Коротко о главном Начальный уровень

Вписанная и вневписанная окружность. Коротко о главном.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Вписанная в треугольник окружность - окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.

  • Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
  • Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника:

   .

  • Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:

 

 

 .

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности:  , где   - полупериметр треугольника, а   - радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность - окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника ( ) и биссектрис двух внешних углов (  и  ).

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности:  , где   - полупериметр треугольника, а   - радиус вневписанной окружности.

Вписанная окружность

Здесь мы будем говорить об окружностях, связанных с треугольником. Оставим пока в стороне страшное слово «вневписанная» и поговорим об окружности, вписанной в треугольник. Итак, что же это такое?

Окружность, вписанная в треугольник. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех (трёх) его сторон.

Для всякого ли треугольника можно подобрать такую окружность? И как найти ее центр?

На эти вопросы отвечает следующая теорема (математически называют очень важные утверждения теоремами)

Центр вписанной окружности Во всякий треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

И повторим ещё раз то, что очень нужно запомнить.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Если тебя заинтересовал вопрос, а почему это все три биссектрисы обязаны пересечься, и какое отношение имеют биссектрисы к тому, что окружность касается сторон треугольника, то добро пожаловать в средний уровень теории по темам «Биссектриса» и «Вписанная и вневписанная окружность».

Но для начала хватит просто запомнить то, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Теперь немножко о радиусе.

Радиус вписанной окружности. Посмотри, пусть у нас в   вписана окружность с центром  . Тогда отрезки  ,  , и   – радиусы этой окружности.

Поэтому они, конечно же, равны, но ещё – они все перпендикулярны сторонам. Это происходит оттого, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Итак, запомни и используй:

Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника.

Что же ещё? Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.

Точки касания окружности.

Можно ли найти как-то отрезочки  ,  ,   и.д. - отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника? Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные. Касающиеся окружности»).

Итак, начнём поиск!

Посмотри внимательно: из точки   проведено две касательных, значит их отрезки   и   равны.

Точки касания окружности 2. Мы обозначим их « ». Далее, точно так же:
  (обозначили).
  (обозначили).

Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины « », « », « » - смотри на рисунок. Что же теперь получилось? А вот, например, отрезок « » состоит из двух отрезков « » и « », да и отрезки « » и « » тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:

 

Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!

Сложим первые два уравнения и вычтем третье:

 , то есть:

 

А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:

 , то есть:

 

И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.

 

 

Ну вот, всё нашли:

 

Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.

Точки касания окружности 3.

 

Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть « » (« » и « ») будут с плюсом, а та сторона, где нет « » (это « »), будет с минусом. Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же

 

На « » и « » есть « » - они с плюсом, на « » нет « » - она с минусом

 

На « » и « » есть « » - они с плюсом, на « » нет « » - она с минусом.

Вписанная окружность и площадь

Вписанная окружность и площадь

Здесь скажем совсем коротко:

Есть такая формула:

 ,

где   - это полупериметр треугольника, то есть  , а   - радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность

Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: «вневписанная окружность»? Сначала посмотри на картинку:

вневписанная окружность

Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.

Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!

Посмотри, вот, так:

Три вневписанных окружности

Захватывает дух? Насладись впечатлением. Подробное обсуждение этой картинки смотри в следующих уровнях теории. Там ответим на всякие вопросы, типа

- A откуда взялся  ?

- A что это за точка  ?

- И что это вообще за тьма линий на рисунке?

А сейчас вернёмся к одной, какой-нибудь, вневписанной окружности и узнаем всего один, но очень важный факт.

Вневписанная окружность. Полупериметр.

 ,

или, что то же самое:  , где   - полупериметр.

Доказывать не будем, но ещё раз посмотри и запомни:

до «дальней» точки касания вневписанной окружности – ровно полупериметр.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть