Тригонометрическая окружность. Продвинутый уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

В этой статье я опишу, как единичная окружность (тригонометрическая окружность) может пригодиться при решении тригонометрических уравнений. Я могу выделить два случая, когда она может оказаться полезной:

  1. В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
  2. В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме:

«Тригонометрические уравнения» (все три уровня)

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили. Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Написать эту статью меня мотивировал следующий пример:

Решите уравнение:

 

Ну что же. Решить само уравнение несложно. Замена  .

 

Корни:

 

Обратная замена:

 , откуда

  или  

Или же:

 

Откуда

  или  

Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям! Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней:

 

 

 

 

В принципе, на этом можно было бы и остановиться. Но только не читателям данной статьи, претендующей на некую «усложненность»! Вначале рассмотрим первую серию корней. Итак, берется единичная окружность, теперь давай нанесем эти корни на окружность (отдельно для   и для  ):

Обрати внимание: какой угол получился между углами   и  ? Это угол  . Теперь проделаем то же самое и для серии:  .

Между корнями уравнения снова получился угол в  . А теперь совместим эти две картинки:

Что же мы видим? А то, все углы между нашими корнями равны  . А что это значит? Если мы стартуем от угла   и будем брать углы, равные   (для любого целого  ), то мы всегда попадем в одну из четырех точек на верхней окружности! Таким образом, 2 серии корней:

 

 

Можно объединить в одну:

 

Увы, для серий корней:

 

 

Данные рассуждения уже не будут справедливы. Сделай чертеж и пойми, почему это так. Однако, их можно объединить следующим образом:

 

Тогда исходное уравнение имеет корни:

  или  

Что является довольно кратким и лаконичным ответом. А о чем говорит краткость и лаконичность? Об уровне твоей математической грамоты. Это был первый пример, в котором использование тригонометрической окружности дало полезные плоды. Второй пример – уравнения, которые имеют «некрасивые корни». Например:

  1. Решите уравнение  .
  2. Найдите его корни, принадлежащие промежутку  .

Первая часть не представляет из себя ничего сложного. Поскольку ты уже знаком с темой «Тригонометрические уравнения», то я позволю себе быть кратким в моих выкладках.

 

 

 

 

тогда   или  

  или  

  или  

Так мы нашли корни нашего уравнения. Ничего сложного. Сложнее решить вторую часть задания, не зная, чему в точности равен арккосинус от минус одной четверти (это не табличное значение). Однако мы можем изобразить найденные серии корней на единичной окружности:

Что мы видим? Во-первых, рисунок дал нам понять, в каких пределах лежит арккосинус:

 

Эта визуальная интерпретация поможет нам найти корни, принадлежащие отрезку: .

Во-первых, в него попадает само число  , затем   (см. рис). Далее, так как:

 , то

 , откуда

 , тогда

  также принадлежит отрезку  .

Таким образом, единичная окружность помогает определить, в какие пределы попадают «некрасивые» углы.

У тебя должен был остаться по крайней мере еще один вопрос: а как нам быть с тангенсами и котангенсами? На самом деле, для них тоже есть свои оси, правда они имеют немного специфический вид:

В остальном же способ обращения с ними будет такой же, как с синусом и косинусом.

Напоследок рекомендую тебе самостоятельно решить вот этот пример, прибегая к помощи единичной окружности

Пример

Дано уравнение  .

  • Решите данное уравнение.
  • Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку  .

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

  

 ,  

Рисуем единичную окружность и отмечаем на ней наши решения:

Из рисунка можно понять, что:

 

Или даже более того: так как  , то

 :

Тогда найдем корни, принадлежащие отрезку  .

 ,   (так как  )

Предоставляю тебе самостоятельно убедиться, что других корней, принадлежащих промежутку  , наше уравнение не имеет.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть