Логарифмы. Свойства логарифмов. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое логарифм?

Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

Начнем с простого. Как решить уравнение $latex \displaystyle {{2}^{x}}=8$?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число $latex 2$ чтобы получить $latex 8$? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ($latex \displaystyle {{2}^{3}}=8$) и значит решением уравнения будет число три ($latex x=3$).

Следующий вопрос. Как решить уравнение $latex \displaystyle {{2}^{x}}=5$?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число $latex 2$, чтобы получить число $latex 5$? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится… Почему не получится?

Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь $latex 0,430676558\ldots $ и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать? Вот для того, чтобы с такими числами было удобно работать и ввели понятие логарифма.

В нашем случае решение уравнения можно записать как $latex 0,430676558\ldots $ или как $latex \displaystyle {{\log }_{2}}5$.

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

100з(1)

Выражение $latex \displaystyle {{2}^{3}}=8$ можно также записать в виде $latex \displaystyle {{\log }_{2}}8=3$. Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».

Теперь более общая запись:

100з(2)

Читается так: «Логарифм по основанию $latex a$ от $latex b$ равен $latex c$», и означает: «Чтобы получить число $latex b$, нужно число $latex a$ возвести в степень $latex c$»:

100з(3)

Иными словами, $latex \displaystyle {{\log }_{a}}b$ – это степень, в которую нужно возвести $latex a$, чтобы получить $latex b$.

Больше задач — после регистрации.

Примеры вычисления логарифмов

  1. $latex \displaystyle {{\log }_{2}}4=2$, так как число $latex 2$ нужно возвести во вторую степень, чтобы получить $latex 4$.
  2. Чему равен $latex \displaystyle {{\log }_{2}}\frac{1}{8}$? Заметим, что $latex \displaystyle 8={{2}^{3}}$, тогда $latex \displaystyle \frac{1}{8}=\frac{1}{{{2}^{3}}}={{2}^{-3}}$, то есть $latex 2$ нужно возвести в степень $latex -3$, чтобы получить $latex \displaystyle \frac{1}{8}$.
  3. А чему равен $latex \displaystyle {{\log }_{2}}0,25$? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить $latex 0,25$ как $latex 2$ в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: $latex \displaystyle 0,25=\frac{1}{4}=\frac{1}{{{2}^{2}}}={{2}^{-2}}$. Значит, $latex \displaystyle {{\log }_{2}}0,25=-2$.
  4. Еще пример. Чему равен $latex \displaystyle {{\log }_{2}}0,25$? В какую степень надо возвести $latex 7$, чтобы получить $latex 1$? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно $latex 1$ (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит, $latex \displaystyle {{\log }_{7}}1=0$. Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен $latex 0$.
  5. $latex \displaystyle {{\log }_{4}}2$. В этом случае аргумент $latex 2$ равен корню основания: $latex \displaystyle 2=\sqrt{4}$. Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): $latex \displaystyle 2=\sqrt{4}={{4}^{\frac{1}{2}}}\text{  }\Rightarrow \text{  }{{\log }_{4}}2=\frac{1}{2}$.

Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

  1. $latex \displaystyle {{\log }_{5}}5;\text{ }$
  2. $latex \displaystyle {{\log }_{9}}3;$
  3. $latex \displaystyle {{\log }_{\frac{1}{4}}}16;$
  4. $latex \displaystyle {{\log }_{6}}1.$

Ответы:

  1. $latex \displaystyle {{\log }_{5}}5=1;$
  2. $latex \displaystyle lo{{g}_{9}}3=\frac{1}{2};$
  3. $latex \displaystyle {{\log }_{\frac{1}{4}}}16=-2;$
  4. $latex \displaystyle {{25}^{{{\log }_{5}}3}}={{\left( {{5}^{2}} \right)}^{{{\log }_{5}}3}}={{5}^{2{{\log }_{5}}3}}={{5}^{{{\log }_{5}}3\cdot 2}}={{\left( {{5}^{{{\log }_{5}}3}} \right)}^{2}}={{3}^{2}}=9$

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию $latex \displaystyle 10$ называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно – $latex \displaystyle \lg $ вместо $latex \displaystyle {{\log }_{10}}$, например:

  • $latex \displaystyle \lg 100=2$;
  • $latex \displaystyle \lg 1000=3$;
  • $latex \displaystyle \lg {{10}^{15}}=15$;
  • $latex \displaystyle \lg 0,1=-1$;
  • $latex \displaystyle \lg 0,01=-2$.

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например, $latex \displaystyle {{\log }_{2}}5=2,321928…$. Видим, что это число расположено между $latex \displaystyle 2$ и $latex \displaystyle 3$, и это понятно: ведь это значит, чтобы получить $latex 5$, нужно $latex 2$ возводить в степень больше $latex 2$, но меньше $latex 3$.

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача части B, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В части C могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так: $latex \displaystyle {{\log }_{3}}10$, или даже так: $latex \displaystyle \frac{2+{{\log }_{3}}7}{5}$.

Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

$latex \displaystyle {{3}^{x}}=8$? Легко: $latex \displaystyle x={{\log }_{3}}8$.

$latex \displaystyle {{17}^{x}}=0,387$? $latex \displaystyle x={{\log }_{17}}0,387$

$latex \displaystyle {{0,56}^{x}}=23,7$? $latex \displaystyle x={{\log }_{0,56}}23,7$. И так далее.

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить $latex \displaystyle x={{\log }_{3}}81$, высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:

  1. $latex {{3}^{x}}=81$
  2. $latex {{4}^{x}}=20$
  3. $latex {{5}^{x}}=0,2$
  4. $latex {{2}^{x}}=80$
  5. $latex {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}=\frac{27}{8}$
  6. $latex {{4,5}^{x}}=18$

Ответы:

  1. $latex \displaystyle 81={{9}^{2}}={{\left( {{3}^{2}} \right)}^{2}}={{3}^{4}}\text{  }\Rightarrow \text{  }x=4$;
  2. $latex \displaystyle 20=4\cdot 5$, но $latex \displaystyle \text{5}$ никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто: $latex \displaystyle x={{\log }_{4}}20$;
  3. $latex \displaystyle 0,2=\frac{1}{5}\text{=}{{\text{5}}^{-1}}\text{  }\Rightarrow \text{  }x=-1$;
  4. $latex \displaystyle 80=16\cdot 5={{2}^{4}}\cdot 5$. Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому $latex \displaystyle x={{\log }_{2}}80$;
  5. $latex \displaystyle \frac{27}{8}=\frac{{{3}^{3}}}{{{2}^{3}}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{-3}}\text{  }\Rightarrow \text{  }x=-3$;
  6. $latex \displaystyle 4,5=\frac{9}{2},\text{ а }18=9\cdot 2$. Очевидно, и здесь степень придумать не удастся: $latex \displaystyle x={{\log }_{4,5}}18$.

Кстати, ответы типа $latex \displaystyle x={{\log }_{2}}80$ или $latex \displaystyle x={{\log }_{4}}20$ можно упростить – сделать числа поменьше. Как это сделать, и зачем – об этом чуть позже, в разделе «Свойства логарифмов».

Больше задач — после регистрации.

ОДЗ логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

100з(4)

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться $latex 1$. Почему так?

Начнем с простого: допустим, что $latex a=1$. Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили $latex 1$, всегда получается $latex 1$. Более того, $latex \displaystyle {{\log }_{1}}b$ не существует ни для какого $latex \displaystyle b\ne 1$. Но при этом $latex \displaystyle {{\log }_{1}}1$ может равняться чему угодно (по той же причине – $latex 1$ в любой степени равно $latex 1$). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае $latex a=0$: $latex 0$ в любой положительной степени – это $latex 0$, а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что $latex \displaystyle {{a}^{-c}}=\frac{1}{{{a}^{c}}}$).

При $latex a<0$ мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: $latex \displaystyle {{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$. Например, $latex \displaystyle {{\log }_{4}}2=\frac{1}{2}$ (то есть $latex \displaystyle {{4}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{4}=2$), а вот $latex \displaystyle {{\log }_{-4}}2$ не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, $latex \displaystyle {{\log }_{2}}\left( -4 \right)$ не существует, так как $latex 2$ ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому $latex \displaystyle {{\log }_{2}}0$ тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение $latex \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2$.

Вспомним определение: логарифм $latex \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)$ – это степень, в которую надо возвести основание $latex x$, чтобы получить аргумент $latex \displaystyle \left( x+2 \right)$. И по условию, эта степень равна $latex 2$: $latex \displaystyle {{x}^{2}}=x+2$.

Получаем обычное квадратное уравнение: $latex \displaystyle {{x}^{2}}-x-2=0$. Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна $latex 1$, а произведение $latex -2$. Легко подобрать, это числа $latex 2$ и $latex -1$.

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

$latex \displaystyle x=2\text{:  }{{\log }_{2}}\left( 2+2 \right)={{\log }_{2}}4=2$ — верно.

$latex \displaystyle x=-1\text{:  }{{\log }_{-1}}\left( -1+2 \right)=2$ – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень $latex x=-1$ – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1\\x+2>0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.$

Тогда, получив корни $latex x=2$ и $latex x=-1$, сразу отбросим корень $latex -1$, и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

Найдите корень уравнения $latex \displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2$. Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

$latex \displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2$.

В первую очередь напишем ОДЗ:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+1>0\\x+1\ne 1\\2x+5>0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\ne 0\\x>-\frac{5}{2}\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\ne 0.\end{array} \right.$

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание $latex x+1$, чтобы получить аргумент $latex 2x+5$? Во вторую. То есть:

$latex \displaystyle {{\left( x+1 \right)}^{2}}=2x+5\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}+2x+1=2x+5\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}-4=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-2.\end{array} \right.$

Казалось бы, меньший корень равен $latex -2$. Но это не так: согласно ОДЗ корень $latex x=-2$ – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: $latex x=2$.

Ответ: $latex x=2$.

Больше задач — после регистрации.

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

$latex {{\log }_{a}}b=c\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{a}^{c}}=b$

Подставим во второе равенство вместо $latex c$ логарифм:

$latex \displaystyle {{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b$

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

$latex \displaystyle {{\log }_{a}}b$ – это степень, в которую нужно возвести $latex a$, чтобы получить $latex b$.

Например: $latex \displaystyle {{2}^{{{\log }_{2}}5}}=5;\text{  }{{3}^{{{\log }_{3}}2}}=2;\text{  }{{10}^{\lg 12}}=12.$

Реши еще следующие примеры:

Пример 2.

Найдите значение выражения $latex \displaystyle {{25}^{{{\log }_{5}}3}}$.

Решение:

Вспомним правило из раздела «Степень и ее свойства»: $latex \displaystyle {{\left( {{a}^{n}} \right)}^{m}}={{a}^{n\cdot m}}$, то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:

$latex {{25}^{{{\log }_{5}}3}}={{\left( {{5}^{2}} \right)}^{{{\log }_{5}}3}}={{5}^{2{{\log }_{5}}3}}={{5}^{{{\log }_{5}}3\cdot 2}}={{\left( {{5}^{{{\log }_{5}}3}} \right)}^{2}}\underset{\text{}}{\mathop{=}}\,{{3}^{2}}=9$.

Пример 3.

Докажите, что $latex \displaystyle {{5}^{{{\log }_{3}}7}}={{7}^{{{\log }_{3}}5}}$.

Решение:

$latex \displaystyle {{5}^{{{\log }_{3}}7}}={{\left( {{3}^{{{\log }_{3}}5}} \right)}^{{{\log }_{3}}7}}={{3}^{{{\log }_{3}}5\cdot {{\log }_{3}}7}}={{3}^{{{\log }_{3}}7\cdot lo{{g}_{3}}5}}={{\left( {{3}^{{{\log }_{3}}7}} \right)}^{lo{{g}_{3}}5}}={{7}^{lo{{g}_{3}}5}}$, ч.т.д.

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов. Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

$latex \displaystyle \begin{array}{l}1.\text{ }{{\log }_{a}}{{a}^{x}}=x\\2.\text{ }{{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( b\cdot c \right)\\3.\text{ }{{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}\\\left. \begin{array}{l}4.\text{ }{{\log }_{a}}{{b}^{n}}=n\cdot {{\log }_{a}}b\ \\5.\text{  }{{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }6.\text{ }{{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\\7.\text{ }{{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\text{, }\left( c>0,\text{ }\ne \text{1} \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }8.\text{ }{{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a},\text{ }\left( b\ne 1 \right).\end{array}$

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1:

$latex \displaystyle {{\log }_{a}}{{a}^{x}}=x$

Доказывать здесь нечего, ведь это просто по-другому записанное определение логарифма: в какую степень нужно возвести $latex \displaystyle a$, чтобы получить $latex \displaystyle {{a}^{x}}$? Ответ очевиден: в степень $latex \displaystyle x$.

Пример: Чему равен $latex \displaystyle {{\log }_{5}}{{5}^{8,67}}$?.

Ответ: Повторим еще раз: в какую степень нужно возвести $latex \displaystyle 5$, чтобы получить $latex \displaystyle {{5}^{8,67}}$? Конечно же $latex \displaystyle 8,67$.

Свойство 2: Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна  логарифму произведения: $latex \displaystyle {{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( b\cdot c \right)$.

Доказательство:

Пусть $latex \displaystyle {{\log }_{a}}b=x$, тогда $latex \displaystyle {{a}^{x}}=b$. Пусть $latex \displaystyle {{\log }_{a}}c=y$, тогда $latex \displaystyle {{a}^{y}}=c$.

Имеем:

$latex \displaystyle {{\log }_{a}}\left( b\cdot c \right)={{\log }_{a}}\left( {{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}} \right)={{\log }_{a}}{{a}^{x+y}}\underset{\text{по правилу 1}}{\mathop{=}}\,x+y={{\log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}c$, ч.т.д.

Пример: Найдите значение выражения: $latex \displaystyle {{\log }_{3}}5+{{\log }_{3}}0,6$.

Решение: $latex \displaystyle {{\log }_{3}}5+{{\log }_{3}}0,6={{\log }_{3}}\left( 5\cdot 0,6 \right)={{\log }_{3}}3=1$.

Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот – «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
$latex \displaystyle {{\log }_{2}}80={{\log }_{2}}\left( 16\cdot 5 \right)={{\log }_{2}}\left( {{2}^{4}}\cdot 5 \right)={{\log }_{2}}{{2}^{4}}+{{\log }_{2}}5=4+{{\log }_{2}}5$.
Зачем это нужно? Ну например: чему равно $latex \displaystyle lo{{g}_{5}}250-{{\log }_{5}}2$?

$latex \displaystyle {{\log }_{5}}250={{\log }_{5}}\left( 125\cdot 2 \right)={{\log }_{5}}\left( {{5}^{3}}\cdot 2 \right)={{\log }_{5}}{{5}^{3}}+{{\log }_{5}}2=3+{{\log }_{5}}2$.

Теперь очевидно, что $latex \displaystyle {{\log }_{5}}250-{{\log }_{5}}2=3+{{\log }_{5}}2-{{\log }_{5}}2=3$.

Теперь упрости сам:

Задачи:

  1. $latex \displaystyle {{\log }_{3}}324-{{\log }_{3}}4$.
  2. $latex \displaystyle {{\log }_{4}}0,0625$.
  3. $latex \displaystyle {{\log }_{4}}0,125+{{\log }_{4}}0,5$.
  4. $latex \displaystyle {{\log }_{0,2}}50-{{\log }_{0,2}}2$.

 

Ответы:

1. $latex \displaystyle {{\log }_{3}}324-{{\log }_{3}}4={{\log }_{3}}\left( 81\cdot 4 \right)-{{\log }_{3}}4=$

$latex \displaystyle ={{\log }_{3}}\left( {{3}^{4}}\cdot 4 \right)-{{\log }_{3}}4={{\log }_{3}}{{3}^{4}}+{{\log }_{3}}4-{{\log }_{3}}4=4$

2. $latex \displaystyle {{\log }_{4}}0,0625={{\log }_{4}}\frac{1}{16}={{\log }_{4}}{{4}^{-2}}=-2$

3. $latex \displaystyle {{\log }_{4}}0,125+{{\log }_{4}}0,5={{\log }_{4}}\frac{1}{8}+{{\log }_{4}}\frac{1}{2}={{\log }_{4}}\left( \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2} \right)=$

$latex \displaystyle ={{\log }_{4}}\frac{1}{16}={{\log }_{4}}{{4}^{-2}}=-2$

4. $latex \displaystyle {{\log }_{0,2}}50-{{\log }_{0,2}}2={{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( 25\cdot 2 \right)-{{\log }_{\frac{1}{5}}}2=$

$latex \displaystyle ={{\log }_{\frac{1}{5}}}{{5}^{2}}+{{\log }_{\frac{1}{5}}}2-{{\log }_{\frac{1}{5}}}2={{\log }_{\frac{1}{5}}}{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{-2}}=-2$

Свойство 3: Разность логарифмов:

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного: $latex \displaystyle lo{{g}_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}$.

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть $latex \displaystyle {{\log }_{a}}b=x$, тогда $latex \displaystyle {{a}^{x}}=b$.

Пусть $latex \displaystyle {{\log }_{a}}c=y$, тогда $latex \displaystyle {{a}^{y}}=c$. Имеем:

$latex \displaystyle {{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)={{\log }_{a}}\left( \frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}} \right)={{\log }_{a}}{{a}^{x-y}}=x-y={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c$, ч.т.д.

$latex \displaystyle {{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c}\cdot c \right)-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}+{{\log }_{a}}c-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}$, ч.т.д.

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

$latex \displaystyle {{\log }_{5}}250-{{\log }_{5}}2={{\log }_{5}}\frac{250}{2}={{\log }_{5}}125={{\log }_{5}}{{5}^{3}}=3$

Пример посложнее: $latex \displaystyle \log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3}$. Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению $latex \displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}$ – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить. Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения» справа, и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

$latex \displaystyle \log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}=\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}+{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)$.

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

$latex \displaystyle \log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3}=$

$latex \displaystyle =\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}+{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}3=$

$latex \displaystyle ={{\log }_{2}}\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\cdot {{\log }_{2}}\left( 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}3=$

$latex \displaystyle ={{\log }_{2}}2\cdot {{\log }_{2}}\left( 2\cdot 3 \right)-{{\log }_{2}}3=1\cdot \left( 1+{{\log }_{2}}3 \right)-{{\log }_{2}}3=1.$

Упрости сам.

Примеры

  1. $latex \displaystyle {{\log }_{3}}4-{{\log }_{3}}12$
  2. $latex \displaystyle {{\log }_{0,3}}3-{{\log }_{0,3}}10$
  3. $latex \displaystyle {{\log }_{1,75}}28+{{\log }_{1,75}}2-{{\log }_{1,75}}32$
  4. $latex \displaystyle \lg \sqrt{0,05}-\lg \sqrt{5}$
  5. $latex \displaystyle {{\lg }^{2}}2\sqrt{5}-{{\lg }^{2}}5\sqrt{2}-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}$

Ответы.

1. $latex \displaystyle {{\log }_{3}}4-{{\log }_{3}}12={{\log }_{3}}\frac{4}{12}={{\log }_{3}}\frac{1}{3}=-1$

2. $latex \displaystyle {{\log }_{0,3}}3-{{\log }_{0,3}}10={{\log }_{0,3}}\frac{3}{10}=1$

3. $latex \displaystyle {{\log }_{1,75}}28+{{\log }_{1,75}}2-{{\log }_{1,75}}32={{\log }_{1,75}}\frac{28\cdot 2}{32}={{\log }_{\frac{7}{4}}}\frac{7}{4}=1$

4. $latex \displaystyle \lg \sqrt{0,05}-\lg \sqrt{5}=\lg \frac{\sqrt{0,05}}{\sqrt{5}}=\lg \sqrt{0,01}=\lg 0,1=-1$

5. $latex \displaystyle {{\lg }^{2}}2\sqrt{5}-{{\lg }^{2}}5\sqrt{2}-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}=$

$latex \displaystyle =\left( \lg 2\sqrt{5}-\lg 5\sqrt{2} \right)\left( \lg 2\sqrt{5}+\lg 5\sqrt{2} \right)-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}=$

$latex \displaystyle =\lg \frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}\cdot \lg \left( 2\sqrt{5}\cdot 5\sqrt{2} \right)-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}=\lg \sqrt{\frac{2}{5}}\cdot \lg {{10}^{\frac{3}{2}}}=$

$latex \displaystyle =\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}=0$

Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:

Если в аргументе логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: $latex \displaystyle {{\log }_{a}}{{b}^{n}}=n\cdot {{\log }_{a}}b$.

Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть $latex \displaystyle {{\log }_{a}}b=x$, тогда $latex \displaystyle {{a}^{x}}=b$. Имеем:$latex \displaystyle {{\log }_{a}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}{{\left( {{a}^{x}} \right)}^{n}}={{\log }_{a}}{{a}^{nx}}=nx=n\cdot {{\log }_{a}}b$, ч.т.д.

Можно понять это правило так:

$latex \displaystyle {{\log }_{a}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}\left( \underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ раз}} \right)\text{ }\underset{\text{правило}\ \text{2}}{\mathop{=}}\,\text{ }\underbrace{{{\log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}b+…+{{\log }_{a}}b}_{n\text{ раз}}=n\cdot {{\log }_{a}}b$

То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

Пример: Найдите значение выражения $latex \displaystyle \frac{{{\log }_{2}}25}{{{\log }_{2}}5}$.

Решение: $latex \displaystyle \frac{{{\log }_{2}}25}{{{\log }_{2}}5}=\frac{{{\log }_{2}}{{5}^{2}}}{{{\log }_{2}}5}=\frac{2{{\log }_{2}}5}{{{\log }_{2}}5}=2$.

Реши сам:

Примеры:

  1. $latex \displaystyle \frac{{{\log }_{2}}81}{{{\log }_{2}}3}$
  2. $latex \displaystyle \frac{{{\log }_{3}}125}{{{\log }_{3}}625}$
  3. $latex \displaystyle \frac{\log _{5}^{2}25\sqrt{10}-\log _{5}^{2}\sqrt{10}}{{{\log }_{5}}250}$

Ответы:

1. $latex \displaystyle \frac{{{\log }_{2}}81}{{{\log }_{2}}3}=\frac{{{\log }_{2}}{{3}^{4}}}{{{\log }_{2}}3}=4$.

2. $latex \displaystyle \frac{{{\log }_{3}}125}{{{\log }_{3}}625}=\frac{{{\log }_{3}}{{5}^{3}}}{{{\log }_{3}}{{5}^{4}}}=\frac{3{{\log }_{3}}5}{4{{\log }_{3}}5}=\frac{3}{4}=0,75$.

3. $latex \displaystyle \frac{\log _{5}^{2}25\sqrt{10}-\log _{5}^{2}\sqrt{10}}{{{\log }_{5}}250}=$

$latex \displaystyle =\frac{\left( {{\log }_{5}}25\sqrt{10}-{{\log }_{5}}\sqrt{10} \right)\left( {{\log }_{5}}25\sqrt{10}+{{\log }_{5}}\sqrt{10} \right)}{{{\log }_{5}}250}=$

$latex \displaystyle =\frac{{{\log }_{5}}\left( 25\sqrt{10}\cdot \sqrt{10} \right)\cdot \log \frac{25\sqrt{10}}{\sqrt{10}}}{{{\log }_{5}}250}=\frac{{{\log }_{5}}250\cdot {{\log }_{5}}{{5}^{2}}}{{{\log }_{5}}250}=2$

Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:

Если в основании логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: $latex \displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b$.

Доказательство: Пусть $latex \displaystyle {{\log }_{a}}b=x$, тогда $latex \displaystyle {{a}^{x}}=b$. 

Имеем:$latex \displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}b={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{x}}={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{\frac{x\cdot n}{n}}}={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{\left( {{a}^{n}} \right)}^{\frac{x}{n}}}=\frac{x}{n}=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b$, ч.т.д.
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:

Если в основании и аргументе логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма: $latex \displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}\cdot {{\log }_{a}}b$.

Или если степени одинаковые:  $latex \displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}b$.

Свойство 7: Переход к новому основанию:

Если основания логарифмов разные, то для того чтобы дальше работать с логарифмами нужно перейти к логарифмам с одним основанием: $latex \displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\text{  }\left( c>0;\text{ }\ne \text{1} \right)$.

Доказательство: Пусть $latex \displaystyle {{\log }_{a}}b=x$, тогда $latex \displaystyle {{a}^{x}}=b$.

Имеем:$latex \displaystyle \frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}=\frac{{{\log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{\log }_{c}}a}=\frac{x{{\log }_{c}}a}{{{\log }_{c}}a}=x={{\log }_{a}}b$, ч.т.д.

Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:

Можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе: $latex \displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a},\text{ }\left( b\ne 1 \right)$.

Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить $latex \displaystyle c=b$, получим:$latex \displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{b}}b}{{{\log }_{b}}a}=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}$, ч.т.д.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 4.

Найдите значение выражения $latex \displaystyle {{\log }_{5}}75+{{\log }_{5}}\frac{1}{3}$.

Решение:

Используем свойство логарифмов № 2 – сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

$latex \displaystyle {{\log }_{5}}75+{{\log }_{5}}\frac{1}{3}={{\log }_{5}}\left( 75\cdot \frac{1}{3} \right)={{\log }_{5}}25=2$.

Пример 5.

Найдите значение выражения $latex \displaystyle {{\log }_{3}}36-2{{\log }_{3}}2$.

Решение:

Используем свойство логарифмов № 3 и № 4:

$latex \displaystyle lo{{g}_{3}}36-2\overbrace{{{\log }_{3}}2={{\log }_{3}}36-lo{{g}_{3}}{{2}^{2}}}^{\text{по}\ \text{правилу}\ \text{4}}\underset{\text{по}\ \text{правилу 3}}{\mathop{=}}\,\text{ }{{\log }_{3}}\frac{36}{4}={{\log }_{3}}9=2$.

Пример 6.

Найдите значение выражения $latex \displaystyle {{\log }_{8\sqrt[5]{4}}}\left( 32\sqrt[5]{2} \right)$.

Решение:

Используем свойство № 7 – перейдем к основанию 2:

$latex \displaystyle {{\log }_{8\sqrt[5]{4}}}\left( 32\sqrt[5]{2} \right)=\frac{{{\log }_{2}}\left( 32\sqrt[5]{2} \right)}{{{\log }_{2}}\left( 8\sqrt[5]{4} \right)}\underset{правило 2}{\mathop{=}}\,\frac{{{\log }_{2}}32+{{\log }_{2}}\sqrt[5]{2}}{{{\log }_{2}}8+lo{{g}_{2}}\sqrt[5]{4}}=$

$latex \displaystyle =\frac{{{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}{{2}^{\frac{1}{5}}}}{{{\log }_{2}}{{2}^{3}}+{{\log }_{2}}{{2}^{\frac{2}{5}}}}\underset{правило 1}{\mathop{=}}\,\frac{5+\frac{1}{5}}{3+\frac{2}{5}}=\frac{26}{17}.$

Проверь себя — реши задачи на логарифмы.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий