9 июля

1 comments

Секущие и хорды в окружности. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Зачем что-то знать о секущих и хордах в окружности?

Как обычно, знание свойств и закономерностей сильно облегчает жизнь. А еще процесс обучения развивает мозг в целом 🙂

Зная свойства хорд и секущих в окружности и закономерности (формулы), мы сможем решить многие задачи на ЕГЭ!

Поехали!

Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда.

Смотри на картинки:

Здесь \( \displaystyle AC\) секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.

Здесь \( \displaystyle BC\) хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда \( \displaystyle BC\) является кусочком секущей \( \displaystyle AC\)?

Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас \( \displaystyle AB\) – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущих и хордах в окружности?

Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе "Теорема синусов" и "Теорема косинусов" - с длины хорды в окружности.

Пусть \( \displaystyle AB\) – хорда, \( \displaystyle R\) – радиус, \( \displaystyle \angle ACB\) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду \( \displaystyle AB\).
Тогда \( \Large\frac{AB}{\sin \alpha }=2R\)

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды можно найти по формуле:

\( \displaystyle AB=2R\sin \alpha \)

Обратите внимание: из этой формулы видно, что, если ты знаешь радиус окружности и то, сколько градусов «сидит» в дуге, которую стягивает хорда, ты можешь считать, что знаешь и длину хорды.

И наоборот, чтобы узнать радиус окружности, достаточно знать длину всего-то одной хорды в окружности и величину соответствующего вписанного угла.

А можно центрального угла?

Конечно, можно – центральный угол нужно будет просто-напросто поделить на \( \displaystyle 2\) – и получится вписанный (если не помнишь этого – смотри тему «Окружность. Вписанный угол»).

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих.

Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами. Смотри:

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Вопрос первый: почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ первый: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Ответ второй: Смотри, точки на окружности мы отметили голубым, а «особенную» точку \( \displaystyle A\) – оранжевым. А теперь погляди внимательно на формулы с произведениями:

В каждом отрезке участвуют «особенная» точка \( \displaystyle A\).

Крайне важно это помнить, когда имеешь дело с секущими (с хордами почему-то всем легче).

Осознай всё это и НИКОГДА НЕ ПИШИ ТАК:

Вопрос третий: а доказывать будем?

Ответ третий: Будем – это совсем несложно и ОЧЕНЬ полезно.

Итак, сперва о хордах. Повторим формулировку.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

А теперь попробуем доказать.

Рассмотрим \( \triangle ABD\) и \( \triangle AEC\). У них углы \( \displaystyle A\) равны как вертикальные и \( \angle DBC=\angle DEC\), потому что они опираются на одну дугу \( \displaystyle DC\).

Значит, \( \displaystyle \triangle ABD\sim \triangle AEC\) по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).

Запишем, что же нам даёт это подобие.

Перепишем это отношение в виде произведения:

\( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

На самом деле откроем маленький секрет!Ух! Вот и всё – доказали!

В задачах чаще всего используется именно подобие \( \triangle ABD\) и \( \triangle AEC\), а не просто «голое» произведение \( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\).

Я здесь, чтобы рассказать тебе о хордах и секущих... Как видишь, о хордах я уже рассказал.

Приступим к секущим!

Еще раз формулировку:

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется: \( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Докажем? Снова рассмотрим \( \displaystyle \triangle ABD\) и \( \displaystyle \triangle AEC\).

  1. 1
    У них есть общий \( \angle A\);
  2. 2
    Четырехугольник \( BCED\) - вписанный (срочно повторяем или читаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Значит, \( \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна \( 180{}^\circ \)). Но \( \angle 2+\angle 3=180{}^\circ \) - как смежные углы (смотри на картинку).

Что же получилось?

\( \left\{ \begin{array}{l}\angle 1+\angle 2=180{}^\circ \\\angle 2+\angle 3=180{}^\circ \end{array} \right.\Rightarrow \angle 1=\angle 3\)

То есть \( \underbrace{\angle ACE}_{в\ \triangle AEC}=\underbrace{\angle ADB}_{в\ \triangle ABD\ }\).

Из всего этого следует, что \( \triangle AEC\sim \triangle ABD\) по двум углам (\( \angle A\) – общий и \( \angle ACE=\angle ADB\)).

Снова запишем отношение соответствующих сторон:

Перепишем в виде произведения:

\( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

И опять тот же 
секрет!Доказали!

Помни не только о равенстве произведений, но и о том, что на картинке с двумя секущими всегда и непременно есть два подобных треугольника – это часто помогает решить задачу.

Касательные и секущие

В предыдущем пункте мы выяснили, что \( AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Но возникает вопрос: а что будет, если секущая \( AC\) и «превратится» в касательную? Вот так:

Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:

Для любых секущей и касательной, проходящих через точку \( A\), верно: \( \Large A{{C}^{2}}=AD\cdot AE\).

Тут точки \( B\) и \( C\) как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?

Здесь рассмотрим \( \triangle ACD\)и \( \triangle AEC\).

  1. 1
    \( \angle A\) - общий;
  2. 2
    \( \angle ACD\) - угол между касательной \( AC\) и хордой \( CD\), а \( \angle DEC\) - вписанный, опирающийся на дугу \( CD\).

Значит, по теореме об угле между касательной и хордой (заглядываем в раздел «Касательные, касающиеся окружности»).

\( \angle ACD=\angle AEC\)

Получилось, что \( \triangle ACD\sim \triangle AEC\) по двум углам (\( \angle A\) – общий и \( \angle ACD=\angle AEC\)).

Запишем отношения:

Снова перейдём к произведению:

\( A{{C}^{2}}=AD\cdot AE\)

И снова видим, что нужное утверждение доказано.

И в третий раз напомню о секрете:

Важно помнить не только то, \( A{{C}^{2}}=AD\cdot AE\), но в большей степени то, что на картинке с касательной и секущей есть два «хитро» подобных треугольника \( ACD\) и \( AEC\).

Тогда ты сможешь извлекать и дополнительные соотношения. Ну вот, например:

\( \frac{CD}{CE}=\frac{AD}{AC}\), то есть \( AC\cdot CD=AD\cdot CE\)

Видишь, это уже совсем никак не запоминающееся соотношение, а вот если помнить про подобие, то ни дробь, ни произведение запоминать не надо – они сами выйдут, кода понадобятся.

Хорда и секущая

Здесь \( \displaystyle AC\) секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.

Здесь \( \displaystyle BC\) хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Длина хорды

Пусть \( \displaystyle AB\) – хорда, \( \displaystyle R\) – радиус, \( \displaystyle \angle AСB\) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду \( \displaystyle AB\). Тогда:

\( \displaystyle AB=2R\sin \alpha\).

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку \( \displaystyle A\), выполняется:

\( \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\).

Касательные и секущие

Для любых секущей и касательной, проходящих через точку \( A\), верно:

\( \displaystyle A{{C}^{2}}=AD\cdot AE\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Внеси свою лепту!

А теперь ты расскажи нам, что думаешь об этой статье. Мы будем очень рады услышать твое мнение!

Ты разобрался с равенствами для секущих и касательных? Это полезная штука!

Если у тебя остались вопросы, то тоже пиши их в комментарии ниже!

А еще расскажи об этой статье тому, кто не может разобраться в этой теме. И помоги ему 🙂

Мы читаем все.

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Богдан
    15 ноября 2018
    Спасибо огромное!

    Любовь
    25 января 2019
    Да, замечательно все и очень понятно. Спасибо за ваш труд

    Енот — полоскун
    02 апреля 2019
    Потрясающе, спасибо огромное!

    Уля
    03 апреля 2019
    ВЫ МНЕ ОЧЕНЬ ПОМОГЛИ , СПАСИБО ОГРОМНОЕ ВАМ !

    Ророша
    17 мая 2019
    Наконец-то теперь я поняла, спасибо большое

    Лилит
    10 июня 2019
    Супер! Спасибо. Все очень просто и понятно.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >