Подобие треугольников. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое равные треугольники, понятно более или менее всем: их можно правильно наложить – и они совпадут.

А вот что такое «подобные треугольники»?

Вроде как «похожие», но как это понимать?

Вот, например, такой и такой:

Подобные треугольники. Пример 1

Похожи эти треугольники? Ты скажешь, конечно же нет!

А такой и такой?

Подобные треугольники. Пример 2

Похожи!

А вот такой и такой?

Подобные треугольники. Пример 3

Посмотри внимательно, тоже похожи.

А теперь строго математически!

Треугольники называются подобными, если у них все углы равны и все стороны пропорциональны.

То есть все углы равны и все стороны одного треугольника в  , или, в  , или в   (или и т.д.) больше сторон другого треугольника.

Записываются слова «треугольник   подобен треугольнику  » с помощью такого значка:

 

То число раз, в которое отличаются стороны подобных треугольников, называются коэффициентом подобия, обозначается обычно с помощью буквы  .

То есть, если

  с коэффициентом подобия  , то это означает что

\[\angle A = \angle {A_1},\angle B = \angle {B_1},\angle C = \angle {C_1}\]

и \[\frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = k,\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = k,\frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}} = k\]

Можно было бы все так и оставить, но, как и в случае с равенством треугольников, ленивым математикам стало слишком неохота проверять равенство ВСЕХ трех углов, и пропорциональность ВСЕХ трех сторон. И они придумали признаки подобия треугольников.

1. Признак подобия треугольников «по двум углам»

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подобие треугольников. Первый признак подобия

 

Помнишь еще, что « » обозначает слова «подобен»?

Осознай удобство! Вместо того, чтобы проверять 6 утверждений – 3 равных угла и 3 пропорциональных стороны – ДОСТАТОЧНО РАВЕНСТВА ВСЕГО ДВУХ УГЛОВ! И это вообще-то самых удобный и часто используемый признак. Но есть и еще два. Смотри.

2. Признак подобия треугольников «две пропорциональные стороны и угол между ними»

Если треугольники имеют одинаковый угол, и стороны, заключающие этот угол, пропорциональны, то такие треугольники подобны.

Подобие треугольников. Второй признак подобия

 

3. Признак подобия треугольников «три пропорциональные стороны»

Если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подобие треугольников. Третий признак подобия

 

Полезный секрет.

Признаки нам рассказали о том, как обнаружить подобные треугольники, а теперь, как же воспользоваться найденным?

Скажем, ты установил, что   с коэффициентом подобия  . Так, кстати, часто бывает, когда проводят среднюю линию…

Подобие треугольников. Пример 1 Ну вот, что же хорошего? А то, что тогда ВСЕ элементы одного треугольника ровно в   (или сколько у тебя выйдет раз) больше, чем элементы другого треугольника.

НЕ ТОЛЬКО стороны, но и высоты, биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружности и т.д. Есть одно ВАЖНОЕ исключение: ПЛОЩАДЬ. Запомни:

Отношение площадей подобных треугольников равно КВАДРАТУ коэффициента подобия.
Подобие треугольников. Пример 2  

Почему так? А вспомни самую простую формулу площади:

 

Ведь  , и при этом

Площадь подобных треугольников

 , то есть  

 , то есть  

Значит,  .

То есть   или  .

ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Подобные треугольники - это треугольники, у которых все углы равны и все стороны строго пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия  .

Если   с коэффициентом подобия  , то:

\[\angle A = \angle {A_1},\angle B = \angle {B_1},\angle C = \angle {C_1}\]

\[\frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = k,\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = k,\frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}} = k\]

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:  .

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:  .

Признаки подобия треугольников:

I признак (по двум углам):

     .

II признак (по одному углу и отношению заключающих его сторон):

     .

III признак (по отношению трех сторон):

    .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Иван
15 ноября 2019

В 3 признаке подобия, как мне кажется, ошибка. Не три стороны должны быть пропорциональны, а всего лишь две.

ответить

Алексей Шевчук
15 ноября 2019

Иван, вы путаете с признаком "по двум углам": если пропорциональны только 2 стороны, то третья может быть какой угодно. Например, треугольник со сторонами 3, 4, 5 - прямоугольный, а со сторонами 6, 8, 9 - остроугольный, они подобными быть не могут, хотя 2 стороны у них пропорциональны: 3:6=4:8. С тремя углами это работает, поскольку третий угол автоматически оказывается равным, благодаря тому, что сумма всех углов треугольника = 180.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть