Секущая и хорда окружности
Зачем что-то знать о секущих и хордах в окружности?
Как обычно, знание свойств и закономерностей сильно облегчает жизнь.
Зная свойства секущих и хорд в окружности и закономерности (формулы), мы сможем решить многие задачи на ЕГЭ!
Поехали!
Секущая и хорда окружности — коротко о главном
Секущая окружности
Здесь \( \displaystyle AC\) – секущая окружности – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
![sekushaya](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Хорда окружности
Здесь \( \displaystyle BC\) – хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
![horda okruzhnosti](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Длина хорды
Пусть \( \displaystyle AB\) – хорда, \( \displaystyle R\) – радиус, \( \displaystyle \angle AСB\) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду \( \displaystyle AB\). Тогда:
\( \displaystyle AB=2R\sin \alpha\).
![horda opredelenie dliny](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Произведение длин отрезков хорд и секущих
Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется:
\( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\).
![hordy peresekayutsa](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Теорема о секущей и касательной
Для любых секущей и касательной, проходящих через точку \( A\), верно:
\( \displaystyle A{{C}^{2}}=AD\cdot AE\).
![kasatelnaya i sekushaya v okruzhnosti](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
А теперь подробнее…
Определения секущей и хорды окружности
Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинки.
Здесь \( \displaystyle AC\) – секущая окружности – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
![sekushaya](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Здесь \( \displaystyle BC\) – хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
![horda okruzhnosti](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда \( \displaystyle BC\) является кусочком секущей \( \displaystyle AC\)?
Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас \( \displaystyle AB\) – она же снаружи, верно?
Что же мы должны знать о секущей и хорде окружности?
Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе «Теорема синусов» и «Теорема косинусов» — с длины хорды в окружности.
Длина хорды окружности
Пусть \( \displaystyle AB\) – хорда, \( \displaystyle R\) – радиус, \( \displaystyle \angle ACB\) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду \( \displaystyle AB\).
Тогда \( \Large\frac{AB}{\sin \alpha }=2R\)
![horda opredelenie dliny](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Узнал теорему синусов?
Значит, длину хорды окружности можно найти по формуле:
Произведение длин отрезков хорд и секущих
Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих окружности.
Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.
Произведение длин отрезков хорд окружности
Для любых двух хорд окружности, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\)
![hordy peresekayutsa](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Произведение длин отрезков секущих окружности
Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\)
![sekushie cherez odnu tochku](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Вопрос первый: Почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?
Ответ: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.
Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?
Произведение длин отрезков хорд окружности — доказательство
Повторим формулировку.
Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)
![hordy peresekayutsa dokazatelstvo 1](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
А теперь докажем.
Рассмотрим \( \triangle ABD\) и \( \triangle AEC\). У них углы \( \displaystyle A\) равны как вертикальные и \( \angle DBC=\angle DEC\), потому что они опираются на одну дугу \( \displaystyle DC\).
Значит, \( \displaystyle \triangle ABD\sim \triangle AEC\) по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).
![hordy peresekayutsa dokazatelstvo 2](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Запишем, что же нам даёт это подобие (и откроем маленький секрет!).
Произведение длин отрезков секущих окружности — доказательство
Еще раз формулировку…
Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)
![sekushie iz odnoj tochki dokazatelstvo](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Снова рассмотрим \( \displaystyle \triangle ABD\) и \( \displaystyle \triangle AEC\).
- У них есть общий \( \angle A\);
- Четырехугольник \( BCED\) — вписанный (срочно повторяем или читаем тему «Окружность. Вписанный угол»).
![sekushie iz odnoj tochki dokazatelstvo 2](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Значит, \( \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна \( 180{}^\circ \)). Но \( \angle 2+\angle 3=180{}^\circ \) — как смежные углы (смотри на картинку).
Что же получилось?
\( \left\{ \begin{array}{l}\angle 1+\angle 2=180{}^\circ \\\angle 2+\angle 3=180{}^\circ \end{array} \right.\Rightarrow \angle 1=\angle 3\)
То есть \( \underbrace{\angle ACE}_{в\ \triangle AEC}=\underbrace{\angle ADB}_{в\ \triangle ABD\ }\).
Из всего этого следует, что \( \triangle AEC\sim \triangle ABD\) по двум углам (\( \angle A\) – общий и \( \angle ACE=\angle ADB\)).
Снова запишем отношение соответствующих сторон:
Теорема о секущей и касательной (секретное оружие)
А сейчас «секретное» оружие — теорема о секущей и касательной. Почему секретное?
Потому что множество задач ОГЭ и ЕГЭ можно решить с помощью этой теоремы. А акцент на ней в учебнике не делается. То есть ее как бы нет…
В предыдущем пункте мы выяснили, что \( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)
![sekushie iz odnoj tochki dokazatelstvo](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Но возникает вопрос: а что будет, если секущая \( AC\) и «превратится» в касательную?
Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:
Для любых секущей и касательной, проходящих через точку \( A\), верно: \( \Large A{{C}^{2}}=AD\cdot AE\).
Тут точки \( B\) и \( C\) как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?
![kasatelnaya i sekushaya v okruzhnosti](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника
Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем
математика, информатика, физика
Запишитесь на занятия:
+7 (905) 541-39-06
alexei.shevchuk@youclever.org
А если секущая пройдет через диаметр? То ответы не совпадут, если задачу решить по теореме Пифагора и с помощью данной формулы . найти АС, если АD=10, DE=75// В одном случае 40, а в другом корень из 850. Почему?
Надежда, очень классный подход — проверять решение на частных случаях и пробовать решить задачу разными способами! Теперь давай проверим решение через треугольник: как получился ответ 40? Что было гипотенузой в этом треугольнике, а что известным катетом?
Замечательное обьяснение
Спасибо, Маша!
Шикарная статья! Формат изложения ВЕЛИКОЛЕПНЫЙ! Спасибо!
Спасибо, Александр! Заходите… очень приятно слышать.
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Богдан
15 ноября 2018
Спасибо огромное!
Любовь
25 января 2019
Да, замечательно все и очень понятно. Спасибо за ваш труд
Енот — полоскун
02 апреля 2019
Потрясающе, спасибо огромное!
Уля
03 апреля 2019
ВЫ МНЕ ОЧЕНЬ ПОМОГЛИ , СПАСИБО ОГРОМНОЕ ВАМ !
Ророша
17 мая 2019
Наконец-то теперь я поняла, спасибо большое
Лилит
10 июня 2019
Супер! Спасибо. Все очень просто и понятно.