Тригонометрическая окружность

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла \( \displaystyle 30\) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

\( \displaystyle cos\ 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: \( \displaystyle 60{}^\circ \) и \( \displaystyle 45{}^\circ \)

Можно схитрить: в частности для угла в \( \displaystyle 60{}^\circ \) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен \( \displaystyle 60{}^\circ \) градусам, то второй – \( \displaystyle 30{}^\circ \) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

\( \displaystyle sin\ 30{}^\circ =cos\ 60{}^\circ \)

\( \displaystyle sin\ 60{}^\circ =cos\ 30{}^\circ \)

Тогда так как \( \displaystyle sin\ 30{}^\circ =0,5\), то и \( \displaystyle cos\ 60{}^\circ =0,5\). Так как \( \displaystyle cos\ 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\), то и \( \displaystyle sin\ 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\).

C \( \displaystyle 45\) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен \( \displaystyle 45\) градусам, то и другой тоже равен \( \displaystyle 45\) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Тогда:

\( \displaystyle si{{n}^{2}}45{}^\circ +co{{s}^{2}}45{}^\circ =2si{{n}^{2}}45{}^\circ =1\)

\( \displaystyle si{{n}^{2}}45{}^\circ =co{{s}^{2}}45{}^\circ =1/2\)

Откуда: \( \displaystyle sin 45{}^\circ =cos 45{}^\circ =\sqrt{1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в \( \displaystyle 0\) градусов и \( \displaystyle 90\) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

\( \displaystyle sin\ 0{}^\circ =0\), \( \displaystyle cos\ 0{}^\circ =1\), \( \displaystyle sin\ 90{}^\circ =1\), \( \displaystyle cos\ 90{}^\circ =0\).

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

\( \displaystyle \text{t}g\ \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\), \( \displaystyle ctg\ \alpha =\frac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }\)

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса \( \displaystyle 90\) градусов. Это неспроста!

В частности:

\( \displaystyle ctg 0=\frac{\cos 0}{\sin 0}=\frac{1}{0}=?????\)

Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс \( \displaystyle 90\) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

• Угол лежит в пределах от \( \displaystyle 0\) до \( \displaystyle 360\) градусов;
• Угол больше \( \displaystyle 360\) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше \( \displaystyle 90\) градусов и не больше чем \( \displaystyle 360\).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол \( \displaystyle \alpha \), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки \( \displaystyle {{M}_{1}}\), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты \( \displaystyle {{x}_{1}}\) и \( \displaystyle {{y}_{1}}\).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен \( \displaystyle -1\)? А у каких \( \displaystyle -1\) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.