Иррациональные уравнения. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем с самого простого: уравнения вида \(\sqrt{x}=a\).

Например: \(\sqrt{x}=3\). Как его решить? Как избавиться от корня? Правильно, квадратный корень убирается возведением в квадрат:

\(\sqrt{x}=3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}={{3}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=9\).

А как решить такое: \(\sqrt[3]{x}=3\)?

И снова вспомним определение корня степени \(n\): \(\sqrt[n]{x}\) – это такое число, которое нужно возвести в степень \(n\), чтобы получить \(x\). В данном случае эта степень равна \(3\):

\(\sqrt[3]{x}=3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \sqrt[3]{x} \right)}^{3}}={{3}^{3}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=27\)

Итак, общее правило:

\(\sqrt[n]{x}=a\text{ }\Leftrightarrow \text{  }x={{a}^{n}}\)

Хорошо, а что с этим: \(\sqrt{{{x}^{2}}}=4\)? Все просто: квадрат и корень уничтожаются, и получаем \(x=4\), верно?

Нет! Когда мы проходили корни, на это обращали особое внимание: здесь два корня – \(x=4\) и \(x=-4\), ведь \(\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{16}=4\). Не забываем правило:

\(\sqrt{{{x}^{2}}}=a\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left| x \right|=a\)

Реши сам:

  1. \(\sqrt{x+2}=3\)
  2. \(\sqrt{{{x}^{2}}+3x}=2\)
  3. \(\sqrt[3]{x+5}=-1\)

Ответы:

  1. \(\sqrt{x+2}=3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x+2=9\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=7\)
  2. \(\sqrt{{{x}^{2}}+3x}=2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}+3{x}-4=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-4\\x=1\end{array} \right.\)
  3. \(\sqrt[3]{x+5}=-1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x+5=-1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=-6\)

Учет ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ? ОДЗ (область допустимых значений) уравнения или неравенства – это множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл.

Например, в уравнении \(\sqrt{x+2}=3\) присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства \(x+2\ge 0\).

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, задачу из предыдущей главы: \(\sqrt{{{x}^{2}}+3x}=2\). При возведении в квадрат получаем \({{x}^{2}}+3x=4\), то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ.

Пример:

\(\sqrt{2{x}-6}=3-x\)

ОДЗ: \(2{x}-6\ge 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\ge 3\).

Но при таких \(x\) правая часть уравнения неположительна, а левая, как и любой приличный квадратный корень, неотрицательна. Тогда равенство возможно только если обе части уравнения равны нулю, то есть при \(x=3\): \(\sqrt{2\cdot 3-6}=0=3-3\).

Ответ: \(3\).

Еще пример:

\(\sqrt{8{x}-15-{{x}^{2}}}+\sqrt{{x}-5}=2{{x}^{2}}-7{x}-15\)

Решение:

Найдем ОДЗ:

\(\left\{ \begin{array}{l}8{x}-15-{{x}^{2}}\ge 0\\{x}-5\ge 0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}\left( {x}-5 \right)\left( {x}-3 \right)\le 0\\x\ge 5\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}3\le x\le 5\\x\ge 5\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=5\)

Итак, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Проверим его – подставим \(x=5\) в уравнение. Что получилось? Если получилось \(0=0\), все верно: корень \(x=5\) подходит.

Ответ: \(5\).

Большинство стандартных иррациональных уравнений не требуют нахождения ОДЗ – как и в приведенном в начале примере, ОДЗ оказывается автоматически учтенной после равносильного преобразования.

Больше задач — после регистрации.

Иррациональные уравнения вида \(\sqrt{A}=\sqrt{B}\).

Здесь и далее большими буквами \(A\), \(B\), \(C\), и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись \(\sqrt{A}=\sqrt{B}\) соответствует, например, уравнению \(\sqrt{{{x}^{2}}-{x}-2}=\sqrt{{x}-1}\): \(A={{x}^{2}}-{x}-2\) здесь и \(B={x}-1\).

Как решить такое уравнение?

Во-первых, корни равны только когда подкоренные выражения равны: \(A=B\). Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом уравнении?

Действительно, чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

\(\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Но поскольку эти выражения равны друг другу, достаточно потребовать неотрицательности только одного из них:

\(\sqrt{A}=\sqrt{B}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A=B\\A\ge 0\end{array} \right.\) или \(\sqrt{A}=\sqrt{B}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A=B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Примеры (реши сам):

  1. \(\sqrt{{{x}^{2}}-{x}-2}=\sqrt{{x}-1}\)
  2. \(\sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}=\sqrt{{x}-2}\)
  3. \(\sqrt{3{{x}^{2}}-7x+1}=\sqrt{2{{x}^{2}}-{x}-6}\)

Ответы:

1. Какое из выражений будем проверять на неотрицательность? Конечно же то, которое проще – \({x}-1\):

\(\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-x+2}=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x+2=x+1\\x+1\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x+1=0\\x\ge -1\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1\)

2. \(\displaystyle \sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}=\sqrt{{x}-2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-6{x}-17={x}-2\\{x}-2\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-7{x}-15=0\\x\ge 2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x=5\\x=-\frac{3}{2}\end{array} \right.\\x\ge 2\end{array} \right.\Leftrightarrow x=5\)

3. \(\displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}-8x+1}=\sqrt{2{{x}^{2}}-{x}-6}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{{x}^{2}}-8x+1=2{{x}^{2}}-{x}-5\\2{{x}^{2}}-{x}-6\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-7x+6=0\\2\left( {x}-2 \right)\left( x+\frac{3}{2} \right)\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x=6\\x=1\end{array} \right.\\x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 2;+\infty  \right)\end{array} \right.\Leftrightarrow x=6\)

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Больше задач — после регистрации.

Иррациональные уравнения вида \(A\sqrt{B}=0\).

Что написано в левой части? Правильно, произведение выражений. А при каких условиях произведение равно нулю? Конечно, если один из множителей равен нулю. То есть:

\(\left[ \begin{array}{l}A=0\\B=0\end{array} \right.\)

Но, как ты догадался, это еще не все. Что нужно добавить? ОДЗ. Причем в той части, где \(B=0\), все хорошо. Но если мы выбираем \(A=0\), придется кое-что сказать и про \(B\):

\(A\sqrt{B}=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A=0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Примеры (реши сам):

  1. \(x\sqrt{{x}-1}=0\)
  2. \(\left( {{x}^{2}}-9 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4}=0\)
  3. \(\left( {{x}^{2}}-3{x}-4 \right)\sqrt{x+1}=0\)

Ответы:

1. \(x\sqrt{{x}-1}=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}{x}-1=0\\\left\{ \begin{array}{l}x=0\\{x}-1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=1.\)

2. \(\left( {{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{x+1}=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x+1=0\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-4=0\\x+1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\\left\{ \begin{array}{l}x=2\\x=-2\\x\ge -1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=2.\end{array} \right.\)

3. \(\displaystyle \left( {{x}^{2}}-3{x}-4 \right)\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x+1=0\\\left( \begin{array}{l}{{x}^{2}}-3{x}-4=0\\x+1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\\left\{ \begin{array}{l}x=4\\x=-1\\x\ge -1\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=4.\end{array} \right.\)

Иррациональные уравнения вида \(\sqrt{A}=B\).

Наиболее распространённый тип иррациональных уравнений.

Рассмотрим пример:

\(\sqrt{x+2}=x\)

Возводим обе части в квадрат:

\({{\left( \sqrt{x+2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x+2={{x}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}-{x}-2=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-1.\end{array} \right.\)

Все верно? Это ответ?

Проверим корни:

\(x=2:\text{  }\sqrt{2+2}=2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{4}=2\) – все и правда верно, \(x=2\) – подходящий корень.

\(x=-1:\text{  }\sqrt{-1+2}=-1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{1}=-1\) – а вот здесь ошибка. Значит, корень \(x=-1\) – сторонний.

И правда, мы ведь помним, что результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен! Значит, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна. Тоже своего рода ОДЗ.

\(\sqrt{A}=B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A={{B}^{2}}\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Проверять же ОДЗ корня (\(A\ge 0\)) здесь снова не нужно (почему?).

Примеры:

  1. \(\sqrt{4x+1}={x}-1\)
  2. \(\sqrt{2{{x}^{2}}-3{x}-2}=x+3\)
  3. \(\sqrt{2{x}-1}-\sqrt{x+2}=1\)

Ответы:

1. \(\displaystyle \sqrt{4x+1}={x}-1\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}4x+1={{x}^{2}}+2x+1\\{x}-1\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x}-2 \right)=0\\x\ge 1\end{array} \right.\Leftrightarrow \text{ }\)

2. \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array} \right.\\x\ge 1\end{array} \right.\Leftrightarrow x=2\sqrt{2{{x}^{2}}-3{x}-2}=x+3\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-3{x}-2={{x}^{2}}+6x+9\\x+3\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-9{x}-11=0\\x\ge -3\end{array} \right.\)

Первое уравнение решим через дискриминант:

\(D=81+4\cdot 11=125\)

\({{x}_{1,2}}=\frac{9\pm 5\sqrt{5}}{2}\)

Что проще: узнать, какой из этих корней больше \(-3\), или подставить их в начальное уравнение для проверки? Конечно, первое!

Теперь становится очевидной выгода равносильного преобразования вместо проверки корней подстановкой в исходное уравнение.

Не знаешь, как такое сравнивать? Смотри тему «Сравнение чисел»!

\({{x}_{1}}=\frac{9+5\sqrt{5}}{2}\): этот корень явно больше \(0\), поэтому он автоматически больше \(-3\).

\({{x}_{2}}=\frac{9-5\sqrt{5}}{2}\text{  }\vee \text{  }-3\text{  }\Leftrightarrow \)

\(9-5\sqrt{5}\text{  }\vee \text{  }-6\text{  }\Leftrightarrow \)

\(15\text{  }\vee \text{  }5\sqrt{5}\text{  }\Leftrightarrow \)

\(\sqrt{225}\text{  }\overset{>}{\mathop{\vee }}\,\text{  }\sqrt{125}\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}_{2}}=\frac{9-5\sqrt{5}}{2}>-3\)

Выходит, что оба корня являются решениями:

Ответ: \(\frac{9-5\sqrt{5}}{2};\text{  }\frac{9-5\sqrt{5}}{2}.\)

3) \(\sqrt{2{x}-1}-\sqrt{x+2}=1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{2{x}-1}=1+\sqrt{x+2}\).

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат:

\(\displaystyle {{\left( \sqrt{2{x}-1} \right)}^{2}}={{\left( 1+\sqrt{x+2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2{x}-1=1+2\sqrt{x+2}+x+2\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \text{2}\sqrt{x+2}={x}-4\)

Теперь решаем по шаблону:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x+8={{x}^{2}}-8x+16\\{x}-4\ge 0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-12x+12=0\\x\ge 4\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x=6-2\sqrt{6}\\x=6+2\sqrt{6}\end{array} \right.\\x\ge 4\end{array} \right.\)

Теперь необходимо сравнить числа \(6-2\sqrt{6}\), \(6+2\sqrt{6}\) и \(4\). Снова вспоминаем тему «Сравнение чисел»:

\(6-2\sqrt{6}\vee 4\text{  }\Leftrightarrow \text{  }6-4\vee 2\sqrt{6}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2\vee \sqrt{6}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }4\overset{<}{\mathop{\vee }}\,6\text{  }\Rightarrow \text{  }6-2\sqrt{6}<4\)

\(6+2\sqrt{6}\vee 4\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2\sqrt{6}\vee 4-6\text{  }\Leftrightarrow \text{  2}\sqrt{6}\overset{>}{\mathop{\vee }}\,-2\text{  }\Rightarrow \text{  }6+2\sqrt{6}>4\)

Значит, ответом будет \(x=6+2\sqrt{6}\).

Больше задач — после регистрации.

Корни степени больше \(2\)

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

I. Корни четной степени.

Корни \(2\), \(4\), \(6\), и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

\(\sqrt[4]{x}=\sqrt{\sqrt{x}};\text{  }\sqrt[6]{x}=\sqrt{\sqrt[3]{x}};\text{  }\sqrt[2k]{x}=\sqrt{\sqrt[k]{x}}\)

Например:

\(\sqrt[4]{A}=B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A={{B}^{4}}\\B\ge 0\end{array} \right.\)

II. Корни нечетной степени.

С нечетными степенями (\(3\), \(5\), …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

\(\begin{array}{l}\sqrt[3]{A}=B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }A={{B}^{3}}\\\sqrt[5]{A}=B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }A={{B}^{5}}\end{array}\)

Примеры:

  1. \(\sqrt[5]{2-x}=-2\)
  2. \(\sqrt[4]{3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}}=x\)
  3. \(\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}=x\)
  4. \(\sqrt[3]{6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}=1-x\)

Ответы:

1. \(\displaystyle \sqrt[5]{2-x}=-2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2-x={{\left( -2 \right)}^{5}}=-32\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=34\)

2. \(\displaystyle \sqrt[4]{3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}={{x}^{4}}\\x\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2{x}-3=0\\x\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow x=3\)

3. \(\displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}=x\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{3}}+3x+5={{x}^{3}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=-\frac{5}{3}\)

\(\displaystyle \sqrt[3]{6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}=1-x\Leftrightarrow 6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}=1-3x+3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \text{2}{{x}^{2}}-3{x}-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2,5\\x=-1\end{array} \right.\)

Проверь себя — реши задачи на иррациональные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *