Уравнения с модулем - чтобы получить максимум на ЕГЭ по математике (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа»? Давай кое-что быстро повторим перед тем как перейти к уравнениям с модулем. 

Ненаучное объяснение зачем нужен модуль числа

Модуль числа - это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности.

А между тем она проста как апельсин. Но чтобы ее понять, давай сначала разберемся зачем и кому он нужен. 

Вот смотри, ситуация первая.

В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.

Например, мы не можем проехать на машине "минус 70 километров" (мы проедем 70 километров, неважно, в каком направлении), как и не можем купить "минус 5 кг апельсинов". Эти значения всегда должны быть положительными.

Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина. 

Ситуация вторая.

Ты покупаешь пакет чипсов "Lay's". На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99. 

И что, можно идти судиться с компанией Lays, если они тебе недовесили? 

Нет. Потому что Lays устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это "плюс-минус" - это и есть модуль. 

Ситуация третья.

В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: "Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!"  20 тысяч - это и есть модуль. 

А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от нуля в любую сторону. 

Ну вот, повторили, а теперь давай поговорим об уравнениях с модулем.

 

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


 

Уравнения с модулем

Решение уравнений с модулем может быть самостоятельной задачей, но часто такие уравнения могут возникнуть при решении уравнений другого типа.

Например, квадратных.

Или иррациональных.

Вот пример подобной ситуации:

 

Видно, что в правой части – квадрат числа  :

 

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Но нет!

В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило:

  ?

Вот и появляется на сцене наш модуль:

 

Чтобы не теряться в таких случаях, давай разберемся, что из себя представляет решение уравнений с модулем.

Let's dive right in... (Поехали!) 

Решение уравнений с модулем вида |Х| = a

Уравнения такого вида  решаем, основываясь на свойствах модуля, которые мы разобрали в теме «Модуль числа» .

Давай разбираться на примерах. Необходимо решить уравнение вида:

 

Что такое  ?

Это просто  , если   больше либо равно нулю, или  , если   меньше нуля.

То есть можно формализовано записать так:

 

А если вот такое уравнение:

 

Рассуждения аналогичные:

 

Эти рассуждения можно было и обойти, вспомнив основное свойство модуля:

 

Модуль всегда положителен либо равен нулю!

 

Если обобщить разобранные выше примеры, то можно написать общее правило для решения уравнений вида  :

 

Попробуем применить это правило для такого уравнения:

 

Выражение под знаком модуля изменилось, но на логике рассуждений это не отражается, поэтому давай решать уравнение, применяя наше правило:

В нашем примере под " " подразумевается " ", а значение  . Зная это, получаем:

 

А если уравнение имеет вид:


 

Что-то меняется в рассуждениях? Конечно, нет! Ну, тогда давай решать его!

 

Уловил? Закрепим на примерах.

Примеры для самостоятельной работы

  1.  
  2.  
  3.  

 

Решения примеров для самостоятельной работы

 

  1.  
  2.  
  3.  

 

Точно так же как и в предыдущем примере уравнения с модулем  могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, иррациональных.

 

Решение иррациональных уравнений с модулем

Вот пример подобной ситуации:

 .

Мы могли бы раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные и решить обычное квадратное уравнение (например, через дискриминант).

Но здесь удобнее поступить по-другому! 

Заметим, что в правой части уравнения – формула сокращённого умножения квадрат суммы:

 

Тогда уравнение станет таким:

 

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Но нет!

Будь предельно осторожным: опять вспоминаем простое правило:  ?

И опять на сцене наш модуль:

 .

Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем (все три типа).

 

Три типа уравнений с модулем

1. Уравнения вида |X| = |a|

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя одно только определение модуля. Например:

Решите уравнение:

 

Что такое  ?

Это просто  , если  , или  , если  .

То есть:

 

Ответ:  

 

Другой пример:

Решите уравнение  .

Аналогично:

 

И правда, вспомним свойство №1:

 , то есть модуль всегда неотрицателен.

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

 

 

Ещё примеры (как обычно, пробуй решить их сам, потом смотри решения):

  1.  
  2.  
  3.  

Решения:​

 

  1.  
  2.  
  3.  

 

2. Уравнения вида |X| = |Y|

Если начнём раскрывать модули по определению, натолкнёмся на множество проверок: какое число больше нуля, какое меньше; в итоге получим большую совокупность, которая затем упростится.

Но можно сделать так, чтобы сразу было всё кратко.

Для этого вспомним свойство модуля №7:

 .

С помощью этого свойства можем избавляться от модулей:

 

 

 

Пример:

Решите уравнение  .

 

Решение:

 

 

 

Реши самостоятельно:

  1.  
  2.  

 

Ответы:

 

1.  

2.  

 

3. Уравнения вида |X| = Y

Отличие от первого типа уравнений в том, что в правой части тоже переменная. А она может быть как положительной, так и отрицательной.

Поэтому в её неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1):

 

 

Пример:

Решите уравнение:  .

 

Решение:

 

 

Если пропустить проверку на неотрицательность правой части, можно ошибочно написать в ответе сторонние корни, и таким образом потерять баллы. Давайте проверим: действительно ли надо выбросить корень  ? Подставим его в исходное уравнение  :

  – неверно.

 

Теперь задачи для самостоятельного решения:

1.  

2.  

3.  

 

Ответы:

 

1.  

 

2.  

 

3.  

Решим квадратные уравнения   и  .

Дискриминант у них одинаковый:

 .

 

 

Итак, исходное уравнение равносильно системе

 

Ответ:  

 

Метод интервалов в задачах с модулем

Пример:

Решите уравнение:  

Решение:

Рассмотрим первый модуль  . По определению он раскрывается «с плюсом» (то есть выражение под модулем не меняется), если  , и «с минусом» (то есть все знаки меняются на противоположные), если  :

 

Аналогично и со вторым:

 

Проблема только в том, что теперь нам нужно рассмотреть очень много вариантов: по   варианта для каждого модуля, итого четыре разных, но похожих друг на друга, уравнения.

Если модулей будет не два, а три, получится уже   уравнений!

Можно ли как-то сократить количество вариантов?

Да, можно – ведь не все условия могут выполняться одновременно:   и   противоречат друг другу.

Поэтому нет смысла раскрывать второй модуль «с плюсом», если первый раскрыт «с минусом». Значит, здесь у нас на одно уравнение меньше.

Теперь систематизируем то, что мы только что выяснили, и....

Разработаем последовательность действий в таких примерах:

 

1. Определим корни подмодульных выражений – такие  , при которых выражения равны нулю:

 

 

2. Отметим корни выражений под модулями на числовой оси:

решение уравнения с модулем на оси

 

3. Подпишем у каждого из получившихся интервалов, какой знак принимает каждое из наших подмодульных выражений.

расстановка знаков в уравнении с модулем

 

4. Для каждого интервала запишем и решим уравнение. Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу!

 

Примеры:

I.  . Здесь оба модуля раскрываем «с минусом»:

  – этот корень сторонний.

 

II.  . Здесь первый модуль раскрываем «с плюсом», а второй - «с минусом»:

  – этот корень попадает в «свой» интервал, значит, он подходит.

 

III.  . Здесь оба модуля раскрываем «с плюсом»:

  – этот корень тоже является решением.

 

Проверим полученные корни:

I.   (корень и правда сторонний).

II.  .

III.  .

 

Ответ:  

 

Примеры:

  1.  
  2.  

Решения:

Модуль в модуле

В некоторых уравнениях встречается «вложенный» модуль, то есть модуль какого-то выражения является частью подмодульного выражения, например:

 

Что делать в таком случае? Все банально: раскрывать модули. Но раскрывать их нужно по очереди. Какой будем раскрывать первым?

А это зависит от того, каким методом ты хочешь решить это уравнение. Рассмотрим два возможных варианта:

 

I. Данное уравнение является уравнением вида  

В этом случае первый способ решения будет стандартным для такого типа:

 

  – подмодульное выражение – в нашем примере это   , то есть:

 

Получили два элементарных уравнения такого же типа, то есть:

 

Эти четыре числа и будут ответом, можешь проверить их подстановкой в исходное уравнение.

 

II. Есть ещё один, более универсальный способ, который подойдёт для любых задач, не попадающих ни в какой из стандартных типов.

Что это за метод?

Метод интервалов.

