​

Решение показательных уравнений, основанное на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых.

Не пугайся моих слов, ты уже сталкивался с этим методом в 7 классе, когда изучал многочлены.

Например, если тебе требовалось разложить на множители выражение:

 

Давай сгруппируем: первое и третье слагаемое, а также второе и четвертое.

Ясно, что первое и третье – это разность квадратов:

 ,

а второе и четвертое имеют общий множитель тройку:

 

Тогда исходное выражение равносильно такому:

 ,

Откуда вынести общий множитель уже не представляет труда:

 

Следовательно,

 

Вот примерно таким образом мы и будем поступать при решении показательных уравнений: искать «общность» среди слагаемых и выносить ее за скобки, ну а потом – будь что будет, я верю, что нам будет везти =))

Пример №14

 

Справа стоит далеко не степень семерки (я проверял!) Да и слева – немногим лучше...

Можно, конечно, «оттяпать» от первого слагаемого множитель   а от второго  , а затем уже разбираться с полученным, но давай с тобой поступим благоразумнее.

Я не хочу иметь дело с дробями, которые неизбежно образуются при «выделении»  , так не лучше ли мне вынести  ?

Тогда дробей у меня не будет: как говорится, и волки сыты и овцы целы:

 

Посчитай выражение в скобках.

Волшебным, магическим образом получается, что   (удивительно, хотя чего нам еще ждать?).

Тогда сократим обе части уравнения на этот множитель. Получим:  , откуда  .

Вот пример посложнее (совсем немного, правда):

 

Вот беда-то! У нас здесь нет одного общего основания!

Не совсем ясно, что же теперь делать.

А давай сделаем, что сможем: во-первых перенесем «четверки» в одну сторону, а «пятерки» в другую:

 

Теперь давай вынесем «общее» слева и справа:

 

Ну и что теперь?

В чем выгода от такой бестолковой группировки? На первый взгляд она совсем не видна, однако давай глянем глубже:

 

Ну а теперь сделаем так, чтобы слева у нас было только выражение с  , а справа – все остальное.

Как нам это сделать?

А вот как: Разделить обе части уравнения сначала на   (так мы избавимся от степени справа), а затем разделим обе части на   ( так мы избавимся от числового множителя слева).

Окончательно получим:

 

Невероятно!

Cлева у нас стоит выражение  , а справа – просто   .

Тогда тут же делаем вывод, что  

Пример №15

 

Я приведу его краткое решение (не особо утруждая себя пояснениями), постарайся сам разобраться во всех «тонкостях» решения.

 

 

 

 

 

 

 

Теперь итоговое закрепление пройденного материала.

Самостоятельно решение следующих 7-ми задач (с ответами)

Я лишь приведу краткие рекомендации и советы к их решению:

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  

Краткие рекомендации к решению:

1. Вынесем общий множитель   за скобки:   Откуда  
2. Первое выражение представим в виде:   , разделим обе части на   и получим, что  
3.   ,  ,  , тогда исходное уравнение преобразуется к виду:   Ну а теперь подсказка – ищи, где мы с тобой уже решали это уравнение!
4. Представь   как  ,   как  , а  , ну а затем подели обе части на  , так ты получишь простейшее показательное уравнение.
5. Вынеси  за скобки.
6. Вынеси   за скобки.

 

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Я предполагаю, что после ознакомления с первой статьей, в которой рассказывалось что такое показательные уравнения и как их решать, ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров.

Теперь я разберу еще один метод решения показательных уравнений, это...

Метод введения новой переменной (или замены)

Им решается большинство «трудных» задач, на тему показательные уравнения (и не только уравнения). 

Этот способ – один из наиболее часто употребляемых на практике. Сперва рекомендую ознакомиться с темой «Замена переменных».

Как ты уже понял из названия, суть этого метода – ввести такую замену переменной, что твое показательное уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.

Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» - это сделать «обратную замену»: то есть вернуться от замененного к заменяемому.

Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

Пример 16. Метод простой замены

 

Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики.

В самом деле, замена здесь – самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

 

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

 

Если же дополнительно представить   как  , то совершенно ясно, что надо заменять...

Конечно же,  .

Во что тогда превратится исходное уравнение? А вот во что:

 

Ты без проблем самостоятельно отыщешь его корни:  .

Что нам делать теперь?

Пришло время возвращаться к исходной переменной  .

А что я забыл указать?

Именно: при замене некоторой степени на новую переменную (то есть при замене вида  ), меня будут интересовать только положительные корни! 

Ты и сам без труда ответишь, почему.

Таким образом,   нас с тобой не интересует, а вот второй корень нам вполне подходит:

 , тогда  , откуда  .

Ответ:  

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда.

Однако, давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой

Пример 17. Метод простой замены 

 

Ясно, что скорее всего заменять придется   (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение).  

Однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно:  ,  .

Тогда можно заменять  , в результате я получу следующее выражение:

 

 

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде).

Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать.

Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить   в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?).

А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).

Первое предположение  . Не является корнем. Увы и ах…

 .
Левая часть равна  .
Правая часть:  !

Есть! Угадали первый корень. Теперь дело пойдет легче!

Ты знаешь, про схему деления «уголком»? Конечно знаешь, ты применяешь ее, когда делишь одно число на другое.

Но немногие знают, что то же самое можно делать и с многочленами.

Есть одна замечательная теорема:

Если   – корень многочлена  , то   делится без остатка на  .

Применимо к моей ситуации это говорит мне о том, что   делится без остатка на  .

Как же осуществляется деление? А вот как:

Я смотрю, на какой одночлен я должен домножить  , чтобы получить   

Ясно, что на  , тогда:

 .

Вычитаю полученное выражение из  , получу:

 .

Теперь, на что мне нужно домножить  , чтобы получить  ?

Ясно, что на  , тогда получу:

 

и опять вычту полученное выражение из оставшегося:

 .

Ну и последний шаг, домножу   на  , и вычту из оставшегося выражения:

 .

Ура, деление окончено! Что мы накопили в частном?

Само собой:  .

Тогда получили вот такое разложение исходного многочлена:

 .

Решим второе уравнение:

 .

Оно имеет корни:

 .

Тогда исходное уравнение:

 

имеет три корня:

 .

Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля.

А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

 .

Ответ:  ..

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!

Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.

Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

Пример №18 (с менее очевидной заменой)

 

Совершенно не ясно, что нам делать: проблема в том, что в нашем уравнении два разных основания и одно основание не получается из другого возведением ни в какую (разумную, естественно) степень.

Однако, что мы видим?
 

Оба основания – отличаются только знаком, а их произведение – есть разность квадратов, равная единице:

 

Определение:

Числа  ,  такие, что  , называются сопряженными.

Таким образом, числа, являющиеся основаниями в нашем примере – сопряженные.

В таком случае разумным шагом будет домножить обе части уравнения на сопряженное число.

Например, на  , тогда левая часть уравнения станет равна  , а правая  .

Если сделать замену  , то наше с тобой исходное уравнение станет вот таким:

 

его корни ,  , тогда  , а помня, что  , получим, что  .

Ответ:  , .

Как правило, метода замены оказывается достаточно, для решения большинства «школьных» показательных уравнений.

Следующие задачи повышенного уровня сложности взяты из вариантов ЕГЭ.

Три задачи повышенной сложности из вариантов ЕГЭ

Ты уже достаточно грамотный для того, чтобы самостоятельно решать данные примеры. Я лишь приведу требуемую замену.

1. Решите уравнение:  
2. Найдите корни уравнения:  
3. Решите уравнение:  . Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку:  

А теперь краткие пояснения и ответы:

 

Пример №19

 Здесь нам достаточно заметить, что   и  .

Тогда исходное уравнение будет эквивалентно вот такому: 

 

 Данное уравнение решается заменой  

 

 Дальнейшие выкладки проделай самостоятельно.

В конце твоя задача сведется к решению простейших тригонометрических (зависящих от синуса или косинуса). Решение подобных примеров мы разберем в других разделах.

Пример №20

Здесь даже можно обойтись без замены... 

Достаточно перенести вычитаемое вправо и представить оба основания через степени двойки:   , а затем сразу перейти к квадратному уравнению.

Пример №21

Тоже решается довольно стандартно: представим   как  .

Тогда заменив   получим квадратное уравнение:  тогда ,  

Ты ведь уже знаешь, что такое логарифм? Нет? Тогда срочно читай тему «Логарифмы»!

Первый корень, очевидно, не принадлежит отрезку   а второй – непонятно!

Но мы это очень скоро узнаем!

Так как  , то   (это свойство логарифма!)

Сравним:

  и  

Вычтем из обеих частей  , тогда получим:

  и  

Левую часть можно представить в виде:

  и  

домножим обе части на  :

  и  

  и  

или

  и  

  можно домножить на  , тогда  

Тогда сравним:

  и  

или

  и  

так как  , то:

 

Тогда второй корень принадлежит искомому промежутку

 .

Ответ:  

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов, так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения.

Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано!

Как говорила моя учительница по математике: «математику, как историю, за ночь не прочитаешь».

Как правило, всю сложность при решении задач повышенного уровня сложности составляет именно отбор корней уравнения. 

Еще один пример для тренировки...

Пример 22

  при  

Ясно, что само уравнение решается довольно просто.

Сделав замену   мы сведем наше исходное уравнение к следующему:

 

 

Тогда  

Вначале давай рассмотрим первый корень.

Сравним   и  : так как  , то  . (свойство логарифмической функции  , при  ).

Тогда ясно, что  и первый корень не принадлежит нашему промежутку.

Теперь второй корень:  . Ясно, что   (так как функция  при   – возрастающая).

Осталось сравнить   и  .

  и  

так как  , то  , в то же время  .

Таким образом, я могу «вбить колышек» между   и  .

Этим колышком является число  .

Первое выражение меньше  , а второе – больше.

Тогда второе выражение больше первого и корень   принадлежит промежутку  .

Ответ:  .

В завершение давай рассмотрим еще один пример уравнения, где замена достаточно нестандартна.

Пример №23 (Уравнение с нестандартной заменой!)

 

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что – в принципе можно, но лучше не делать.

Можно – представить все через степени тройки, двойки и шестерки.

К чему это приведет?

Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться.

А что же тогда нужно?

Давай заметим, что   а   

И что нам это даст?

А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения!

Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:

 

Такие уравнения называются однородными (подробнее читай в теме «Однородные уравнения»).

Теперь разделим обе части получившегося уравнения на  :

 

Эврика! Теперь можно заменять  , получим:

 

 

  ,

откуда:

 

 ;

 .

Ну что, теперь твоя очередь решать задачки на показательные, а я приведу к ним лишь краткие комментарии, чтобы ты не сбился с верного пути! Удачи!

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  

Пример №24

Самая трудная!

Замену здесь усмотреть ох как негелко! Но тем не менее этот пример вполне решаем при помощи выделения полного квадрата.

Для его решения достаточно заметить, что:

 

 , тогда

 

Тогда вот тебе и замена:  

 

  (Обрати внимание, что здесь при нашей замене мы не можем отбрасывать отрицательный корень!!! А почему, как ты думаешь?)

Теперь для решения примера тебе осталось решить два уравнения:

 

 

Оба они решаются «стандартной заменой» (зато второй в одном примере!)  

Пример №25

2. Заметь, что   и сделай замену  .

Пример №26

3. Разложи число   на взаимно-простые сомножители и упрости полученное выражение.

Пример №27

4. Подели числитель и знаменатель дроби на   (или  , если тебе так больше по душе) и сделай замену   или  .

Пример №28

5. Заметь, что числа   и   – сопряженные.

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ. ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В дополнение давай рассмотрим еще один способ - решение показательных уравнений методом логарифмирования.

Не могу сказать, что решение показательных уравнений этим методом очень уж популярно, однако в некоторых случаях только он способен привести нас к правильному решению нашего уравнения.

Особенно часто он используется для решения так называемых «смешанных уравнений»: то есть таких, где встречаются функции разного вида.

Пример №29

 , причем  ,   

в общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию  ), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

 

Давай рассмотрим следующий пример:

 

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только  .

Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине.

Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию  :

 

 

 

 

 

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу.

Давай потренируемся еще на одном примере.

Пример №30

 

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию  , тогда получим:

 

 

 

Сделаем замену:  

 

Тогда  

Однако, мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах? Ведь   тогда:

  что не удовлетворяет требованию   (подумай откуда оно взялось!)

Ответ:  

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений приведенных ниже:

1.  
2.  

А теперь сверь свое решение с этим:

Пример №31

Логарифмируем обе части по основанию  , учитывая, что  :

 

 , замена  

 

  (второй корень нам не подходит ввиду замены)

 

Пример №32

Логарифмируем по основанию  :

 

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

 

 

 

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Показательное уравнение

Уравнение вида:

 , где  

называется простейшим показательным уравнением.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Подходы к решению

• Приведение к одинаковому основанию
• Приведение к одинаковому показателю степени
• Замена переменной
• Упрощение выражения и применение одного из вышеназванных.