Логарифмические уравнения

Содержание

Коротко о главном

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестные переменные находятся внутри логарифмов.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида $latex \displaystyle lo{{g}_{a}}~x~=~b$.

Процесс решения любого логарифмического уравнения сводится к приведению логарифмического уравнения к виду $latex lo{{g}_{a}}\left( f\left( x \right) \right)~=~lo{{g}_{a}}\left( g\left( x \right) \right)$, и переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них: $latex f\left( x \right)=g\left( x \right)$.

ОДЗ для логарифмического уравнения: $latex \displaystyle \left\{ \begin{align}& f(x)>0,\\ & a>0,\text{}\\& a\ne 1.\\\end{align}\right.$

Основные методы решения логарифмических уравнений:

1 метод. Использование определения логарифма:

  • $latex \displaystyle lo{{g}_{a}}~f(x)=b\ \Leftrightarrow \ ~f(x)={{a}^{b}},\ \ \ a>0,\ a\ne 1$.

2 метод. Использование свойств логарифма:

  • $latex lo{{g}_{{{a}^{c}}}}b=\frac{1}{c}lo{{g}_{a}}b$
  • $latex c\cdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{c}}$
  • $latex lo{{g}_{a}}b+lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}\left( bc \right)$
  • $latex lo{{g}_{a}}b-lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)$
  • $latex \displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b$
  • $latex \displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}\cdot {{\log }_{a}}b$
  • $latex lo{{g}_{a}}1=0,~a>0,a\ne 1$
  • $latex lo{{g}_{a}}a=1~(a>0,a\ne 1)$

3 метод. Введение новой переменной (замена):

  • замена $latex \displaystyle lo{{g}_{a}}x~=~t$ позволяет свести логарифмическое уравнение к более простому алгебраическому уравнению относительно t.

4 метод. Переход к новому основанию:

  • $latex \displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\text{  }\left( c>0;\text{ }\ne \text{1} \right)$
  • $latex \displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a},\text{ }\left( b\ne 1 \right)$.

5 метод. Логарифмирование:

  • берется логарифм от правой и левой частей уравнения.

6 метод. Мини-максный:

График логарифмической функции
  • Теорема: Если $latex a>1$, то функция $latex f(x)=lo{{g}_{a}}x$ является монотонно возрастающей, если $latex \displaystyle 0<a<1$, то функция$latex f(x)=lo{{g}_{a}}x$ является монотонно убывающей.
  • $latex \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=g\left( x \right)\\f\left( x \right)\ge A\\g\left( x \right)\le A\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=A\\g\left( x \right)=A\end{array} \right.$

Проверь себя — реши задачи на логарифмические уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий