Логарифмические уравнения. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Сегодня в этой статье мы обсудим с тобой как решать простые логарифмические уравнения. Для этого тебе понадобятся некоторые минимальные знания:

  1. Свойства логарифмов
  2. Свойства степени
  3. Формулы сокращенного умножения
  4. Решение линейных и квадратных уравнений.

Ну что, в принципе, это все, что нам понадобится. Что же такое логарифмические уравнения?

Логарифмические уравнения. Понятие.

Это уравнения, в которых неизвестные переменные (ну мы такие жуткие случаи, когда переменных несколько, рассматривать не будем, для нас переменная всегда будет одна и называть мы ее будем «икс») находятся внутри логарифмов. Например:

\(\displaystyle lo{{g}_{5}}\left( {{x}^{2}}+2x \right)=lo{{g}_{5}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)\)

\(\displaystyle lo{{g}_{5}}\left( 5-x \right)=2lo{{g}_{5}}3\)

\(\displaystyle {{3}^{lo{{g}_{9}}\left( 5{x} -5 \right)}}=5\)

\(\displaystyle lo{{g}_{{x} -1}}8=1\)

Больше задач — после регистрации.

А вот уравнение \(\displaystyle 1+2x=lo{{g}_{2}}\left( 3x+1 \right)\) нельзя называть логарифмическим. Я думаю, тебе вполне ясно, почему? Верно, все потому, что \(\displaystyle 2x\) не находится внутри никакого логарифма. Такие уравнения называются смешанными и требуют индивидуального подхода. Как же решать логарифмические уравнения?

Логарифмические уравнения. Методы решения.

На самом деле существует целая масса подходов: это и разложение на множители, и потенцирование, и замена, и работа с основаниями… Но все методы решения логарифмических уравнения роднит одно: их цель свести логарифмические уравнения к простейшему виду:

\(lo{{g}_{a}}\left( f\left( x \right) \right)~=~lo{{g}_{a}}\left( g\left( x \right) \right)\),

а затем уже решать уравнение без логарифмов:

\(f\left( x \right)=g\left( x \right).\)

То есть правило такое:

Если уравнение сведено к такому, что слева и справа от знака «равно» стоят логарифмы с одним основанием, то логарифмы мы «зачеркиваем» и решаем оставшееся уравнение.

Однако, тут есть один подводный камень: поскольку логарифм \(lo{{g}_{a}}\left( f\left( x \right) \right)\) определен только тогда, когда

\(f\left( x \right)>0,\)

то после нахождения корней логарифмического уравнения, мы обязаны сделать проверку!!! Я не поленюсь и повторю еще раз:

В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ МЫ ВСЕГДА ДЕЛАЕМ ПРОВЕРКУ ПОЛУЧЕННЫХ КОРНЕЙ!!

Те учащиеся, которые игнорируют это требование, как правило допускают глупейшие и непростительные ошибки (согласись, обидно решить правильно уравнение, а потом не сделать самую малость: проверку, и записать лишние корни, и записать из-за этого неправильный ответ!).

Теперь давай потренируемся на решении простейших примеров (все примеры взяты из банка задач ЕГЭ, B7).

  1. \(lo{{g}_{2}}\left( 4-x \right)=7\)
  2. \(lo{{g}_{5}}\left( 4+x \right)=2\)
  3. \(lo{{g}_{2}}\left( 15+x \right)=lo{{g}_{2}}3~\)
  4. \(lo{{g}_{\frac{1}{7}}}\left( 7-x \right)=-2~\)
  5. \(lo{{g}_{5}}\left( 7-x \right)=lo{{g}_{5}}\left( 3-x \right)+1\)
  6. \(lo{{g}_{8}}{{2}^{8{x} -4}}=4\)

Больше задач — после регистрации.

Давай разбираться с каждым примером по-отдельности.

Правило умножения на единицу:

1.  \(lo{{g}_{2}}\left( 4-x \right)=7\)

Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – нет. Что делать? Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию \(\displaystyle 2\), а затем просто откинуть логарифмы.

Как этого добиться? Я люблю применять волшебное правило:

Правило умножения на единицу!

Вот в чем его соль: я умножу \(\displaystyle 7\) на \(\displaystyle 1\)

\(\displaystyle 7\cdot 1\)

Однако, мне же нужен логарифм! Что я знаю:

\(\displaystyle lo{{g}_{a}}a=1~(a>0,a\ne 1)\)

Мне же нужно основание \(\displaystyle 2\), поэтому я возьму \(\displaystyle a=2\), тогда

\(\displaystyle 1=lo{{g}_{2}}2\)

\(\displaystyle 7=7\cdot 1=7\cdot ~lo{{g}_{2}}2\)

Пол дела сделано! Теперь мне нужно засунуть \(\displaystyle 7\) внутрь логарифма. Это я сделаю, воспользовавшись следующим правилом:

\(\displaystyle c\cdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{c}}\)

Применительно к моей ситуации это даст:

\(\displaystyle 7\cdot ~lo{{g}_{2}}2=lo{{g}_{2}}{{2}^{7}}=lo{{g}_{2}}128\)

Тогда мое исходное логарифмическое уравнение станет вот таким:

\(\displaystyle lo{{g}_{2}}\left( 4-x \right)=lo{{g}_{2}}128\)

Ура! Избавляемся от логарифмов! Получим простейшее уравнение

\(\displaystyle 4-x=128,\)

\(\displaystyle x=-124\)

Но это еще не конец! Обещанная проверка:

\(\displaystyle lo{{g}_{2}}\left( 4-\left( -124 \right) \right)=7\)

\(\displaystyle lo{{g}_{2}}128=7,~\)

так как \(\displaystyle {{2}^{7}}=128\), то последнее выражение истинное, и \(\displaystyle x=-124\) – на самом деле является корнем.

Запишем ответ:

\(\displaystyle -124\)

2. \(lo{{g}_{5}}\left( 4+x \right)=2\)

Задача полностью аналогичная предыдущей: воспользуюсь правилом умножения на единицу для числа \(2\):

\(2=2\cdot ~lo{{g}_{5}}5=lo{{g}_{5}}{{5}^{2}}=lo{{g}_{5}}25\)

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

\(lo{{g}_{5}}\left( 4+x \right)=lo{{g}_{5}}25.\)

Зачеркиваем логарифмы:

\(4+x=25,\)

\(x=21.\)

Делаем проверку:

\(lo{{g}_{5}}\left( 4+21 \right)=2\)

\(lo{{g}_{5}}25=2\)

Верно!

3. \(lo{{g}_{2}}\left( 15+x \right)=lo{{g}_{2}}3~\)

А здесь о нас с тобой уже заранее позаботились! Зачеркиваем логарифмы и получим:

\(15+x=3,\)

\(x=-12\)

Делаем проверку:

\(lo{{g}_{2}}\left( 15-12 \right)=lo{{g}_{2}}3\)

\(lo{{g}_{2}}3=lo{{g}_{2}}3\)

Все верно!

4. \(lo{{g}_{\frac{1}{7}}}\left( 7-x \right)=-2\)

Опять воспользуемся волшебным правилом!

\(-2=-2\cdot 1=-2\cdot lo{{g}_{\frac{1}{7}}}\frac{1}{7}=lo{{g}_{\frac{1}{7}}}{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{-2}}=lo{{g}_{\frac{1}{7}}}49.\)

Если последняя выкладка была не особо понятной, то еще раз повтори свойства степеней, особенно отрицательных!

Теперь все стало ясно? Отлично, тогда убираем логарифмы:

\(7-x=49,\)

\(x=-42\)

Не забываем о проверке!

\(lo{{g}_{\frac{1}{7}}}\left( 7-\left( -42 \right) \right)=-2,\)

\(lo{{g}_{\frac{1}{7}}}\left( 49 \right)=-2.\)

Так как

\({{\left( \frac{1}{7} \right)}^{-2}}=49,\)

то снова все верно!

Больше задач — после регистрации.

Правило «превращения единицы»:

Разберем это правило на пятом примере логарифмического уравнения:

5. \(lo{{g}_{5}}\left( 7-x \right)=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }lo{{g}_{5}}\left( 3-x \right)+1\)

Воспользуемся правилом «превращения единицы», которым мы уже пользовались в правиле «умножения на единицу»! Смотри как оно работает:

\(1=lo{{g}_{5}}5\)

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

\(lo{{g}_{5}}\left( 7-x \right)=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }lo{{g}_{5}}\left( 3-x \right)+lo{{g}_{5}}5\)

Что дальше? Если ты видишь с одной стороны уравнения сумму (или разность, но лучше сумму!) логарифмов с одним основанием, то пользуйся вот такой формулой (тебе уже известной!)

\(lo{{g}_{a}}b+lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}\left( bc \right)\)

Применительно к моей ситуации это даст:

\(lo{{g}_{5}}\left( 3-x \right)+lo{{g}_{5}}5=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }lo{{g}_{5}}5\left( 3-x \right)\)

Ну все, слева и справа у нас – логарифмы и ничего более. Убираем их.

\(7-x=5\left( 3-x \right)\)

\(7-x=15-5x\)

\(4x=8\)

\(x=2.\)

Проверка:

\(lo{{g}_{5}}\left( 7-2 \right)=lo{{g}_{5}}\left( 3-2 \right)+1\)

\(lo{{g}_{5}}5=lo{{g}_{5}}1+1\)

\(1=0+1\)

\(1=1\)

Верно!

Кстати, а ты понял, откуда у нас взялся ноль справа? Ты асболютно прав:

\(lo{{g}_{a}}1=0,~a>0,a\ne 1.\)

Использование свойств логарифма:

6. \(lo{{g}_{8}}{{2}^{8{x} -4}}=4\)

Здесь у нас есть два возможных пути:

первый – это как всегда правило умножения на единицу (ты можешь попытаться его проделать самостоятельно, ты ведь знаешь, как решать показательные уравнения?),

второй – воспользоваться одним из свойств логарифма:

\(c\cdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{c}}\)

но читать я ее буду справа налево:

\(lo{{g}_{8}}{{2}^{8{x} -4}}=\left( 8{x} -4 \right)lo{{g}_{8}}2\)

Теперь разберемся с числом

\(lo{{g}_{8}}2\)

Здесь нам понадобится еще одно хорошо известное тебе свойство:

\(lo{{g}_{{{a}^{c}}}}b=\frac{1}{c}lo{{g}_{a}}b\)

Что она даст в нашем случае? Так как \(\displaystyle 8={{2}^{3}}\), то

\(\displaystyle lo{{g}_{8}}2=lo{{g}_{{{2}^{3}}}}2=\frac{1}{3}lo{{g}_{2}}2=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}\)

Тогда левая часть уравнения примет вид:

\(\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \left( 8{x} -4 \right)=4\)

\(\displaystyle 8{x} -4=12\)

\(\displaystyle 8x=16\)

\(\displaystyle x=2.\)

Проверка!

\(\displaystyle lo{{g}_{8}}{{2}^{8\cdot 2-4}}=4\)

\(\displaystyle lo{{g}_{8}}{{2}^{12}}=4\)

\(\displaystyle lo{{g}_{8}}{{2}^{3\cdot 4}}=4\)

\(\displaystyle lo{{g}_{8}}{{8}^{4}}=4\)

\(\displaystyle 4lo{{g}_{8}}8=4\)

\(\displaystyle 4=4.\)

Все верно!

Ну что же, во всех предыдущих примерах, так уж выходило (абсолютно случайно, кстати), что логарифмические уравнения имели корни, притом единственные, и все они нам подходили. Так бывает далеко не всегда, увы! Но прежде чем я приведу тебе соответствующие примеры, я еще раз хочу напомнить тебе, какие формулы очень нужны для решения логарифмических уравнений:

\(lo{{g}_{{{a}^{c}}}}b=\frac{1}{c}lo{{g}_{a}}b\)

\(c\cdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{c}}\)

\(lo{{g}_{a}}b+lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}\left( bc \right)\)

\(lo{{g}_{a}}b-lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)\)

\(lo{{g}_{a}}1=0,~a>0,a\ne 1.\)

\(lo{{g}_{a}}a=1~(a>0,a\ne 1)\)

Больше задач — после регистрации.

Логарифмические уравнения. Примеры.

Ну а теперь обещанные примеры, где все не очень хорошо с корнями! Не так уж и много, правда? Но тем не менее, эти формулы нам ЖИЗНЕННО НЕОБХОДИМЫ! Без них мы не сможем решить даже простейший пример.

  1. \(lo{{g}_{4}}\frac{{{x}^{2}}-4x+1}{{{x}^{2}}-6x+5}=-\frac{1}{2}\)
  2. \(lo{{g}_{5}}\left( 3{x} -11 \right)+lo{{g}_{5}}\left( {x} -27 \right)=lo{{g}_{5}}8+3\)
  3. \(lg({x} -3)+lg({x} -2)=1-lg5\)

1. Решение стандартно – воспользуемся правилом умножения на -1:

\(-\frac{1}{2}\cdot 1=-\frac{1}{2}\cdot lo{{g}_{4}}4=lo{{g}_{4}}{{4}^{-\frac{1}{2}}}=lo{{g}_{4}}\frac{1}{2}.\)

Теперь удаляем логарифмы:

\(\frac{{{x}^{2}}-4x+1}{{{x}^{2}}-6x+5}=\frac{1}{2}\)

Перемножим крест-накрест:

\(2\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)={{x}^{2}}-6x+5\)

\(2{{x}^{2}}-8x+2-{{x}^{2}}+6{x} -5=0\)

\({{x}^{2}}-2{x} -3=0\)

\({{x}_{1}}=3,{{x}_{2}}=-1\)

Проверка \(x=3\)

\(lo{{g}_{4}}\frac{{{3}^{2}}-4\cdot 3+1}{{{3}^{2}}-6\cdot 3+5}=lo{{g}_{4}}\frac{9-12+1}{9-18+5}=lo{{g}_{4}}\frac{-2}{-4}=lo{{g}_{4}}\frac{1}{2}=lo{{g}_{4}}1-lo{{g}_{4}}2=0-0,5=-0,5.\)

Подходит!

Проверка \(x=-1\)

\(lo{{g}_{4}}~\frac{{{\left( -1 \right)}^{2}}-4\cdot \left( -1 \right)+1}{{{\left( -1 \right)}^{2}}-6\cdot \left( -1 \right)+5}=lo{{g}_{4}}\frac{1+4+1}{1+6+5}=lo{{g}_{4}}\frac{6}{12}=-0.5\)

И здесь подходит! Может, я ошибся, и корни вообще всегда подходят? Давай посмотрим на следующий пример!

2. \(lo{{g}_{5}}\left( 3{x} -11 \right)+lo{{g}_{5}}\left( {x} -27 \right)=lo{{g}_{5}}8+3\)

Тройку нашим любимым методом представим в виде

\(3=lo{{g}_{5}}{{5}^{3}}=lo{{g}_{5}}125\)

Слева и справа воспользуемся формулой для суммы логарифмов:

\(\displaystyle lo{{g}_{5}}\left( 3{x} -11 \right)+lo{{g}_{5}}\left( x-27 \right)=lo{{g}_{5}}\left( 3{x} -11 \right)\left( x-27 \right)=lo{{g}_{5}}\left( 3{{x}^{2}}-92x+297 \right)\)

\(lo{{g}_{5}}125+lo{{g}_{5}}8=lo{{g}_{5}}1000\)

\(3{{x}^{2}}-92x+297=1000\)

\(3{{x}^{2}}-92{x} -703=0\)

\({{x}_{1}}=37,{{x}_{2}}=\frac{-19}{3}\)

Делаем проверку:

\(x=37\)

\(lo{{g}_{5}}\left( 3\cdot 37-11 \right)+lo{{g}_{5}}\left( 37-27 \right)=~lo{{g}_{5}}1000\)

\(lo{{g}_{5}}100+lo{{g}_{5}}10=lo{{g}_{5}}1000\)

\(lo{{g}_{5}}1000=lo{{g}_{5}}1000\)

Верно!

Неужели, и второй подойдет? Давай проверим:

\(lo{{g}_{5}}\left( 3\left( \frac{-19}{3} \right)-11 \right)+lo{{g}_{5}}\left( \frac{-19}{3}-27 \right)=~lo{{g}_{5}}1000\)

Видно, что в каждом из двух логарифмов слева стоят отрицательные числа, такого быть не должно и не может! Тогда \(x=-\frac{19}{3}\) не является корнем!

Ответ: \(37\)

\(lg({x} -3)+lg({x} -2)=1-lg5\)

Решение аналогично уже рассмотренному ранее примеру: Единицу справа давай превратим в \(lg10\) (я напомню, что \(lg\) – десятичный логарифм, или логарифм по основанию \(10\)), и произведем действия между логарифмами слева и справа:

\(lg\left( {x} -3 \right)\left( {x} -2 \right)=lg\frac{10}{5}=lg2\)

теперь уберем логарифмы слева и справа:

\(\left( {x} -2 \right)\left( {x} -3 \right)=2\)

\({{x}^{2}}-5x+6=2\)

\({{x}^{2}}-5x+4=0\)

\({{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=4\)

Проверка: \(x=1\)

\(lg\left( 1-3 \right)+lg\left( 1-2 \right)=lg2\)

Опять оба логарифма слева не определены, так как они берутся от отрицательных чисел. Тогда \(x=1\) не является корнем.

\(x=4\)

\(lg\left( 4-3 \right)+lg\left( 2-2 \right)=lg2\)

\(lg1+lg2=lg2\)

так как \(lg1=0\), то

\(lg2=lg2\)

Верно!

Ответ: \(4\)

Я надеюсь, что только что приведенные примеры навсегда отучат тебя пропускать проверку при решении логарифмических уравнений. Она необходима!

Теперь я бы хотел рассмотреть с тобой еще один (чуть более сложный) вид логарифмических уравнений. Это будут уравнения с переменным основанием. До этого же мы рассматривали только случаи, когда основания были постоянными: \(2,3,10\) и т. д. Но ничто не мешает им быть некоторыми функциями от \(x\), например \(2x+1,~{{x}^{2}},~{{2}^{x}}\) и т. д. Но не стоит пугаться! Если при решении логарифмических неравенств переменное основание доставляет довольно много неудобств, то на сложности решения уравнения это практически никак не сказывается. Суди сам:

\(log{{~}_{{x} -1}}25~=~2.\)

Действуем как и раньше: применяем метод «умножь на единицу» к числу \(2\):

\(2=2\cdot lo{{g}_{{x} -1}}\left( {x} -1 \right)=lo{{g}_{{x} -1}}{{\left( {x} -1 \right)}^{2}}\)

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

\(25={{\left( {x} -1 \right)}^{2}}\)

\({{\left( {x} -1 \right)}^{2}}-25=0\)

Применю формулу разности квадратов:

\({{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\)

\(\left( \left( {x} -1 \right)-5 \right)\left( \left( {x} -1 \right)+5 \right)=0\)

\(\left( {x} -6 \right)\left( x+4 \right)=0\)

\({{x}_{1}}=6,{{x}_{2}}=-4\)

Проверка: \(x=6\)

\(lo{{g}_{6-1}}25=2\)

\(lo{{g}_{5}}25=2\)

\(2=2\)

Верно!

\(x=-4\)

\(lo{{g}_{-4-1}}25=2\)

\(lo{{g}_{-5}}25=2\)

Какой делаем вывод? Неверно! Число \(x=-4\) не является корнем уравнения, поскольку основание логарифма не может быть отрицательным числом или равняться единице!

Ответ: \(6\).

Как видишь, в случае уравнений нет никакой принципиальной разницы, переменные у нас основания или нет. В этом плане можно сказать, что решить логарифмическое уравнение как правило намного проще, чем решить логарифмическое неравенство!

Давай теперь попробуем решить еще вот такой «странный» пример:

\(lo{{g}_{lo{{g}_{3}}x}}3=2\)

Будем действовать как всегда – превратим правую часть в логарифм, вот такой хитрый:

\(2=2\cdot lo{{g}_{lo{{g}_{3}}x}}\left( lo{{g}_{3}}x \right)=lo{{g}_{lo{{g}_{3}}x}}{{\left( lo{{g}_{3}}x \right)}^{2}}\)

Тогда исходное логарифмическое уравнение будет равносильно вот такому уравнению (правда снова логарифмическому)

\({{\left( lo{{g}_{3}}x \right)}^{2}}=3\)

Данное уравнение я буду решать снова по разности квадратов:

\({{\left( lo{{g}_{3}}x \right)}^{2}}-3=\left( lo{{g}_{3}}x+\sqrt{3} \right)(lo{{g}_{3}}{x} -\sqrt{3})=0\))

\(lo{{g}_{3}}x+\sqrt{3}=0~\) или \(lo{{g}_{3}}{x} -\sqrt{3}=0\)

\(lo{{g}_{3}}x=-\sqrt{3}\)

или

\(lo{{g}_{3}}x=\sqrt{3}\)

Давай решим вначале первое, второе будет решаться примерно так же:

Снова воспользуюсь «умножением на 1»:

\(lo{{g}_{3}}x=-\sqrt{3}lo{{g}_{3}}3=lo{{g}_{3}}{{3}^{-\sqrt{3}}}\)

\({{x}_{1}}={{3}^{-\sqrt{3}}}\)

Аналогично для второго уравнения:

\({{x}_{2}}={{3}^{\sqrt{3}}}\)

Теперь самое интересное: проверка. Начнем с первого корня
\({{x}_{1}}={{3}^{-\sqrt{3}}}\)

\(lo{{g}_{lo{{g}_{3}}{{3}^{-\sqrt{3}}}}}3=2\)

\(lo{{g}_{-\sqrt{3}lo{{g}_{3}}3}}3=2\)

Основание «большого» логарифма равно

\(-\sqrt{3}lo{{g}_{3}}3=-\sqrt{3}<0\)

Поэтому \({{3}^{-\sqrt{3}}}~\) не является корнем.

Проверим второе число:

\(lo{{g}_{lo{{g}_{3}}{{3}^{\sqrt{3}}}}}3=2\)

\(lo{{g}_{\sqrt{3}lo{{g}_{3}}3}}3=2\)

Так как

\(lo{{g}_{3}}3=1,\)

то:

\(lo{{g}_{\sqrt{3}}}3=2\).

так как

\(\sqrt{3}={{3}^{\frac{1}{2}}}\)

\(lo{{g}_{{{3}^{\frac{1}{2}}}}}3=\frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)}lo{{g}_{3}}3=2\)

то число \({{3}^{\sqrt{3}}}\) является корнем исходного уравнения.

Ответ: \({{3}^{\sqrt{3}}}\)

Я намеренно привел достаточно сложный пример, чтобы показать тебе, что не стоит пугаться больших и страшных логарифмов: достаточно знать несколько формул (которые я уже привел тебе выше) и из любой (практически) ситуации можно найти выход.

Ну вот, я привел тебе основные методы решения логарифмических уравнений (методы «без изысков»), которые позволят тебе справиться с большинством примеров ( в первую очередь на ЕГЭ). Теперь пришло твое время показать, чему ты научился. Попробуй самостоятельно решить следующие логарифмические уравнения, а затем мы с тобой сверим результат.

А теперь попробуй порешать логарифмические уравнения самостоятельно:

  1. \(\displaystyle lo{{g}_{3}}{x} -2lo{{g}_{\frac{1}{3}}}x=6\)
  2. \(\displaystyle \lg \left( {{x}^{2}}+2{x} -7 \right)-\lg \left( {x} -1 \right)=0\)
  3. \(\displaystyle lo{{g}_{25}}x+lo{{g}_{5}}x=lo{{g}_{\frac{1}{5}}}\sqrt{8}\)
  4. \(\displaystyle lo{{g}_{2}}\left( 2\sqrt{x+5}+5 \right)+lo{{g}_{0.5}}\left( -{x} -0.5 \right)=1\)
  5. \(\displaystyle lo{{g}_{7x}}2+lo{{g}_{7x}}4+lo{{g}_{7x}}5=lo{{g}_{7x}}\left( x+33 \right)\)
  6. \(\displaystyle lo{{g}_{3x+8}}\left( 2{{x}^{2}}+3 \right)=lo{{g}_{3x+8}}35\)
  7. \(\displaystyle lo{{g}_{{{x}^{2}}+5x+7}}lo{{g}_{{x} -4}}3x=0\)

1. Достаточно простая задачка: воспользуемся свойством:

\(lo{{g}_{{{a}^{c}}}}b=\frac{1}{c}lo{{g}_{a}}b\)

в вычитаемом:

\(-2lo{{g}_{\frac{1}{3}}}x=-2lo{{g}_{{{3}^{-1}}}}x=\frac{-2}{-1}lo{{g}_{3}}x=2lo{{g}_{3}}x\)

Тогда мы получим:

\(lo{{g}_{3}}x+2lo{{g}_{3}}x=6\)

\(3lo{{g}_{3}}x=6\)

\(lo{{g}_{3}}x=2\)

\(lo{{g}_{3}}x=lo{{g}_{3}}{{3}^{2}}\)

\(x=9\)

Делаем проверку:

\(lo{{g}_{3}}9-2lo{{g}_{\frac{1}{3}}}9=6\)

\(2+2\cdot lo{{g}_{3}}9=6\) (этот переход я уже объяснял тебе выше)

\(2+2\cdot 2=6\)

\(6=6\)

Ответ: \(6\)

2. Тоже ничего сверхъестественного: неохота мне делить, поэтому я перенесу слагаемое с «минусом» вправо: теперь слева и справа у меня стоят десятичные логарифмы, и я от них избавляюсь:

\({{x}^{2}}+2{x} -7={x} -1\)

\({{x}^{2}}+{x} -6=0\)

\({{x}_{1}}=-3,{{x}_{2}}=2\)

Делаю проверку: \(x=-3\)

\(lg\left( {{\left( -3 \right)}^{2}}+2\left( -3 \right)-7 \right)-lg\left( -3-1 \right)=0\)

\(lg\left( -4 \right)-lg\left( -4 \right)=0\)

выражение под знаком логарифма не может быть отрицательным, поэтому число \(x=-3\) не является корнем уравнения.

Проверка \(x=2\)

\(lg\left( {{2}^{2}}+2\cdot 2-7 \right)-lg\left( 2-1 \right)=0\)

\(lg1-lg1=0\)

\(0-0=0\)

Верно!

Ответ: \(2\)

3. \(lo{{g}_{25}}x+lo{{g}_{5}}x=lo{{g}_{\frac{1}{5}}}\sqrt{8}\)

Здесь нужно немного поработать: ясно, что \(25={{5}^{2}},~\frac{1}{5}={{5}^{-1}}\), снова воспользуюсь (не правда ли очень полезной?) формулой:

\(\displaystyle lo{{g}_{{{a}^{c}}}}b=\frac{1}{c}lo{{g}_{a}}b\)

\(\displaystyle 0.5lo{{g}_{5}}x+lo{{g}_{5}}x=-lo{{g}_{5}}\sqrt{8}\)

\(\displaystyle 1.5lo{{g}_{5}}x+lo{{g}_{5}}\sqrt{8}=0\)

Что мне нужно сделать, прежде чем применить формулу сложения логарифмов? Да, мне нужно избавиться от множителя \(\displaystyle 1.5\). Есть два пути: первый – в лоб занести его в логарифм по формуле:

\(\displaystyle c\cdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{c}}\)

В принципе, этот метод имеет право на существование, но что в нем плохо? Плохо иметь дело с выражением вида \(\displaystyle {{x}^{1.5}}\) (всегда неприятна «нецелая степень». Так что можно сделать еще? Как можно избавиться от такой «нецелости»? Давай домножим на \(\displaystyle 2\) наше уравнение:

\(\displaystyle 2\left( 1.5lo{{g}_{5}}x+lo{{g}_{5}}\sqrt{8} \right)=0\cdot 2=0\)

\(\displaystyle 3lo{{g}_{5}}x+2lo{{g}_{5}}\sqrt{8}=0\)

Ну вот, а теперь давай занесем оба множителя в логарифмы:

\(\displaystyle lo{{g}_{5}}{{x}^{3}}+lo{{g}_{5}}8=0\)

\(\displaystyle lo{{g}_{5}}8{{x}^{3}}=0\)

Как поступить дальше? Для продолжения давай вспомним другую формулу:

\(\displaystyle lo{{g}_{a}}1=0,~a>0,a\ne 1\)

тогда я заменю ноль на

\(\displaystyle 0=lo{{g}_{5}}1\)

И окончательно получу:

\(\displaystyle lo{{g}_{5}}8{{x}^{3}}=lo{{g}_{5}}1\)

\(\displaystyle 8{{x}^{3}}-1=0\)

Помнишь, как называется эта «нелюбимая» школьная формула? Это разность кубов! Может, так более понятно?

\(\displaystyle {{\left( 2x \right)}^{3}}-{{1}^{3}}=0?\)

Напомню тебе, что разность кубов вот так раскладывается на множители:

\(\displaystyle {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\)

и вот еще на всякий случай:

\(\displaystyle {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\)

Применительно к нашей ситуации это даст:

\(\displaystyle 8{{x}^{3}}-1=\left( 2{x} -1 \right)\left( 4{{x}^{2}}+2x+1 \right)=0\)

\(\displaystyle 2{x} -1=0~\) или \(\displaystyle 4{{x}^{2}}+2x+1=0\)

Первое уравнение имеет корень \(\displaystyle x=0.5\), а второе корней не имеет (убедись сам!).

Предоставляю тебе самостоятельно сделать проверку и убедиться, что число \(\displaystyle x=0.5\) на самом деле является корнем нашего уравнения.

4. \(lo{{g}_{2}}\left( 2\sqrt{x+5}+5 \right)+lo{{g}_{0.5}}\left( -{x} -0.5 \right)=1\)

Как и в предыдущем примере перепишем

\(lo{{g}_{0.5}}\left( -{x} -0,5 \right)\) в виде:

\(-lo{{g}_{2}}\left( -{x} -0,5 \right)\)

Я опять не хочу никаких вычитаний ( и последующих делений) и поэтому перенесу полученное выражение вправо:

\(1+lo{{g}_{2}}\left( -{x} -0,5 \right)=lo{{g}_{2}}2+~lo{{g}_{2}}\left( -{x} -0,5 \right)=lo{{g}_{2}}\left( -2{x} -1 \right)\)

Теперь убираю логарифмы слева и справа:

\(2\sqrt{x+5}+5=-2{x} -1\)

\(2\sqrt{x+5}=-2{x} -1-5\)

\(2\sqrt{x+5}=-2{x} -6\)

\(\sqrt{x+5}=-{x} -3\)

Мы получили иррациональное уравнение, которое, как я надеюсь, ты уже умеешь решать. Я лишь напомню, что мы возводим обе стороны в квадрат:

\(\left( x+5 \right)={{\left( -{x} -3 \right)}^{2}}\)

\({{x}^{2}}+5x+4=0\)

\({{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=-4\)

Твоя задача теперь – убедиться, что \(x=-1\) не является корнем, а \(x=-4\) – является.

Ответ: \(-4\)

5. \(lo{{g}_{7x}}2+lo{{g}_{7x}}4+lo{{g}_{7x}}5=lo{{g}_{7x}}\left( x+33 \right).\)

Все прозрачно: применяем формулу суммы логарифмов слева:

\(lo{{g}_{7x}}2+lo{{g}_{7x}}4+lo{{g}_{7x}}5=lo{{g}_{7x}}2\cdot 4\cdot 5=lo{{g}_{7x}}40\)

тогда убираем логарифмы с двух сторон:

\(40=x+33\)

\(x=7\)

Проверка:

\(lo{{g}_{49}}40=lo{{g}_{49}}40\)

Верно!

Ответ: \(x=7\);

6. \(lo{{g}_{3x+8}}\left( 2{{x}^{2}}+3 \right)=lo{{g}_{3x+8}}35.\)

Все проще некуда: уравнение уже приведено к простейшему виду. Нам осталось только приравнять

\(2{{x}^{2}}+3=35\)

\(2{{x}^{2}}-32=0\)-32=0

\({{x}^{2}}-16=0\)

опять воспользуемся формулой разности квадратов. Она позволяет при решении уравнений вида \(a{{x}^{2}}=b~\) не терять корни!

\(\left( {x} -4 \right)\left( x+4 \right)=0\)

\({{x}_{1}}=4,{{x}_{2}}=-4\)

Делаем проверку:\(x=4\)

\(lo{{g}_{3\cdot 4+8}}\left( 2*{{4}^{2}}+3 \right)=lo{{g}_{3\cdot 4+8}}35\)

\(lo{{g}_{20}}35=lo{{g}_{20}}35\)

Верно!

А вот при \(x=-4\) основание у логарифмов равно:

\(3\cdot \left( -4 \right)+8=-4<0\)

И \(x=-4\) не является корнем.

Ответ: \(4\)

7. \(lo{{g}_{{{x}^{2}}+5x+7}}lo{{g}_{{x} -4}}3x=0\)

Этот пример я оставил нам на десерт. Хотя в нем тоже нет ничего очень уж сложного.

Ноль представим как

\(0=lo{{g}_{{{x}^{2}}+5x+7}}1\)

Тогда мы с тобой получим вот такое логарифмическое уравнение:

\(lo{{g}_{{{x}^{2}}+5x+7}}lo{{g}_{{{x}^{2}}-4}}3x=lo{{g}_{{{x}^{2}}+5x+7}}1\)

И мы снимаем первую «шкурку» — внешние логарифмы.

\(lo{{g}_{{{x}^{2}}-4}}3x=1\)

Единицу представим как

\(1=lo{{g}_{{{x}^{2}}-4}}\left( {{x}^{2}}-4 \right)\)

Тогда наше уравнение примет вид:

\(lo{{g}_{{{x}^{2}}-4}}3x=lo{{g}_{{{x}^{2}}-4}}\left( {{x}^{2}}-4 \right)\)

Теперь мы снимаем «вторую шкурку» и добираемся до сердцевины:

\(3x={{x}^{2}}-4\)

\({{x}_{1}}=4,~{{x}_{2}}=-1\)

Делаем проверку:

\(x=4\):

\(lo{{g}_{{{4}^{2}}+5\cdot 4+7}}lo{{g}_{{{4}^{2}}-4}}3\cdot 4=0\)

\(lo{{g}_{42}}lo{{g}_{12}}12=0\)

\(lo{{g}_{42}}1=0\)

\(0=0\).

Верно!

\(x=-1\)

\(lo{{g}_{{{\left( -1 \right)}^{2}}+5\cdot \left( -1 \right)+7}}lo{{g}_{{{\left( -1 \right)}^{2}}-4}}3\cdot \left( -1 \right)=0\)

Неверно!

Ответ: \(x=4\).

Рассмотренные в этой работы приемы, конечно, не исчерпывают всевозможные способы решения логарифмических уравнений. В некоторых случаях нам нужно очень «извернуться», чтобы придумать способ найти корни у каверзного уравнения. Однако, каким бы сложным не было начальное уравнение, в результате оно сведется к уравнению того вида, которые мы с тобой только что научились решать!

Проверь себя — реши задачи на логарифмические уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *