, и получаем

Площадь полной поверхности конуса

 

Можно вынести  :

 

Но, как и для цилиндра, не надо запоминать вторую формулу, гораздо проще всегда пользоваться первой.

Объём конуса

Объем конуса

 

  - радиус основания

  - высота

Это так же, как у пирамиды

 , только

  - это не площадь многоугольника, а площадь круга.

А вот откуда взялась  ?, по-прежнему остается загадкой, потому что эта   получена в результате довольно хитрых рассуждений умных математиков. А тебе нужно очень твердо запомнить, что в формулах объёма «треугольных» фигур: конуса и пирамиды эта   и есть, а в формулах параллелепипеда, призмы и цилиндра ее нет!

ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.

Например:

Было Вращаем Стало

Поверхность вращения – это граница тела вращения.

В подробной теории, мы рассмотрим несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Мария
07 февраля 2018

Очень понятно, доступно

ответить

Александр (админ)
07 февраля 2018

Мария, мы рады! Заходи к нам и делись с друзьями!

ответить

Евгений
05 марта 2018

Сайт замечательный! Совокупность лёгкого и понятного для прочтения текста и самих рисунков отличная.

ответить

Александр (админ)
05 марта 2018

Спасибо, Евгений! Заходи... )

ответить

Левон
09 мая 2018

Потрясающе! Я в восторге. Всё так хорошо расписано и показано, даже предлагают как можно легче формулами воспользоваться. Продолжайте в том же духе!

ответить

Александр (админ)
09 мая 2018

Спасибо большое, Левон!

ответить

Дилдора
18 мая 2018

Да, отлично! Мне тоже понравился. А как можно скачать, чтобы воспользоваться.

ответить

Александр (админ)
18 мая 2018

Дилдора, привет! К сожалению пока скачать никак нельзя ((( Только если по кускам делать скриншоты и потом распечатать. Руки не доходят сделать.

ответить

Таня
18 июня 2018

Если ты знаком с производной, то можешь заметить это: в формуле пропущен знак производной. А вообще: Молодцы, ребята. Это доступно, лаконично, толково. Успехов Вам и нам.

ответить

Александр (админ)
20 июня 2018

Спасибо, Таня! А в какой формуле пропущен знак производной?

ответить

Таня
01 июля 2018

Vшара=Sповерхности

ответить

Таня
04 июля 2018

V ШТРИХ=Sповерхности

ответить

Дима
17 января 2019

Окай

ответить

Арнұр
18 марта 2019

Очень хорошо

ответить

Александр (админ)
18 марта 2019

Спасибо, Артур и Дима )

ответить

Максим
23 мая 2019

Прекрасный сайт. Дела. сейчас реферат по этой теме, обычно приходится сокращать, а здесь наоборот лить воду) Купил бы что-нибудь не для того, чтобы читать, а чтобы этот сайт жил, но, к сожалению, сам студент и деняк нема(

ответить

Александр (админ)
23 мая 2019

Ничего, Максим, студенты становятся профи и начинают зарабатывать. Все будет тип-топ! За добрые слова спасибо!

ответить

Геннадий
31 июля 2019

А если образующая колонны - дуга вытянутого эллипса, то какова боковая поверхность этой колонны?

ответить

Алексей Шевчук
01 августа 2019

Геннадий, здесь не обойтись без интеграла. Нужно знать зависимость радиуса колонны от высоты (например, можно вывести из уравнения эллипса).

ответить

Геннадий
09 августа 2019

Алексей! В одной из традиций такие образующие могли строить по контрольным точкам. Эллипс с полуосями 1040 и 65 (соотношение 16 к 1) модулей являет 36 точек с целочисленными координатами. Высота колонны - 256 модулей, верхний радиус - 14 модулей, а нижний - 16 модулей. Ось колонны паралельна вертикальной оси разметочного эллипса. Растояние между этими осями - 49 модулей. Основание колонны проецируем на малую ось данного эллипса.

ответить

Алексей Шевчук
13 августа 2019

Геннадий, ни эллипсы, ни интегрирование (на нужном для этой задачи уровне) в школьной программе не проходятся. Вкратце Ваша задача решается так: 1) Сначала необходимо составить уравнение эллипса. Например, в виде (x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2 = 1 (рекомендую взять x0=49 и y0=0). 2) Пользуясь этим уравнением, можно вывести зависимость радиуса колонны от высоты (при х0=49 и у0=0 нужно будет просто выразить x из уравнения). 3) Нужно вычислить, на каких высотах y1 и y2 радиусы равны 14 и 16 (таких пар будет несколько, зависит от того, выпуклая колонна или вогнутая) - в Вашем случае всё просто, это 256 и 0. 4) наконец, нужно взять определённый интеграл по dy с пределами y1 и y2 от функции 2*pi*x (длины окружности на каждой высоте). Чтобы упростить вычисления, рекомендую пользоваться программами типа wolfram alpha.

ответить

Геннадий
22 августа 2019

Здравствуйте, Алексей! Спасибо за ответ. Колонна, скажем так, выпуклая. Ее нижний радиус - наибольший, а верхний - наименьший. Локальных перепадов типа "+" - "-" - "+" нет. Мой вопрос (к сожалению) был не очень корректно сформулирован. Интересует не столь площадь боковой поверхности, сколько название этой поверхности (нечто вроде "шарового пояса"). Например "пояс эллиптического тора"?...

ответить

Алексей Шевчук
25 августа 2019

Пояс закрытого эллиптического тора вполне подойдёт. Правда, не уверен, что Вы найдёте готовые формулы вычисления для подобных фигур

ответить

Геннадий
28 августа 2019

Спасибо. Это был вопрос корректной формулировки. Интересно, что когда полуоси исходного эллипса 65 и 1040, то его "тело" разбивается на 36 простых (последовательных) дуг с целочисленными координатами.

ответить

KIZARU
24 октября 2019

Не лезьте в хип-хоп

ответить

Александр (админ)
24 октября 2019

Хорошо. Не будем.

ответить

Математика
09 декабря 2019

Что такое основания цилиндра

ответить

Александр (админ)
09 декабря 2019

На картинке посмотрите, Математика. Там все понятно.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть