Однородные уравнения. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Однородные уравнения – это уравнения вида \({{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Пример 1.

\({{a}^{2}}-4ab+3{{b}^{2}}=0\)

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида \({{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\)…

Стоп! Давай всетаки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

\({{k}_{0}}{{x}^{n}}\)

На первом месте должна идти первая переменная в степени \(n\) с некоторым коэффициентом. В нашем случае это \(1\cdot {{a}^{2}},\ \ k=1,\ \ x=a,\ \ n=2\)

\({{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y\)

Дальше идет первая переменная в степени \(n-1\) и вторая переменная в первой степени.

В нашем случае это \(-4ab\). Как мы выяснили, \(n=2\), значит здесь степень \(n-1=1\) при первой переменной \(\left( a \right)\) – сходится. И вторая переменная \(\left( b \right)\) в первой степени – на месте. Коэффициент \(k=\)\(-4\).

\({{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}\)

У нас это \(3{{b}^{2}}\).

Первая переменная \(\left( a \right)\) в степени \(n-2=0\), и вторая переменная \(\left( b \right)\) в квадрате, с коэффициентом \(\left( 3 \right)\). Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные \((a\) и \(b)\). Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

\({{a}^{2}}\) — сумма степеней равна \(2\).

\(-4ab\) — сумма степеней равна \(2\) (\(1\) при \(a\) и \(1\) при \(b\)).

\(3{{b}^{2}}\) — сумма степеней равна \(2\).

Как видишь, все сходится!!!

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Определи, какие из уравнений – однородные:

  1. \(4{{x}^{2}}+3xy\ -5{{y}^{2}}=0\)
  2. \(2{{x}^{2}}+\ 7xy+3{{y}^{2}}=0\)
  3. \({{x}^{2}}+3xy\ -6{{y}^{2}}=0\)
  4. \(3{{x}^{2}}+\frac{x}{y}-2{{y}^{2}}=0\)
  5. \(\ \frac{3{{x}^{2}}}{y}+2xy-13{{y}^{2}}=0\)
  6. \(3{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}y+4x{{y}^{2}}-12{{y}^{3}}=0\)
  7. \(24{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4xy+5x{{y}^{2}}-7{{y}^{3}}=0\)
  8. \(8{{y}^{3}}+11{{x}^{2}}y-{{y}^{2}}x+12{{x}^{3}}=0\)
  9. \({{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\)
  10. \({{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x-2{{\sin }^{2}}x=0\)
  11. \(25\cdot {{4}^{x}}+3\cdot {{6}^{x}}=11\cdot {{9}^{x}}\)

Однородные уравнения — уравнения под номерами:

\(1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }6,\text{ }8,\text{ }9,\text{ }11.\)

Рассмотрим отдельно \(11\) уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим

\(\begin{array}{l}11.\ 25\cdot {{4}^{x}}+3\cdot {{6}^{x}}=11\cdot {{9}^{x}}\\\ \ \ \ 25\cdot {{2}^{2x}}+3\cdot {{3}^{x}}\cdot {{2}^{x}}-11\cdot {{3}^{2x}}=0\end{array}\)

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Как решать однородные уравнения?

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \(n\) и дальнейшей заменой переменных.

Пример 2.

\({{x}^{2}}-7xy+10{{y}^{2}}=0\)

Найдите \(\displaystyle \frac{x}{y}\).

Разделим уравнение на \({{y}^{2}}\).

Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна \(0\). Например, если нас просят найти \(\frac{x}{y}\), то мы сразу понимаем, что \(y\ne 0\), поскольку на \(0\) делить нельзя. Когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай, когда эта переменная равна \(0\).

У нас по условию y не может быть равен \(0\). Поэтому мы можем смело делить на \({{y}^{2}}\)

\(\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}-\frac{7xy}{{{y}^{2}}}+\frac{10{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}=0\)

\({{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}-7\left( \frac{x}{y} \right)+10=0\)

Произведя замену \(t=\frac{x}{y}\), мы получим простое квадратное уравнение:

\({{t}^{2}}-7t+10=0\)

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

\(\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=7\\{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}=10\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=2\\{{t}_{2}}=5\end{array} \right.\)

Произведя обратную замену, получаем ответ

\(\left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y}=2\\\frac{x}{y}=5\end{array} \right.\)

Ответ: \(2;5\)

Пример 3.

\(3{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}=0\)

\(\ \frac{x}{y}.\)

Разделим уравнение на \({{y}^{2}}\) (\(y\ne 0\) по условию).

\(3{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}=0\)

\(3\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}-2\frac{xy}{{{y}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}=0\)

\(3{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}-2\left( \frac{x}{y} \right)-1=0\)

Произведем замену \(t=\frac{x}{y}\) и решим квадратное уравнение:

\(3{{t}^{2}}-2t-1=0\)

\(D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -2 \right)}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -1 \right)=4+12=16\)

\(t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm 4}{6}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=1\\{{t}_{2}}=-\frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Произведя обратную замену, получим ответ:

\(\left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y}=1\\\frac{x}{y}=-\frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Ответ: \(-\frac{1}{3};\ \ 1\)

Пример 4.

Найдите \(xy\), если \(3{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}-\frac{8}{{{y}^{2}}}=0\).

Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на \({{y}^{2}}\):

\(3{{x}^{2}}\cdot {{y}^{2}}+5\frac{x\cdot {{y}^{2}}}{y}-\frac{8\cdot {{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}=0\)

\(3{{\left( xy \right)}^{2}}+5xy-8=0\)

Произведем замену \(t=xy\) и решим квадратное уравнение:

\(3{{t}^{2}}+5t-8=0\)

\(D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -8 \right)=25+96=121\)

\(t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm 11}{2\cdot 3}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=1\\{{t}_{2}}=-\frac{8}{3}\end{array} \right.\)

Произведя обратную замену, получим ответ:

\(\left[ \begin{array}{l}xy=1\\xy=-\frac{8}{3}\end{array} \right.\)

Ответ: \(-\frac{8}{3};\ \ 1\)

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше. Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел «Тригонометрические уравнения»).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Пример 5.

Решите уравнение \({{\sin }^{2}}x-3\sin x\cdot \cos x-4{{\cos }^{2}}x=0\).

Мы видим типичное однородное уравнение: \(\sin x\) и \(\cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \(2\).

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на \({{\cos }^{2}}x\), рассмотрим случай, когда \(\cos x=0\)

В этом случае уравнение примет вид: \({{\sin }^{2}}x=0\), значит \(\sin x=0\). Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \(0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \({{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1\). Поэтому \(\cos x\ne 0\), и на него можно смело делить:

\(\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3\sin x\cdot \cos x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{4{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=0\)

\(t{{g}^{2}}x-3tgx-4=0\)

Сделаем замену \(t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

\({{t}^{2}}-3t-4=0\)

Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:

\(\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3\\{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}=-4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=-1\\{{t}_{2}}=4\end{array} \right.\)

Сделаем обратную замену и найдем \({{x}_{1}}\) и \({{x}_{2}}\):

\(\left[ \begin{array}{l}tg{{x}_{1}}=-1\\tg\,{{x}_{2}}=4\end{array} \right.\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-\frac{\pi }{4}+\pi n\\{{x}_{2}}=arctg4+\pi k\end{array} \right.\text{  }n,\ k\in \mathbb{Z}.\)

Ответ: \(-\frac{\pi }{4}+\pi n;\ \ arctg4+\pi k,\ \ n,\ k\in \mathbb{Z}\)

Пример 6.

Решите уравнение \(5{{\sin }^{2}}x-2\sin x\cdot \cos x-3{{\cos }^{2}}x=0\).

Как и в примере \(5\), нужно разделить уравнение на \({{\cos }^{2}}x\). Рассмотрим случай, когда \(\cos x=0\) :

\(\cos x=0\)

\(5{{\sin }^{2}}x-2\cdot 0-3\cdot 0=0\)

\(5{{\sin }^{2}}x=0\)

\(\sin x=0\)

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \(0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \({{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1\). Поэтому \(\cos x\ne 0\).

\(\frac{5{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{2\sin x\cdot \cos x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=0\)

\(5\cdot {{\left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)}^{2}}-2\cdot \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)-3=0\)

\(5t{{g}^{2}}\,x-2tg\,x-3=0\)

Сделаем замену \(t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

\(5{{t}^{2}}-2t-3=0\)

\(D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -2 \right)}^{2}}-4\cdot 5\cdot \left( -3 \right)=4+60=64\)

\(tg\,x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm 8}{10}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=1\\{{t}_{2}}=-0,6\end{array} \right.\)

Сделаем обратную замену и найдем \({{x}_{1}}\) и \({{x}_{2}}\):

\(\left[ \begin{array}{l}tg\,{{x}_{1}}=1\\tg\,{{x}_{2}}=-0,6\end{array} \right.=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{\pi }{4}+\pi n\\{{x}_{2}}=-arctg\,0,6+\pi k\end{array} \right.\ \ n,k\in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(\frac{\pi }{4}+\pi n;\ \ \ -arctg0,6+\pi k,\ n,k\in \mathbb{Z}\)

Решение однородных показательных уравнений.

Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения – посмотри соответствующий раздел («Показательные уравнения»)!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 7.

Решите уравнение \({{2}^{2x}}-7\cdot {{36}^{x}}-18\cdot {{18}^{2x}}=0\)

Представим \({{36}^{x}}\) как \({{18}^{x}}\cdot {{2}^{x}}\):

\({{2}^{2x}}-7\cdot {{18}^{x}}\cdot {{2}^{x}}-18\cdot {{9}^{2x}}=0\)

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней \(2x\). Разделим уравнение на \({{18}^{2x}}\):

\(\frac{{{2}^{2x}}}{{{18}^{2x}}}-\frac{7\cdot {{18}^{x}}\cdot {{2}^{x}}}{{{18}^{2x}}}-\frac{18\cdot {{9}^{2x}}}{{{18}^{2x}}}=0\)

\({{\left( \frac{2}{18} \right)}^{2x}}-7{{\left( \frac{2}{18} \right)}^{x}}-18=0\)

\({{\left( \frac{1}{9} \right)}^{2x}}-7{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}-18=0\)

Как можно заметить, произведя замену \(t={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\), мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль — \({{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\) всегда строго больше нуля):

\(t={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}>0\)

\({{t}^{2}}-7t-18=0\)

По теореме Виета:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\left( -7 \right)\\{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}=-18\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=9\\{{t}_{2}}=-2\end{array} \right.\)

Корень \({{t}_{2}}=-2\) не удовлетворяет условию \(t>0\). Произведем обратную замену \({{t}_{1}}\) и найдем \(x\):

\(t={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}=9\)

\({{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{-1}}\)

\(x=-1\)

Ответ: \(-1\).

Пример 8.

Решите уравнение \(4\cdot {{9}^{2x}}+{{144}^{x}}-3\cdot {{16}^{2x}}=0\)

Представим \({{144}^{x}}\) как \({{9}^{x}}\cdot {{16}^{x}}\):

\(4\cdot {{9}^{2x}}+{{144}^{x}}-3\cdot {{16}^{2x}}=0\)

Разделим уравнение на \({{16}^{2x}}\):

\(\frac{4\cdot {{9}^{2x}}}{{{16}^{2x}}}+\frac{{{9}^{x}}\cdot {{16}^{x}}}{{{16}^{2x}}}-\frac{3\cdot {{16}^{2x}}}{{{16}^{2x}}}=0\)

\(4\cdot {{\left( \frac{9}{16} \right)}^{2x}}+{{\left( \frac{9}{16} \right)}^{x}}-3=0\)

Произведем замену \(t={{\left( \frac{9}{16} \right)}^{x}}>0\) и решим квадратное уравнение:

\(\begin{array}{l}4\cdot {{t}^{2}}+t-3=0\\D={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4\cdot 4\cdot \left( -3 \right)=1+48=49\\t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm 7}{8}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=\frac{3}{4}\\{{t}_{2}}=-1\end{array} \right.\end{array}\)

Корень \({{t}_{2}}=-1\) не удовлетворяет условию \(t>0\). Произведем обратную замену \({{t}_{1}}\) и найдем \(x\):

\(t={{\left( \frac{9}{16} \right)}^{x}}=\frac{3}{4}\)

\({{\left( \frac{{{3}^{2}}}{{{4}^{2}}} \right)}^{x}}=\frac{3}{4}\)

\({{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2x}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{1}}\)

\(2x=1\)

\(x=0,5\)

Ответ: \(0,5\)

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий