Иррациональные уравнения. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018
Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем с самого простого: уравнения вида  .

Например:  . Как его решить? Как избавиться от корня? Правильно, квадратный корень убирается возведением в квадрат:

 .

А как решить такое:  ?

И снова вспомним определение корня степени  :   – это такое число, которое нужно возвести в степень  , чтобы получить  . В данном случае эта степень равна  :

 

Итак, общее правило:

 

Хорошо, а что с этим:  ? Все просто: квадрат и корень уничтожаются, и получаем  , верно?

Нет! Когда мы проходили корни, на это обращали особое внимание: здесь два корня –   и  , ведь  . Не забываем правило:

 

Реши сам:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

  1.  
  2.  
  3.  

Учет ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ? ОДЗ (область допустимых значений) уравнения или неравенства – это множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл.

Например, в уравнении   присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства  .

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, задачу из предыдущей главы:  . При возведении в квадрат получаем  , то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ.

Пример:

 

ОДЗ:  .

Но при таких   правая часть уравнения неположительна, а левая, как и любой приличный квадратный корень, неотрицательна. Тогда равенство возможно только если обе части уравнения равны нулю, то есть при  :  .

Ответ:  .

Еще пример:

 

Решение:

Найдем ОДЗ:

 

Итак, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Проверим его – подставим   в уравнение. Что получилось? Если получилось  , все верно: корень   подходит.

Ответ:  .

Большинство стандартных иррациональных уравнений не требуют нахождения ОДЗ – как и в приведенном в начале примере, ОДЗ оказывается автоматически учтенной после равносильного преобразования.

Иррациональные уравнения вида  .

Здесь и далее большими буквами  ,  ,  , и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись   соответствует, например, уравнению  :   здесь и  .

Как решить такое уравнение?

Во-первых, корни равны только когда подкоренные выражения равны:  . Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом уравнении?

Действительно, чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

 

Но поскольку эти выражения равны друг другу, достаточно потребовать неотрицательности только одного из них:

  или  

Примеры (реши сам):

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

1. Какое из выражений будем проверять на неотрицательность? Конечно же то, которое проще, то есть  :

 

 

2.  

 

3.  

 

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Иррациональные уравнения вида  .

Что написано в левой части? Правильно, произведение выражений. А при каких условиях произведение равно нулю? Конечно, если один из множителей равен нулю, то есть верна совокупность 

 

Но, как ты догадался, это еще не все. Что нужно добавить? ОДЗ. Причем в той части, где  , все хорошо. Но если мы выбираем  , придется кое-что сказать и про  :

 

Примеры (реши сам):

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

1.  

2.  

3.  

 

Иррациональные уравнения вида  .

Наиболее распространённый тип иррациональных уравнений.

Рассмотрим пример:

 

Возводим обе части в квадрат:

 

Все верно? Это ответ?

Проверим корни:

  – все и правда верно,   – подходящий корень.

  – а вот здесь ошибка. Значит, корень   – сторонний.

И правда, мы ведь помним, что результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен! Значит, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна. Тоже своего рода ОДЗ.

 

Проверять же ОДЗ корня ( ) здесь снова не нужно (почему?).

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

1.  

  

 

2.  

 

Первое уравнение решим через дискриминант:

 

 

Что проще: узнать, какой из этих корней больше  , или подставить их в начальное уравнение для проверки? Конечно, первое!

Теперь становится очевидной выгода равносильного преобразования вместо проверки корней подстановкой в исходное уравнение.

Не знаешь, как такое сравнивать? Смотри тему «Сравнение чисел»!

 : этот корень явно больше  , поэтому он автоматически больше  .

 

 

 

    

Выходит, что оба корня являются решениями.

Ответ:  

3)  .

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат:

 

 

Теперь решаем по шаблону:

 

Теперь необходимо сравнить числа  ,   и  . Снова вспоминаем тему «Сравнение чисел»:

    

   

Значит, ответом будет  .

Корни степени больше  

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

I. Корни четной степени.

Корни  ,  ,  , и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

 

Например:

 

II. Корни нечетной степени.

С нечетными степенями ( ,  , …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

 

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ответы:

1.  

2.  

 

3.