Модуль числа. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Модуль числа и его свойства

Определение:

Модуль (абсолютная величина) числа \(x\) — это само число \(x\), если \(x\ge 0\), и число \(-x\), если \(x<0\):

\(\left| x \right|=\left\{ \begin{array}{l}x,\text{     }x\ge 0\\-x,\text{   }x<0\end{array} \right.\)

Например: \(\left| 4 \right|=4;\text{ }\left| 0 \right|=0;\text{ }\left| -3 \right|=-\left( -3 \right)=3.\)

Пример:

Упростите выражение \(\left| \sqrt{5}-3 \right|+\left| \sqrt{5}+1 \right|\).

Решение:

\(\sqrt{5}-3<0\Rightarrow \left| \sqrt{5}-3 \right|=-\left( \sqrt{5}-3 \right)=3-\sqrt{5};\)

\(\sqrt{5}+1>0\Rightarrow \left| \sqrt{5}+1 \right|=\sqrt{5}+1;\)

\(\left| \sqrt{5}-3 \right|+\left| \sqrt{5}+1 \right|=3-\sqrt{5}+\sqrt{5}+1=4.\)

Основные свойства модуля

Для всех \(x,y\in \mathbb{R}\):

  1. \(\left| x \right|\ge 0,\text{ }\left| x \right|=0\Leftrightarrow x=0;\)
  2. \(\left| -x \right|=\left| x \right|;\)
  3. \(\left| x\cdot y \right|=\left| x \right|\cdot \left| y \right|;\)
  4. \(\left| \frac{x}{y} \right|=\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|},\text{ y}\ne \text{0};\)
  5. \(\left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\)
  6. \(\left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|, при  \text{  }c>0\)
  7. \({{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\)

Пример:

Докажите свойство №5.

Доказательство:

Предположим, что существуют такие \(x;y\in \mathbb{R}\), что \(\left| x+y \right|>\left| x \right|+\left| y \right|.\) Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):

\(\displaystyle \begin{array}{l}\left| x+y \right|>\left| x \right|+\left| y \right|\Leftrightarrow \\{{\left( x+y \right)}^{2}}>{{\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)}^{2}}\Leftrightarrow \\{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2\cdot \left| x \right|\cdot \left| y \right|+{{y}^{2}}\Leftrightarrow \\xy>\left| x \right|\cdot \left| y \right|\Leftrightarrow \\xy>\left| xy \right|,\end{array}\)

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких \(x;y\in \mathbb{R}\) не существует, а значит, при всех \(x,\text{ }y\in \mathbb{R}\) выполняется неравенство \(\left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|.\)

Примеры для самостоятельного решения:

1) Докажите свойство №6.

2) Упростите выражение \(\left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|\).

Ответы:

1) Воспользуемся свойством №3: \(\left| c\cdot x \right|=\left| c \right|\cdot \left| x \right|\), а поскольку \(c>0\text{  }\Rightarrow \text{  }\left| c \right|=c\), тогда

\(\left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|\), ч.т.д.

2) \(\left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|\).

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем?

a. Сравним числа  и \(\frac{31}{8}\) и \(\sqrt{15}\):

\(\frac{31}{8}\vee \sqrt{15}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \frac{31}{8} \right)}^{2}}\vee 15\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{961}{64}\vee 15\text{  }\Leftrightarrow \text{  }961\vee 15\cdot 64\text{  }\Leftrightarrow \text{  961}\overset{>}{\mathop{\vee }}\,960\text{  }\Rightarrow \)

\(\Rightarrow \text{  }\frac{31}{8}>\sqrt{15}\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{31}{8}-\sqrt{15}>0\text{  }\Rightarrow \text{  }\left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|=\frac{31}{8}-\sqrt{15}\)

b. Теперь сравним \(\frac{15}{4}\) и \(\sqrt{15}\):

\(\frac{15}{4}\vee \sqrt{15}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \frac{15}{4} \right)}^{2}}\vee 15\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{{{15}^{2}}}{16}\vee 15\text{  }\Leftrightarrow \text{  1}{{\text{5}}^{2}}\overset{<}{\mathop{\vee }}\,15\cdot 16\text{  }\Rightarrow \text{  }\)

\(\frac{15}{4}-\sqrt{15}\text{ }<0\text{  }\Rightarrow \text{  }\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\sqrt{15}-\frac{15}{4}\).

Складываем значения модулей:

\(\left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\frac{31}{8}-\sqrt{15}+\sqrt{15}-\frac{15}{4}=\frac{1}{8}=0.125\)

Проверь себя — реши задачи на модуль числа.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий