Секущая и хорда окружности (ЕГЭ 2022)

Зачем что-то знать о секущих и хордах в окружности?

Как обычно, знание свойств и закономерностей сильно облегчает жизнь.

Зная свойства секущих и хорд в окружности и закономерности (формулы), мы сможем решить многие задачи на ЕГЭ!

Поехали!

Секущая и хорда окружности – коротко о главном

Секущая окружности

Здесь \( \displaystyle AC\)  секущая окружности – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.

Хорда окружности

Здесь \( \displaystyle BC\)  хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Длина хорды

Пусть \( \displaystyle AB\) – хорда, \( \displaystyle R\) – радиус, \( \displaystyle \angle AСB\) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду \( \displaystyle AB\). Тогда:

\( \displaystyle AB=2R\sin \alpha\).

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется:

\( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\).

Теорема о секущей и касательной

Для любых секущей и касательной, проходящих через точку \( A\), верно:

\( \displaystyle A{{C}^{2}}=AD\cdot AE\).

А теперь подробнее…

Определения секущей и хорды окружности

Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинки.

Здесь \( \displaystyle AC\)  секущая окружности – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.

Здесь \( \displaystyle BC\)  хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда \( \displaystyle BC\) является кусочком секущей \( \displaystyle AC\)?

Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас \( \displaystyle AB\) – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущей и хорде окружности?

Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе “Теорема синусов” и “Теорема косинусов” – с длины хорды в окружности.

Длина хорды окружности

Пусть \( \displaystyle AB\) – хорда, \( \displaystyle R\) – радиус, \( \displaystyle \angle ACB\) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду \( \displaystyle AB\).


Тогда \( \Large\frac{AB}{\sin \alpha }=2R\)

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды окружности можно найти по формуле:

\( \displaystyle AB=2R\sin \alpha \)

Обратите вниманиеиз этой формулы видно, что, если ты знаешь радиус окружности и то, сколько градусов «сидит» в дуге, которую стягивает хорда, ты можешь считать, что знаешь и длину хорды.

И наоборот, чтобы узнать радиус окружности, достаточно знать длину всего-то одной хорды окружности и величину соответствующего вписанного угла.

А можно центрального угла?

Конечно, можно – центральный угол нужно будет просто-напросто поделить на \( \displaystyle 2\) – и получится вписанный (если не помнишь этого – смотри тему «Окружность. Вписанный угол»).

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих окружности.

Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Произведение длин отрезков хорд окружности

Для любых двух хорд окружности, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Произведение длин отрезков секущих окружности

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Вопрос первый: Почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Ответ: Смотри, точки на окружности мы отметили голубым, а «особенную» точку \( \displaystyle A\) – оранжевым. А теперь погляди внимательно на формулы с произведениями:

В каждом отрезке участвуют «особенная» точка \( \displaystyle A\).

Крайне важно это помнить, когда имеешь дело с секущими (с хордами почему-то всем легче).

Осознай всё это и НИКОГДА НЕ ПИШИ ТАК:

Вопрос третий. А доказывать будем?

Ответ: Будем – это совсем несложно и ОЧЕНЬ полезно.

Произведение длин отрезков хорд окружности – доказательство

Повторим формулировку.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

А теперь докажем.

Рассмотрим \( \triangle ABD\) и \( \triangle AEC\). У них углы \( \displaystyle A\) равны как вертикальные и \( \angle DBC=\angle DEC\), потому что они опираются на одну дугу \( \displaystyle DC\).

Значит, \( \displaystyle \triangle ABD\sim \triangle AEC\) по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).

Запишем, что же нам даёт это подобие.

Перепишем это отношение в виде произведения:

\( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Ух! Вот и всё – доказали!

На самом деле откроем маленький секрет

В задачах чаще всего используется именно подобие \( \triangle ABD\) и \( \triangle AEC\), а не просто «голое» произведение \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\).

Произведение длин отрезков секущих окружности – доказательство

Еще раз формулировку…

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Снова рассмотрим \( \displaystyle \triangle ABD\) и \( \displaystyle \triangle AEC\).

  1. У них есть общий \( \angle A\);
  2. Четырехугольник \( BCED\) – вписанный (срочно повторяем или читаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Значит, \( \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна \( 180{}^\circ \)). Но \( \angle 2+\angle 3=180{}^\circ \) – как смежные углы (смотри на картинку).

Что же получилось?

\( \left\{ \begin{array}{l}\angle 1+\angle 2=180{}^\circ \\\angle 2+\angle 3=180{}^\circ \end{array} \right.\Rightarrow \angle 1=\angle 3\)

То есть \( \underbrace{\angle ACE}_{в\ \triangle AEC}=\underbrace{\angle ADB}_{в\ \triangle ABD\ }\).

Из всего этого следует, что \( \triangle AEC\sim \triangle ABD\) по двум углам (\( \angle A\) – общий и \( \angle ACE=\angle ADB\)).

Снова запишем отношение соответствующих сторон:

Перепишем в виде произведения:

\( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

И опять тот же секрет! Доказали!

Помни не только о равенстве произведений, но и о том, что на картинке с двумя секущими всегда и непременно есть два подобных треугольника – это часто помогает решить задачу.

Теорема о секущей и касательной (секретное оружие)

А сейчас “секретное” оружие – теорема о секущей и касательной. Почему секретное?

Потому что множество задач ОГЭ и ЕГЭ можно решить с помощью этой теоремы. А акцент на ней в учебнике не делается. То есть ее как бы нет…

В предыдущем пункте мы выяснили, что \( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Но возникает вопрос: а что будет, если секущая \( AC\) и «превратится» в касательную?

Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:

Для любых секущей и касательной, проходящих через точку \( A\), верно: \( \Large A{{C}^{2}}=AD\cdot AE\).

Тут точки \( B\) и \( C\) как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?

Здесь рассмотрим \( \triangle ACD\)и \( \triangle AEC\).

\( \angle A\) – общий;

\( \angle ACD\) – угол между касательной \( AC\) и хордой \( CD\), а \( \angle DEC\) – вписанный, опирающийся на дугу \( CD\).

Значит, по теореме об угле между касательной и хордой (заглядываем в раздел «Касательные, касающиеся окружности»).

\( \angle ACD=\angle AEC\)

Получилось, что \( \triangle ACD\sim \triangle AEC\) по двум углам (\( \angle A\) – общий и \( \angle ACD=\angle AEC\)).

Запишем отношения:

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Внеси свою лепту!

А теперь ты расскажи нам, что думаешь об этой статье. Мы будем очень рады услышать твое мнение!

Ты разобрался с равенствами для секущих и касательных? Это полезная штука!

Если у тебя остались вопросы, то тоже пиши их в комментарии ниже!

А еще расскажи об этой статье тому, кто не может разобраться в этой теме. И помоги ему 🙂

Мы читаем все.

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 комментария

  1. Шикарная статья! Формат изложения ВЕЛИКОЛЕПНЫЙ! Спасибо!

  2. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Богдан
    15 ноября 2018
    Спасибо огромное!

    Любовь
    25 января 2019
    Да, замечательно все и очень понятно. Спасибо за ваш труд

    Енот – полоскун
    02 апреля 2019
    Потрясающе, спасибо огромное!

    Уля
    03 апреля 2019
    ВЫ МНЕ ОЧЕНЬ ПОМОГЛИ , СПАСИБО ОГРОМНОЕ ВАМ !

    Ророша
    17 мая 2019
    Наконец-то теперь я поняла, спасибо большое

    Лилит
    10 июня 2019
    Супер! Спасибо. Все очень просто и понятно.