Иррациональные уравнения. Теория и разбор задач

Знаешь, за что, согласно легендам, убили одного древнего математика-философа по имени Гиппас?

За то, что он открыл иррациональные числа! А другие философы сочли, что такое открытие нарушает “идеальность” окружающей нас природы.

Сегодня ты узнаешь, что такое иррациональность, как решать иррациональные уравнения и почему нам не следует бояться их, как это делали древние математики!

Поехали!

Иррациональные уравнения – коротко о главном

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Для того, чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

  • Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его);
  • Повторять эту процедуру, пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
  • Решить получившееся рациональное уравнение;
  •  Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.

Что такое иррациональные уравнения?

Не секрет же, что большинство чисел можно представить в виде обыкновенной дроби с натуральными числами в числителе и знаменателе?

Например, число 7 – это \(\frac{21}{3}\)

Иррациональные числа не такие. Их невозможно представить в виде дроби. Они странные.

Гиппас создал античным математикам множество проблем: их теории о том, что все в мире соизмеримо целым числам, рушились одна за другой. И они боялись.

Но мы будем смелыми 🙂

Сначала разберемся, что такое рациональные уравнения, а потом научимся находить решение иррациональных уравнений.

Итак, что из себя представляют рациональные уравнения, а что – иррациональные:

  • \( 3\cdot (x+1)=x\) – как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!
  • \( 3\cdot (x+1)=\sqrt{x}\) – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);
  • \( 3\cdot (x+1)=\frac{1}{x}\) – а это – рациональное;
  • \( 3\cdot (x+1)={{x}^{2}}\) – тут вот степень, но она с целым показателем степени (\( 2\)– целое число) – значит, это тоже рациональное уравнение;
  • \( 3\cdot (x+1)={{x}^{-1}}\) – даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь, по сути, \( {{x}^{-1}}\) – это \( \frac{1}{x}\);
  • \( 3\cdot (x+1)={{x}^{0}}\) – тоже рациональное, т.к. \( {{x}^{0}}=1\);
  • \( 3\cdot (x+1)={{x}^{\frac{1}{2}}}\) – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней \( {{x}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{x}\), как ты помнишь, корня в рациональных уравнениях не бывает.

Надеюсь, теперь ты сможешь различить, к какому виду относится то или иное уравнение.

Дадим oпределение:

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень. 

А вот как это выглядит: \( \sqrt{x}\); \( {{x}^{\frac{1}{3}}}\).

Но только отличать рациональное от иррационального недостаточно, тебе же решать их надо! Вся сложность в корнях, так?

Так избавься от них, вот и все дела!

Если еще не догадался, как, то я подскажу: просто возведи в нужную степень обе части уравнения, а потом решай его как простое рациональное уравнение.

Но проверяй все корни! Позже ты поймешь, почему делать это необходимо.

Как рациональные уравнения решать помнишь? Если забыл, то советую почитать «Рациональные уравнения».

Если читать лень, напомню вкратце. Для верного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего алгоритма:

Алгоритм решения рациональных уравнений

  • Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  • Определить ОДЗ;
  • Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  •  Решить получившееся целое уравнение; 
  • Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Вроде все объяснил, давай решать, математика слов не любит.

Решение иррациональных уравнений (7 примеров)

Пример №1

\( \sqrt{2x+1}=3\)

Корень из икса видишь? Значит, какое уравнение? 

Верно, оно иррациональное! Что дальше?

Избавляемся от корней. Поскольку корень второй степени, то обе части уравнения возводим в квадрат и упрощаем:

\( 2x+1=9\) \( 2x=8\) \( x=4\)

Вот и все, почти все, что осталось сделать? Правильно.

Решая иррациональное уравнение, обязательно надо проводить проверку полученных корней!

Подставим \( 4\) в исходное уравнение, именно в исходное уравнение, потому что нам нужно найти его корни, а, возведя в квадрат, мы могли получить посторонние корни (об этом позже).

\( 3=3\) – тут все верно.

Пример №2

\( \sqrt{2{x}-5}=\sqrt{4{x}-7}\)

О том, что это иррациональное уравнение, думаю, ты и сам знаешь. Как и раньше возводим в квадрат обе части:

\( 2{x}-5=4{x}-7\), упрощаем: \( x=1\).

Проверка, подставим \( 1\) в исходное уравнение:

\( \sqrt{-3}=\sqrt{-3}\)

Вот это да! Ничего тебя тут не смущает?

Под квадратным корнем у нас отрицательное число!

Как же так вышло?

А это говорит о том, что это посторонний корень для исходного уравнения.

Да, это корень уравнения \( 2{x}-5=4{x}-7\), но оно-то не исходное, его мы получили после преобразований!

В ответе пишем «нет решения».

Что будем делать, чтобы отточить свои навыки? Будем еще решать, еще уравнение.

Пример №3

\( \sqrt{12-x}=x\)

После возведения обеих частей в квадрат имеем:

\( 12-x={{x}^{2}}\), упрощаем и решаем квадратное уравнение по теореме Виета

\( {{x}^{2}}+{x}-12=0\) \( \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=3\\{{x}_{2}}=-4\end{array} \right.\)

У нас два корня, пробуем их подставить в исходное для проверки.

Подставляем \( 3\), \( \sqrt{9}=3\), \( 3=3\) – подходит.

Подставим \( -4\), получим \( \sqrt{16}=-4\)…

Но ведь \( 4\ne -4\)! Что же получается, \( -4\) – посторонний корень.

Заговор какой-то!

Думаю, интрига затянулась, настало время объяснить, почему получаются какие-то посторонние корни.

Опять объяснять буду на примере:

\( -2\ne 2\), но если мы возведем в квадрат обе части, \( {{(-2)}^{2}}={{(2)}^{2}}\), \( 4=4\).

Ну как тебе фокус? 🙂

То же самое получается и в нашем примере с иррациональным уравнением, в результате преобразования мы можем найти все корни, но могут примешаться и посторонние.

Их надо отфильтровать проверкой, проверив, будет ли соблюдаться равенство исходного уравнения при их подстановке.

А если взять не вторую, а третью степень:

\( {{(-2)}^{3}}\ne {{(2)}^{3}}\) \( -8\ne 8\)

Ну, вообще это в свойствах корней почитаешь («Корень степени n > 1 и его свойства»), а так я напомню только основные принципы.

  • Если показатель степени четный, т.е. мы берем корень квадратный или корень \( 4\) степени и т.д.;
  • Если подкоренное выражение отрицательно, то корень не имеет смысла (не существует);
  • Если подкоренное выражение равно нулю, то корень тоже равен нулю;
  • Если подкоренное выражение положительно, то значение корня существует и положительно.

Примеры: \( \sqrt{-4}\text{ }\) – не существует, \( \sqrt{0}=0\)\( \sqrt{4}=2\).

Если показатель степени нечетный (\( \sqrt[3]{\ }\text{ }\sqrt[5]{\ }…\)), то корни определены при любом значении подкоренного выражения.

При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно.

Примеры: \( \sqrt[3]{-27}=-\text{3}\), \( \sqrt[3]{0}=\text{0}\), \( \sqrt[3]{27}=\text{3}\).

Но не все так просто, как хотелось бы.  

Пример №4 (метод уединения радикала)

\( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x}=1\)

В этом примере есть два подкоренных выражения и число \( 1\).

Чтобы избавиться от корня, нужно обе части возвести в квадрат, но, прежде чем сделать это, перенесем \( \sqrt{x}\) в правую часть. 

\( \sqrt{2x+1}=1-\sqrt{x}\)

«Зачем?» –  спросишь ты.

Дело в том, что, если возводить в квадрат в таком виде, упрощать придется дольше, не веришь – попробуй сам, а я, пожалуй, избавлю себя от расписывания этого 🙂

Теперь возводим в квадрат обе части и упрощаем.

\( \sqrt{2x+1}=1-\sqrt{x}\)

\( 2x+1=1-2\sqrt{x}+x\)

\( x=-2\sqrt{x}\)

Понял, в чем сложность?

Этот метод решения математики называют «метод уединения радикала».

Радикал (выражение с корнем) надо уединить в одной стороне уравнения. Но уединять и возводить в степень придется не один раз.

Чтобы избавиться от корней и получить нормальное (рациональное 🙂 ) уравнение, придется выполнять множество замысловатых махинаций, которые заключаются в уединении и возведении в степень.

С другой стороны, можно заметить, что на определенной стадии решения становится без дальнейших упрощений понятно, что в уравнении, например, нет решений.

На этапе, когда мы получили \( x=-2\sqrt{x}\), вместо того, чтобы тупо возводить все очередной раз в квадрат можно прикинуть, что квадратный корень берется только из неотрицательных чисел, значит, икс в данном случае будет больше либо равен нулю.

А что из этого следует?

А то, что икс не может быть равен \( -2\sqrt{x}\), т.к. и икс, и корень из икс неотрицательны.

Равенство говорит, будто неотрицательное число, умноженное на отрицательное, равно неотрицательному, но все ведь знают, что минус на плюс дает минус!

Значит, это равенство возможно лишь том в случае, когда икс равен нулю.

Я бы назвал решение методом уединения радикала решением «в лоб», а изложенный сейчас способ более рациональным с точки зрения лишней писанины и подсчетов.

Вернемся к нашему несчастному примеру.

Опять возводим в квадрат обе части.

\( {{x}^{2}}=4x\)

\( {{x}^{2}}-4x=0\)

\( x({x}-4)=0\)

\( \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=4\end{array} \right.\)

Дальше, как ты уже запомнил, нужно подставить корни \( 0\) и \( 4\) в исходное уравнение для проверки.

Скажу лишь, что \( 4\) тут будет побочным корнем, а ты давай-давай, подставляй, проверь на всякий случай 😉

А ответ, соответственно, будет \( 0\).

Решать тебе, применять до последнего метод уединения радикала или на определенной стадии решить, что выражение можно не упрощать больше и решение очевидно уже сейчас.

Давай еще сделаем выжимку из сказанного выше…

Решение иррациональных уравнений включает в себя 4 шага:

  • Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его);
  • Повторять эту процедуру, пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
  • Решить получившееся рациональное уравнение;
  •  Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.

Вот, собственно, и все, а чтобы слова, которые ты тут прочел, не остались просто словами и ты на собственном опыте понял, что здесь к чему, вот, порешай:

Пример №5

\( \sqrt{{x}-5}=\sqrt{2{x}-4}\) \( \displaystyle \sqrt{{x}-5}=\sqrt{2{x}-4}\) \( \displaystyle {x}-5=2{x}-4\)

\( \displaystyle x=-1,\) но \( \displaystyle -1\) не проходит проверку

Ответ: \( \displaystyle \emptyset \)

Пример №6

\( \sqrt{{{x}^{2}}+8}=1-2x\);

Реши самостоятельно. Дам тебе подсказку.

Ответ: \( \displaystyle -1\)

Пример №7

\( \sqrt{2{x}-7}+\sqrt{x}=0\)

\( \displaystyle \sqrt{2{x}-7}+\sqrt{x}=0\)

\( \displaystyle \sqrt{2{x}-7}=-\sqrt{x}\)

\( \displaystyle 2{x}-7=x\)

\( \displaystyle x=7\), но \( \displaystyle 7\) не проходит проверку.

Также можно на второй строке решения понять, что равенство не имеет смысла, т.к. \( \displaystyle \sqrt{2{x}-7}=-\sqrt{x}\), только в случае, когда \( \displaystyle x=0\), но \( \displaystyle 0\) в данном случае не подходит.

Ответ: \( \displaystyle \emptyset \)

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем с самого простого: уравнения вида \( \displaystyle \sqrt{x}=a\).

Например: \( \displaystyle \sqrt{x}=3\). Как его решить? Как избавиться от корня? Правильно, квадратный корень убирается возведением в квадрат:

\( \displaystyle \sqrt{x}=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}={{3}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=9\).

А как решить такое: \( \displaystyle \sqrt[3]{x}=3\)?

И снова вспомним определение корня степени \( \displaystyle n\): \( \displaystyle \sqrt[n]{x}\) – это такое число, которое нужно возвести в степень \( \displaystyle n\), чтобы получить \( \displaystyle x\). В данном случае эта степень равна \( \displaystyle 3\):

\( \displaystyle \sqrt[3]{x}=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{\left( \sqrt[3]{x} \right)}^{3}}={{3}^{3}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=27\)

Итак, общее правило:

\( \displaystyle \sqrt[n]{x}=a\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x={{a}^{n}}\)

Хорошо, а что с этим: \( \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}}=4\)? Все просто: квадрат и корень уничтожаются, и получаем \( \displaystyle x=4\), верно?

Нет! Когда мы проходили корни, на это обращали особое внимание: здесь два корня – \( \displaystyle x=4\) и \( \displaystyle x=-4\), ведь \( \displaystyle \sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{16}=4\).

Не забываем правило:

\( \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}}=a\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left| x \right|=a\)

Реши сам:

  • \( \displaystyle \sqrt{x+2}=3\);
  • \( \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+3x}=2\);
  • \( \displaystyle \sqrt[3]{x+5}=-1\).

Ответы:

  • \( \displaystyle \sqrt{x+2}=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+2=9\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=7\);
  • \( \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+3x}=2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}+3{x}-4=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=-4\\x=1\end{array} \right.\);
  • \( \displaystyle \sqrt[3]{x+5}=-1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+5=-1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=-6\).

Учет ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ?

ОДЗ (область допустимых значений) уравнения или неравенства – это множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл

Например, в уравнении \( \displaystyle \sqrt{x+2}=3\) присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства \( \displaystyle x+2\ge 0\).

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, задачу из предыдущей главы:

\( \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+3x}=2\).

При возведении в квадрат получаем \( \displaystyle {{x}^{2}}+3x=4\), то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример, просто найдя ОДЗ!

Пример №8. Найди ОДЗ и реши!

\( \displaystyle \sqrt{2{x}-6}=3-x\)

ОДЗ: \( \displaystyle 2{x}-6\ge 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\ge 3\).

Но при таких \( \displaystyle x\) правая часть уравнения неположительна, а левая, как и любой приличный квадратный корень, неотрицательна.

Тогда равенство возможно только если обе части уравнения равны нулю, то есть при \( \displaystyle x=3\): \( \displaystyle \sqrt{2\cdot 3-6}=0=3-3\).

Ответ: \( \displaystyle 3\)

Пример №9

\( \displaystyle \sqrt{8{x}-15-{{x}^{2}}}+\sqrt{{x}-5}=2{{x}^{2}}-7{x}-15\)

Найдем ОДЗ:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}8{x}-15-{{x}^{2}}\ge 0\\{x}-5\ge 0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}\left( {x}-5 \right)\left( {x}-3 \right)\le 0\\x\ge 5\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}3\le x\le 5\\x\ge 5\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=5\)

Итак, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Проверим его – подставим \( \displaystyle x=5\) в уравнение.

Что получилось? Если получилось \( \displaystyle 0=0\), все верно: корень \( \displaystyle x=5\) подходит.

Ответ: \( \displaystyle 5\).

Большинство стандартных иррациональных уравнений не требуют нахождения ОДЗ – как и в приведенном в начале примере, ОДЗ оказывается автоматически учтенной после равносильного преобразования.

Иррациональные уравнения вида √A = √B

Здесь и далее большими буквами \( \displaystyle A\), \( \displaystyle B\), \( \displaystyle C\), и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную.

Так, общая запись \( \displaystyle \sqrt{A}=\sqrt{B}\) соответствует, например, уравнению \( \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-{x}-2}=\sqrt{{x}-1}\): \( \displaystyle A={{x}^{2}}-{x}-2\) здесь и \( \displaystyle B={x}-1\).

Как решить такое уравнение?

Во-первых, корни равны только когда подкоренные выражения равны: \( \displaystyle A=B\). Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом уравнении?

Действительно, чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Но поскольку эти выражения равны друг другу, достаточно потребовать неотрицательности только одного из них:

\( \displaystyle \sqrt{A}=\sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A=B\\A\ge 0\end{array} \right.\) или \( \displaystyle \sqrt{A}=\sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A=B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Примеры (реши сам):

Пример №10


\( \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-x+2}=\sqrt{x+1}\)

Какое из выражений будем проверять на неотрицательность? Конечно же то, которое проще, то есть \( \displaystyle {x}-1\):

\( \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-x+2}=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x+2=x+1\\x+1\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \) \( \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x+1=0\\x\ge -1\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1\)

Пример №11


\( \displaystyle \sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}=\sqrt{{x}-2}\) \( \displaystyle \sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}=\sqrt{{x}-2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-6{x}-17={x}-2\\{x}-2\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \) \( \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-7{x}-15=0\\x\ge 2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x=5\\x=-\frac{3}{2}\end{array} \right.\\x\ge 2\end{array} \right.\Leftrightarrow x=5\)

Пример №12


\( \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}-9x+1}=\sqrt{2{{x}^{2}}-{x}-6}\) \( \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}-9x+1}=\sqrt{2{{x}^{2}}-{x}-6}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{{x}^{2}}-9x+1=2{{x}^{2}}-{x}-6\\2{{x}^{2}}-{x}-6\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \) \( \displaystyle \Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-8x+7=0\\2\left( {x}-2 \right)\left( x+\frac{3}{2} \right)\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x=7\\x=1\end{array} \right.\\x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)\end{array} \right.\Leftrightarrow x=7\)

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Иррациональные уравнения вида A√B = 0

Что написано в левой части? Правильно, произведение выражений. А при каких условиях произведение равно нулю? Конечно, если один из множителей равен нулю, то есть верна совокупность

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}A=0\\B=0\end{array} \right.\)

Но, как ты догадался, это еще не все. Что нужно добавить? ОДЗ. Причем в той части, где \( \displaystyle B=0\), все хорошо. Но если мы выбираем \( \displaystyle A=0\), придется кое-что сказать и про \( \displaystyle B\):

\( \displaystyle A\sqrt{B}=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A=0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Примеры (реши сам):

Пример №13


\( \displaystyle x\sqrt{{x}-1}=0\) \( \displaystyle x\sqrt{{x}-1}=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}{x}-1=0\\\left\{ \begin{array}{l}x=0\\{x}-1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=1.\)

Пример №14


\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{x+1}=0\) \( \displaystyle \left( {{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{x+1}=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x+1=0\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-4=0\\x+1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\\left\{ \begin{array}{l}x=2\\x=-2\\x\ge -1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=2.\end{array} \right.\)

Пример №15


\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}-3{x}-4 \right)\sqrt{2x+1}=0\)

\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}-3{x}-4 \right)\sqrt{2x+1}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x+1=0\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-3{x}-4=0\\2x+1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \)\( \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x=4\\x=-1\\x\ge -\frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\x=4.\end{array} \right.\)

Иррациональные уравнения вида √A=B

Наиболее распространённый тип иррациональных уравнений.

Рассмотрим пример:

\( \displaystyle \sqrt{x+2}=x\)

Возводим обе части в квадрат:

\( \displaystyle {{\left( \sqrt{x+2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+2={{x}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-{x}-2=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-1.\end{array} \right.\)

Все верно? Это ответ?

Проверим корни:

\( \displaystyle x=2:\text{ }\sqrt{2+2}=2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{4}=2\) – все и правда верно, \( \displaystyle x=2\) – подходящий корень.

\( \displaystyle x=-1:\text{ }\sqrt{-1+2}=-1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{1}=-1\) – а вот здесь ошибка. Значит, корень \( \displaystyle x=-1\) – сторонний.

И правда, мы ведь помним, что результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен! Значит, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна. Тоже своего рода ОДЗ.

\( \displaystyle \sqrt{A}=B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A={{B}^{2}}\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Проверять же ОДЗ корня (\( \displaystyle A\ge 0\)) здесь снова не нужно (почему?).

Примеры:

  • \( \displaystyle \sqrt{4x+1}={x}-1\)
  • \( \displaystyle \sqrt{2{{x}^{2}}-3{x}-1}=x+3\)
  • \( \displaystyle \sqrt{2{x}-1}-\sqrt{x+2}=1\)

Ответы:

  • \( \displaystyle 6\)
  • \( \displaystyle -1; 10\)
  • \( \displaystyle 6+ 2\sqrt{7}\)

Корни степени больше 2

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

Корни четной степени

Корни \( \displaystyle 2\), \( \displaystyle 4\), \( \displaystyle 6\), и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

\( \displaystyle \sqrt[4]{x}=\sqrt{\sqrt{x}};\text{ }\sqrt[6]{x}=\sqrt{\sqrt[3]{x}};\text{ }\sqrt[2k]{x}=\sqrt{\sqrt[k]{x}}\)

Например:

\( \displaystyle \sqrt[4]{A}=B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A={{B}^{4}}\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Корни нечетной степени

С нечетными степенями (\( \displaystyle 3\), \( \displaystyle 5\), …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt[3]{A}=B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }A={{B}^{3}}\\\sqrt[5]{A}=B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }A={{B}^{5}}\end{array}\)

Примеры:

  • \( \displaystyle \sqrt[5]{2-x}=-2\)
  • \( \displaystyle \sqrt[4]{3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}}=x\)
  • \( \displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}=x\)
  • \( \displaystyle \sqrt[3]{6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}=1-x\)

Ответы:

  • \( \displaystyle \sqrt[5]{2-x}=-2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2-x={{\left( -2 \right)}^{5}}=-32\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=34\)
  • \( \displaystyle \sqrt[4]{3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}={{x}^{4}}\\x\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \)
\( \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2{x}-3=0\\x\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow x=3\)
  • \( \displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}=x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{3}}+3x+5={{x}^{3}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=-\frac{5}{3}\)
  • \( \displaystyle \sqrt[3]{6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}=1-x\Leftrightarrow 6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}=1-3x+3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}\Leftrightarrow \)
\( \displaystyle \Leftrightarrow \text{2}{{x}^{2}}-3{x}-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2,5\\x=-1\end{array} \right.\)

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Теперь тебе слово…

Теперь ты знаешь, что решать иррациональные уравнения вовсе не сложно. Просто нужно быть внимательным.

Узнал что-нибудь новое в этой статье?

Напиши нам.

Если нет, тоже напиши 🙂

Если серьезно, пиши в комментариях, как мы можем улучшить статью. Или если остались вопросы.

Или если найдешь ошибку.

Удачи на экзаменах!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

4 комментария

  1. доброго времени суток!
    Подскажите пожалуйста, почему при решении уравнения √2x−1−√x+2=1
    корень х = 6-2 √ 7, не является побочным?
    При проверке корней там не получатся 1.

  2. Я пупею от математиков. Боятся корней из отрицательных чисел как черти ладана. Пример 2 не имеет решения )))) И пофигу им что главная цель, доказать равенство- налицо.

  3. Тима
    06 ноября 2017
    Спасибо большое. Расписано все по делу и простым языком. Респект

    Максич
    16 ноября 2017
    Спасибо, всё очень понятно)
    Анатолий
    23 ноября 2017
    Спасибо, все просто и понятно))

    Евгений
    28 ноября 2017
    Доброго времени суток! Добра и процветания на ниве математики. Доступно, понятно, легко. Но! Я не нашел примера иррационального уравнения смешанных степеней, когда встречается и корень четной, и корень нечетной степеней в одном уравнении.

    Юлия
    04 декабря 2017
    Понятно, логично. Спасибо!

    Жасур
    20 декабря 2017
    Долго искал и нашел ваш сайт. Здесь всё понятно. Спасибо

    Артём
    15 января 2018
    Спасибо что разъяснил понятным языком

    Александр (админ)
    16 января 2018
    Пожалуйста, Артем. Нашей команде очень приятно )

    Амина
    21 января 2018
    Спасибо, все понятно! x=−1: √ −1+2 =−1 ⇔ √ 1 =−1 – а вот здесь ошибка. Значит, корень x=−1 x=-1x=−1 – сторонний. Я не поняла почему здесь корень -1 посторонний?

    Алексей Шевчук
    06 февраля 2018
    Квадратный корень – по определению всегда неотрицательное число, поэтому он не может равняться -1.

    Полина
    18 ноября 2018
    Проверять же ОДЗ корня (A≥0A≥0) здесь снова не нужно (почему?). Почему?

    Алексей Шевчук
    24 ноября 2018
    Потому что А приравнивается к квадрату выражения В, а квадрат всегда неотрицателен.

    Вячеслав
    02 марта 2019
    Отличное Объяснение! Спасибо!

    Александр (админ)
    02 марта 2019
    Вячеслав, и тебе спасибо! Удачи на экзаменах!

    Никита
    05 июня 2019
    Очень своеобразно описана тема, но доходчиво(повторять темы же надо),как думаете, для презентации подойдёт такой стиль описания?

    Марина Викторовна
    27 июня 2019
    хороший материал. Спасибо.

    oscar
    02 августа 2019
    я, наверное, уже месяц искал сайт похожий ваш, и я наконец-то нашел то что искал. СПАСИБО ВАМ БОЛЬШОЕ, БОЛЬШУЩИЙ РЕКСПЕКТ, продолжается развиваться. Желаю вам больших успех!!!!

    Larsy
    22 января 2020
    Ниче так сайт. ГОДНЫЙ! СПАСИБО ОГРОМНЮЩЕЕ! Наконец-то разобралась чем отличаются уравнения друг от друга. Вообще не понимала какая разница!