В этом случае нужно раскрывать модули начиная с самых «глубоких», то есть «внутренних». В нашем случае внутренним будет модуль, выделенный красным цветом:

 

Чтобы раскрыть его, надо рассмотреть 2 случая: и , то есть уравнение распадается на два уравнения:

 

   

 

Краткое изложение статьи и основные формулы

Уравнения с модулем делятся на три вида, каждый вид имеет свой подход к решению:

1. Уравнения вида  

 

2. Уравнения вида  .

 

3. Уравнения вида  .

 

 

Теперь тебе слово...

Как тебе... про уравнения с модулем? Легкотня! )

Напиши внизу в комментариях помогла тебе наша статья или нет.

Расскажи о своем опыте решения уравнений с модулем, если он у тебя был.

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях. Мы читаем все.

И удачи на экзаменах!

 

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Марк
14 декабря 2017

Спасибо огромное,повторил,сдал на отлично,Алексею нобелевскую по математике)

ответить

Александр (админ)
15 декабря 2017

Марк, наши поздравления с отличной сдачей. Премию Алексею передам :)

ответить

владимир
19 апреля 2018

нобелевские по математике не присуждаются ...

ответить

Александр (админ)
19 апреля 2018

Наградим поощрительной грамотой )

ответить

Роман
19 декабря 2017

Добрый день! В пункте №3 Уравнения вида ∣x∣=y во втором примере: −2∣x+4∣=3−x, откуда дальше в решении появляется коэффициент 4 в правой части? −2∣x+4∣=3−4x Спасибо за ответ и Ваш чудесный и полезный сайт!

ответить

Александр (админ)
19 декабря 2017

Роман, привет! Спасибо за замечания и слова благодарности. Очень ценно... Алексей Шевчук проверит и поправит, если там ошибка. Еще раз спасибо!

ответить

Алексей Шевчук
20 декабря 2017

Роман, спасибо. Это была опечатка в условии.

ответить

Рагсана
09 апреля 2018

А как решить такой пример 7|2-4|+4*-8

ответить

Оля
19 апреля 2018

|-3у2+1|=у1

ответить

Нина
22 апреля 2018

помогите,пожалуйста,решить уравнение дробь в модуле :числитель 13,296 знаменатель 3.71 минус модуль 0,4х минус4,7 модуль закрывается,далее от дроби минус 2,2 умножить на 1,4.Еще раз обращаю внимание: сама дробь в модуле И равно 8 Пожалуйста помогите

ответить

Наташа
01 октября 2018

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить такое уравнение |x-1|=2x+3

ответить

Дарья
26 февраля 2019

Спасибо большое !!! Сайт замечательный ,я смогла разобраться и понять материал !!! Создателям огромное спасибо ,их работа заслуживает высокого внимания !!! Перейду на родной язык: Danke schön!!!! Ihre Arbeit ist wirklich wunderschön!!!! Danke ein male!!!

ответить

Александр (админ)
26 февраля 2019

Gern geschehen, Dascha! Bitte... International Mathematical Unterstützung zu Ihren Diensten ))

ответить

Зина
28 марта 2019

как по графику кусочно заданной функции записать уравнение, содержащее несколько модулей вида y=a|x|+b|x-8|+x+c? №23 ОГЭ систему составила y= -2x-4 . x<_0. y=0.75x - 4 , 0<x<8, y=2 x>8 , а как перейти к другой записи уравнения

ответить

Лера
19 мая 2019

Очень хорошо разобрано и объяснено. И за советы спасибо)

ответить

Александр (админ)
19 мая 2019

Лера, жму руку! Спасибо за теплые слова. Удачи на всех экзаменах!

ответить

джозеф
17 октября 2019

Решите уравнение ∣x∣=−3.....разве может модуль равняться отрицательному числу

ответить

Алексей Шевчук
24 октября 2019

Джозеф, нет, не может, и в этом примере поясняется, почему.

ответить

Виталий
18 ноября 2019

Помогите решить |х|+|y-x|=2 Нужно расскрыть модуль и по получившимся ответам которых 4 как сказал препод

ответить

Алексей Шевчук
19 ноября 2019

Виталий, в самом начале раздела "Метод интервалов в задачах с модулем" показано, как раскрывать сумму модулей. Принципиально это ничем не отличается от раскрытия одного модуля, просто будет больше комбинаций - 4 штуки, по 2 на каждый модуль: 1) x>=0, y>=x; 2) x<0, y>=x; 3) ... и так далее

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть