8 июля

1 comments

Уравнения с модулем (ЕГЭ – 2021)

В этой статье мы повторим, что такое модуль и зачем он вообще нужен. Не для того, чтобы терроризовать им несчастных школьников, верно?

Поговорим о том, откуда берутся уравнения с модулем.

Разберем все «капканы», возникающие при решении уравнений с модулями и узнаем множество лайфхаков.

И научимся решать любые уравнения с модулем, чтобы сдать ЕГЭ на 100 баллов и поступить в ВУЗ мечты!

Поехали!

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа»? Давай кое-что быстро повторим, перед тем как перейти к уравнениям с модулем.

Ненаучное объяснение того, зачем нужен модуль числа

Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности:

А между тем она проста, как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен. Вот смотри...

Ситуация первая

В жизни часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического значения.

Например, мы не можем проехать на машине "минус 70 километров" (мы проедем 70 километров НАЗАД), как и не можем купить "минус 5 кг апельсинов", а еще мы не можем иметь "минус сто рублей", мы можем иметь ДОЛГ в виде ста рублей.

Эти значения всегда должны быть положительными.

Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.

Ситуация вторая

Ты покупаешь пакет чипсов "Lay's". На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.

И что, можно идти судиться с компанией Lay's, если они тебе недовесили?

Нет. Потому что Lays устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот этот "плюс-минус" и есть модуль.

Ситуация третья

В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. 

В зарплате, например: "Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!" 20 тысяч – это и есть модуль.

А вообще для простоты запомни, что...

Модуль есть расстояние от нуля в любую сторону. 

Повторили, а теперь давай поговорим об уравнениях с модулем.

Уравнения с модулем

Решение уравнений с модулем может быть самостоятельной задачей, но часто такие уравнения могут возникнуть при решении уравнений другого типа.

Например, квадратных уравнений. Или иррациональных.

Вот пример подобной ситуации:

\( {{x}^{2}}=16 \)

Видно, что в правой части – квадрат числа 4:

\( {{x}^{2}}={{4}^{2}} \)

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа и получим линейное уравнение.

Но нет!

В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило:

\( \sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|?\)

Вот и появляется на сцене наш модуль:

\( {{x}^{2}}={{4}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left| x \right|=4 \)

Чтобы не теряться в таких случаях, давай разберемся, что из себя представляет решение уравнений с модулем.

Уравнения такого вида решаем, основываясь на свойствах модуля, которые мы разобрали в теме «Модуль числа».

Давай разбираться на примерах. Необходимо решить уравнение вида:

\( \left| x \right|=7\)

Что такое \( \left| x \right|\)?

Это просто \( x\), если \( x\) больше либо равно нулю, или \( -x\), если \( x\) меньше нуля.

То есть можно формализовано записать так:

\( \displaystyle \left| x \right|=7\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7,{{\ }_{при}}\ x\ge 0\\-x=7,{{\ }_{при}}\ x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7\\x=-7\end{array} \right.\)

А если вот такое уравнение?

\( \left| x \right|=-7\)

Рассуждения аналогичные:

\( \displaystyle \left| x \right|=-7\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-7,{{\ }_{\ \text{при}}}\ x\ge 0\\-x=-7,{{\ }_{\ \text{при}}}\ x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x=-7\\x\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow {{\ }_{решения}}{{\ }_{нет}}\\\left\{ \begin{array}{l}x=7\\x<0\end{array} \right.\ \Rightarrow {{\ }_{решения}}{{\ }_{нет}}\end{array} \right.\)

Эти рассуждения можно было и обойти, вспомнив основное свойство модуля.

Основное свойство модуля

 Модуль всегда положителен либо равен нулю.

Если обобщить разобранные выше примеры, то можно написать общее правило для решения уравнений вида \( \left| x \right|=a\):

\( \left| x \right|=a\text{ }\Rightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=a\\x=-a.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Попробуем применить это правило для такого уравнения:

\( \left| x-5 \right|=3\)

Выражение под знаком модуля изменилось, но на логике рассуждений это не отражается, поэтому давай решать уравнение, применяя наше правило:

В нашем примере под "\( x\)" подразумевается "\( x-5\)", а значение \( a=3\). Зная это, получаем:

\( \left| x-5 \right|=3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x-5=3\\x-5=-3\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=8\\x=2\end{array} \right.\)

А если уравнение имеет вид:

\( \left| 3{x}-5 \right|=3\)

Что-то меняется в рассуждениях? Конечно, нет! Ну, тогда давай решать его!

\( \left| 3{x}-5 \right|=3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}3{x}-5=3\\3{x}-5=-3\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{8}{3}\\x=\frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Уловил? Закрепим на примерах.

  1. 1
    \( \left| 7{x}-4 \right|=8\);
  2. 2
    \( \left| 6+5{x} \right|=2\);
  3. 3
    \( \left| 8-{x} \right|=1\);
  1. 1
    \( \left| 7{x}-4 \right|=8\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}7{x}-4=8\\7{x}-4=-8\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x}=\frac{12}{7}\\x=-\frac{4}{7}\end{array} \right.\);
  2. 2
    \( \left| 6+5x \right|=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}6+5x=2\\6+5x=-2\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-\frac{4}{5}=-0,8\\x=-\frac{8}{5}=-1,6\end{array} \right.\);
  3. 3
    \( \left| 8-{x} \right|=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}8-x=1\\8-x=-1\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7\\x=9\end{array} \right.\);

Точно так же, как и в предыдущем примере, уравнения с модулем могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, иррациональных.

Вот пример подобной ситуации:

\( {{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}=9{{x}^{2}}+12x+4\)

Мы могли бы раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные и решить обычное квадратное уравнение (например, через дискриминант).

Но здесь удобнее поступить по-другому!

Заметим, что в правой части уравнения – формула сокращённого умножения квадрат суммы:

\( 9{{x}^{2}}+12x+4={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\)

Тогда уравнение станет таким:

\( {{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\)

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Но нет!

Будь предельно осторожным: опять вспоминаем простое правило: \( \sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\)

И опять на сцене наш модуль:

\( {{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left| 2{x}-1 \right|=\left| 3x+2 \right|\).

Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем (все три типа).

Уравнения вида |x| = |a|

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя одно только определение модуля. Например:

Решите уравнение:

\( \left| x \right|=5\)

Что такое \( \left| x \right|\)?

Это просто \( x\), если \( x\ge 0\), или \( -x\), если \( x<0\).

То есть:

\( \displaystyle \left| x \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=5 \text{ при }x\ge 0\\-x=5 \text{ при }x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=5\\x=-5.\end{array} \right.\)

Ответ: \( -5;5\)

Другой пример.

Решите уравнение: \( \left| x \right|=-3\).

Аналогично:

\( \displaystyle \left| x \right|=-3\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-3 \text{ при }x\ge 0\\-x=-3 \text{ при }x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x=-3\\x\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow \text{ решений нет}\\\left\{ \begin{array}{l}x=3\\x<0\end{array} \right.\Rightarrow \text{ решений нет}\end{array} \right.\)

И правда, вспомним свойство №1:

\( \left| x \right|\ge 0\), то есть модуль всегда неотрицателен.

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

\( \left| x \right|=a\text{ }\Rightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=a\\x=-a.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Ещё примеры (как обычно, пробуй решить их сам, потом смотри решения):

  1. 1
    \( \left| {x}-2 \right|=3\);
  2. 2
    \( \left| 5-2x \right|=4\);
  3. 3
    \( 7=\left| 3x+8 \right|\);

Решения:

  1. 1
    \( \left| {x}-2 \right|=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}{x}-2=3\\{x}-2=-3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=5\\x=-1.\end{array} \right.\);
  2. 2
    \( \left| 5-2x \right|=4\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}5-2x=4\\5-2x=-4\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}-2x=-1\\-2x=-9\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\x=\frac{9}{2}.\end{array} \right.\);
  3. 3
    \( 7=\left| 3x+8 \right|\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}3x+8=7\\3x+8=-7\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\x=-5.\end{array} \right.\);

Уравнения вида |x| = |y|

Если начнём раскрывать модули по определению, натолкнёмся на множество проверок: какое число больше нуля, какое меньше; в итоге получим большую совокупность, которая затем упростится.

Но можно сделать так, чтобы сразу было всё кратко.

Для этого вспомним свойство модуля №7:

\( {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\).

С помощью этого свойства можем избавляться от модулей:

\( \displaystyle \left| x \right|=\left| y \right|\text{ }\Leftrightarrow {{\left| x \right|}^{2}}={{\left| y \right|}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \left( {x}-y \right)\left( x+y \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=y\\x=-y.\end{array} \right.\)

Пример:

Решите уравнение: \( \left| x+1 \right|=\left| 2{x}-1 \right|\).

Решение:

\( \left| x+1 \right|=\left| 2{x}-1 \right|\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x+1=2{x}-1\\x+1=-\left( 2{x}-1 \right)\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=0.\end{array} \right.\)

Реши самостоятельно:

  1. 1
    \( \left| 2{x}-9 \right|=\left| 3-x \right|\);
  2. 2
    \( 3\left| {x}+1 \right|=\left| 1-2x \right|\);

Ответы:

  1. 1
    \( \displaystyle \left| 2{x}-9 \right|=\left| 3-x \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x}-9=3-x\\2{x}-9={x}-3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x=12\\x=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=4\\x=6.\end{array} \right.\);
  2. 2
    \( \displaystyle 3\left| x+1 \right|=\left| 1-2x \right|\text{ }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x+3=1-2x\\3x+3=2{x}-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x=-2\\x=-4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-\frac{2}{5}\\x=-4.\end{array} \right.\);

Уравнения вида |x| = y

Отличие от первого типа уравнений в том, что в правой части тоже переменная. А она может быть как положительной, так и отрицательной.

Поэтому в её неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1):

\( \left| x \right|=y\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}y\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=y\\x=-y\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Пример:

Решите уравнение: \( \left| x+1 \right|=1-2x\).

Решение:

\( \left| x+1 \right|=1-2x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}1-2x\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x+1=1-2x\\x+1=2{x}-1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x\le \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=0.\)

Если пропустить проверку на неотрицательность правой части, можно ошибочно написать в ответе сторонние корни и потерять баллы. Давайте проверим, действительно ли надо выбросить корень \( x=2\). Подставим его в исходное уравнение \( \left| x+1 \right|=1-2x\):

\( \left| 2+1 \right|=1-2\cdot 2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left| 3 \right|=-3\) – неверно.

Теперь задачи для самостоятельного решения:

  1. 1
    \( \left| 2x-9 \right|=3-x\);
  2. 2
    \( -2\left| x+4 \right|=3-4x\);
  3. 3
     \( \left| 2{{x}^{2}}-15 \right|=x\); 

Ответы:

  1. 1
    \( \displaystyle \left| 2x-9 \right|=3-x\ \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{array}{l}3-x\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}2x-9=3-x\\2x-9={x}-3\end{array} \right.\end{array} \right.\ \);\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\le 3\\\left[ \begin{array}{l}3x=12\\x=6\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\le 3\\\left\{ \begin{array}{l}x=4\\x=6\end{array} \right.\end{array} \right.\ \Leftrightarrow x \in \emptyset .\);
  2. 2
    \( \displaystyle -2\left| x+4 \right|=3-4x\Leftrightarrow \left| 2x+8 \right|=4{x}-3\Leftrightarrow \);\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}4{x}-3\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}2x+8=4{x}-3\\2x+8=3-4x\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge \frac{3}{4}\\\left[ \begin{array}{l}x=\frac{11}{2}\\x=-\frac{5}{6}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{11}{2}.\end{array} \right.\);
  3. 3
     \( \displaystyle \left| 2{{x}^{2}}-15 \right|=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-{x}-15=0\left( 1 \right)\\2{{x}^{2}}+{x}-15=0\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\); 

Решим квадратные уравнения \( \left( 1 \right)\) и \( \left( 2 \right)\).

Дискриминант у них одинаковый:

\( D=1+4\cdot 2\cdot 15=121={{11}^{2}}\).

\( \left( 1 \right):\text{ }{{x}_{1,2}}=\frac{1\pm 11}{4}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-\frac{5}{2}\end{array} \right.\)

\( \left( 2 \right):\text{ }{{x}_{1,2}}=\frac{-1\pm 11}{4}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=-3\\x=\frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Итак, исходное уравнение равносильно системе:

\( \left| 2{{x}^{2}}-15 \right|=x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-\frac{5}{2}\\x=-3\\x=\frac{5}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=3\\x=\frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Ответ: \( {2,5};3.\)

Пример:

Решите уравнение: \(\displaystyle\left| x+3 \right|-\left| 2{x}-1 \right|=1.\)

Решение:

Рассмотрим первый модуль \(\displaystyle\left| x+3 \right|\). По определению он раскрывается «с плюсом» (то есть выражение под модулем не меняется), если \(\displaystyle x+3\ge 0\), и «с минусом» (то есть все знаки меняются на противоположные), если \(\displaystyle x+3<0\):

\(\displaystyle \left| x+3 \right|=\left[ \begin{array}{l}x+3,\text{ если }x+3\ge 0\\-{x}-3,\text{ если }x+3<0.\end{array} \right.\)

Аналогично и со вторым:

\(\displaystyle \left| 2{x}-1 \right|=\left[ \begin{array}{l}2{x}-1,\text{ если }2{x}-1\ge 0\\1-2x,\text{ если }2{x}-1<0.\end{array} \right.\)

Проблема только в том, что теперь нам нужно рассмотреть очень много вариантов: по \(\displaystyle2\) варианта для каждого модуля, итого четыре разных, но похожих друг на друга, уравнения.

Если модулей будет не два, а три, получится уже \(\displaystyle8\) уравнений!

Можно ли как-то сократить количество вариантов?

Да, можно – ведь не все условия могут выполняться одновременно: \(\displaystyle x+3<0\) и \(\displaystyle 2{x}-1\ge 0\) противоречат друг другу.

Поэтому нет смысла раскрывать второй модуль «с плюсом», если первый раскрыт «с минусом». Значит, здесь у нас на одно уравнение меньше.

Теперь систематизируем то, что мы только что выяснили, и разработаем последовательность действий в таких примерах:

1. Определим корни подмодульных выражений – такие \(\displaystyle x\), при которых выражения равны нулю:

\(\displaystyle\left[ \begin{array}{l}x+3=0\text{ }\Rightarrow \text{ }x=-3\\2{x}-1=0\text{ }\Rightarrow \text{ }x=\frac{1}{2}\end{array} \right.\)

2. Отметим корни выражений под модулями на числовой оси:

3. Подпишем у каждого из получившихся интервалов, какой знак принимает каждое из наших подмодульных выражений.

4. Для каждого интервала запишем и решим уравнение. Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу!

Примеры:

I. \(\displaystyle x<-3\).

Здесь оба модуля раскрываем «с минусом»:

\(\displaystyle-\left( x+3 \right)+\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }-{x}-3+2{x}-1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=5\text{ }>-3\) – этот корень сторонний.

II. \(\displaystyle-3\le x<\frac{1}{2}\).

Здесь первый модуль раскрываем «с плюсом», а второй – «с минусом»:

\(\displaystyle\left( x+3 \right)+\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+3+2{x}-1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=-\frac{1}{3}\) – этот корень попадает в «свой» интервал, значит, он подходит.

III. \(\displaystyle x\ge \frac{1}{2}\).

Здесь оба модуля раскрываем «с плюсом»:

\(\displaystyle\left( x+3 \right)-\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+3-2{x}+1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=3\) – этот корень тоже является решением.

Проверим полученные корни:

I. \(\displaystyle x=5:\text{ }\left| 5+3 \right|-\left| 2\cdot 5-1 \right|=8-9=-1\ne 1\) (корень и правда сторонний).

II. \(\displaystyle x=-\frac{1}{3}:\text{ }\left| -\frac{1}{3}+3 \right|-\left| 2\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)-1 \right|=\frac{8}{3}-\frac{5}{3}=1\).

III. \(\displaystyle x=3:\text{ }\left| 3+3 \right|-\left| 2\cdot 3-1 \right|=6-5=1\).

Ответ: \(\displaystyle-\frac{1}{3};\text{ }3.\)

Примеры:

  1. 1
    \(\displaystyle\left| x+2 \right|-\left| 3{x}-1 \right|+\left| 4-x \right|=3\)
  2. 2
    \(\displaystyle\left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|=2\left| x+1 \right|\)

Решения:

1. \( \displaystyle \left| x+2 \right|-\left| 3{x}-1 \right|+\left| 4-x \right|=3\)\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+2=0\text{  }\Rightarrow \text{  }x=-2\\3{x}-1=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=\frac{1}{3}\\4-x=0\text{  }\Rightarrow \text{  }x=4\end{array} \right.\) 

I. \( \displaystyle -2\le x<\frac{1}{3}.\)

\( \displaystyle -\left( x+2 \right)+\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\)

\( \displaystyle x=2>-2\Rightarrow \) – корень сторонний

II. \( \displaystyle -2\le x<\frac{1}{3}\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)+\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle 3x=-2\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\in \left[ -2;\frac{1}{3} \right)\) – подходит

III. \( \displaystyle \frac{1}{3}\le x<4\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)-\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}\in \left[ \frac{1}{3};4 \right)-\) подходит

IV. \( \displaystyle x\ge 4\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)-\left( 3{x}-1 \right)-\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle x=4\Leftrightarrow x=-4<4\text{ }-\) корень сторонний

Ответ\( -\frac{2}{3};\text{  }\frac{4}{3}.\)

2. \( \left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|=2\left| x+1 \right|\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|-2\left| x+1 \right|=0.\)

\( \left[ \begin{array}{l}3{x}-5=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=\frac{5}{3}\\3+2x=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=-\frac{3}{2}\\x+1=0\text{    }\Rightarrow \text{  }x=-1\end{array} \right.\)

I. \( \displaystyle x<-\frac{3}{2}\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)-\left( 3+2x \right)+2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}>-\frac{3}{2}\Rightarrow \) корень сторонний

II. \( \displaystyle -\frac{3}{2}\le x<-1\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)+2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle x=-10<-1\Rightarrow \) корень сторонний

III. \( \displaystyle -1\le x<\frac{5}{3}\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)-2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-6\Leftrightarrow x=2\text{  }>\frac{5}{3}\Rightarrow \) корень сторонний

IV. \( \displaystyle x\ge \frac{5}{3}\)

\( \displaystyle \left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)-2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle 3x=4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}<\frac{5}{3}\Rightarrow \) корень сторонний

Итакни на одном интервале не нашлось корнейЗначит, решений это уравнение не имеет.

Ответ: Решений не имеет.

В некоторых уравнениях встречается «вложенный» модуль, то есть модуль какого-то выражения является частью подмодульного выражения, например:

\(\displaystyle\left| \left| x \right|-5 \right|=3\)

Что делать в таком случае? Все банально: раскрывать модули. Но раскрывать их нужно по очереди. Какой будем раскрывать первым?

А это зависит от того, каким методом ты хочешь решить это уравнение. Рассмотрим два возможных варианта:

I. Данное уравнение является уравнением вида \(\displaystyle\left| f\left( x \right) \right|=a\)

В этом случае первый способ решения будет стандартным для такого типа:

\(\displaystyle\left| f\left( x \right) \right|=a\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right)=a\\f\left( x \right)=-a\end{array} \right.\)

\(\displaystyle f\left( x \right)\) – подмодульное выражение – в нашем примере это \(\displaystyle\left| x \right|-5\) , то есть:

\(\displaystyle\left| \left| x \right|-5 \right|=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left| x \right|-5=3\\\left| x \right|-5=-3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left| x \right|=8\\\left| x \right|=2\end{array} \right.\)

Получили два элементарных уравнения такого же типа, то есть:

\(\displaystyle\left[ \begin{array}{l}x=8\\x=-8\\x=2\\x=-2\end{array} \right.\)

Эти четыре числа и будут ответом, можешь проверить их подстановкой в исходное уравнение.

II. Есть ещё один, более универсальный способ, который подойдёт для любых задач, не попадающих ни в какой из стандартных типов.

Что это за метод?

Метод интервалов.

В этом случае нужно раскрывать модули начиная с самых «глубоких», то есть «внутренних». В нашем случае внутренним будет модуль, выделенный красным цветом:

\(\displaystyle\left| \left| x \right|-5 \right|=3\)

Чтобы раскрыть его, надо рассмотреть 2 случая: и , то есть уравнение распадается на два уравнения:

\(\displaystyle\left| \left| x \right|-5 \right|=3\)

\(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\\left| x-5 \right|=3\end{array} \right.\) \(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}x<0\\\left| -x-5 \right|=3\end{array} \right.\)

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Уравнения с модулем делятся на три вида, каждый вид имеет свой подход к решению:

1. Уравнения вида \(\displaystyle\left| x \right|=a.\)

\(\displaystyle \left| x \right|=a\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=a{{,}_{\ при}}\text{ }x\ge 0\\-x=a,{{\ }_{при}}\text{ }x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=a\\x=-a.\end{array} \right.\)

2. Уравнения вида \(\displaystyle\left| x \right|=\left| y \right|\).

\(\displaystyle \begin{array}{l}\left| x \right|=\left| y \right|\ \Leftrightarrow {{\left| x \right|}^{2}}={{\left| y \right|}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( x+y \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}x=y \\x=-y. \\\end{array} \right.\end{array}\)

3. Уравнения вида \(\displaystyle\left| x \right|=y\).

\(\displaystyle\left| x \right|=y\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}y\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=y\\x=-y\end{array} \right.\end{array} \right.\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Твой ход!

А теперь говоришь ты. Как тебе... про уравнения с модулем? Легкотня! 🙂

Напиши внизу в комментариях, помогла тебе наша статья или нет.

Расскажи о своем опыте решения уравнений с модулем, если он у тебя был.

Возможно, у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях. Мы читаем все.

И удачи на экзаменах!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии к этой статье:

    Марк
    14 декабря 2017
    Спасибо огромное, повторил, сдал на отлично, Алексею нобелевскую по математике)

    Александр (админ)
    15 декабря 2017
    Марк, наши поздравления с отличной сдачей. Премию Алексею передам 🙂

    владимир
    19 апреля 2018
    нобелевские по математике не присуждаются …

    Александр (админ)
    19 апреля 2018
    Наградим поощрительной грамотой )

    Дарья
    26 февраля 2019
    Спасибо большое !!! Сайт замечательный ,я смогла разобраться и понять материал !!! Создателям огромное спасибо ,их работа заслуживает высокого внимания !!! Перейду на родной язык: Danke schön!!!! Ihre Arbeit ist wirklich wunderschön!!!! Danke ein male!!!

    Александр (админ)
    26 февраля 2019
    Gern geschehen, Dascha! Bitte… International Mathematical Unterstützung zu Ihren Diensten ))

    Лера
    19 мая 2019
    Очень хорошо разобрано и объяснено. И за советы спасибо)

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >