Показательные уравнения. Начальный уровень.

Привет! Сегодня мы обсудим с тобой, как решать уравнения, которые могут быть как элементарными (а я надеюсь, что после прочтения этой статьи почти что все они и будут для тебя таковыми), так и такими, которые обычно дают «на засыпку». Видимо, чтобы засыпать окончательно. Но я постараюсь сделать все возможное, чтобы уж теперь ты не попал впросак, столкнувшись с таким типом уравнений. Я не буду больше ходить вокруг да около, а сразу открою маленький секрет: сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.

Прежде чем переходить к разбору способов их решений, я сразу обрисую перед тобой круг вопросов (достаточно небольшой), который тебе стоит повторить, прежде чем бросаться на штурм этой темы. Итак, для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

1. Свойства степени и корня
2. Решение линейных и квадратных уравнений
3. Разложение на множители 

Повторил? Замечательно! Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения   является число  . Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно   в третьей степени? Ты абсолютно прав:  . А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что  . Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я   раз умножаю само на себя число   и получаю в результате  . Спрашивается, сколько раз я умножил   само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\begin{align} & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end{align}

Тогда ты можешь сделать вывод, что   само на себя я умножал   раза. Как еще это можно проверить? А вот как: непосредственно по определению степени:  . Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем  , ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать   само на себя до посинения. И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

 

где   – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь   само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что  , тогда моя задачка запишется в виде:

 , откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

 .

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

 

И даже нашел его корень  . Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же. Вот тебе еще один пример:

 .

Но что же делать? Ведь   нельзя записать в виде степени (разумной) числа  . Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа. Какого? Верно:  . Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

 

Откуда, как ты уже понял,   . Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Показательные уравнения - уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени. Уравнение вида:  , где   называется простейшим показательным уравнением.

В нашем с тобой случае:  .

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

 c последующим решением уравнения  

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что  . И мы решали с тобой простейшее уравнение  .

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах:

 

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа. Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число  . Но, ничего страшного, ведь  , и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

 

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом? Правило «степени в степени», которое гласит:

Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:
\begin{align} & 5x+2=4({x} -1), \\ & 5x+2=4{x} -4, \\ & 5{x} -4{x} =-4-2, \\ & x=-6. \\ \end{align}

Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например с таким уравнением?

 

Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:

для любого положительного числа   выполняется:   поэтому, уравнение   равносильно  , откуда  .

А что если:

 

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше  , тем меньше значение  , но тем не менее, все эти значения больше нуля. И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА!!! Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!!   (для любых   и  ). Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении  ? А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение  . Теперь давай потренируемся и порешаем простые примерчики:

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!) Как правило, все приводят к наименьшему основанию:  ,  . Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему:   Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней: при умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении – вычитаются. Тогда я получу:   Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному: \begin{align}
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
& x=0. \\
\end{align}

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить   и   в виде степени одного и того же числа. В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

 

Левая часть уравнения примет вид:   Что же нам это дало? А вот что: Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать.При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:

 

Применительно к моей ситуации это даст:

 \begin{align}
& 4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}=6400, \\
& 4\cdot {{(64\cdot 25)}^{x}}=6400, \\
& {{1600}^{x}}=\frac{6400}{4}, \\
& {{1600}^{x}}=1600, \\
& x=1. \\
\end{align}

Неплохо, правда?

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай). Перенесу слагаемое с минусом вправо:

 

Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:

 

Сложу степени слева и получу равносильное уравнение

 

 Ты без труда найдешь его корень:

 

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!

 

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего? Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав: . Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем!

 

Мне кажется, дальше ты понял=)

 .

5.  .

Тут опять-таки все ясно: (если ты не понял, каким волшебным образом я получил последнее равенство, оторвись на минуту, передохни и прочитай свойства степени еще раз очень внимательно. Кто говорил, что можно пропускать степень с отрицательным показателем? Ну вот и я о том же, что никто). Теперь я получу:

\begin{align}
& {{2}^{4\left( {x} -9 \right)}}={{2}^{-1}} \\
& 4({x} -9)=-1 \\
& x=\frac{35}{4}. \\
\end{align}

Вот тебе задачки для тренировки, к которым я лишь приведу ответы (но в «перемешанном» виде). Порешай их, сверься, и мы с тобой продолжим наши изыскания!

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  

Готов? Ответы вот такие:

1. любое число
2.   и  
3.  
4.  
5.   и  .

Ну ладно, ладно, я пошутил! Вот вам наброски решений (некоторые – весьма краткие!)

1.  
 .

Тебе не кажется неслучайным, что одна дробь слева – это «перевернутая» другая? Грех будет этим не воспользоваться:

Это правило очень часто используется при решении показательных уравнений, запомни его хорошенько!

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

 ,

откуда

 .

 Решив это квадратное уравнение, ты получишь вот такие корни:

 

2. Еще один прием решения: деление обеих частей уравнения на выражение, стоящее слева (или справа). Разделю на то, что справа, тогда получу:

 

Откуда   (почему?!)

3.   даже не хочу повторятся, настолько все уже «разжевано».
 

4.   равносильно квадратному уравнению  , корни  

5. Нужно воспользоваться формулой, приведенной в первой задаче, тогда получишь, что:

 

 

 

Уравнение превратилось в тривиальное тождество, которое верно при любом  . Тогда ответ – это любое действительное число.

Ну что же, вот ты и потренировался решать простейшие показательные уравнения. Теперь я хочу тебе привести несколько жизненных примеров, которые помогут тебе понять, а для чего они нужны в принципе. Здесь я приведу два примера. Один из них вполне повседневен, ну а другой – скорее имеет научный, нежели практический интерес.

Пример 1 (меркантильный) Пусть у тебя есть   рублей, а тебе хочется превратить его в   рублей. Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под   годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением). Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму? Вполне приземленная задача, не так ли? Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения: Пусть   – начальная сумма,   – конечная сумма,   – процентная ставка за период,   – количество периодов. Тогда:

 

В нашем случае   (если ставка   годовых, то за месяц начисляют  ). А почему   делится на  ? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»! Тогда мы получим вот такое уравнение:

 

 

Данное показательное уравнение уже можно решить только при помощи калькулятора (его внешний вид на это намекает, причем для этого требуется знание логарифмов, с которыми мы познакомимся чуть позже), что я и сделаю:  … Таким образом, для получения   млн. нам потребуется сделать вклад на   месяц (не очень быстро, не правда ли?).

Пример 2 (скорее научный). Несмотря на его, некоторую «оторванность», рекомендую тебе обратить на него внимание: он регулярно «проскальзывает в ЕГЭ!! (задача взята из «реального» варианта) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону  , где   (мг) — начальная масса изотопа,   (мин.) — время, прошедшее от начального момента,   (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа   мг. Период его полураспада   мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна   мг? Ничего страшного: просто берем и подставляем все данные в предложенную нам формулу:

 

Разделим обе части на  , «в надежде», что слева мы получим что-нибудь удобоваримое:

 

 Ну что же, нам очень повезло! Слева стоит  , тогда перейдем к равносильному уравнению:

 , откуда   мин.

Как видишь, показательные уравнения имеют вполне реальное приложение на практике. Теперь я хочу разобрать с тобой еще один (нехитрый) способ решения показательных уравнений, который основан на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых. Не пугайся моих слов, ты уже сталкивался с этим методом в 7 классе, когда изучал многочлены. Например, если тебе требовалось разложить на множители выражение:

 

Давай сгруппируем: первое и третье слагаемое, а также второе и четвертое. Ясно, что первое и третье – это разность квадратов:

 ,

а второе и четвертое имеют общий множитель тройку:

 

Тогда исходное выражение равносильно такому:

 ,

Откуда вынести общий множитель уже не представляет труда:

 

Следовательно,

 

Вот примерно таким образом мы и будем поступать при решении показательных уравнений: искать «общность» среди слагаемых и выносить ее за скобки, ну а потом – будь что будет, я верю, что нам будет везти =)) Например:

 

Справа стоит далеко не степень семерки (я проверял!) Да и слева – немногим лучше, можно, конечно, «оттяпать» от первого слагаемого множитель   а от второго  , а затем уже разбираться с полученным, но давай с тобой поступим благоразумнее. Я не хочу иметь дело с дробями, которые неизбежно образуются при «выделении»  , так не лучше ли мне вынести  ? Тогда дробей у меня не будет: как говорится, и волки сыты и овцы целы:

 

Посчитай выражение в скобках. Волшебным, магическим образом получается, что   (удивительно, хотя чего нам еще ждать?).

Тогда сократим обе части уравнения на этот множитель. Получим:  , откуда  .

Вот пример посложнее (совсем немного, правда):

 

Вот беда-то! У нас здесь нет одного общего основания! Не совсем ясно, что же теперь делать. А давай сделаем, что сможем: во-первых перенесем «четверки» в одну сторону, а «пятерки» в другую:

 

Теперь давай вынесем «общее» слева и справа:

 

Ну и что теперь? В чем выгода от такой бестолковой группировки? На первый взгляд она совсем не видна, однако давай глянем глубже:

 

Ну а теперь сделаем так, чтобы слева у нас было только выражение с  , а справа – все остальное. Как нам это сделать? А вот как: Разделить обе части уравнения сначала на   (так мы избавимся от степени справа), а затем разделим обе части на   ( так мы избавимся от числового множителя слева). Окончательно получим:

 

Невероятно! Cлева у нас стоит выражение  , а справа – просто   . Тогда тут же делаем вывод, что  

Вот тебе еще один пример на закрепление:

 

Я приведу его краткое решение (не особо утруждая себя пояснениями), постарайся сам разобраться во всех «тонкостях» решения.

 

 

 

 

 

 

 

Теперь итоговое закрепление пройденного материала. Постарайся самостоятельно решить следующие задачи. Я лишь приведу краткие рекомендации и советы к их решению:

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  

Краткие рекомендации к решению:

1. Вынесем общий множитель   за скобки:   Откуда  
2. Первое выражение представим в виде:   , разделим обе части на   и получим, что  
3.   ,  ,  , тогда исходное уравнение преобразуется к виду:   Ну а теперь подсказка – ищи, где мы с тобой уже решали это уравнение!
4. Представь   как  ,   как  , а  , ну а затем подели обе части на  , так ты получишь простейшее показательное уравнение.
5. Вынеси  за скобки.
6. Вынеси   за скобки.