Логарифмы. Свойства логарифмов. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое логарифм?

Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

Начнем с простого. Как решить уравнение \(\displaystyle {{2}^{x}}=8\)?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число \(2\) чтобы получить \(8\)? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь (\(\displaystyle {{2}^{3}}=8\)) и значит решением уравнения будет число три (\(x=3\)).

Следующий вопрос. Как решить уравнение \(\displaystyle {{2}^{x}}=5\)?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число \(2\), чтобы получить число \(5\)? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится… Почему не получится?

Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь \(0,430676558\ldots \) и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать? Вот для того, чтобы с такими числами было удобно работать и ввели понятие логарифма.

В нашем случае решение уравнения можно записать как \(0,430676558\ldots \) или как \(\displaystyle {{\log }_{2}}5\).

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

100з(1)

Выражение \(\displaystyle {{2}^{3}}=8\) можно также записать в виде \(\displaystyle {{\log }_{2}}8=3\). Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».

Теперь более общая запись:

100з(2)

Читается так: «Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) равен \(c\)», и означает: «Чтобы получить число \(b\), нужно число \(a\) возвести в степень \(c\)»:

100з(3)

Иными словами, \(\displaystyle {{\log }_{a}}b\) – это степень, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).

Больше задач — после регистрации.

Примеры вычисления логарифмов

  1. \(\displaystyle {{\log }_{2}}4=2\), так как число \(2\) нужно возвести во вторую степень, чтобы получить \(4\).
  2. Чему равен \(\displaystyle {{\log }_{2}}\frac{1}{8}\)? Заметим, что \(\displaystyle 8={{2}^{3}}\), тогда \(\displaystyle \frac{1}{8}=\frac{1}{{{2}^{3}}}={{2}^{-3}}\), то есть \(2\) нужно возвести в степень \(-3\), чтобы получить \(\displaystyle \frac{1}{8}\).
  3. А чему равен \(\displaystyle {{\log }_{2}}0,25\)? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить \(0,25\) как \(2\) в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: \(\displaystyle 0,25=\frac{1}{4}=\frac{1}{{{2}^{2}}}={{2}^{-2}}\). Значит, \(\displaystyle {{\log }_{2}}0,25=-2\).
  4. Еще пример. Чему равен \(\displaystyle {{\log }_{2}}0,25\)? В какую степень надо возвести \(7\), чтобы получить \(1\)? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно \(1\) (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит, \(\displaystyle {{\log }_{7}}1=0\). Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен \(0\).
  5. \(\displaystyle {{\log }_{4}}2\). В этом случае аргумент \(2\) равен корню основания: \(\displaystyle 2=\sqrt{4}\). Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): \(\displaystyle 2=\sqrt{4}={{4}^{\frac{1}{2}}}\text{  }\Rightarrow \text{  }{{\log }_{4}}2=\frac{1}{2}\).

Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

  1. \(\displaystyle {{\log }_{5}}5;\text{ }\)
  2. \(\displaystyle {{\log }_{9}}3;\)
  3. \(\displaystyle {{\log }_{\frac{1}{4}}}16;\)
  4. \(\displaystyle {{\log }_{6}}1.\)

Ответы:

  1. \(\displaystyle {{\log }_{5}}5=1;\)
  2. \(\displaystyle lo{{g}_{9}}3=\frac{1}{2};\)
  3. \(\displaystyle {{\log }_{\frac{1}{4}}}16=-2;\)
  4. \(\displaystyle {{25}^{{{\log }_{5}}3}}={{\left( {{5}^{2}} \right)}^{{{\log }_{5}}3}}={{5}^{2{{\log }_{5}}3}}={{5}^{{{\log }_{5}}3\cdot 2}}={{\left( {{5}^{{{\log }_{5}}3}} \right)}^{2}}={{3}^{2}}=9\)

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию \(\displaystyle 10\) называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно – \(\displaystyle \lg \) вместо \(\displaystyle {{\log }_{10}}\), например:

  • \(\displaystyle \lg 100=2\);
  • \(\displaystyle \lg 1000=3\);
  • \(\displaystyle \lg {{10}^{15}}=15\);
  • \(\displaystyle \lg 0,1=-1\);
  • \(\displaystyle \lg 0,01=-2\).

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например, \(\displaystyle {{\log }_{2}}5=2,321928…\). Видим, что это число расположено между \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\), и это понятно: ведь это значит, чтобы получить \(5\), нужно \(2\) возводить в степень больше \(2\), но меньше \(3\).

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача части B, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В части C могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так: \(\displaystyle {{\log }_{3}}10\), или даже так: \(\displaystyle \frac{2+{{\log }_{3}}7}{5}\).

Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

\(\displaystyle {{3}^{x}}=8\)? Легко: \(\displaystyle x={{\log }_{3}}8\).

\(\displaystyle {{17}^{x}}=0,387\)? \(\displaystyle x={{\log }_{17}}0,387\)

\(\displaystyle {{0,56}^{x}}=23,7\)? \(\displaystyle x={{\log }_{0,56}}23,7\). И так далее.

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить \(\displaystyle x={{\log }_{3}}81\), высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:

  1. \({{3}^{x}}=81\)
  2. \({{4}^{x}}=20\)
  3. \({{5}^{x}}=0,2\)
  4. \({{2}^{x}}=80\)
  5. \({{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}=\frac{27}{8}\)
  6. \({{4,5}^{x}}=18\)

Ответы:

  1. \(\displaystyle 81={{9}^{2}}={{\left( {{3}^{2}} \right)}^{2}}={{3}^{4}}\text{  }\Rightarrow \text{  }x=4\);
  2. \(\displaystyle 20=4\cdot 5\), но \(\displaystyle \text{5}\) никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто: \(\displaystyle x={{\log }_{4}}20\);
  3. \(\displaystyle 0,2=\frac{1}{5}\text{=}{{\text{5}}^{-1}}\text{  }\Rightarrow \text{  }x=-1\);
  4. \(\displaystyle 80=16\cdot 5={{2}^{4}}\cdot 5\). Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому \(\displaystyle x={{\log }_{2}}80\);
  5. \(\displaystyle \frac{27}{8}=\frac{{{3}^{3}}}{{{2}^{3}}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{-3}}\text{  }\Rightarrow \text{  }x=-3\);
  6. \(\displaystyle 4,5=\frac{9}{2},\text{ а }18=9\cdot 2\). Очевидно, и здесь степень придумать не удастся: \(\displaystyle x={{\log }_{4,5}}18\).

Кстати, ответы типа \(\displaystyle x={{\log }_{2}}80\) или \(\displaystyle x={{\log }_{4}}20\) можно упростить – сделать числа поменьше. Как это сделать, и зачем – об этом чуть позже, в разделе «Свойства логарифмов».

Больше задач — после регистрации.

ОДЗ логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

100з(4)

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться \(1\). Почему так?

Начнем с простого: допустим, что \(a=1\). Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили \(1\), всегда получается \(1\). Более того, \(\displaystyle {{\log }_{1}}b\) не существует ни для какого \(\displaystyle b\ne 1\). Но при этом \(\displaystyle {{\log }_{1}}1\) может равняться чему угодно (по той же причине – \(1\) в любой степени равно \(1\)). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае \(a=0\): \(0\) в любой положительной степени – это \(0\), а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что \(\displaystyle {{a}^{-c}}=\frac{1}{{{a}^{c}}}\)).

При \(a<0\) мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: \(\displaystyle {{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\). Например, \(\displaystyle {{\log }_{4}}2=\frac{1}{2}\) (то есть \(\displaystyle {{4}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{4}=2\)), а вот \(\displaystyle {{\log }_{-4}}2\) не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, \(\displaystyle {{\log }_{2}}\left( -4 \right)\) не существует, так как \(2\) ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому \(\displaystyle {{\log }_{2}}0\) тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение \(\displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\).

Вспомним определение: логарифм \(\displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)\) – это степень, в которую надо возвести основание \(x\), чтобы получить аргумент \(\displaystyle \left( x+2 \right)\). И по условию, эта степень равна \(2\): \(\displaystyle {{x}^{2}}=x+2\).

Получаем обычное квадратное уравнение: \(\displaystyle {{x}^{2}}-x-2=0\). Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна \(1\), а произведение \(-2\). Легко подобрать, это числа \(2\) и \(-1\).

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

\(\displaystyle x=2\text{:  }{{\log }_{2}}\left( 2+2 \right)={{\log }_{2}}4=2\) — верно.

\(\displaystyle x=-1\text{:  }{{\log }_{-1}}\left( -1+2 \right)=2\) – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень \(x=-1\) – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1\\x+2>0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.\)

Тогда, получив корни \(x=2\) и \(x=-1\), сразу отбросим корень \(-1\), и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

Найдите корень уравнения \(\displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2\). Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

\(\displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2\).

В первую очередь напишем ОДЗ:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+1>0\\x+1\ne 1\\2x+5>0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\ne 0\\x>-\frac{5}{2}\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\ne 0.\end{array} \right.\)

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание \(x+1\), чтобы получить аргумент \(2x+5\)? Во вторую. То есть:

\(\displaystyle {{\left( x+1 \right)}^{2}}=2x+5\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}+2x+1=2x+5\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}-4=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-2.\end{array} \right.\)

Казалось бы, меньший корень равен \(-2\). Но это не так: согласно ОДЗ корень \(x=-2\) – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: \(x=2\).

Ответ: \(x=2\).

Больше задач — после регистрации.

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

\({{\log }_{a}}b=c\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{a}^{c}}=b\)

Подставим во второе равенство вместо \(c\) логарифм:

\(\displaystyle {{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\)

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

\(\displaystyle {{\log }_{a}}b\) – это степень, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).

Например: \(\displaystyle {{2}^{{{\log }_{2}}5}}=5;\text{  }{{3}^{{{\log }_{3}}2}}=2;\text{  }{{10}^{\lg 12}}=12.\)

Реши еще следующие примеры:

Пример 2.

Найдите значение выражения \(\displaystyle {{25}^{{{\log }_{5}}3}}\).

Решение:

Вспомним правило из раздела «Степень и ее свойства»: \(\displaystyle {{\left( {{a}^{n}} \right)}^{m}}={{a}^{n\cdot m}}\), то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:

\({{25}^{{{\log }_{5}}3}}={{\left( {{5}^{2}} \right)}^{{{\log }_{5}}3}}={{5}^{2{{\log }_{5}}3}}={{5}^{{{\log }_{5}}3\cdot 2}}={{\left( {{5}^{{{\log }_{5}}3}} \right)}^{2}}\underset{\text{}}{\mathop{=}}\,{{3}^{2}}=9\).

Пример 3.

Докажите, что \(\displaystyle {{5}^{{{\log }_{3}}7}}={{7}^{{{\log }_{3}}5}}\).

Решение:

\(\displaystyle {{5}^{{{\log }_{3}}7}}={{\left( {{3}^{{{\log }_{3}}5}} \right)}^{{{\log }_{3}}7}}={{3}^{{{\log }_{3}}5\cdot {{\log }_{3}}7}}={{3}^{{{\log }_{3}}7\cdot lo{{g}_{3}}5}}={{\left( {{3}^{{{\log }_{3}}7}} \right)}^{lo{{g}_{3}}5}}={{7}^{lo{{g}_{3}}5}}\), ч.т.д.

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов. Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

\(\displaystyle \begin{array}{l}1.\text{ }{{\log }_{a}}{{a}^{x}}=x\\2.\text{ }{{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( b\cdot c \right)\\3.\text{ }{{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}\\\left. \begin{array}{l}4.\text{ }{{\log }_{a}}{{b}^{n}}=n\cdot {{\log }_{a}}b\ \\5.\text{  }{{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }6.\text{ }{{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\\7.\text{ }{{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\text{, }\left( c>0,\text{ }\ne \text{1} \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }8.\text{ }{{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a},\text{ }\left( b\ne 1 \right).\end{array}\)

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1:

\(\displaystyle {{\log }_{a}}{{a}^{x}}=x\)

Доказывать здесь нечего, ведь это просто по-другому записанное определение логарифма: в какую степень нужно возвести \(\displaystyle a\), чтобы получить \(\displaystyle {{a}^{x}}\)? Ответ очевиден: в степень \(\displaystyle x\).

Пример: Чему равен \(\displaystyle {{\log }_{5}}{{5}^{8,67}}\)?.

Ответ: Повторим еще раз: в какую степень нужно возвести \(\displaystyle 5\), чтобы получить \(\displaystyle {{5}^{8,67}}\)? Конечно же \(\displaystyle 8,67\).

Свойство 2: Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна  логарифму произведения: \(\displaystyle {{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( b\cdot c \right)\).

Доказательство:

Пусть \(\displaystyle {{\log }_{a}}b=x\), тогда \(\displaystyle {{a}^{x}}=b\). Пусть \(\displaystyle {{\log }_{a}}c=y\), тогда \(\displaystyle {{a}^{y}}=c\).

Имеем:

\(\displaystyle {{\log }_{a}}\left( b\cdot c \right)={{\log }_{a}}\left( {{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}} \right)={{\log }_{a}}{{a}^{x+y}}\underset{\text{по правилу 1}}{\mathop{=}}\,x+y={{\log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}c\), ч.т.д.

Пример: Найдите значение выражения: \(\displaystyle {{\log }_{3}}5+{{\log }_{3}}0,6\).

Решение: \(\displaystyle {{\log }_{3}}5+{{\log }_{3}}0,6={{\log }_{3}}\left( 5\cdot 0,6 \right)={{\log }_{3}}3=1\).

Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот – «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
\(\displaystyle {{\log }_{2}}80={{\log }_{2}}\left( 16\cdot 5 \right)={{\log }_{2}}\left( {{2}^{4}}\cdot 5 \right)={{\log }_{2}}{{2}^{4}}+{{\log }_{2}}5=4+{{\log }_{2}}5\).
Зачем это нужно? Ну например: чему равно \(\displaystyle lo{{g}_{5}}250-{{\log }_{5}}2\)?

\(\displaystyle {{\log }_{5}}250={{\log }_{5}}\left( 125\cdot 2 \right)={{\log }_{5}}\left( {{5}^{3}}\cdot 2 \right)={{\log }_{5}}{{5}^{3}}+{{\log }_{5}}2=3+{{\log }_{5}}2\).

Теперь очевидно, что \(\displaystyle {{\log }_{5}}250-{{\log }_{5}}2=3+{{\log }_{5}}2-{{\log }_{5}}2=3\).

Теперь упрости сам:

Задачи:

  1. \(\displaystyle {{\log }_{3}}324-{{\log }_{3}}4\).
  2. \(\displaystyle {{\log }_{4}}0,0625\).
  3. \(\displaystyle {{\log }_{4}}0,125+{{\log }_{4}}0,5\).
  4. \(\displaystyle {{\log }_{0,2}}50-{{\log }_{0,2}}2\).

 

Ответы:

1. \(\displaystyle {{\log }_{3}}324-{{\log }_{3}}4={{\log }_{3}}\left( 81\cdot 4 \right)-{{\log }_{3}}4=\)

\(\displaystyle ={{\log }_{3}}\left( {{3}^{4}}\cdot 4 \right)-{{\log }_{3}}4={{\log }_{3}}{{3}^{4}}+{{\log }_{3}}4-{{\log }_{3}}4=4\)

2. \(\displaystyle {{\log }_{4}}0,0625={{\log }_{4}}\frac{1}{16}={{\log }_{4}}{{4}^{-2}}=-2\)

3. \(\displaystyle {{\log }_{4}}0,125+{{\log }_{4}}0,5={{\log }_{4}}\frac{1}{8}+{{\log }_{4}}\frac{1}{2}={{\log }_{4}}\left( \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2} \right)=\)

\(\displaystyle ={{\log }_{4}}\frac{1}{16}={{\log }_{4}}{{4}^{-2}}=-2\)

4. \(\displaystyle {{\log }_{0,2}}50-{{\log }_{0,2}}2={{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( 25\cdot 2 \right)-{{\log }_{\frac{1}{5}}}2=\)

\(\displaystyle ={{\log }_{\frac{1}{5}}}{{5}^{2}}+{{\log }_{\frac{1}{5}}}2-{{\log }_{\frac{1}{5}}}2={{\log }_{\frac{1}{5}}}{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{-2}}=-2\)

Свойство 3: Разность логарифмов:

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного: \(\displaystyle lo{{g}_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}\).

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть \(\displaystyle {{\log }_{a}}b=x\), тогда \(\displaystyle {{a}^{x}}=b\).

Пусть \(\displaystyle {{\log }_{a}}c=y\), тогда \(\displaystyle {{a}^{y}}=c\). Имеем:

\(\displaystyle {{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)={{\log }_{a}}\left( \frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}} \right)={{\log }_{a}}{{a}^{x-y}}=x-y={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c\), ч.т.д.

\(\displaystyle {{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c}\cdot c \right)-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}+{{\log }_{a}}c-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}\), ч.т.д.

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

\(\displaystyle {{\log }_{5}}250-{{\log }_{5}}2={{\log }_{5}}\frac{250}{2}={{\log }_{5}}125={{\log }_{5}}{{5}^{3}}=3\)

Пример посложнее: \(\displaystyle \log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3}\). Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению \(\displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}\) – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить. Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения» справа, и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

\(\displaystyle \log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}=\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}+{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\).

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

\(\displaystyle \log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3}=\)

\(\displaystyle =\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}+{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}3=\)

\(\displaystyle ={{\log }_{2}}\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\cdot {{\log }_{2}}\left( 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}3=\)

\(\displaystyle ={{\log }_{2}}2\cdot {{\log }_{2}}\left( 2\cdot 3 \right)-{{\log }_{2}}3=1\cdot \left( 1+{{\log }_{2}}3 \right)-{{\log }_{2}}3=1.\)

Упрости сам.

Примеры

  1. \(\displaystyle {{\log }_{3}}4-{{\log }_{3}}12\)
  2. \(\displaystyle {{\log }_{0,3}}3-{{\log }_{0,3}}10\)
  3. \(\displaystyle {{\log }_{1,75}}28+{{\log }_{1,75}}2-{{\log }_{1,75}}32\)
  4. \(\displaystyle \lg \sqrt{0,05}-\lg \sqrt{5}\)
  5. \(\displaystyle {{\lg }^{2}}2\sqrt{5}-{{\lg }^{2}}5\sqrt{2}-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}\)

Ответы.

1. \(\displaystyle {{\log }_{3}}4-{{\log }_{3}}12={{\log }_{3}}\frac{4}{12}={{\log }_{3}}\frac{1}{3}=-1\)

2. \(\displaystyle {{\log }_{0,3}}3-{{\log }_{0,3}}10={{\log }_{0,3}}\frac{3}{10}=1\)

3. \(\displaystyle {{\log }_{1,75}}28+{{\log }_{1,75}}2-{{\log }_{1,75}}32={{\log }_{1,75}}\frac{28\cdot 2}{32}={{\log }_{\frac{7}{4}}}\frac{7}{4}=1\)

4. \(\displaystyle \lg \sqrt{0,05}-\lg \sqrt{5}=\lg \frac{\sqrt{0,05}}{\sqrt{5}}=\lg \sqrt{0,01}=\lg 0,1=-1\)

5. \(\displaystyle {{\lg }^{2}}2\sqrt{5}-{{\lg }^{2}}5\sqrt{2}-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}=\)

\(\displaystyle =\left( \lg 2\sqrt{5}-\lg 5\sqrt{2} \right)\left( \lg 2\sqrt{5}+\lg 5\sqrt{2} \right)-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}=\)

\(\displaystyle =\lg \frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}\cdot \lg \left( 2\sqrt{5}\cdot 5\sqrt{2} \right)-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}=\lg \sqrt{\frac{2}{5}}\cdot \lg {{10}^{\frac{3}{2}}}=\)

\(\displaystyle =\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}=0\)

Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:

Если в аргументе логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: \(\displaystyle {{\log }_{a}}{{b}^{n}}=n\cdot {{\log }_{a}}b\).

Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть \(\displaystyle {{\log }_{a}}b=x\), тогда \(\displaystyle {{a}^{x}}=b\). Имеем:\(\displaystyle {{\log }_{a}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}{{\left( {{a}^{x}} \right)}^{n}}={{\log }_{a}}{{a}^{nx}}=nx=n\cdot {{\log }_{a}}b\), ч.т.д.

Можно понять это правило так:

\(\displaystyle {{\log }_{a}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}\left( \underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ раз}} \right)\text{ }\underset{\text{правило}\ \text{2}}{\mathop{=}}\,\text{ }\underbrace{{{\log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}b+…+{{\log }_{a}}b}_{n\text{ раз}}=n\cdot {{\log }_{a}}b\)

То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

Пример: Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{{{\log }_{2}}25}{{{\log }_{2}}5}\).

Решение: \(\displaystyle \frac{{{\log }_{2}}25}{{{\log }_{2}}5}=\frac{{{\log }_{2}}{{5}^{2}}}{{{\log }_{2}}5}=\frac{2{{\log }_{2}}5}{{{\log }_{2}}5}=2\).

Реши сам:

Примеры:

  1. \(\displaystyle \frac{{{\log }_{2}}81}{{{\log }_{2}}3}\)
  2. \(\displaystyle \frac{{{\log }_{3}}125}{{{\log }_{3}}625}\)
  3. \(\displaystyle \frac{\log _{5}^{2}25\sqrt{10}-\log _{5}^{2}\sqrt{10}}{{{\log }_{5}}250}\)

Ответы:

1. \(\displaystyle \frac{{{\log }_{2}}81}{{{\log }_{2}}3}=\frac{{{\log }_{2}}{{3}^{4}}}{{{\log }_{2}}3}=4\).

2. \(\displaystyle \frac{{{\log }_{3}}125}{{{\log }_{3}}625}=\frac{{{\log }_{3}}{{5}^{3}}}{{{\log }_{3}}{{5}^{4}}}=\frac{3{{\log }_{3}}5}{4{{\log }_{3}}5}=\frac{3}{4}=0,75\).

3. \(\displaystyle \frac{\log _{5}^{2}25\sqrt{10}-\log _{5}^{2}\sqrt{10}}{{{\log }_{5}}250}=\)

\(\displaystyle =\frac{\left( {{\log }_{5}}25\sqrt{10}-{{\log }_{5}}\sqrt{10} \right)\left( {{\log }_{5}}25\sqrt{10}+{{\log }_{5}}\sqrt{10} \right)}{{{\log }_{5}}250}=\)

\(\displaystyle =\frac{{{\log }_{5}}\left( 25\sqrt{10}\cdot \sqrt{10} \right)\cdot \log \frac{25\sqrt{10}}{\sqrt{10}}}{{{\log }_{5}}250}=\frac{{{\log }_{5}}250\cdot {{\log }_{5}}{{5}^{2}}}{{{\log }_{5}}250}=2\)

Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:

Если в основании логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: \(\displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\).

Доказательство: Пусть \(\displaystyle {{\log }_{a}}b=x\), тогда \(\displaystyle {{a}^{x}}=b\). 

Имеем:\(\displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}b={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{x}}={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{\frac{x\cdot n}{n}}}={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{\left( {{a}^{n}} \right)}^{\frac{x}{n}}}=\frac{x}{n}=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\), ч.т.д.
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:

Если в основании и аргументе логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма: \(\displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\).

Или если степени одинаковые:  \(\displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}b\).

Свойство 7: Переход к новому основанию:

Если основания логарифмов разные, то для того чтобы дальше работать с логарифмами нужно перейти к логарифмам с одним основанием: \(\displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\text{  }\left( c>0;\text{ }\ne \text{1} \right)\).

Доказательство: Пусть \(\displaystyle {{\log }_{a}}b=x\), тогда \(\displaystyle {{a}^{x}}=b\).

Имеем:\(\displaystyle \frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}=\frac{{{\log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{\log }_{c}}a}=\frac{x{{\log }_{c}}a}{{{\log }_{c}}a}=x={{\log }_{a}}b\), ч.т.д.

Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:

Можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе: \(\displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a},\text{ }\left( b\ne 1 \right)\).

Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить \(\displaystyle c=b\), получим:\(\displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{b}}b}{{{\log }_{b}}a}=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\), ч.т.д.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 4.

Найдите значение выражения \(\displaystyle {{\log }_{5}}75+{{\log }_{5}}\frac{1}{3}\).

Решение:

Используем свойство логарифмов № 2 – сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

\(\displaystyle {{\log }_{5}}75+{{\log }_{5}}\frac{1}{3}={{\log }_{5}}\left( 75\cdot \frac{1}{3} \right)={{\log }_{5}}25=2\).

Пример 5.

Найдите значение выражения \(\displaystyle {{\log }_{3}}36-2{{\log }_{3}}2\).

Решение:

Используем свойство логарифмов № 3 и № 4:

\(\displaystyle lo{{g}_{3}}36-2\overbrace{{{\log }_{3}}2={{\log }_{3}}36-lo{{g}_{3}}{{2}^{2}}}^{\text{по}\ \text{правилу}\ \text{4}}\underset{\text{по}\ \text{правилу 3}}{\mathop{=}}\,\text{ }{{\log }_{3}}\frac{36}{4}={{\log }_{3}}9=2\).

Пример 6.

Найдите значение выражения \(\displaystyle {{\log }_{8\sqrt[5]{4}}}\left( 32\sqrt[5]{2} \right)\).

Решение:

Используем свойство № 7 – перейдем к основанию 2:

\(\displaystyle {{\log }_{8\sqrt[5]{4}}}\left( 32\sqrt[5]{2} \right)=\frac{{{\log }_{2}}\left( 32\sqrt[5]{2} \right)}{{{\log }_{2}}\left( 8\sqrt[5]{4} \right)}\underset{правило 2}{\mathop{=}}\,\frac{{{\log }_{2}}32+{{\log }_{2}}\sqrt[5]{2}}{{{\log }_{2}}8+lo{{g}_{2}}\sqrt[5]{4}}=\)

\(\displaystyle =\frac{{{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}{{2}^{\frac{1}{5}}}}{{{\log }_{2}}{{2}^{3}}+{{\log }_{2}}{{2}^{\frac{2}{5}}}}\underset{правило 1}{\mathop{=}}\,\frac{5+\frac{1}{5}}{3+\frac{2}{5}}=\frac{26}{17}.\)

Проверь себя — реши задачи на логарифмы.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий