Уравнения с модулем. Коротко о главном.

Уравнения с модулем делятся на три вида, каждый вид имеет свой подход к решению:

1. Уравнения вида  

 

2. Уравнения вида  .

 

3. Уравнения вида  .

 

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа»?

Решение уравнений с модулем может быть самостоятельной задачей, но часто такие уравнения могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, квадратных.

Вот пример подобной ситуации:

 

Видно, что в правой части – квадрат числа  :

 

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение. Но нет! В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило:  ?

Вот и появляется на сцене наш модуль:

 

Чтобы не теряться в таких случаях, давай разберемся, что из себя представляет решение уравнений с модулем , а именно – уравнений вида  .

Решение уравнений с модулем вида  

Уравнения такого вида решаем, основываясь на свойствах модуля, которые мы разобрали в теме «Модуль» .
Давай разбираться на примерах. Необходимо решить уравнение вида:

 

Что такое  ? Это просто  , если   больше либо равно нулю, или  , если   меньше нуля. То есть можно формализовано записать так:

 

А если вот такое уравнение:

 

Рассуждения аналогичные:

 

Эти рассуждения можно было и обойти, вспомнив основное свойство модуля: модуль всегда положителен либо равен нулю.

Если обобщить разобранные выше примеры, то можно написать общее правило для решения уравнений вида  :

 

Попробуем применить это правило для такого уравнения:

 

Выражение под знаком модуля изменилось, но на логике рассуждений это не отражается, поэтому давай решать уравнение, применяя наше правило:

В нашем примере под " " подразумевается " ", а значение  . Зная это, получаем:

 

А если уравнение имеет вид:
 

Что-то меняется в рассуждениях? Конечно, нет! Ну, тогда давай решать его!

 

Уловил? Закрепим на примерах:

  1.  
  2.  
  3.  

Решения:

  1.  
  2.  
  3.  

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа»?

Уравнения с модулем могут быть самостоятельной задачей, но часто могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, иррациональных или даже квадратных.

Кстати, ты знаешь, что у нас можной пройти пробный ЕГЭ в онлайне... прямо сейчас и получить результа немедленно. Если тебе это не нужно, читай дальше :)

Вот пример подобной ситуации:

 .

Мы могли бы раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные и решить обычное квадратное уравнение (например, через дискриминант). Но здесь удобнее поступить по-другому. Заметим, что в правой части уравнения – формула сокращённого умножения квадрат суммы:

 

Тогда уравнение станет таким:

 

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение. Но нет! В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило:  ?

Вот и появляется на сцене наш модуль:

 .

Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем.

Уравнения с модулем.

Уравнения с модулем делятся на три типа.

1. Уравнения вида  

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя одно только определение модуля. Например:

Решите уравнение

 

Что такое  ? Это просто  , если  , или  , если  . То есть:

 

Ответ:  

Другой пример:

Решите уравнение  .

Аналогично:

 

И правда, вспомним свойство №1:  , то есть модуль всегда неотрицателен.

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

 

Ещё примеры (как обычно, пробуй решить их сам, потом смотри решения):

  1.  
  2.  
  3.  

Решения:​

 

  1.  
  2.  
  3.  

 

 

2. Уравнения вида  .

Если начнём раскрывать модули по определению, натолкнёмся на множество проверок: какое число больше нуля, какое меньше; в итоге получим большую совокупность, которая затем упростится. Но можно сделать так, чтобы сразу было всё кратко.

Для этого вспомним свойство модуля №7:  . С помощью этого свойства можем избавляться от модулей:

 

 

Пример:

Решите уравнение  .

Решение:

 

Реши самостоятельно:

  1.  
  2.  

Ответы:

 

1.  

2.  

 

 

3. Уравнения вида  .

Отличие от первого типа уравнений в том, что в правой части тоже переменная. А она может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому в её неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1):

 

Пример:

Решите уравнение:  .

Решение:

 

Если пропустить проверку на неотрицательность правой части, можно ошибочно написать в ответе сторонние корни, и таким образом потерять баллы. Давайте проверим: действительно ли надо выбросить корень  ? Подставим его в исходное уравнение  :

  – неверно.

Теперь задачи для самостоятельного решения:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

 

1.  

 

2.  

 

3.  

Решим квадратные уравнения   и  . Дискриминант у них одинаковый:

 .

 

 

Итак, исходное уравнение равносильно системе

 

Ответ:  

 

 

Метод интервалов в задачах с модулем.

Пример:

Решите уравнение:  

Решение:

Рассмотрим первый модуль  . По определению он раскрывается «с плюсом» (то есть выражение под модулем не меняется), если  , и «с минусом» (то есть все знаки меняются на противоположные), если  :

 

Аналогично и со вторым:

 

Проблема только в том, что теперь нам нужно рассмотреть очень много вариантов: по   варианта для каждого модуля, итого четыре разных, но похожих друг на друга, уравнения. Если модулей будет не два, а три, получится уже   уравнений! Можно ли как-то сократить количество вариантов? Да, можно – ведь не все условия могут выполняться одновременно:   и   противоречат друг другу. Поэтому нет смысла раскрывать второй модуль «с плюсом», если первый раскрыт «с минусом». Значит, здесь у нас на одно уравнение меньше.

Теперь систематизируем то, что мы только что выяснили, и разработаем последовательность действий в таких примерах.

Примеры:

1. Определим корни подмодульных выражений – такие  , при которых выражения равны нулю:

 

2. Отметим корни выражений под модулями на числовой оси:

решение уравнения с модулем на оси

3. Подпишем у каждого из получившихся интервалов, какой знак принимает каждое из наших подмодульных выражений.

расстановка знаков в уравнении с модулем

4. Для каждого интервала запишем и решим уравнение. Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу!

I.  . Здесь оба модуля раскрываем «с минусом»:

  – этот корень сторонний.

II.  . Здесь первый модуль раскрываем «с плюсом», а второй - «с минусом»:

  – этот корень попадает в «свой» интервал, значит, он подходит.

III.  . Здесь оба модуля раскрываем «с плюсом»:

  – этот корень тоже является решением.

Проверим полученные корни:

I.   (корень и правда сторонний).

II.  .

III.  .

Ответ:  

Примеры:

  1.  
  2.  

Решения:

Модуль в модуле

В некоторых уравнениях встречается «вложенный» модуль, то есть модуль какого-то выражения является частью подмодульного выражения, например:

 

Что делать в таком случае? Все банально: раскрывать модули. Но раскрывать их нужно по очереди. Какой будем раскрывать первым? А это зависит от того, каким методом ты хочешь решить это уравнение. Рассмотрим два возможных варианта:

 

I. Данное уравнение является уравнением вида  

В этом случае первый способ решения будет стандартным для такого типа:

 

  – подмодульное выражение – в нашем примере это   , то есть:

 

Получили два элементарных уравнения такого же типа, то есть:

 

Эти четыре числа и будут ответом, можешь проверить их подстановкой в исходное уравнение.

II. Есть ещё один, более универсальный способ, который подойдёт для любых задач, не попадающих ни в какой из стандартных типов. Что это за метод? Метод интервалов.

В этом случае нужно раскрывать модули начиная с самых «глубоких», то есть «внутренних». В нашем случае внутренним будет модуль, выделенный красным цветом:

 

Чтобы раскрыть его, надо рассмотреть 2 случая: и , то есть уравнение распадается на два уравнения:

 

   

 

 

 

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть