Тригонометрическая окружность. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Ну что же, в этой статье мы с тобой продолжим изучение тригонометрической окружности и обсудим следующие моменты:

  1. Что такое отрицательные углы?
  2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах?
  3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях?
  4. Что такое ось тангенсов и ось котангенсов?

Никаких дополнительных знаний, кроме как базовых навыков работы с единичной окружностью (предыдущая статья) нам не понадобится. Ну что же, давай приступим к первому вопросу: что такое отрицательные углы?

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Отрицательные углы в тригонометрии рис. 1

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности: Мы шли от положительного направления оси   против часовой стрелки:

Пример отрицательных углов

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный  . Аналогичным образом мы строили все углы. Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси   по часовой стрелке. Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

На следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку:

отрицательный угол и положительный

В целом правило можно сформулировать вот так:

  • Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
  • Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть. Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном. Посмотри на следующую картинку: Синус и косинус отрицательных углов

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях. Что мы с тобой видим? А вот что:

  • Синусы у углов   и   противоположны по знаку! Тогда если

     , то  
     

  • Косинусы у углов   и   совпадают! Тогда если

     ,то и  
     

  • Так как  , то:

     

  • Так как  , то:

 

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса. Кстати, вспомни-ка, как называется функция  , у которой для любого допустимого   выполняется: ? Такая функция называется нечетной. А если же для любого допустимого   выполняется:  ? То в таком случае функция называется четной. Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей. Можно ли это сделать? Конечно, можно! У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти), а второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей. Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется - формулы приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!) :

если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить  . Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

  1. Синус и косинус имеют период   (  градусов), то есть

     
     

    Тангенс (котангенс) имеют период   (  градусов)

     
     
      – любое целое число

  2. Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

     
     
     

Первое утверждение мы доказали с тобой в предыдущей статье, а справедливость второго установили совсем недавно. Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

  1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:

     ,
     .

  2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды:   (по   градусов), а для тангенса –   (  градусов). Например:

       

  3. Если оставшийся «уголок» меньше   градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».
  4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол  : это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
  5. Представляем угол   в одной из следующих форм:

      (если во второй четверти)
      (если во второй четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в четвертой четверти)
      (если в четвертой четверти)

    так, чтобы оставшийся угол   был больше нуля и меньше   градусов. Например:

     
     
     
     
     
    ...

    В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

  6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через   или   градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь   или   и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через   или   градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.
  7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

  1. Вычислить  
  2. Вычислить  
  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:  

Начнем по порядку:

  1. Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для  :

     

    В общем, делаем вывод, что в угол   помещается целиком 5 раз по  , а сколько осталось? Осталось  . Тогда

     

    Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком.   лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем   согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу:  

     

    Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с   градусами, тогда отбрасываем   и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

     

      градусов – угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:

     

    Тогда получим окончательный ответ:

     

    Ответ:  

  2.   все то же самое, но вместо градусов – радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

     

    Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

     

    Отбрасываем   - это два целых круга. Осталось вычислить  . Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе.   можно представить как  . Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа   (  или  ), тогда функция не меняется:

     

    Тогда  .
    Ответ:  .

  3.  . Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями. Я буду несколько более краток:   и   градусов – углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус – «плюс».   можно представить как:  , а   как  , тогда

     

    Оба случая – «половинки от целого  ». Тогда синус меняется на косинус, а косинус – на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

 

 

Ответ:  .

Теперь потренируйся самостоятельно на следующих примерах:

  1.  
  2.  
  3.  

А вот и решения:

  1.  
    Вначале избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:

     

    Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга ( ).
    Остается вычислить:  .
    Также поступаем и со вторым углом:

     

    Удаляем целое число кругов – 3 круга ( ) тогда:

     

    Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до   всего  . Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим  . Так как вычитаем мы из целого количества  , то знак косинуса не меняем:

     

    Подставляем все полученные данные в формулу:

     .

    Ответ:  .

  2.  
    Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что  .
    Осталось сосчитать косинус   градусов. Уберем целые круги:  . Тогда

     

    Тогда  .
    Ответ:  .

  3.   Действуем, как в предыдущем примере.

     

    Поскольку ты помнишь, что период у тангенса –   (или  ) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество  .

     

      градусов – угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»!   можно записать как  . Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

     

    Тогда  .
    Ответ:  .

Ну что же, осталось совсем немного!

Ось тангенсов и ось котангенсов

Последнее, на чем бы мне хотелось здесь остановиться – это на двух дополнительных осях. Как мы уже обсуждали, у нас есть две оси:

  1. Ось   – ось косинусов
  2. Ось   – ось синусов

На самом деле, координатные оси у нас закончились, не так ли? Но а как же быть с тангенсами и котангенсами? Неужели, для них нет никакой графической интерпретации? На самом деле, она есть, ее ты можешь увидеть на вот этой картинке: тангенс и котангенс отрицательных углов В частности, по этим картинкам можно сказать вот что:

  1. Тангенс и котангенс имеют одинаковые знаки по четвертям
  2. Они положительны в 1 и 3 четверти
  3. Они отрицательны во 2 и 4 четверти
  4. Тангенс не определен в углах  
  5. Котангенс не определен в углах  

Для чего еще нужны эти картинки? Узнаешь в следующей статье, где я расскажу, как с помощью тригонометрического круга можно упрощать решения тригонометрических уравнений!

Комментарии

Игорь
23 ноября 2017

Объясните, как sin(270+60) стал −cos60? Я окончательно запутался. Откуда знак и почему 60 понятно, но косинус.

ответить

Александр (админ)
23 ноября 2017

Игорь, думаю Алексей Сергеевич Шевчук тебе ответит вскоре. А может быть кто-нибудь из читателей...

ответить

Алексей Шевчук
28 ноября 2017

Игорь, если к углу добавляется 90 или 270 градусов, то синус меняется на косинус, а косинус на синус (и тангенс с котангенсом тоже меняются). Подробнее про формулы приведения по ссылке https://youclever.org/book/formuly-trigonometrii-1#privedenie

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть