Однородные уравнения. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Однородные уравнения – это уравнения вида $latex {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0$ с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Пример 1.

$latex {{a}^{2}}-4ab+3{{b}^{2}}=0$

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида $latex {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0$…

Стоп! Давай всетаки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

$latex {{k}_{0}}{{x}^{n}}$

На первом месте должна идти первая переменная в степени $latex n$ с некоторым коэффициентом. В нашем случае это $latex 1\cdot {{a}^{2}},\ \ k=1,\ \ x=a,\ \ n=2$

$latex {{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y$

Дальше идет первая переменная в степени $latex n-1$ и вторая переменная в первой степени.

В нашем случае это $latex -4ab$. Как мы выяснили, $latex n=2$, значит здесь степень $latex n-1=1$ при первой переменной $latex \left( a \right)$ – сходится. И вторая переменная $latex \left( b \right)$ в первой степени – на месте. Коэффициент $latex k=$$latex -4$.

$latex {{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}$

У нас это $latex 3{{b}^{2}}$.

Первая переменная $latex \left( a \right)$ в степени $latex n-2=0$, и вторая переменная $latex \left( b \right)$ в квадрате, с коэффициентом $latex \left( 3 \right)$. Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные $latex (a$ и $latex b)$. Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

$latex {{a}^{2}}$ — сумма степеней равна $latex 2$.

$latex -4ab$ — сумма степеней равна $latex 2$ ($latex 1$ при $latex a$ и $latex 1$ при $latex b$).

$latex 3{{b}^{2}}$ — сумма степеней равна $latex 2$.

Как видишь, все сходится!!!

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Определи, какие из уравнений – однородные:

  1. $latex 4{{x}^{2}}+3xy\ -5{{y}^{2}}=0$
  2. $latex 2{{x}^{2}}+\ 7xy+3{{y}^{2}}=0$
  3. $latex {{x}^{2}}+3xy\ -6{{y}^{2}}=0$
  4. $latex 3{{x}^{2}}+\frac{x}{y}-2{{y}^{2}}=0$
  5. $latex \ \frac{3{{x}^{2}}}{y}+2xy-13{{y}^{2}}=0$
  6. $latex 3{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}y+4x{{y}^{2}}-12{{y}^{3}}=0$
  7. $latex 24{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4xy+5x{{y}^{2}}-7{{y}^{3}}=0$
  8. $latex 8{{y}^{3}}+11{{x}^{2}}y-{{y}^{2}}x+12{{x}^{3}}=0$
  9. $latex {{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0$
  10. $latex {{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x-2{{\sin }^{2}}x=0$
  11. $latex 25\cdot {{4}^{x}}+3\cdot {{6}^{x}}=11\cdot {{9}^{x}}$

Однородные уравнения — уравнения под номерами:

$latex 1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }6,\text{ }8,\text{ }9,\text{ }11.$

Рассмотрим отдельно $latex 11$ уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим

$latex \begin{array}{l}11.\ 25\cdot {{4}^{x}}+3\cdot {{6}^{x}}=11\cdot {{9}^{x}}\\\ \ \ \ 25\cdot {{2}^{2x}}+3\cdot {{3}^{x}}\cdot {{2}^{x}}-11\cdot {{3}^{2x}}=0\end{array}$

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Как решать однородные уравнения?

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени $latex n$ и дальнейшей заменой переменных.

Пример 2.

$latex {{x}^{2}}-7xy+10{{y}^{2}}=0$

Найдите $latex \displaystyle \frac{x}{y}$.

Разделим уравнение на $latex {{y}^{2}}$.

Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна $latex 0$. Например, если нас просят найти $latex \frac{x}{y}$, то мы сразу понимаем, что $latex y\ne 0$, поскольку на $latex 0$ делить нельзя. Когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай, когда эта переменная равна $latex 0$.

У нас по условию y не может быть равен $latex 0$. Поэтому мы можем смело делить на $latex {{y}^{2}}$

$latex \frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}-\frac{7xy}{{{y}^{2}}}+\frac{10{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}=0$

$latex {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}-7\left( \frac{x}{y} \right)+10=0$

Произведя замену $latex t=\frac{x}{y}$, мы получим простое квадратное уравнение:

$latex {{t}^{2}}-7t+10=0$

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

$latex \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=7\\{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}=10\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=2\\{{t}_{2}}=5\end{array} \right.$

Произведя обратную замену, получаем ответ

$latex \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y}=2\\\frac{x}{y}=5\end{array} \right.$

Ответ: $latex 2;5$

Пример 3.

$latex 3{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}=0$

$latex \ \frac{x}{y}.$

Разделим уравнение на $latex {{y}^{2}}$ ($latex y\ne 0$ по условию).

$latex 3{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}=0$

$latex 3\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}-2\frac{xy}{{{y}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}=0$

$latex 3{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}-2\left( \frac{x}{y} \right)-1=0$

Произведем замену $latex t=\frac{x}{y}$ и решим квадратное уравнение:

$latex 3{{t}^{2}}-2t-1=0$

$latex D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -2 \right)}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -1 \right)=4+12=16$

$latex t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm 4}{6}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=1\\{{t}_{2}}=-\frac{1}{3}\end{array} \right.$

Произведя обратную замену, получим ответ:

$latex \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y}=1\\\frac{x}{y}=-\frac{1}{3}\end{array} \right.$

Ответ: $latex -\frac{1}{3};\ \ 1$

Пример 4.

Найдите $latex xy$, если $latex 3{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}-\frac{8}{{{y}^{2}}}=0$.

Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на $latex {{y}^{2}}$:

$latex 3{{x}^{2}}\cdot {{y}^{2}}+5\frac{x\cdot {{y}^{2}}}{y}-\frac{8\cdot {{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}=0$

$latex 3{{\left( xy \right)}^{2}}+5xy-8=0$

Произведем замену $latex t=xy$ и решим квадратное уравнение:

$latex 3{{t}^{2}}+5t-8=0$

$latex D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -8 \right)=25+96=121$

$latex t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm 11}{2\cdot 3}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=1\\{{t}_{2}}=-\frac{8}{3}\end{array} \right.$

Произведя обратную замену, получим ответ:

$latex \left[ \begin{array}{l}xy=1\\xy=-\frac{8}{3}\end{array} \right.$

Ответ: $latex -\frac{8}{3};\ \ 1$

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше. Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел «Тригонометрические уравнения»).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Пример 5.

Решите уравнение $latex {{\sin }^{2}}x-3\sin x\cdot \cos x-4{{\cos }^{2}}x=0$.

Мы видим типичное однородное уравнение: $latex \sin x$ и $latex \cos x$ – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна $latex 2$.

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на $latex {{\cos }^{2}}x$, рассмотрим случай, когда $latex \cos x=0$

В этом случае уравнение примет вид: $latex {{\sin }^{2}}x=0$, значит $latex \sin x=0$. Но синус и косинус не могут одновременно быть равны $latex 0$, ведь по основному тригонометрическому тождеству $latex {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1$. Поэтому $latex \cos x\ne 0$, и на него можно смело делить:

$latex \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3\sin x\cdot \cos x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{4{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=0$

$latex t{{g}^{2}}x-3tgx-4=0$

Сделаем замену $latex t=tgx$ и решим квадратное уравнение:

$latex {{t}^{2}}-3t-4=0$

Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:

$latex \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3\\{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}=-4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=-1\\{{t}_{2}}=4\end{array} \right.$

Сделаем обратную замену и найдем $latex {{x}_{1}}$ и $latex {{x}_{2}}$:

$latex \left[ \begin{array}{l}tg{{x}_{1}}=-1\\tg\,{{x}_{2}}=4\end{array} \right.\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-\frac{\pi }{4}+\pi n\\{{x}_{2}}=arctg4+\pi k\end{array} \right.\text{  }n,\ k\in \mathbb{Z}.$

Ответ: $latex -\frac{\pi }{4}+\pi n;\ \ arctg4+\pi k,\ \ n,\ k\in \mathbb{Z}$

Пример 6.

Решите уравнение $latex 5{{\sin }^{2}}x-2\sin x\cdot \cos x-3{{\cos }^{2}}x=0$.

Как и в примере $latex 5$, нужно разделить уравнение на $latex {{\cos }^{2}}x$. Рассмотрим случай, когда $latex \cos x=0$ :

$latex \cos x=0$

$latex 5{{\sin }^{2}}x-2\cdot 0-3\cdot 0=0$

$latex 5{{\sin }^{2}}x=0$

$latex \sin x=0$

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны $latex 0$, ведь по основному тригонометрическому тождеству $latex {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1$. Поэтому $latex \cos x\ne 0$.

$latex \frac{5{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{2\sin x\cdot \cos x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=0$

$latex 5\cdot {{\left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)}^{2}}-2\cdot \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)-3=0$

$latex 5t{{g}^{2}}\,x-2tg\,x-3=0$

Сделаем замену $latex t=tgx$ и решим квадратное уравнение:

$latex 5{{t}^{2}}-2t-3=0$

$latex D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -2 \right)}^{2}}-4\cdot 5\cdot \left( -3 \right)=4+60=64$

$latex tg\,x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm 8}{10}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=1\\{{t}_{2}}=-0,6\end{array} \right.$

Сделаем обратную замену и найдем $latex {{x}_{1}}$ и $latex {{x}_{2}}$:

$latex \left[ \begin{array}{l}tg\,{{x}_{1}}=1\\tg\,{{x}_{2}}=-0,6\end{array} \right.=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{\pi }{4}+\pi n\\{{x}_{2}}=-arctg\,0,6+\pi k\end{array} \right.\ \ n,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $latex \frac{\pi }{4}+\pi n;\ \ \ -arctg0,6+\pi k,\ n,k\in \mathbb{Z}$

Решение однородных показательных уравнений.

Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения – посмотри соответствующий раздел («Показательные уравнения»)!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 7.

Решите уравнение $latex {{2}^{2x}}-7\cdot {{36}^{x}}-18\cdot {{18}^{2x}}=0$

Представим $latex {{36}^{x}}$ как $latex {{18}^{x}}\cdot {{2}^{x}}$:

$latex {{2}^{2x}}-7\cdot {{18}^{x}}\cdot {{2}^{x}}-18\cdot {{9}^{2x}}=0$

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней $latex 2x$. Разделим уравнение на $latex {{18}^{2x}}$:

$latex \frac{{{2}^{2x}}}{{{18}^{2x}}}-\frac{7\cdot {{18}^{x}}\cdot {{2}^{x}}}{{{18}^{2x}}}-\frac{18\cdot {{9}^{2x}}}{{{18}^{2x}}}=0$

$latex {{\left( \frac{2}{18} \right)}^{2x}}-7{{\left( \frac{2}{18} \right)}^{x}}-18=0$

$latex {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{2x}}-7{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}-18=0$

Как можно заметить, произведя замену $latex t={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}$, мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль — $latex {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}$ всегда строго больше нуля):

$latex t={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}>0$

$latex {{t}^{2}}-7t-18=0$

По теореме Виета:

$latex \left\{ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\left( -7 \right)\\{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}=-18\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=9\\{{t}_{2}}=-2\end{array} \right.$

Корень $latex {{t}_{2}}=-2$ не удовлетворяет условию $latex t>0$. Произведем обратную замену $latex {{t}_{1}}$ и найдем $latex x$:

$latex t={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}=9$

$latex {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{-1}}$

$latex x=-1$

Ответ: $latex -1$.

Пример 8.

Решите уравнение $latex 4\cdot {{9}^{2x}}+{{144}^{x}}-3\cdot {{16}^{2x}}=0$

Представим $latex {{144}^{x}}$ как $latex {{9}^{x}}\cdot {{16}^{x}}$:

$latex 4\cdot {{9}^{2x}}+{{144}^{x}}-3\cdot {{16}^{2x}}=0$

Разделим уравнение на $latex {{16}^{2x}}$:

$latex \frac{4\cdot {{9}^{2x}}}{{{16}^{2x}}}+\frac{{{9}^{x}}\cdot {{16}^{x}}}{{{16}^{2x}}}-\frac{3\cdot {{16}^{2x}}}{{{16}^{2x}}}=0$

$latex 4\cdot {{\left( \frac{9}{16} \right)}^{2x}}+{{\left( \frac{9}{16} \right)}^{x}}-3=0$

Произведем замену $latex t={{\left( \frac{9}{16} \right)}^{x}}>0$ и решим квадратное уравнение:

$latex \begin{array}{l}4\cdot {{t}^{2}}+t-3=0\\D={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4\cdot 4\cdot \left( -3 \right)=1+48=49\\t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm 7}{8}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=\frac{3}{4}\\{{t}_{2}}=-1\end{array} \right.\end{array}$

Корень $latex {{t}_{2}}=-1$ не удовлетворяет условию $latex t>0$. Произведем обратную замену $latex {{t}_{1}}$ и найдем $latex x$:

$latex t={{\left( \frac{9}{16} \right)}^{x}}=\frac{3}{4}$

$latex {{\left( \frac{{{3}^{2}}}{{{4}^{2}}} \right)}^{x}}=\frac{3}{4}$

$latex {{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2x}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{1}}$

$latex 2x=1$

$latex x=0,5$

Ответ: $latex 0,5$

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий