Коротко о главном Средний уровень

Секущие и хорды в окружности. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинку:

Секущая окружности Здесь   – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
Хорды в окружности рис. 1 Здесь   - хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда   является кусочком секущей  ? Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас   – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущих и хордах в окружности? Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе «Теоремы синусов и косинусов» - с длины хорды в окружности.

Длина хорды в окружности

Пусть   – хорда,   – радиус,   – любой вписанный угол, опирающийся на хорду  .Тогда  

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды можно найти по формуле:

 

Обратите внимание: из этой формулы видно, что если ты знаешь радиус окружности и то, сколько градусов «сидит» в дуге, которую стягивает хорда, то ты можешь считать, что знаешь и длину хорды.

И наоборот, чтобы узнать радиус окружности, достаточно знать длину всего-то одной хорды в окружности и величину соответствующего вписанного угла. А можно центрального? Конечно, можно – центральный угол нужно будет просто-напросто поделить на   – и получится вписанный (если не помнишь этого – смотри тему «Окружность. Вписанный угол»).

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих. Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Смотри:

Произведение длин отрезков хорд Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  
Произведение длин отрезков секущих Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку  , выполняется: 

Вопрос первый: почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ первый: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Ответ второй: Смотри, точки на окружности мы отметили голубым, а «особенную» точку   – оранжевым. А теперь погляди внимательно на формулы с произведениями:

В каждом отрезке участвуют «особенная» точка  . Крайне важно это помнить, когда имеешь дело с секущими (с хордами почему-то всем легче). Осознай всё это и НИКОГДА НЕ ПИШИ ТАК:

Вопрос третий: а доказывать будем?

Ответ третий: Будем – это совсем несложно и ОЧЕНЬ полезно.

Итак, сперва о хордах. Повторим формулировку.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  

А теперь попробуем доказать.

Рассмотрим   и  . У них углы   равны как вертикальные и  , потому что они опираются на одну дугу  .
Значит,   по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).

Запишем, что же нам даёт это подобие.

Перепишем это отношение в виде произведения:

 

Ух! Вот и всё – доказали!

На самом деле откроем маленький секрет – в задачах чаще всего используется именно подобие   и  , а не просто «голое» произведение  .

Теперь перейдём к секущим. Ещё раз формулировку:

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  

Докажем? Снова рассмотрим   и  .

  1. У них есть общий  .
  2. Четырехугольник   - вписанный (срочно повторяем или читаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Значит,   (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна  ). Но   - как смежные углы (смотри на картинку).

Что же получилось?

 

То есть  .

Из всего этого следует, что   по двум углам (  – общий и  ).

Снова запишем отношение соответствующих сторон:

Перепишем в виде произведения:

 

Доказали!

И опять тот же секрет: помни не только о равенстве произведений, но и о том, что на картинке с двумя секущими всегда и непременно есть два подобных треугольника – это часто помогает решить задачу.

Касательные и секущие

Касательные и секущие рис. 1 В предыдущем пункте мы выяснили, что  

Но возникает вопрос: а что будет, если секущая   и «превратится» в касательную? Вот так:

Касательные и секущие рис. 2 Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:
Для любых секущей и касательной, проходящих через точку  , верно:  .

Тут точки   и   как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?

Давай докажем то, что сформулировали.

Касательные и секущие рис. 3

 Здесь рассмотрим  и  .

  1.   - общий
  2.   - угол между касательной   и хордой  , а   - вписанный, опирающийся на дугу  .

Значит, по теореме об угле между касательной и хордой (заглядываем в раздел «Касательные. Касающиеся окружности»).

 

Получилось, что   по двум углам (  – общий и  ).

Запишем отношения:

Снова перейдём к произведению:

 

И снова видим, что нужное утверждение доказано.

И в третий раз напомню о секрете: важно помнить не только то,  , но в большей степени то, что на картинке с касательной и секущей есть два «хитро» подобных треугольника   и  . Тогда ты сможешь извлекать и дополнительные соотношения.

Ну вот, например:

 , то есть  

Видишь, это уже совсем никак не запоминающееся соотношение, а вот если помнить про подобие, то ни дробь, ни произведение запоминать не надо – они сами выйдут, кода понадобятся.