Средний уровень

Уравнения с модулем. Исчерпывающий гид (2019)

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа»?

Решение уравнений с модулем может быть самостоятельной задачей, но часто такие уравнения могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, квадратных.

Или иррациональных.

Вот пример подобной ситуации:

 

Видно, что в правой части – квадрат числа  :

 

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Но нет!

В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило:

  ?

Вот и появляется на сцене наш модуль:

 

Чтобы не теряться в таких случаях, давай разберемся, что из себя представляет решение уравнений с модулем.

Let's dive right in... (Поехали!) 

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

 

Решение уравнений с модулем вида |Х| = a

 

Уравнения такого вида  решаем, основываясь на свойствах модуля, которые мы разобрали в теме «Модуль» .

Давай разбираться на примерах. Необходимо решить уравнение вида:

 

Что такое  ?

Это просто  , если   больше либо равно нулю, или  , если   меньше нуля.

То есть можно формализовано записать так:

 

А если вот такое уравнение:

 

Рассуждения аналогичные:

 

Эти рассуждения можно было и обойти, вспомнив основное свойство модуля:

 

Модуль всегда положителен либо равен нулю!

 

Если обобщить разобранные выше примеры, то можно написать общее правило для решения уравнений вида  :

 

Попробуем применить это правило для такого уравнения:

 

Выражение под знаком модуля изменилось, но на логике рассуждений это не отражается, поэтому давай решать уравнение, применяя наше правило:

В нашем примере под " " подразумевается " ", а значение  . Зная это, получаем:

 

А если уравнение имеет вид:


 

Что-то меняется в рассуждениях? Конечно, нет! Ну, тогда давай решать его!

 

Уловил? Закрепим на примерах.

 

Примеры для самостоятельной работы

  1.  
  2.  
  3.  

 

Решения примеров для самостоятельной работы

 

  1.  
  2.  
  3.  

 

Точно так же как и в предыдущем примере уравнения с модулем  могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, иррациональных.

Вот пример подобной ситуации:

 .

Мы могли бы раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные и решить обычное квадратное уравнение (например, через дискриминант).

Но здесь удобнее поступить по-другому! 

Заметим, что в правой части уравнения – формула сокращённого умножения квадрат суммы:

 

Тогда уравнение станет таким:

 

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Но нет!

Будь предельно осторожным: опять вспоминаем простое правило:  ?

И опять на сцене наш модуль:

 .

Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем (все три типа).

 

Три типа уравнений с модулем

1. Уравнения вида |X| = |a|

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя одно только определение модуля. Например:

Решите уравнение:

 

Что такое  ?

Это просто  , если  , или  , если  .

То есть:

 

Ответ:  

 

Другой пример:

Решите уравнение  .

Аналогично:

 

И правда, вспомним свойство №1:

 , то есть модуль всегда неотрицателен.

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

 

 

Ещё примеры (как обычно, пробуй решить их сам, потом смотри решения):

  1.  
  2.  
  3.  

Решения:​

 

  1.  
  2.  
  3.  

 

2. Уравнения вида |X| = |Y|

Если начнём раскрывать модули по определению, натолкнёмся на множество проверок: какое число больше нуля, какое меньше; в итоге получим большую совокупность, которая затем упростится.

Но можно сделать так, чтобы сразу было всё кратко.

Для этого вспомним свойство модуля №7:

 .

С помощью этого свойства можем избавляться от модулей:

 

 

 

Пример:

Решите уравнение  .

 

Решение:

 

 

 

Реши самостоятельно:

  1.  
  2.  

 

Ответы:

 

1.  

2.  

 

3. Уравнения вида |X| = Y

Отличие от первого типа уравнений в том, что в правой части тоже переменная. А она может быть как положительной, так и отрицательной.

Поэтому в её неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1):

 

 

Пример:

Решите уравнение:  .

 

Решение:

 

 

Если пропустить проверку на неотрицательность правой части, можно ошибочно написать в ответе сторонние корни, и таким образом потерять баллы. Давайте проверим: действительно ли надо выбросить корень  ? Подставим его в исходное уравнение  :

  – неверно.

 

Теперь задачи для самостоятельного решения:

1.  

2.  

3.  

 

Ответы:

 

1.  

 

2.  

 

3.  

Решим квадратные уравнения   и  . Дискриминант у них одинаковый:

 .

 

 

Итак, исходное уравнение равносильно системе

 

Ответ:  

 

Метод интервалов в задачах с модулем

Пример:

Решите уравнение:  

Решение:

Рассмотрим первый модуль  . По определению он раскрывается «с плюсом» (то есть выражение под модулем не меняется), если  , и «с минусом» (то есть все знаки меняются на противоположные), если  :

 

Аналогично и со вторым:

 

Проблема только в том, что теперь нам нужно рассмотреть очень много вариантов: по   варианта для каждого модуля, итого четыре разных, но похожих друг на друга, уравнения.

Если модулей будет не два, а три, получится уже   уравнений!

Можно ли как-то сократить количество вариантов?

Да, можно – ведь не все условия могут выполняться одновременно:   и   противоречат друг другу.

Поэтому нет смысла раскрывать второй модуль «с плюсом», если первый раскрыт «с минусом». Значит, здесь у нас на одно уравнение меньше.

Теперь систематизируем то, что мы только что выяснили, и разработаем последовательность действий в таких примерах:

 

1. Определим корни подмодульных выражений – такие  , при которых выражения равны нулю:

 

 

2. Отметим корни выражений под модулями на числовой оси:

решение уравнения с модулем на оси

 

3. Подпишем у каждого из получившихся интервалов, какой знак принимает каждое из наших подмодульных выражений.

расстановка знаков в уравнении с модулем

 

4. Для каждого интервала запишем и решим уравнение. Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу!

 

Примеры:

I.  . Здесь оба модуля раскрываем «с минусом»:

  – этот корень сторонний.

 

II.  . Здесь первый модуль раскрываем «с плюсом», а второй - «с минусом»:

  – этот корень попадает в «свой» интервал, значит, он подходит.

 

III.  . Здесь оба модуля раскрываем «с плюсом»:

  – этот корень тоже является решением.

 

Проверим полученные корни:

I.   (корень и правда сторонний).

II.  .

III.  .

 

Ответ:  

 

Примеры:

  1.  
  2.  

Решения:

Модуль в модуле

В некоторых уравнениях встречается «вложенный» модуль, то есть модуль какого-то выражения является частью подмодульного выражения, например:

 

Что делать в таком случае? Все банально: раскрывать модули. Но раскрывать их нужно по очереди. Какой будем раскрывать первым?

А это зависит от того, каким методом ты хочешь решить это уравнение. Рассмотрим два возможных варианта:

 

I. Данное уравнение является уравнением вида  

В этом случае первый способ решения будет стандартным для такого типа:

 

  – подмодульное выражение – в нашем примере это   , то есть:

 

Получили два элементарных уравнения такого же типа, то есть:

 

Эти четыре числа и будут ответом, можешь проверить их подстановкой в исходное уравнение.

 

II. Есть ещё один, более универсальный способ, который подойдёт для любых задач, не попадающих ни в какой из стандартных типов.

Что это за метод?

Метод интервалов.

В этом случае нужно раскрывать модули начиная с самых «глубоких», то есть «внутренних». В нашем случае внутренним будет модуль, выделенный красным цветом:

 

Чтобы раскрыть его, надо рассмотреть 2 случая: и , то есть уравнение распадается на два уравнения:

 

   

 

Краткое изложение статьи и основные формулы

Уравнения с модулем делятся на три вида, каждый вид имеет свой подход к решению:

1. Уравнения вида  

 

2. Уравнения вида  .

 

3. Уравнения вида  .

 

 

Теперь тебе слово...

Как тебе... про уравнения с модулем? Легкотня! )

Напиши внизу в комментариях помогла тебе наша статья или нет.

Расскажи о своем опыте решения уравнений с модулем, если он у тебя был.

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях. Мы читаем все.

И удачи на экзаменах!

Комментарии

антон
12 октября 2017

у вас ошибка в теме Уравнения вида ∣x∣=y там где для самостоятельной работы второй номер

ответить

Алексей Шевчук
15 октября 2017

Антон, спасибо, ошибка исправлена.

ответить

Герман Еременко
31 октября 2017

В теме "Метод интервалов в задачах с модулем" во втором примере для самостоятельного решения, кажется, ошибка - не правильно знаки значений выражений расставлены. 3+2х во втором промежутке +, а х+1 во втором у меня выходит -.

ответить

Алексей Шевчук
28 ноября 2017

Герман, спасибо, исправил.

ответить

Иван
04 ноября 2017

Согласен с Германом - во втором примере, во втором промежутке будет (- + -)

ответить

Марк
14 декабря 2017

Спасибо огромное,повторил,сдал на отлично,Алексею нобелевскую по математике)

ответить

Александр (админ)
15 декабря 2017

Марк, наши поздравления с отличной сдачей. Премию Алексею передам :)

ответить

владимир
19 апреля 2018

нобелевские по математике не присуждаются ...

ответить

Александр (админ)
19 апреля 2018

Наградим поощрительной грамотой )

ответить

Роман
19 декабря 2017

Добрый день! В пункте №3 Уравнения вида ∣x∣=y во втором примере: −2∣x+4∣=3−x, откуда дальше в решении появляется коэффициент 4 в правой части? −2∣x+4∣=3−4x Спасибо за ответ и Ваш чудесный и полезный сайт!

ответить

Александр (админ)
19 декабря 2017

Роман, привет! Спасибо за замечания и слова благодарности. Очень ценно... Алексей Шевчук проверит и поправит, если там ошибка. Еще раз спасибо!

ответить

Алексей Шевчук
20 декабря 2017

Роман, спасибо. Это была опечатка в условии.

ответить

Рагсана
09 апреля 2018

А как решить такой пример 7|2-4|+4*-8

ответить

Оля
19 апреля 2018

|-3у2+1|=у1

ответить

Нина
22 апреля 2018

помогите,пожалуйста,решить уравнение дробь в модуле :числитель 13,296 знаменатель 3.71 минус модуль 0,4х минус4,7 модуль закрывается,далее от дроби минус 2,2 умножить на 1,4.Еще раз обращаю внимание: сама дробь в модуле И равно 8 Пожалуйста помогите

ответить

Наташа
01 октября 2018

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить такое уравнение |x-1|=2x+3

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть