Тела и поверхности вращения. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Тела и поверхности вращения.

Шар. Цилиндр. Конус. Площади поверхности и объемы этих фигур.

Подробная теория с наглядными иллюстрациями и основные формулы.

Читай эту статью, здесь все это есть.

Всего за 15 минут ты полностью во всём разберешься!

НЕ ПРОПУСТИ!

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, “капканы” – все там.

Регистрируйся здесь и приходи!

Тела и поверхности вращения. Определение

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.

Вот самый простой пример: цилиндр.

Берем прямоугольник и начинаем вращать его вокруг одной из сторон.

Смотри.

Было–вращаем–стало:

А теперь гораздо хитрее. Бывает так, что ось вращения находится далеко от фигуры, которая вращается.

Например, так:

Вращаем:

Что получится? Бублик. А по-научному – ТОР.

Ну и так вот можно любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.

Ну, а поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.

Здесь мы рассмотрим подробно несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

Шар

Шар – тело вращения, полученное вращением полуокружности вокруг диаметра.

Было–вращаем–стало:

Вообще-то есть и другое определение шара – через ГМТ (геометрическое место точек)

Шар – геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.

Скажу тебе по секрету, что, хоть второе определение и пугающее на вид, оно удобнее в обращении. Задумайся, ведь если тебя попросят сказать, что такое шар, ты скажешь что-то вроде:

“ну …там есть центр и радиус…”, подразумевая, что все точки внутри шара находятся я на расстоянии не большем, чем радиус.

Ну, в общем, шар он и есть шар.

Названия, которые ты должен знать:

Незнакомое тебе, наверное, только одно.

Диаметральное сечение шара – сечение, проходящее через центр. Это сечение иногда еще называют большим кругом.

А вообще:

  • Любое сечение шара – круг.
  • Граница шара называется сфера. (Так же, как граница круга – окружность.)

Площадь поверхности сферы

\( {{S}_{поверхности }}=4pi {{R}^{2}}\)\( R\) – радиус

Откуда взялось? Умные математики придумали – это не так уж просто – придется просто запомнить.

Объем шара

\( {{V}_{шара}}=frac{4}{3}pi {{R}^{3}}\)\( R\) – радиус

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Если ты знаком с производной, то можешь заметить это:

\( {{V’}_{шара}}={{S}_{поверхности}}\)

И это не случайно! Но почему это так вышло, мы тоже здесь обсуждать не будем. Можешь попробовать доказать это сам!

НРАВИТСЯ УЧЕБНИК?

Его автор, Алексей Шевчук, ведет наши курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.

Приходи, там еще круче!

От 2000 до 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.

Цилиндр

Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

Вообще-то, полное имя этого тела – «прямой круговой цилиндр», но составители задач и мы вместе с ними по дружбе называем его просто цилиндром. Названия, относящиеся к цилиндру, такие:

Основания у цилиндра – это круги

Еще у цилиндра есть так называемая развертка.

Представь, что у нас от цилиндра осталась только боковая поверхность, и мы ее разрезали вдоль образующей и развернули.

Что получится? Представь себе, прямоугольник.

Развертка цилиндра – прямоугольник.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности

\( {{S}_{бок.}}=2pi RH\)\( R\) – радиус\( H\) – высота, она же образующая.

Откуда взялась эта формула? Это как раз легко! Именно потому, что цилиндр можно развернуть, и получится прямоугольник \( 2pi Rcdot H\).

Площадь этого прямоугольника и есть площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь прямоугольника, как мы хорошо помним равна произведению сторон, поэтому

\( {{S}_{бок.}}=2pi RH\)

Площадь полной поверхности цилиндра

Прибавляем теперь площадь двух кругов – оснований и получаем

\( {{S}_{полн .}}=2pi RH+2pi {{R}^{2}}\)

Можно вынести (хотя и не обязательно) \( 2pi R\):

\( {{S}_{полн .}}=2pi Rleft( H+R right)\)Но эту формулу неудобно запоминать!

Гораздо проще запомнить, что полная поверхность – сумма боковой поверхности и еще двух кругов – оснований, а боковая поверхность – прямоугольник. И тогда \( {{S}_{полн .}}\) можно вообще не запоминать, ты всегда сам напишешь, что

\( {{S}_{полн .}}=underbrace{2pi RH}_{прямоугольник}+underbrace{2pi {{R}^{2}}}_{два круга}\)

Объём цилиндра

\( V=pi {{R}^{2}}H\)

\( R\) – радиус основания

\( H\) – высота

Это точно как у призмы и параллелепипеда!

\( V={{S}_{основания}}cdot H\), только у призмы и параллелепипеда \( {{S}_{основания}}\) – это площадь многоугольника, а у цилиндра \( {{S}_{основания}}\) – это площадь круга.

Конус

Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Было–вращаем–стало:

И опять же, полное название этого тела: «прямой круговой конус», но во всех задачах у нас говорится просто «конус».

Названия, относящиеся к конусу:

Что тут нужно твердо помнить?

  • Основание корпуса – круг
  • Все образующие конуса – равны.

Ясно ли это? Вроде должно быть ясно, ведь образующая – это гипотенуза (одна и та же!) Треугольника, который вращаем, а радиус основания – катет.

У конуса тоже есть развертка.

Снова представим, что основания нет, разрежем боковую поверхность вдоль образующей и развернём кулек. Что получится?

Представь себе сектор круга. Пусть длина образующей равна \( l\).

Развертка конуса – сектор круга радиуса \( l\)

Площадь поверхности конуса

Как найти площадь боковой поверхности корпуса? Вспомним о развертке, ведь для цилиндра все было просто именно с помощью развертки.

По формуле площади сектора \( {{S}_{бок.}}={{l}^{2}}cdot frac{alpha }{2}\)

 Где \( alpha \) – угол при вершине в радианах.

И это уже формула. В некоторых задачах бывает дан именно угол при вершине в развертке конуса. Но если все же даны только образующая и радиус основания? Как быть?

Нужно осознать, что же такое дуга в развертке? Это бывшая окружность основания! Поэтому длина этой дуги равна \( 2pi R\).

С другой стороны, длина этой же дуги равна \( alpha cdot l\), так как это дуга окружности радиуса \( l\). Поэтому

\( alpha cdot l=2pi R\)

Подставляем

\( {{S}_{бок.}}={{l}^{2}}cdot frac{alpha }{2}=frac{l}{2}cdot alpha cdot l=frac{l}{2}cdot 2pi R\)

Итак,

\( {{S}_{бок.}}=pi Rl\), где

\( R\) – радиус окружности основания,

\( l\) – длина образующей

Ну, и осталось площадь полной поверхности конуса. Прибавим к боковой поверхности площадь круга основания, и получаем

\( {{S}_{полн. }}=pi Rl+pi {{R}^{2}}\)

Можно вынести \( pi R\):

\( {{S}_{полн. }}=pi Rleft( l+R right)\)

Но, как и для цилиндра, не надо запоминать вторую формулу, гораздо проще всегда пользоваться первой.

Объём конуса

\( V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}H\)

\( R\) – радиус основания

\( H\) – высота

Это так же, как у пирамиды

\( V=frac{1}{3}{{S}_{осн.}}cdot H\), только

\( {{S}_{осн. }}\) – это не площадь многоугольника, а площадь круга.

А вот откуда взялась \( frac{1}{3}\)?, по-прежнему остается загадкой, потому что эта \( frac{1}{3}\) получена в результате довольно хитрых рассуждений умных математиков. А тебе нужно очень твердо запомнить, что в формулах объёма «треугольных» фигур: конуса и пирамиды эта \( frac{1}{3}\) и есть, а в формулах параллелепипеда, призмы и цилиндра ее нет!

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.

Например:

Было–вращаем–стало:

Поверхность вращения – это граница тела вращения.

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Один комментарий

  1. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Мария
    07 февраля 2018
    Очень понятно, доступно

    Александр (админ)
    07 февраля 2018
    Мария, мы рады! Заходи к нам и делись с друзьями!

    Евгений
    05 марта 2018
    Сайт замечательный! Совокупность лёгкого и понятного для прочтения текста и самих рисунков отличная.

    Александр (админ)
    05 марта 2018
    Спасибо, Евгений! Заходи… )

    Левон
    09 мая 2018
    Потрясающе! Я в восторге. Всё так хорошо расписано и показано, даже предлагают как можно легче формулами воспользоваться. Продолжайте в том же духе!

    Александр (админ)
    09 мая 2018
    Спасибо большое, Левон!

    Дилдора
    18 мая 2018
    Да, отлично! Мне тоже понравился. А как можно скачать, чтобы воспользоваться.

    Александр (админ)
    18 мая 2018
    Дилдора, привет! К сожалению пока скачать никак нельзя ((( Только если по кускам делать скриншоты и потом распечатать. Руки не доходят сделать.

    Таня
    18 июня 2018
    Молодцы, ребята. Это доступно, лаконично, толково. Успехов Вам и нам.

    Максим
    23 мая 2019
    Прекрасный сайт. Дела. сейчас реферат по этой теме, обычно приходится сокращать, а здесь наоборот лить воду) Купил бы что-нибудь не для того, чтобы читать, а чтобы этот сайт жил, но, к сожалению, сам студент и деняк нема(

    Александр (админ)
    23 мая 2019
    Ничего, Максим, студенты становятся профи и начинают зарабатывать. Все будет тип-топ! За добрые слова спасибо!

    Геннадий
    31 июля 2019
    А если образующая колонны – дуга вытянутого эллипса, то какова боковая поверхность этой колонны?

    Алексей Шевчук
    01 августа 2019
    Геннадий, здесь не обойтись без интеграла. Нужно знать зависимость радиуса колонны от высоты (например, можно вывести из уравнения эллипса).

    Геннадий
    09 августа 2019
    Алексей! В одной из традиций такие образующие могли строить по контрольным точкам. Эллипс с полуосями 1040 и 65 (соотношение 16 к 1) модулей являет 36 точек с целочисленными координатами. Высота колонны – 256 модулей, верхний радиус – 14 модулей, а нижний – 16 модулей. Ось колонны паралельна вертикальной оси разметочного эллипса. Растояние между этими осями – 49 модулей. Основание колонны проецируем на малую ось данного эллипса.

    Алексей Шевчук
    13 августа 2019
    Геннадий, ни эллипсы, ни интегрирование (на нужном для этой задачи уровне) в школьной программе не проходятся. Вкратце Ваша задача решается так: 1) Сначала необходимо составить уравнение эллипса. Например, в виде (x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2 = 1 (рекомендую взять x0=49 и y0=0). 2) Пользуясь этим уравнением, можно вывести зависимость радиуса колонны от высоты (при х0=49 и у0=0 нужно будет просто выразить x из уравнения). 3) Нужно вычислить, на каких высотах y1 и y2 радиусы равны 14 и 16 (таких пар будет несколько, зависит от того, выпуклая колонна или вогнутая) – в Вашем случае всё просто, это 256 и 0. 4) наконец, нужно взять определённый интеграл по dy с пределами y1 и y2 от функции 2*pi*x (длины окружности на каждой высоте). Чтобы упростить вычисления, рекомендую пользоваться программами типа wolfram alpha.

    Геннадий
    22 августа 2019
    Здравствуйте, Алексей! Спасибо за ответ. Колонна, скажем так, выпуклая. Ее нижний радиус – наибольший, а верхний – наименьший. Локальных перепадов типа “+” – “-” – “+” нет. Мой вопрос (к сожалению) был не очень корректно сформулирован. Интересует не столь площадь боковой поверхности, сколько название этой поверхности (нечто вроде “шарового пояса”). Например “пояс эллиптического тора”?…

    Алексей Шевчук
    25 августа 2019
    Пояс закрытого эллиптического тора вполне подойдёт. Правда, не уверен, что Вы найдёте готовые формулы вычисления для подобных фигур

    Геннадий
    28 августа 2019
    Спасибо. Это был вопрос корректной формулировки. Интересно, что когда полуоси исходного эллипса 65 и 1040, то его “тело” разбивается на 36 простых (последовательных) дуг с целочисленными координатами.

    KIZARU
    24 октября 2019
    Не лезьте в хип-хоп

    Александр (админ)
    24 октября 2019
    Хорошо. Не будем.