Линейные уравнения. Полное руководство (2020)
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
В этом уроке ты научишься решать линейные уравнения и поймешь как делать два вида преобразований, чтобы решать линейные уравнения было ЛЕГЧЕ!
Все мы с детства знаем такую задачу: «У Васи есть
Сколько яблок досталось каждому другу?»
Каждый из нас, не задумываясь, ответит: «Каждому другу досталось по
А вот теперь я предлагаю все же задуматься… Да-да. Оказывается, отвечая на такой простой вопрос ты в голове решаешь линейное уравнение!
Смотри:
Соответственно, дальше ты находишь
И вот ты уже решил линейное уравнение.
Теперь дадим этому термину математическое определение.
СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ
Что такое «линейные уравнения»
Линейное уравнение – это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна
Для нашего случая с Васей и яблоками мы запишем:
| Иными словами линейное уравнение это такое уравнение, у которого нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., здесь есть дроби, но и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс. |
«Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований
Несмотря на то, что на первый взгляд все предельно просто, при решении уравнений необходимо быть внимательным, потому что линейными уравнениями называются не только уравнения вида
Например:
Мы видим, что справа стоит
Мало того, если мы раскроем скобки, то получим еще два слагаемых, в которых будет
Прежде, чем судить, является ли уравнение линейным, необходимо произвести все преобразования и таким образом, упростить исходный пример.
При этом преобразования могут изменять внешний вид, но никак не саму суть уравнения.
Иными словами данные преобразования должны быть тождественными или равносильными.
Таких преобразований всего два, но они играют очень, ОЧЕНЬ важную роль при решении задач. Рассмотрим оба преобразования на конкретных примерах.
Перенос влево - вправо.
Допустим, нам необходимо решить такое уравнение:
Еще в начальной школе нам говорили: «с иксами – влево, без иксов – вправо».
Какое выражение с иксом стоит справа?
Правильно,
И это важно, так как при неправильном понимании этого, казалось бы простого вопроса, выходит неверный ответ.
А какое выражение с иксом стоит слева?
Правильно,
Теперь, когда мы с этим разобрались, переносим все слагаемые с неизвестными в левую сторону, а все, что известно – в правую.
И помня, что если перед числом нет никакого знака, например,
| ВАЖНО: при переносе через знак равенства, знаки при слагаемых меняются на противоположные. |
Перенес? Что у тебя получилось?
Все, что осталось сделать – привести подобные слагаемые. Приводим:
Итак, первое тождественное преобразование мы успешно разобрали, хотя уверена, что ты и без меня его знал и активно использовал.
Главное – не забывай про знаки при числах и меняй их на противоположные при переносе через знак равенства!
Умножение-деление.
Начнем сразу же с примера
Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере?
Неизвестное все в одной части, известные – в другой, но что-то нам мешает…
И это что-то – четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально – икс равен числу – именно так, как нам и нужно!
Как можно от неё избавиться?
Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от
Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на
Все – это означает и левую, и правую часть. Так и только так!
Что у нас получается?
Вот и ответ.
Посмотрим теперь другой пример:
Догадываешься, что нужно сделать в этом случае? Правильно, умножить левую и правую части на
| ВАЖНО: при делении, либо умножении на какое-либо число, действие совершается как в левой, так и в правой части уравнения |
Наверняка все про тождественные преобразования ты и так уже знал. Считай, что мы просто освежили эти знания в твоей памяти и настало время для нечто большего - Например, для решения нашего большого примера:
Как мы уже говорили ранее, глядя на него, не скажешь, что данное уравнение является линейным, но нам необходимо раскрыть скобки и осуществить тождественные преобразования. Так что начнем!
Для начала вспоминаем формулы сокращенного умножения, в частности, квадрат суммы и квадрат разности. Если ты не помнишь, что это такое и как раскрываются скобки, настоятельно рекомендую почитать тему «Формулы сокращенного умножения», так как эти навыки пригодятся тебе при решении практически всех примеров, встречающихся на экзамене.
Раскрыл? Сравниваем:
Теперь пришло время привести подобные слагаемые. Помнишь, как нам в тех же начальных классах говорили «не складываем мухи с котлетами»? Вот напоминаю об этом. Складываем все отдельно – множители, у которых есть
Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и мы видим совершенно обычное линейное уравнение. Осталось только найти
И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования – тождественные преобразования применимы не только для линейных уравнений, но и для квадратных, дробных рациональных и других. Просто нужно запомнить, что при переносе множителей через знак равенства мы меняем знак на противоположный, а при делении или умножении на какое-то число, мы умножаем/делим обе части уравнения на ОДНО и то же число.
Что еще ты вынес из этого примера? Что глядя на уравнение не всегда можно прямо и точно определить, является ли оно линейным или нет. Необходимо сначала полностью упростить выражение, и лишь потом судить, каким оно является.
Линейные уравнения. 3 примера
Вот тебе еще пару примеров для самостоятельной тренировки – определи, является ли уравнение линейным и если да, найди его корни:
Ответы:
1. Является.
2. Не является.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Произведем тождественное преобразование – разделим левую и правую часть на
Мы видим, что уравнение не является линейным, так что искать его корни не нужно.
3. Является.
Произведем тождественное преобразование – умножим левую и правую часть на
Подумай, почему так важно, чтобы
Итак, продолжаем и преобразовываем уравнение:
Если ты без труда со всем справился, поговорим о линейных уравнениях с двумя переменными.
Линейные уравнения с двумя переменными
Теперь перейдем к чуть более сложному - линейным уравнениям с двумя переменными.
Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:
Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое – здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.
Какой бы привести тебе жизненный пример...
Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а
Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по
Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:
Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст
И вообще. У нас две переменные.
Почему бы не построить эту зависимость на графике?
Строим и отмечаем значение наших
Как ты видишь,
Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения.
Посмотри внимательно на два построенных графика – прямой и параболы, заданными произвольными функциями:
Найди и отметь на обоих рисунках точки
Что у тебя получилось?
Ты видишь, что на графике первой функции одному
Конечно, ты можешь возразить, что на втором графике
Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.
Повторюсь, еще раз: графиком линейного уравнения должна быть ПРЯМАЯ линия.
С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет
Но я тебя уверяю - ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.
Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:
А что будет, если мы разделим что-то на
Будет ли линейная зависимость
Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции
Как-то не выглядит построенное прямой линией… соответственно, уравнение не линейное.
Подведем итоги:
- Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна
- Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:
Линейное уравнение с двумя переменными:
- Не всегда сразу можно определить, является ли уравнение линейным или нет. Иногда, чтобы понять это, необходимо произвести тождественные преобразования перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак, или умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
1. Линейное уравнение
Это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна
2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:
3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:
4. Тождественные преобразования
Чтобы определить является ли уравнение линейным или нет, необходимо произвести тождественные преобразования:
- перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак;
- умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",
А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
можно кликнув по этой ссылке.
