Уравнения с модулем - чтобы получить максимум на ЕГЭ по математике (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа» и таким образом уже частично готов к ЕГЭ по математике? :)

Если нет, срочно повтори эту тему. А если да, читай дальше...

Решение уравнений с модулем может быть самостоятельной задачей, но часто такие уравнения могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, квадратных.

Или иррациональных.

Вот пример подобной ситуации:

 

Видно, что в правой части – квадрат числа  :

 

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Но нет!

В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило:

  ?

Вот и появляется на сцене наш модуль:

 

Чтобы не теряться в таких случаях, давай разберемся, что из себя представляет решение уравнений с модулем.

Let's dive right in... (Поехали!) 

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


 

Решение уравнений с модулем вида |Х| = a

 

Уравнения такого вида  решаем, основываясь на свойствах модуля, которые мы разобрали в теме «Модуль числа» .

Давай разбираться на примерах. Необходимо решить уравнение вида:

 

Что такое  ?

Это просто  , если   больше либо равно нулю, или  , если   меньше нуля.

То есть можно формализовано записать так:

 

А если вот такое уравнение:

 

Рассуждения аналогичные:

 

Эти рассуждения можно было и обойти, вспомнив основное свойство модуля:

 

Модуль всегда положителен либо равен нулю!

 

Если обобщить разобранные выше примеры, то можно написать общее правило для решения уравнений вида  :

 

Попробуем применить это правило для такого уравнения:

 

Выражение под знаком модуля изменилось, но на логике рассуждений это не отражается, поэтому давай решать уравнение, применяя наше правило:

В нашем примере под " " подразумевается " ", а значение  . Зная это, получаем:

 

А если уравнение имеет вид:


 

Что-то меняется в рассуждениях? Конечно, нет! Ну, тогда давай решать его!

 

Уловил? Закрепим на примерах.

 

Примеры для самостоятельной работы

  1.  
  2.  
  3.  

 

Решения примеров для самостоятельной работы

 

Точно так же как и в предыдущем примере уравнения с модулем  могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, иррациональных.

Вот пример подобной ситуации:

 .

Мы могли бы раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные и решить обычное квадратное уравнение (например, через дискриминант).

Но здесь удобнее поступить по-другому! 

Заметим, что в правой части уравнения – формула сокращённого умножения квадрат суммы:

 

Тогда уравнение станет таким:

 

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Но нет!

Будь предельно осторожным: опять вспоминаем простое правило:  ?

И опять на сцене наш модуль:

 .

Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем (все три типа).

 

Три типа уравнений с модулем

1. Уравнения вида |X| = |a|

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя одно только определение модуля. Например:

Решите уравнение:

 

Что такое  ?

Это просто  , если  , или  , если  .

То есть:

 

Ответ:  

 

Другой пример:

Решите уравнение  .

Аналогично:

 

И правда, вспомним свойство №1:

 , то есть модуль всегда неотрицателен.

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

 

 

Ещё примеры (как обычно, пробуй решить их сам, потом смотри решения):

  1.  
  2.  
  3.  

Решения:​

 

2. Уравнения вида |X| = |Y|

Если начнём раскрывать модули по определению, натолкнёмся на множество проверок: какое число больше нуля, какое меньше; в итоге получим большую совокупность, которая затем упростится.

Но можно сделать так, чтобы сразу было всё кратко.

Для этого вспомним свойство модуля №7:

 .

С помощью этого свойства можем избавляться от модулей:

 

 

 

Пример:

Решите уравнение  .

 

Решение:

 

Реши самостоятельно:

  1.  
  2.  

 

Ответы:

 

3. Уравнения вида |X| = Y

Отличие от первого типа уравнений в том, что в правой части тоже переменная. А она может быть как положительной, так и отрицательной.

Поэтому в её неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1):

 

 

Пример:

Решите уравнение:  .

 

Решение:

 

Теперь задачи для самостоятельного решения:

1.  

2.  

3.  

 

Ответы:

 

Метод интервалов в задачах с модулем

Пример:

Решите уравнение:  

Решение:

Рассмотрим первый модуль  . По определению он раскрывается «с плюсом» (то есть выражение под модулем не меняется), если  , и «с минусом» (то есть все знаки меняются на противоположные), если  :

 

Аналогично и со вторым:

 

Проблема только в том, что теперь нам нужно рассмотреть очень много вариантов: по   варианта для каждого модуля, итого четыре разных, но похожих друг на друга, уравнения.

Если модулей будет не два, а три, получится уже   уравнений!

Можно ли как-то сократить количество вариантов?

Да, можно – ведь не все условия могут выполняться одновременно:   и   противоречат друг другу.

Поэтому нет смысла раскрывать второй модуль «с плюсом», если первый раскрыт «с минусом». Значит, здесь у нас на одно уравнение меньше.

Теперь систематизируем то, что мы только что выяснили, и разработаем последовательность действий в таких примерах:

 

1. Определим корни подмодульных выражений – такие  , при которых выражения равны нулю:

 

 

2. Отметим корни выражений под модулями на числовой оси:

решение уравнения с модулем на оси

 

3. Подпишем у каждого из получившихся интервалов, какой знак принимает каждое из наших подмодульных выражений.

расстановка знаков в уравнении с модулем

 

4. Для каждого интервала запишем и решим уравнение. Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу!

 

Примеры:

I.  . Здесь оба модуля раскрываем «с минусом»:

  – этот корень сторонний.

 

II.  . Здесь первый модуль раскрываем «с плюсом», а второй - «с минусом»:

  – этот корень попадает в «свой» интервал, значит, он подходит.

 

III.  . Здесь оба модуля раскрываем «с плюсом»:

  – этот корень тоже является решением.

 

Проверим полученные корни:

I.   (корень и правда сторонний).

II.  .

III.  .

 

Ответ:  

 

Примеры:

  1.  
  2.  

Решения:

Модуль в модуле

В некоторых уравнениях встречается «вложенный» модуль, то есть модуль какого-то выражения является частью подмодульного выражения, например:

 

Что делать в таком случае? Все банально: раскрывать модули. Но раскрывать их нужно по очереди. Какой будем раскрывать первым?

А это зависит от того, каким методом ты хочешь решить это уравнение. Рассмотрим два возможных варианта:

 

Краткое изложение статьи и основные формулы

Уравнения с модулем делятся на три вида, каждый вид имеет свой подход к решению:

1. Уравнения вида  

 

2. Уравнения вида  .

 

3. Уравнения вида  .

 

 

Теперь тебе слово...

Как тебе... про уравнения с модулем? Легкотня! )

Напиши внизу в комментариях помогла тебе наша статья или нет.

Расскажи о своем опыте решения уравнений с модулем, если он у тебя был.

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях. Мы читаем все.

И удачи на экзаменах!

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Марк
14 декабря 2017

Спасибо огромное,повторил,сдал на отлично,Алексею нобелевскую по математике)

ответить

Александр (админ)
15 декабря 2017

Марк, наши поздравления с отличной сдачей. Премию Алексею передам :)

ответить

владимир
19 апреля 2018

нобелевские по математике не присуждаются ...

ответить

Александр (админ)
19 апреля 2018

Наградим поощрительной грамотой )

ответить

Роман
19 декабря 2017

Добрый день! В пункте №3 Уравнения вида ∣x∣=y во втором примере: −2∣x+4∣=3−x, откуда дальше в решении появляется коэффициент 4 в правой части? −2∣x+4∣=3−4x Спасибо за ответ и Ваш чудесный и полезный сайт!

ответить

Александр (админ)
19 декабря 2017

Роман, привет! Спасибо за замечания и слова благодарности. Очень ценно... Алексей Шевчук проверит и поправит, если там ошибка. Еще раз спасибо!

ответить

Алексей Шевчук
20 декабря 2017

Роман, спасибо. Это была опечатка в условии.

ответить

Рагсана
09 апреля 2018

А как решить такой пример 7|2-4|+4*-8

ответить

Оля
19 апреля 2018

|-3у2+1|=у1

ответить

Нина
22 апреля 2018

помогите,пожалуйста,решить уравнение дробь в модуле :числитель 13,296 знаменатель 3.71 минус модуль 0,4х минус4,7 модуль закрывается,далее от дроби минус 2,2 умножить на 1,4.Еще раз обращаю внимание: сама дробь в модуле И равно 8 Пожалуйста помогите

ответить

Наташа
01 октября 2018

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить такое уравнение |x-1|=2x+3

ответить

Дарья
26 февраля 2019

Спасибо большое !!! Сайт замечательный ,я смогла разобраться и понять материал !!! Создателям огромное спасибо ,их работа заслуживает высокого внимания !!! Перейду на родной язык: Danke schön!!!! Ihre Arbeit ist wirklich wunderschön!!!! Danke ein male!!!

ответить

Александр (админ)
26 февраля 2019

Gern geschehen, Dascha! Bitte... International Mathematical Unterstützung zu Ihren Diensten ))

ответить

Зина
28 марта 2019

как по графику кусочно заданной функции записать уравнение, содержащее несколько модулей вида y=a|x|+b|x-8|+x+c? №23 ОГЭ систему составила y= -2x-4 . x<_0. y=0.75x - 4 , 0<x<8, y=2 x>8 , а как перейти к другой записи уравнения

ответить

Лера
19 мая 2019

Очень хорошо разобрано и объяснено. И за советы спасибо)

ответить

Александр (админ)
19 мая 2019

Лера, жму руку! Спасибо за теплые слова. Удачи на всех экзаменах!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Добрый день!

Закрытые части учебника - только для учеников YouClever.

Оставьте Email и я расскажу вам как им стать и пришлю в качестве бесплатного бонуса доступ к разделу учебника «Базовые темы» (стоимость раздела - 497 руб).

Значимость этого раздела для ЕГЭ - 14 из 100! Он состоит из 15 тем:

  1. НОК и НОД, признаки делимости и методы группировки;
  2. Степень и ее свойства;
  3. 7 волшебных формул сокращенного умножения;
  4. 5 способов разложения многочлена на множители;
  5. Дроби. Рациональные числа. Операции с дробями;
  6. Все о десятичных дробях;
  7. Задачи на проценты. Как найти процент от числа;
  8. Преобразование выражений. Подробная теория;
  9. Сравнение чисел;
  10. Квадратный корень;
  11. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами;
  12. Свойства логарифмов и примеры их решений;
  13. Замена переменных;
  14. Модуль числа;
  15. ОДЗ - область допустимых значений.

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть