Коротко о главном Начальный уровень

Подобие треугольников. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Что такое равные треугольники, понятно более или менее всем: их можно правильно наложить – и они совпадут.

А вот что такое «подобные треугольники»?

Вроде как «похожие», но как это понимать?

Вот, например, такой и такой:

Подобные треугольники. Пример 1

Похожи эти треугольники? Ты скажешь, конечно же нет!

А такой и такой?

Подобные треугольники. Пример 2

Похожи!

А вот такой и такой?

Подобные треугольники. Пример 3

Посмотри внимательно, тоже похожи.

А теперь строго математически!

Треугольники называются подобными, если у них все углы равны и все стороны пропорциональны.

То есть все углы равны и все стороны одного треугольника в  , или, в  , или в   (или и т.д.) больше сторон другого треугольника.

Записываются слова «треугольник   подобен треугольнику  » с помощью такого значка:

 

То число раз, в которое отличаются стороны подобных треугольников, называются коэффициентом подобия, обозначается обычно с помощью буквы  .

То есть, если

  с коэффициентом подобия  , то это означает что

\[\angle A = \angle {A_1},\angle B = \angle {B_1},\angle C = \angle {C_1}\]

и \[\frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = k,\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = k,\frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}} = k\]

Можно было бы все так и оставить, но, как и в случае с равенством треугольников, ленивым математикам стало слишком неохота проверять равенство ВСЕХ трех углов, и пропорциональность ВСЕХ трех сторон. И они придумали признаки подобия треугольников.

1. Признак подобия треугольников «по двум углам»

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подобие треугольников. Первый признак подобия

 

Помнишь еще, что « » обозначает слова «подобен»?

Осознай удобство! Вместо того, чтобы проверять 6 утверждений – 3 равных угла и 3 пропорциональных стороны – ДОСТАТОЧНО РАВЕНСТВА ВСЕГО ДВУХ УГЛОВ! И это вообще-то самых удобный и часто используемый признак. Но есть и еще два. Смотри.

2. Признак подобия треугольников «две пропорциональные стороны и угол между ними»

Если треугольники имеют одинаковый угол, и стороны, заключающие этот угол, пропорциональны, то такие треугольники подобны.

Подобие треугольников. Второй признак подобия

 

3. Признак подобия треугольников «три пропорциональные стороны»

Если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подобие треугольников. Третий признак подобия

 

Полезный секрет.

Признаки нам рассказали о том, как обнаружить подобные треугольники, а теперь, как же воспользоваться найденным?

Скажем, ты установил, что   с коэффициентом подобия  . Так, кстати, часто бывает, когда проводят среднюю линию…

Подобие треугольников. Пример 1 Ну вот, что же хорошего? А то, что тогда ВСЕ элементы одного треугольника ровно в   (или сколько у тебя выйдет раз) больше, чем элементы другого треугольника.

НЕ ТОЛЬКО стороны, но и высоты, биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружности и т.д. Есть одно ВАЖНОЕ исключение: ПЛОЩАДЬ. Запомни:

Отношение площадей подобных треугольников равно КВАДРАТУ коэффициента подобия.
Подобие треугольников. Пример 2  

Почему так? А вспомни самую простую формулу площади:

 

Ведь  , и при этом

Площадь подобных треугольников

 , то есть  

 , то есть  

Значит,  .

То есть   или  .

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть