Модуль числа. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Модуль числа и его свойства

Определение:

Модуль (абсолютная величина) числа $latex x$ — это само число $latex x$, если $latex x\ge 0$, и число $latex -x$, если $latex x<0$:

$latex \left| x \right|=\left\{ \begin{array}{l}x,\text{     }x\ge 0\\-x,\text{   }x<0\end{array} \right.$

Например: $latex \left| 4 \right|=4;\text{ }\left| 0 \right|=0;\text{ }\left| -3 \right|=-\left( -3 \right)=3.$

Пример:

Упростите выражение $latex \left| \sqrt{5}-3 \right|+\left| \sqrt{5}+1 \right|$.

Решение:

$latex \sqrt{5}-3<0\Rightarrow \left| \sqrt{5}-3 \right|=-\left( \sqrt{5}-3 \right)=3-\sqrt{5};$

$latex \sqrt{5}+1>0\Rightarrow \left| \sqrt{5}+1 \right|=\sqrt{5}+1;$

$latex \left| \sqrt{5}-3 \right|+\left| \sqrt{5}+1 \right|=3-\sqrt{5}+\sqrt{5}+1=4.$

Основные свойства модуля

Для всех $latex x,y\in \mathbb{R}$:

  1. $latex \left| x \right|\ge 0,\text{ }\left| x \right|=0\Leftrightarrow x=0;$
  2. $latex \left| -x \right|=\left| x \right|;$
  3. $latex \left| x\cdot y \right|=\left| x \right|\cdot \left| y \right|;$
  4. $latex \left| \frac{x}{y} \right|=\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|},\text{ y}\ne \text{0};$
  5. $latex \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|$
  6. $latex \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|, при  \text{  }c>0$
  7. $latex {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}$

Пример:

Докажите свойство №5.

Доказательство:

Предположим, что существуют такие $latex x;y\in \mathbb{R}$, что $latex \left| x+y \right|>\left| x \right|+\left| y \right|.$ Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\left| x+y \right|>\left| x \right|+\left| y \right|\Leftrightarrow \\{{\left( x+y \right)}^{2}}>{{\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)}^{2}}\Leftrightarrow \\{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2\cdot \left| x \right|\cdot \left| y \right|+{{y}^{2}}\Leftrightarrow \\xy>\left| x \right|\cdot \left| y \right|\Leftrightarrow \\xy>\left| xy \right|,\end{array}$

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких $latex x;y\in \mathbb{R}$ не существует, а значит, при всех $latex x,\text{ }y\in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $latex \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|.$

Примеры для самостоятельного решения:

1) Докажите свойство №6.

2) Упростите выражение $latex \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|$.

Ответы:

1) Воспользуемся свойством №3: $latex \left| c\cdot x \right|=\left| c \right|\cdot \left| x \right|$, а поскольку $latex c>0\text{  }\Rightarrow \text{  }\left| c \right|=c$, тогда

$latex \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|$, ч.т.д.

2) $latex \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|$.

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем?

a. Сравним числа  и $latex \frac{31}{8}$ и $latex \sqrt{15}$:

$latex \frac{31}{8}\vee \sqrt{15}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \frac{31}{8} \right)}^{2}}\vee 15\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{961}{64}\vee 15\text{  }\Leftrightarrow \text{  }961\vee 15\cdot 64\text{  }\Leftrightarrow \text{  961}\overset{>}{\mathop{\vee }}\,960\text{  }\Rightarrow $

$latex \Rightarrow \text{  }\frac{31}{8}>\sqrt{15}\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{31}{8}-\sqrt{15}>0\text{  }\Rightarrow \text{  }\left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|=\frac{31}{8}-\sqrt{15}$

b. Теперь сравним $latex \frac{15}{4}$ и $latex \sqrt{15}$:

$latex \frac{15}{4}\vee \sqrt{15}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \frac{15}{4} \right)}^{2}}\vee 15\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{{{15}^{2}}}{16}\vee 15\text{  }\Leftrightarrow \text{  1}{{\text{5}}^{2}}\overset{<}{\mathop{\vee }}\,15\cdot 16\text{  }\Rightarrow \text{  }$

$latex \frac{15}{4}-\sqrt{15}\text{ }<0\text{  }\Rightarrow \text{  }\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\sqrt{15}-\frac{15}{4}$.

Складываем значения модулей:

$latex \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\frac{31}{8}-\sqrt{15}+\sqrt{15}-\frac{15}{4}=\frac{1}{8}=0.125$

Проверь себя — реши задачи на модуль числа.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий