Однородные уравнения
В этой статье ты научишься решать однородные уравнения.
В частности, тригонометрические и показательные.
И это не так сложно, как выглядит!
Потому что алгоритм решения однородных уравнений один и тот же!
Для этого эти уравнения и выделили в одну группу – чтобы было легче решать. По одному алгоритму.
Читай статью, решай примеры и все поймешь!
Однородные уравнения — коротко о главном
Определение однородных уравнений
Однородные уравнения – это уравнения вида \( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.
Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.
Алгоритм решения однородных уравнений
\( \displaystyle \left. a{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}=0 \right|\ :{{y}^{2}}\ne 0\)
\( \displaystyle a{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+b\left( \frac{x}{y} \right)+c=0\)
\( \displaystyle t=\frac{x}{y}\ \Rightarrow a{{t}^{2}}+bt+c=0\)
Однородные уравнение — подробнее
Что такое однородные уравнения? Давай посмотрим на определение.
Однородные уравнения – это уравнения вида \( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.
Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.
Пример №1
\( {{a}^{2}}-4ab+3{{b}^{2}}=0\)Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.
Однородные уравнения – это уравнения вида \( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\)…
Стоп! Давай все-таки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.
\( {{k}_{0}}{{x}^{n}}\)На первом месте должна идти первая переменная в степени \( n\) с некоторым коэффициентом. В нашем случае это \( 1\cdot {{a}^{2}},\ \ k=1,\ \ x=a,\ \ n=2\)
\( {{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y\)Дальше идет первая переменная в степени \( n-1\) и вторая переменная в первой степени.
В нашем случае это \( -4ab\).
Как мы выяснили, \( n=2\), значит здесь степень \( n-1=1\) при первой переменной \( \left( a \right)\) – сходится.
И вторая переменная \( \left( b \right)\) в первой степени – на месте. Коэффициент \( k=\)\( -4\).
\( {{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}\)У нас это \( 3{{b}^{2}}\).
Первая переменная \( \left( a \right)\) в степени \( n-2=0\), и вторая переменная \( \left( b \right)\) в квадрате, с коэффициентом \( \left( 3 \right)\). Это последний член уравнения.
Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.
Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.
…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.
У нас две неизвестные \( (a\) и \( b)\). Здесь сходится.
Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.
\( {{a}^{2}}\) — сумма степеней равна \( 2\).
\( -4ab\) — сумма степеней равна \( 2\) (\( 1\) при \( a\) и \( 1\) при \( b\)).
\( 3{{b}^{2}}\) — сумма степеней равна \( 2\).
Как видишь, все сходится! Это однородное уравнение.
Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.
Определи какие из уравнений — однородные
- \( 4{{x}^{2}}+3xy\ -5{{y}^{2}}=0\);
- \( 2{{x}^{2}}+\ 7xy+3{{y}^{2}}=0\);
- \( {{x}^{2}}+3xy\ -6{{y}^{2}}=0\);
- \( 3{{x}^{2}}+\frac{x}{y}-2{{y}^{2}}=0\);
- \( \ \frac{3{{x}^{2}}}{y}+2xy-13{{y}^{2}}=0\);
- \( 3{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}y+4x{{y}^{2}}-12{{y}^{3}}=0\);
- \( 24{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4xy+5x{{y}^{2}}-7{{y}^{3}}=0\);
- \( 8{{y}^{3}}+11{{x}^{2}}y-{{y}^{2}}x+12{{x}^{3}}=0\);
- \( {{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\);
- \( {{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x-2{{\sin }^{2}}x=0\);
- \( 25\cdot {{4}^{x}}+3\cdot {{6}^{x}}=11\cdot {{9}^{x}}\);
Однородные уравнения — уравнения под номерами:
\( 1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }6,\text{ }8,\text{ }9,\text{ }11.\)Рассмотрим отдельно \( 11\) уравнение.
Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим:
\( \begin{array}{l}25\cdot {{4}^{x}}+3\cdot {{6}^{x}}=11\cdot {{9}^{x}}\\\ \ \ \ 25\cdot {{2}^{2x}}+3\cdot {{3}^{x}}\cdot {{2}^{x}}-11\cdot {{3}^{2x}}=0\end{array}\)А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.
Как решать однородные уравнения
Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.
Пример №2
\( {{x}^{2}}-7xy+10{{y}^{2}}=0\)Найдите \( \displaystyle \frac{x}{y}\).
Разделим уравнение на \( {{y}^{2}}\).
Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна \( 0\). Например, если нас просят найти \( \frac{x}{y}\), то мы сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя.
Когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай, когда эта переменная равна \( 0\).
У нас по условию y не может быть равен \( 0\). Поэтому мы можем смело делить на \( {{y}^{2}}\)
\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}-\frac{7xy}{{{y}^{2}}}+\frac{10{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}=0\) \( \displaystyle {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}-7\left( \frac{x}{y} \right)+10=0\)Произведя замену \( t=\frac{x}{y}\), мы получим простое квадратное уравнение:
\( {{t}^{2}}-7t+10=0\)Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:
\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=7\\{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}=10\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=2\\{{t}_{2}}=5\end{array} \right.\)Произведя обратную замену, получаем ответ
\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y}=2\\\frac{x}{y}=5\end{array} \right.\)Ответ: \( 2;5\)
Пример №3
\( 3{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}=0\)Нужно найти: \( \displaystyle \ \frac{x}{y}.\)
Решение:
Разделим уравнение на \( {{y}^{2}}\) (\( y\ne 0\) по условию).
\( 3{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}=0\) \( \displaystyle 3\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}-2\frac{xy}{{{y}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}=0\) \( \displaystyle 3{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}-2\left( \frac{x}{y} \right)-1=0\)Произведем замену \( \displaystyle t=\frac{x}{y}\) и решим квадратное уравнение:
\( 3{{t}^{2}}-2t-1=0\)Пример №4
Найдите \( xy\), если \( \displaystyle 3{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}-\frac{8}{{{y}^{2}}}=0\).
Здесь нужно не делить, а умножать.
Умножим все уравнение на \( {{y}^{2}}\):
Решение однородных тригонометрических уравнений
Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше.
Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел «Тригонометрические уравнения»).
Рассмотрим такие уравнения на примерах.
Пример №5
Решите уравнение \( {{\sin }^{2}}x-3\sin x\cdot \cos x-4{{\cos }^{2}}x=0\).
Мы видим типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).
Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на \( {{\cos }^{2}}x\), рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\)
В этом случае уравнение примет вид: \( {{\sin }^{2}}x=0\), значит \( \sin x=0\). Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1\). Поэтому \( \cos x\ne 0\), и на него можно смело делить:
\( \displaystyle \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3\sin x\cdot \cos x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{4{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=0\) \( t{{g}^{2}}x-3tgx-4=0\)Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:
\( {{t}^{2}}-3t-4=0\)Пример №6
Решите уравнение \( 5{{\sin }^{2}}x-2\sin x\cdot \cos x-3{{\cos }^{2}}x=0\).
Как и в примере \( 5\), нужно разделить уравнение на \( {{\cos }^{2}}x\).
Рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\) :
\( \cos x=0\) \( 5{{\sin }^{2}}x-2\cdot 0-3\cdot 0=0\) \( 5{{\sin }^{2}}x=0\) \( \sin x=0\)Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1\).
Поэтому \( \cos x\ne 0\).
\( \displaystyle \frac{5{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{2\sin x\cdot \cos x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=0\) \( \displaystyle 5\cdot {{\left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)}^{2}}-2\cdot \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)-3=0\) \( 5t{{g}^{2}}\,x-2tg\,x-3=0\)Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:
Решение однородных показательных уравнений
Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения – посмотри соответствующий раздел («Показательные уравнения»)!
Рассмотрим несколько примеров.
Пример №7
Решите уравнение \( {{2}^{2x}}-7\cdot {{36}^{x}}-18\cdot {{18}^{2x}}=0\)
Представим \( {{36}^{x}}\) как \( {{18}^{x}}\cdot {{2}^{x}}\):
\( {{2}^{2x}}-7\cdot {{18}^{x}}\cdot {{2}^{x}}-18\cdot {{18}^{2x}}=0\)Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней \( 2x\). Разделим уравнение на \( {{18}^{2x}}\):
Пример №8
Решите уравнение \( 4\cdot {{9}^{2x}}+{{144}^{x}}-3\cdot {{16}^{2x}}=0\)
Представим \( {{144}^{x}}\) как \( {{9}^{x}}\cdot {{16}^{x}}\):
\( 4\cdot {{9}^{2x}}+{{144}^{x}}-3\cdot {{16}^{2x}}=0\)Разделим уравнение на \( {{16}^{2x}}\):
Пример №9
На примере этой задачи повторим, что такое однородные уравнения и как их решать.
Найдите \( \displaystyle \frac{a}{b}\), если \( {{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0\).
Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на \( {{b}^{2}}\), получим:
\( \displaystyle {{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0\text{ }\left| :{{b}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{3ab}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}}=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ } \right.{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}-3\cdot \left( \frac{a}{b} \right)+2=0\).
То есть, теперь нет отдельных \( a\) и \( b\), – теперь переменной в уравнении является искомая величина \( \frac{a}{b}\). И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно \( 2\), а сумма \( 3\) – это числа \( 2\) и \( 1\).
Ответ: \( 1;\text{ }2.\)
Уравнения вида
\( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\)называется однородным.
То есть это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна \( 2\).
Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:
\( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\text{ }\left| :{{y}^{n}}\text{ } \right.\Leftrightarrow \)\( {{k}_{0}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n}}+{{k}_{1}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}\left( \frac{x}{y} \right)+{{k}_{n}}=0\),
И последующей заменой переменных: \( t=\frac{x}{y}\). Таким образом получаем уравнение \( n\) степени с одной неизвестной \( t\):
\( {{k}_{0}}{{t}^{n}}+{{k}_{1}}{{t}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{t}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}t+{{k}_{n}}=0\).
Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:
\( \displaystyle a{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}=0\text{ }\left| :{{y}^{2}}\ne \text{0 }\Leftrightarrow \text{ }a{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+b\cdot \frac{x}{y} \right.+c=0\text{ }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\)
\( \displaystyle \Leftrightarrow\ a{{t}^{2}}+bt+c=0\).
Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю!
Например, если нас просят найти \( \displaystyle \frac{x}{y}\), сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя.
В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:
Решите уравнение \( {{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\).
Пример №10
\( {{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\)Видим здесь типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).
Но, прежде чем разделить на \( {{\cos }^{2}}x\) и получить квадратное уравнение относительно \( \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\), мы должны рассмотреть случай, когда \( \cos x=0\).
Реши сам:
- Найдите \( \displaystyle \frac{x}{y}\), если \( 3{{x}^{2}}+7xy+4{{y}^{2}}=0\).
- Найдите \( xy\), если \( \displaystyle 2{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}+\frac{3}{{{y}^{2}}}=0\).
- Решите уравнение \( {{\sin }^{2}}x-\sin x\cdot \cos x-2{{\cos }^{2}}x=0\).
Решения (краткое описание):
Пример 11
\( \displaystyle 3{{x}^{2}}+7xy+4{{y}^{2}}=0\text{ }\left| :{{y}^{2}}\ne 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ 3}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+7\frac{x}{y} \right.+4=0\text{ }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\)\( \displaystyle \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+7t+4=0\);
\( D=49-48=1\) \( \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-7\pm 1}{6}\text{ }\Rightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=-\frac{4}{3}\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y}=-1\\\frac{x}{y}=-\frac{4}{3}\end{array} \right.\)Ответ: \( -\frac{4}{3};\text{ }-1\).
Пример 12
А здесь надо не делить, а умножать:
\( \displaystyle 2{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}+\frac{3}{{{y}^{2}}}=0\text{ }\left| \times {{y}^{2}}\ne 0 \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2{{\left( xy \right)}^{2}}+5xy+3=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}xy=1\\xy=\frac{3}{2}.\end{array} \right.\)Ответ: \( 1;\text{ }1,5.\)
Пример 13
Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.
Так как здесь нам нужно делить на \( {{\cos }^{2}}x\), убедимся сперва, сто он не равен нулю:
\( {{\cos }^{2}}x=0\text{ }\Rightarrow \text{ }{{\sin }^{2}}x=0\text{ }\Rightarrow \text{ }{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=0\), а это невозможно.
Значит, \( {{\cos }^{2}}x\ne 0\).
\( \displaystyle {{\sin }^{2}}x-\sin x\cdot \cos x-2{{\cos }^{2}}x=0\text{ }\left| :{{\cos }^{2}}x\ne 0 \right.\Leftrightarrow \) \( \displaystyle \Leftrightarrow \ \ \text{t}{{\text{g}}^{2}}x-tgx-2=0\text{ }\Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{l}tg\ x=2\\tg\ x=-1\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \) \( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=arctg2+\pi k\\x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\end{array} \right.\text{ }k,n\in \mathbb{Z}.\)Ответ: \( arctg2+\pi k;\text{ }-\frac{\pi }{4}+\pi n,\text{ }k,n\in \mathbb{Z}\).
Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
ЕГЭ №15. Показательные уравнения и неравенства. Сравнение чисел — логарифмы
В этом видео мы научимся решать сложные показательные уравнения и неравенства. Чаще всего они сводятся к квадратным или рациональным.
В сложных неравенствах нам никто не гарантирует, что концы интервалов получатся «красивыми» — частенько там возникают логарифмы. Поэтому, чтобы знать, как эти точки располагаются на числовой прямой, нам необходимо уметь сравнивать значения логарифмов (друг с другом и с «обычными» числами).
Это мы также научимся делать.
ЕГЭ №13. Решение тригонометрических уравнений
В этом видео вы увидите разбор одного из наиболее типичных для ЕГЭ тригонометрических уравнений (задача 13а)
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника
Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем
математика, информатика, физика
Запишитесь на занятия:
+7 (905) 541-39-06
alexei.shevchuk@youclever.org
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Анна
07 октября 2019
Спасибо, все просто и понятно, по теме. Но тут не указано, что можно также делить на произведение неизвестных…
Алексей Шевчук
13 октября 2019
Анна, действительно можно, но зачем? Ведь уравнение всё равно сведётся к рациональному, только теперь оно будет дробным, нужно будет приводить к общему знаменателю. Хотя, возможно, и есть примеры, которые выгоднее решать так. Сможете привести пример?