Иррациональные уравнения. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем с самого простого: уравнения вида $latex \sqrt{x}=a$.

Например: $latex \sqrt{x}=3$. Как его решить? Как избавиться от корня? Правильно, квадратный корень убирается возведением в квадрат:

$latex \sqrt{x}=3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}={{3}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=9$.

А как решить такое: $latex \sqrt[3]{x}=3$?

И снова вспомним определение корня степени $latex n$: $latex \sqrt[n]{x}$ – это такое число, которое нужно возвести в степень $latex n$, чтобы получить $latex x$. В данном случае эта степень равна $latex 3$:

$latex \sqrt[3]{x}=3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \sqrt[3]{x} \right)}^{3}}={{3}^{3}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=27$

Итак, общее правило:

$latex \sqrt[n]{x}=a\text{ }\Leftrightarrow \text{  }x={{a}^{n}}$

Хорошо, а что с этим: $latex \sqrt{{{x}^{2}}}=4$? Все просто: квадрат и корень уничтожаются, и получаем $latex x=4$, верно?

Нет! Когда мы проходили корни, на это обращали особое внимание: здесь два корня – $latex x=4$ и $latex x=-4$, ведь $latex \sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{16}=4$. Не забываем правило:

$latex \sqrt{{{x}^{2}}}=a\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left| x \right|=a$

Реши сам:

  1. $latex \sqrt{x+2}=3$
  2. $latex \sqrt{{{x}^{2}}+3x}=2$
  3. $latex \sqrt[3]{x+5}=-1$

Ответы:

  1. $latex \sqrt{x+2}=3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x+2=9\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=7$
  2. $latex \sqrt{{{x}^{2}}+3x}=2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}+3{x}-4=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-4\\x=1\end{array} \right.$
  3. $latex \sqrt[3]{x+5}=-1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x+5=-1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=-6$

Учет ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ? ОДЗ (область допустимых значений) уравнения или неравенства – это множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл.

Например, в уравнении $latex \sqrt{x+2}=3$ присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства $latex x+2\ge 0$.

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, задачу из предыдущей главы: $latex \sqrt{{{x}^{2}}+3x}=2$. При возведении в квадрат получаем $latex {{x}^{2}}+3x=4$, то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ.

Пример:

$latex \sqrt{2{x}-6}=3-x$

ОДЗ: $latex 2{x}-6\ge 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\ge 3$.

Но при таких $latex x$ правая часть уравнения неположительна, а левая, как и любой приличный квадратный корень, неотрицательна. Тогда равенство возможно только если обе части уравнения равны нулю, то есть при $latex x=3$: $latex \sqrt{2\cdot 3-6}=0=3-3$.

Ответ: $latex 3$.

Еще пример:

$latex \sqrt{8{x}-15-{{x}^{2}}}+\sqrt{{x}-5}=2{{x}^{2}}-7{x}-15$

Решение:

Найдем ОДЗ:

$latex \left\{ \begin{array}{l}8{x}-15-{{x}^{2}}\ge 0\\{x}-5\ge 0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}\left( {x}-5 \right)\left( {x}-3 \right)\le 0\\x\ge 5\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}3\le x\le 5\\x\ge 5\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=5$

Итак, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Проверим его – подставим $latex x=5$ в уравнение. Что получилось? Если получилось $latex 0=0$, все верно: корень $latex x=5$ подходит.

Ответ: $latex 5$.

Большинство стандартных иррациональных уравнений не требуют нахождения ОДЗ – как и в приведенном в начале примере, ОДЗ оказывается автоматически учтенной после равносильного преобразования.

Больше задач — после регистрации.

Иррациональные уравнения вида $latex \sqrt{A}=\sqrt{B}$.

Здесь и далее большими буквами $latex A$, $latex B$, $latex C$, и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись $latex \sqrt{A}=\sqrt{B}$ соответствует, например, уравнению $latex \sqrt{{{x}^{2}}-{x}-2}=\sqrt{{x}-1}$: $latex A={{x}^{2}}-{x}-2$ здесь и $latex B={x}-1$.

Как решить такое уравнение?

Во-первых, корни равны только когда подкоренные выражения равны: $latex A=B$. Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом уравнении?

Действительно, чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

$latex \left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.$

Но поскольку эти выражения равны друг другу, достаточно потребовать неотрицательности только одного из них:

$latex \sqrt{A}=\sqrt{B}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A=B\\A\ge 0\end{array} \right.$ или $latex \sqrt{A}=\sqrt{B}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A=B\\B\ge 0\end{array} \right.$

Примеры (реши сам):

  1. $latex \sqrt{{{x}^{2}}-{x}-2}=\sqrt{{x}-1}$
  2. $latex \sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}=\sqrt{{x}-2}$
  3. $latex \sqrt{3{{x}^{2}}-7x+1}=\sqrt{2{{x}^{2}}-{x}-6}$

Ответы:

1. Какое из выражений будем проверять на неотрицательность? Конечно же то, которое проще – $latex {x}-1$:

$latex \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-x+2}=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x+2=x+1\\x+1\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x+1=0\\x\ge -1\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$

2. $latex \displaystyle \sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}=\sqrt{{x}-2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-6{x}-17={x}-2\\{x}-2\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-7{x}-15=0\\x\ge 2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x=5\\x=-\frac{3}{2}\end{array} \right.\\x\ge 2\end{array} \right.\Leftrightarrow x=5$

3. $latex \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}-8x+1}=\sqrt{2{{x}^{2}}-{x}-6}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{{x}^{2}}-8x+1=2{{x}^{2}}-{x}-5\\2{{x}^{2}}-{x}-6\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-7x+6=0\\2\left( {x}-2 \right)\left( x+\frac{3}{2} \right)\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x=6\\x=1\end{array} \right.\\x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 2;+\infty  \right)\end{array} \right.\Leftrightarrow x=6$

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Больше задач — после регистрации.

Иррациональные уравнения вида $latex A\sqrt{B}=0$.

Что написано в левой части? Правильно, произведение выражений. А при каких условиях произведение равно нулю? Конечно, если один из множителей равен нулю. То есть:

$latex \left[ \begin{array}{l}A=0\\B=0\end{array} \right.$

Но, как ты догадался, это еще не все. Что нужно добавить? ОДЗ. Причем в той части, где $latex B=0$, все хорошо. Но если мы выбираем $latex A=0$, придется кое-что сказать и про $latex B$:

$latex A\sqrt{B}=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A=0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

Примеры (реши сам):

  1. $latex x\sqrt{{x}-1}=0$
  2. $latex \left( {{x}^{2}}-9 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4}=0$
  3. $latex \left( {{x}^{2}}-3{x}-4 \right)\sqrt{x+1}=0$

Ответы:

1. $latex x\sqrt{{x}-1}=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}{x}-1=0\\\left\{ \begin{array}{l}x=0\\{x}-1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=1.$

2. $latex \left( {{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{x+1}=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x+1=0\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-4=0\\x+1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\\left\{ \begin{array}{l}x=2\\x=-2\\x\ge -1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=2.\end{array} \right.$

3. $latex \displaystyle \left( {{x}^{2}}-3{x}-4 \right)\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x+1=0\\\left( \begin{array}{l}{{x}^{2}}-3{x}-4=0\\x+1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\\left\{ \begin{array}{l}x=4\\x=-1\\x\ge -1\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=4.\end{array} \right.$

Иррациональные уравнения вида $latex \sqrt{A}=B$.

Наиболее распространённый тип иррациональных уравнений.

Рассмотрим пример:

$latex \sqrt{x+2}=x$

Возводим обе части в квадрат:

$latex {{\left( \sqrt{x+2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x+2={{x}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}-{x}-2=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-1.\end{array} \right.$

Все верно? Это ответ?

Проверим корни:

$latex x=2:\text{  }\sqrt{2+2}=2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{4}=2$ – все и правда верно, $latex x=2$ – подходящий корень.

$latex x=-1:\text{  }\sqrt{-1+2}=-1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{1}=-1$ – а вот здесь ошибка. Значит, корень $latex x=-1$ – сторонний.

И правда, мы ведь помним, что результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен! Значит, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна. Тоже своего рода ОДЗ.

$latex \sqrt{A}=B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A={{B}^{2}}\\B\ge 0\end{array} \right.$

Проверять же ОДЗ корня ($latex A\ge 0$) здесь снова не нужно (почему?).

Примеры:

  1. $latex \sqrt{4x+1}={x}-1$
  2. $latex \sqrt{2{{x}^{2}}-3{x}-2}=x+3$
  3. $latex \sqrt{2{x}-1}-\sqrt{x+2}=1$

Ответы:

1. $latex \displaystyle \sqrt{4x+1}={x}-1\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}4x+1={{x}^{2}}+2x+1\\{x}-1\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x}-2 \right)=0\\x\ge 1\end{array} \right.\Leftrightarrow \text{ }$

2. $latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array} \right.\\x\ge 1\end{array} \right.\Leftrightarrow x=2\sqrt{2{{x}^{2}}-3{x}-2}=x+3\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-3{x}-2={{x}^{2}}+6x+9\\x+3\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-9{x}-11=0\\x\ge -3\end{array} \right.$

Первое уравнение решим через дискриминант:

$latex D=81+4\cdot 11=125$

$latex {{x}_{1,2}}=\frac{9\pm 5\sqrt{5}}{2}$

Что проще: узнать, какой из этих корней больше $latex -3$, или подставить их в начальное уравнение для проверки? Конечно, первое!

Теперь становится очевидной выгода равносильного преобразования вместо проверки корней подстановкой в исходное уравнение.

Не знаешь, как такое сравнивать? Смотри тему «Сравнение чисел»!

$latex {{x}_{1}}=\frac{9+5\sqrt{5}}{2}$: этот корень явно больше $latex 0$, поэтому он автоматически больше $latex -3$.

$latex {{x}_{2}}=\frac{9-5\sqrt{5}}{2}\text{  }\vee \text{  }-3\text{  }\Leftrightarrow $

$latex 9-5\sqrt{5}\text{  }\vee \text{  }-6\text{  }\Leftrightarrow $

$latex 15\text{  }\vee \text{  }5\sqrt{5}\text{  }\Leftrightarrow $

$latex \sqrt{225}\text{  }\overset{>}{\mathop{\vee }}\,\text{  }\sqrt{125}\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}_{2}}=\frac{9-5\sqrt{5}}{2}>-3$

Выходит, что оба корня являются решениями:

Ответ: $latex \frac{9-5\sqrt{5}}{2};\text{  }\frac{9-5\sqrt{5}}{2}.$

3) $latex \sqrt{2{x}-1}-\sqrt{x+2}=1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{2{x}-1}=1+\sqrt{x+2}$.

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат:

$latex \displaystyle {{\left( \sqrt{2{x}-1} \right)}^{2}}={{\left( 1+\sqrt{x+2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2{x}-1=1+2\sqrt{x+2}+x+2\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \text{2}\sqrt{x+2}={x}-4$

Теперь решаем по шаблону:

$latex \left\{ \begin{array}{l}4x+8={{x}^{2}}-8x+16\\{x}-4\ge 0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-12x+12=0\\x\ge 4\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x=6-2\sqrt{6}\\x=6+2\sqrt{6}\end{array} \right.\\x\ge 4\end{array} \right.$

Теперь необходимо сравнить числа $latex 6-2\sqrt{6}$, $latex 6+2\sqrt{6}$ и $latex 4$. Снова вспоминаем тему «Сравнение чисел»:

$latex 6-2\sqrt{6}\vee 4\text{  }\Leftrightarrow \text{  }6-4\vee 2\sqrt{6}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2\vee \sqrt{6}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }4\overset{<}{\mathop{\vee }}\,6\text{  }\Rightarrow \text{  }6-2\sqrt{6}<4$

$latex 6+2\sqrt{6}\vee 4\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2\sqrt{6}\vee 4-6\text{  }\Leftrightarrow \text{  2}\sqrt{6}\overset{>}{\mathop{\vee }}\,-2\text{  }\Rightarrow \text{  }6+2\sqrt{6}>4$

Значит, ответом будет $latex x=6+2\sqrt{6}$.

Больше задач — после регистрации.

Корни степени больше $latex 2$

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

I. Корни четной степени.

Корни $latex 2$, $latex 4$, $latex 6$, и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

$latex \sqrt[4]{x}=\sqrt{\sqrt{x}};\text{  }\sqrt[6]{x}=\sqrt{\sqrt[3]{x}};\text{  }\sqrt[2k]{x}=\sqrt{\sqrt[k]{x}}$

Например:

$latex \sqrt[4]{A}=B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A={{B}^{4}}\\B\ge 0\end{array} \right.$

II. Корни нечетной степени.

С нечетными степенями ($latex 3$, $latex 5$, …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

$latex \begin{array}{l}\sqrt[3]{A}=B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }A={{B}^{3}}\\\sqrt[5]{A}=B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }A={{B}^{5}}\end{array}$

Примеры:

  1. $latex \sqrt[5]{2-x}=-2$
  2. $latex \sqrt[4]{3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}}=x$
  3. $latex \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}=x$
  4. $latex \sqrt[3]{6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}=1-x$

Ответы:

1. $latex \displaystyle \sqrt[5]{2-x}=-2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2-x={{\left( -2 \right)}^{5}}=-32\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=34$

2. $latex \displaystyle \sqrt[4]{3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}={{x}^{4}}\\x\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2{x}-3=0\\x\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow x=3$

3. $latex \displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}=x\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{3}}+3x+5={{x}^{3}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=-\frac{5}{3}$

$latex \displaystyle \sqrt[3]{6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}=1-x\Leftrightarrow 6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}=1-3x+3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \text{2}{{x}^{2}}-3{x}-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2,5\\x=-1\end{array} \right.$

Проверь себя — реши задачи на иррациональные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий