Уравнения с модулем

Что такое модуль и зачем он вообще нужен?

Откуда берутся уравнения с модулем и сколько их видов? Как их решать?

Читайте эту статью и вы получите ответы на эти вопросы и научитесь решать любое уравнение с модулем, чтобы сдать ЕГЭ на 100 баллов и поступить в ВУЗ мечты!

Поехали!

Уравнение с модулем — коротко о главном

Уравнения с модулем делятся на три вида, каждый вид имеет свой подход к решению:

1. Уравнения вида \(\displaystyle\left| x \right|=a.\)


\(\displaystyle \left| x \right|=a\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=a{{,}_{\ при}}\text{ }x\ge 0\\-x=a,{{\ }_{при}}\text{ }x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=a\\x=-a.\end{array} \right.\)

2. Уравнения вида \(\displaystyle\left| x \right|=\left| y \right|\)


\(\displaystyle \begin{array}{l}\left| x \right|=\left| y \right|\ \Leftrightarrow {{\left| x \right|}^{2}}={{\left| y \right|}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( x+y \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}x=y \\x=-y. \\\end{array} \right.\end{array}\)

3. Уравнения вида \(\displaystyle\left| x \right|=y\)


\(\displaystyle\left| x \right|=y\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}y\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=y\\x=-y\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Для простоты запомни, что…

Модуль есть расстояние от нуля в любую сторону.

Если забыл что такое модуль, у нас есть очень хорошая стать на этот счет: «Модуль числа«. Пройди по ссылке и повтори.

Уравнения с модулем

Решение уравнений с модулем может быть самостоятельной задачей, но часто такие уравнения могут возникнуть при решении уравнений другого типа.

Например, квадратных уравнений. Или иррациональных.

Вот пример подобной ситуации:

\( {{x}^{2}}=16 \)

Видно, что в правой части – квадрат числа 4:

\( {{x}^{2}}={{4}^{2}} \)

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа и получим линейное уравнение.

Но нет!

В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило: 

\( \sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|?\)

Вот и появляется на сцене наш модуль:

\( {{x}^{2}}={{4}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left| x \right|=4 \) 

Чтобы не теряться в таких случаях, давай разберемся, что из себя представляет решение уравнений с модулем.

Решение уравнений с модулем вида |x| = a

Уравнения такого вида решаем, основываясь на свойствах модуля, которые мы разобрали в теме «Модуль числа».

Давай разбираться на примерах.

Необходимо решить уравнение вида:

\( \left| x \right|=7\)

Что такое \( \left| x \right|\)?

Это просто \( x\), если \( x\) больше либо равно нулю, или \( -x\), если \( x\) меньше нуля.

То есть можно формализовано записать так:

\( \displaystyle \left| x \right|=7\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7,{{\ }_{при}}\ x\ge 0\\-x=7,{{\ }_{при}}\ x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7\\x=-7\end{array} \right.\)

А если вот такое уравнение?

\( \left| x \right|=-7\)

Рассуждения аналогичные:

\( \displaystyle \left| x \right|=-7\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-7,{{\ }_{\ \text{при}}}\ x\ge 0\\-x=-7,{{\ }_{\ \text{при}}}\ x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x=-7\\x\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow {{\ }_{решения}}{{\ }_{нет}}\\\left\{ \begin{array}{l}x=7\\x<0\end{array} \right.\ \Rightarrow {{\ }_{решения}}{{\ }_{нет}}\end{array} \right.\)

Эти рассуждения можно было и обойти, вспомнив основное свойство модуля.

Основное свойство модуля

Модуль всегда положителен либо равен нулю.

Если обобщить разобранные выше примеры, то можно написать общее правило для решения уравнений вида \( \left| x \right|=a\):


\( \left| x \right|=a\text{ }\Rightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=a\\x=-a.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Попробуем применить это правило для такого уравнения:

\( \left| x-5 \right|=3\)

Выражение под знаком модуля изменилось, но на логике рассуждений это не отражается, поэтому давай решать уравнение, применяя наше правило:

В нашем примере под «\( x\)» подразумевается «\( x-5\)«, а значение \( a=3\).

Зная это, получаем:

\( \left| x-5 \right|=3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x-5=3\\x-5=-3\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=8\\x=2\end{array} \right.\)

А если уравнение имеет вид:

\( \left| 3{x}-5 \right|=3\)

Что-то меняется в рассуждениях? Конечно, нет! Ну, тогда давай решать его!

\( \left| 3{x}-5 \right|=3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}3{x}-5=3\\3{x}-5=-3\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{8}{3}\\x=\frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Уловил? Закрепим на примерах.

Пример 1

  • \( \left| 7{x}-4 \right|=8\)

Пример 2

  • \( \left| 6+5{x} \right|=2\)

Пример 3

  • \( \left| 8-{x} \right|=1\)

Решения примеров №1-3:

Точно так же, как и в предыдущем примере, уравнения с модулем могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, иррациональных.

Вот пример подобной ситуации:

\( {{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}=9{{x}^{2}}+12x+4\)

Мы могли бы раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные и решить обычное квадратное уравнение (например, через дискриминант).

Но здесь удобнее поступить по-другому!

Заметим, что в правой части уравнения – формула сокращённого умножения квадрат суммы:

\( 9{{x}^{2}}+12x+4={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\)

Тогда уравнение станет таким:

\( {{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\)

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Но нет!

Будь предельно осторожным: опять вспоминаем простое правило: \( \sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\)

И опять на сцене наш модуль:

\( {{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left| 2{x}-1 \right|=\left| 3x+2 \right|\).

Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем (все три типа).

Уравнения вида |x| = |a|

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя одно только определение модуля. Например:

Решите уравнение:

\( \left| x \right|=5\)

Решение:

Что такое \( \left| x \right|\)?

Это просто \( x\), если \( x\ge 0\), или \( -x\), если \( x<0\).

То есть:

\( \displaystyle \left| x \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=5 \text{ при }x\ge 0\\-x=5 \text{ при }x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=5\\x=-5.\end{array} \right.\)

Ответ: \( -5;5\)

Другой пример.

Решите уравнение: \( \left| x \right|=-3\).

Аналогично:

\( \displaystyle \left| x \right|=-3\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-3 \text{ при }x\ge 0\\-x=-3 \text{ при }x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x=-3\\x\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow \text{ решений нет}\\\left\{ \begin{array}{l}x=3\\x<0\end{array} \right.\Rightarrow \text{ решений нет}\end{array} \right.\)

И правда, вспомним свойство №1:

\( \left| x \right|\ge 0\), то есть модуль всегда неотрицателен.

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

\( \left| x \right|=a\text{ }\Rightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=a\\x=-a.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Ещё примеры (как обычно, пробуй решить их сам, потом смотри решения):

Пример №4

  • \( \left| {x}-2 \right|=3\)

Пример №5

  • \( \left| 5-2x \right|=4\)

Пример №6

  • \( 7=\left| 3x+8 \right|\)

Решения примеров №4-6:


Уравнения вида |x| = |y|

Если начнём раскрывать модули по определению, натолкнёмся на множество проверок: какое число больше нуля, какое меньше; в итоге получим большую совокупность, которая затем упростится.

Но можно сделать так, чтобы сразу было всё кратко.

Для этого вспомним свойство модуля №7:

\( {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\).

С помощью этого свойства можем избавляться от модулей:

\( \displaystyle \left| x \right|=\left| y \right|\text{ }\Leftrightarrow {{\left| x \right|}^{2}}={{\left| y \right|}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \left( {x}-y \right)\left( x+y \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=y\\x=-y.\end{array} \right.\)

Пример №7

  • Решите уравнение: \( \left| x+1 \right|=\left| 2{x}-1 \right|\).

Пример №8

  • \( \left| 2{x}-9 \right|=\left| 3-x \right|\)

Пример №9

  • \( 3\left| {x}+1 \right|=\left| 1-2x \right|\)

Решения примеров №7-9:


Уравнения вида |x| = y

Отличие от первого типа уравнений в том, что в правой части тоже переменная. 

А она может быть как положительной, так и отрицательной.

Поэтому в её неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1):

\( \left| x \right|=y\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}y\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=y\\x=-y\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Пример №10

  • \( \left| x+1 \right|=1-2x\).

Пример №11

  • \( \left| 2x-9 \right|=3-x\)

Пример №12

  • \( -2\left| x+4 \right|=3-4x\)

Пример 13

  •  \( \left| 2{{x}^{2}}-15 \right|=x\)

Решения примеров №10 — 13


Метод интервалов в задачах с модулем

Иногда в задачах с модулем, если решать их в лоб, приходится рассматривать очень много вариантов.

Например, если модулей не два, а три, то получится целых 8 уравнений!

Что с этим делать?

Использовать метод интервалов.

Пример №14

  • Решите уравнение: \(\displaystyle\left| x+3 \right|-\left| 2{x}-1 \right|=1.\)

Решение:

Рассмотрим первый модуль \(\displaystyle\left| x+3 \right|\). По определению он раскрывается «с плюсом» (то есть выражение под модулем не меняется), если \(\displaystyle x+3\ge 0\), и «с минусом» (то есть все знаки меняются на противоположные), если \(\displaystyle x+3<0\):


\(\displaystyle \left| x+3 \right|=\left[ \begin{array}{l}x+3,\text{ если }x+3\ge 0\\-{x}-3,\text{ если }x+3<0.\end{array} \right.\)

Аналогично и со вторым:

\(\displaystyle \left| 2{x}-1 \right|=\left[ \begin{array}{l}2{x}-1,\text{ если }2{x}-1\ge 0\\1-2x,\text{ если }2{x}-1<0.\end{array} \right.\)

Проблема только в том, что теперь нам нужно рассмотреть очень много вариантов: по \(\displaystyle2\) варианта для каждого модуля, итого четыре разных, но похожих друг на друга, уравнения.

Если модулей будет не два, а три, получится уже \(\displaystyle8\) уравнений!

Можно ли как-то сократить количество вариантов?

Да, можно – ведь не все условия могут выполняться одновременно: \(\displaystyle x+3<0\) и \(\displaystyle 2{x}-1\ge 0\) противоречат друг другу.

Поэтому нет смысла раскрывать второй модуль «с плюсом», если первый раскрыт «с минусом». Значит, здесь у нас на одно уравнение меньше.

Теперь систематизируем то, что мы только что выяснили, и разработаем последовательность действий в таких примерах:

Проверим полученные корни:

I. \(\displaystyle x=5:\text{ }\left| 5+3 \right|-\left| 2\cdot 5-1 \right|=8-9=-1\ne 1\) (корень и правда сторонний).

II. \(\displaystyle x=-\frac{1}{3}:\text{ }\left| -\frac{1}{3}+3 \right|-\left| 2\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)-1 \right|=\frac{8}{3}-\frac{5}{3}=1\).

III. \(\displaystyle x=3:\text{ }\left| 3+3 \right|-\left| 2\cdot 3-1 \right|=6-5=1\).

Ответ: \(\displaystyle-\frac{1}{3};\text{ }3.\)

Пример 15

  • \(\displaystyle\left| x+2 \right|-\left| 3{x}-1 \right|+\left| 4-x \right|=3\)

Пример №16

\(\displaystyle\left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|=2\left| x+1 \right|\)

Решения примеров №15-16:


Модуль в модуле

В некоторых уравнениях встречается «вложенный» модуль, то есть модуль какого-то выражения является частью подмодульного выражения, например:

\(\displaystyle\left| \left| x \right|-5 \right|=3\)

Что делать в таком случае? Все банально: раскрывать модули. Но раскрывать их нужно по очереди. Какой будем раскрывать первым?

А это зависит от того, каким методом ты хочешь решить это уравнение. Рассмотрим два возможных варианта:

I. Данное уравнение является уравнением вида \(\displaystyle\left| f\left( x \right) \right|=a\)

В этом случае первый способ решения будет стандартным для такого типа:


\(\displaystyle\left| f\left( x \right) \right|=a\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right)=a\\f\left( x \right)=-a\end{array} \right.\)

\(\displaystyle f\left( x \right)\) – подмодульное выражение – в нашем примере это \(\displaystyle\left| x \right|-5\) , то есть:


\(\displaystyle\left| \left| x \right|-5 \right|=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left| x \right|-5=3\\\left| x \right|-5=-3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left| x \right|=8\\\left| x \right|=2\end{array} \right.\)

Получили два элементарных уравнения такого же типа, то есть:


\(\displaystyle\left[ \begin{array}{l}x=8\\x=-8\\x=2\\x=-2\end{array} \right.\)

Эти четыре числа и будут ответом, можешь проверить их подстановкой в исходное уравнение.

II. Есть ещё один, более универсальный способ, который подойдёт для любых задач, не попадающих ни в какой из стандартных типов.

Что это за метод?

Метод интервалов.

В этом случае нужно раскрывать модули начиная с самых «глубоких», то есть «внутренних». В нашем случае внутренним будет модуль, выделенный красным цветом:


\(\displaystyle\left| \left| x \right|-5 \right|=3\)

Чтобы раскрыть его, надо рассмотреть 2 случая: и , то есть уравнение распадается на два уравнения:

\(\displaystyle\left| \left| x \right|-5 \right|=3\)

\(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\\left| x-5 \right|=3\end{array} \right.\) \(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}x<0\\\left| -x-5 \right|=3\end{array} \right.\)

Бонусы: Вебинары из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

Решение уравнений. Модули 1. Урок 1 из 5

Решение простейших уравнений с модулем.

Решение уравнений. Модули 2. Урок 2 из 5

Математика — модули, уравнения с модулями, модули в модулях — никто не умеет их решать, а вы научитесь!

На прошлом уроке мы разобрали с вами базовые уравнения с модулем, а теперь пришло время для настоящей жести.

Модули квадратных трёхчленов, суммы нескольких модулей, модули в модулях. Нас ждут продвинутые задачи и продвинутые методы решений.

Все это — в этом коротком вебинаре!

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий курсов

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж — 19 лет (c 2003 года);
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

5 комментариев

  1. Некоторые комментарии к этой статье:

    Марк
    14 декабря 2017
    Спасибо огромное, повторил, сдал на отлично, Алексею нобелевскую по математике)

    Александр (админ)
    15 декабря 2017
    Марк, наши поздравления с отличной сдачей. Премию Алексею передам 🙂

    владимир
    19 апреля 2018
    нобелевские по математике не присуждаются …

    Александр (админ)
    19 апреля 2018
    Наградим поощрительной грамотой )

    Дарья
    26 февраля 2019
    Спасибо большое !!! Сайт замечательный ,я смогла разобраться и понять материал !!! Создателям огромное спасибо ,их работа заслуживает высокого внимания !!! Перейду на родной язык: Danke schön!!!! Ihre Arbeit ist wirklich wunderschön!!!! Danke ein male!!!

    Александр (админ)
    26 февраля 2019
    Gern geschehen, Dascha! Bitte… International Mathematical Unterstützung zu Ihren Diensten ))

    Лера
    19 мая 2019
    Очень хорошо разобрано и объяснено. И за советы спасибо)

      1. Это Алексей Шевчук. Всего было три основных автора и несколько помощников. Алексей писал основную часть в этой статье.