Показательные уравнения. Исчерпывающее руководство (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Привет!

Сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.

Как элементарными, так и такими, которые обычно дают на ЕГЭ «на засыпку».

Прямо с прошлых вариантов ЕГЭ.

Впрочем после прочтения этой статьи  все они станут для тебя элементарными.

Почему?

Потому что ты сможешь проследить шаг за шагом как я думаю, когда я их решаю и научиться думать так же как и я.

Поехали!

Что такое показательные уравнения

Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

1. Свойства степени и корня
2. Решение линейных и квадратных уравнений
3. Разложение на множители 

Повторил? Замечательно!

Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения   является число  .

Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем.

Теперь ответь мне на вопрос, чему равно   в третьей степени? Ты абсолютно прав:  .

А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что  .

Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я   раз умножаю само на себя число   и получаю в результате  .

Спрашивается, сколько раз я умножил   само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\begin{align} & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end{align}

Тогда ты можешь сделать вывод, что   само на себя я умножал   раза.

Как еще это можно проверить?

А вот как: непосредственно по определению степени:  .

Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем  , ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать   само на себя до посинения.

И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

 

где   – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь   само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что  , тогда моя задачка запишется в виде:

 , откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

 .

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

 

И даже нашел его корень  . Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же.

Вот тебе еще один пример:

 .

Но что же делать?

Ведь   нельзя записать в виде степени (разумной) числа  .

Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.

Какого?

Верно:  .

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

 

Откуда, как ты уже понял,   .

Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Показательные уравнения - уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени. Уравнение вида:  , где   называется простейшим показательным уравнением.

В нашем с тобой случае:  .

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

 c последующим решением уравнения  

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что  . И мы решали с тобой простейшее уравнение  .

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах:

 

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа.

Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число  .

Но, ничего страшного, ведь  , и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

 

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом?

Правило «степени в степени», которое гласит:

Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:
\begin{align} & 5x+2=4({x} -1), \\ & 5x+2=4{x} -4, \\ & 5{x} -4{x} =-4-2, \\ & x=-6. \\ \end{align}

Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например с таким уравнением?

 

Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:

для любого положительного числа   выполняется:   поэтому, уравнение   равносильно  , откуда  .

А что если:

 

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше  , тем меньше значение  , но тем не менее, все эти значения больше нуля.

И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА!!!

Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!!   (для любых   и  ).

Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении  ?

А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение  .

Теперь давай потренируемся и порешаем простые примерчики:

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!)

Как правило, все приводят к наименьшему основанию:  ,  .

Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему:   

Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней:

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить   и   в виде степени одного и того же числа.

В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

 

Левая часть уравнения примет вид:   

Что же нам это дало?

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай).

Перенесу слагаемое с минусом вправо:

 

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!

 

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего?
 

 

5.  .

Тут опять-таки все ясно: (если ты не понял, каким волшебным образом я получил последнее равенство, оторвись на минуту, передохни и прочитай свойства степени еще раз очень внимательно.

Кто говорил, что можно пропускать степень с отрицательным показателем? Ну вот и я о том же, что никто). Теперь я получу:

\begin{align}
& {{2}^{4\left( {x} -9 \right)}}={{2}^{-1}} \\
& 4({x} -9)=-1 \\
& x=\frac{35}{4}. \\
\end{align}

Еще показательные уравнения для тренировки

Вот тебе задачки для тренировки, к которым я лишь приведу ответы (но в «перемешанном» виде). Порешай их, сверься, и мы с тобой продолжим наши изыскания!

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  

Готов? Ответы вот такие:

1. любое число
2.   и  
3.  
4.  
5.   и  .

Ну ладно, ладно, я пошутил! Вот вам наброски решений (некоторые – весьма краткие!)

2. Еще один прием решения: деление обеих частей уравнения на выражение, стоящее слева (или справа).

Разделю на то, что справа, тогда получу:

3.   даже не хочу повторятся, настолько все уже «разжевано».
 

4.   равносильно квадратному уравнению  , корни  

5. Нужно воспользоваться формулой, приведенной в первой задаче, тогда получишь, что:

 

 

 

Уравнение превратилось в тривиальное тождество, которое верно при любом  . Тогда ответ – это любое действительное число.

Ну что же, вот ты и потренировался решать простейшие показательные уравнения.

Примеры из жизни по решению показательных уравнений

Теперь я хочу тебе привести несколько жизненных примеров, которые помогут тебе понять, а для чего они нужны в принципе.

Пример 1 (меркантильный)

Пусть у тебя есть   рублей, а тебе хочется превратить его в   рублей.

Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под   годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением).

Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму?

Вполне приземленная задача, не так ли?

Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения: Пусть   – начальная сумма,   – конечная сумма,   – процентная ставка за период,   – количество периодов.

Тогда:

 

В нашем случае   (если ставка   годовых, то за месяц начисляют  ).

А почему   делится на  ? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»!

Тогда мы получим вот такое уравнение:

 

 

Данное показательное уравнение уже можно решить только при помощи калькулятора (его внешний вид на это намекает, причем для этого требуется знание логарифмов, с которыми мы познакомимся чуть позже), что я и сделаю:  …

Таким образом, для получения   млн. нам потребуется сделать вклад на   месяц (не очень быстро, не правда ли?).

 

Пример 2  (регулярно попадается на ЕГЭ!! - задача взята из «реального» варианта)

 

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону  , где   (мг) — начальная масса изотопа,   (мин.) — время, прошедшее от начального момента,   (мин.) — период полураспада.

В начальный момент времени масса изотопа   мг. Период его полураспада   мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна   мг?

Ничего страшного: просто берем и подставляем все данные в предложенную нам формулу:

 

Разделим обе части на  , «в надежде», что слева мы получим что-нибудь удобоваримое:

 

 Ну что же, нам очень повезло! Слева стоит  , тогда перейдем к равносильному уравнению:

 , откуда   мин.

Как видишь, показательные уравнения имеют вполне реальное приложение на практике.

Теперь я хочу разобрать с тобой еще один (нехитрый) способ...

 

Решение показательных уравнений, основанное на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых.

 

Не пугайся моих слов, ты уже сталкивался с этим методом в 7 классе, когда изучал многочлены. Например, если тебе требовалось разложить на множители выражение:

 

Давай сгруппируем: первое и третье слагаемое, а также второе и четвертое.

Ясно, что первое и третье – это разность квадратов:

 ,

а второе и четвертое имеют общий множитель тройку:

 

Тогда исходное выражение равносильно такому:

 ,

Откуда вынести общий множитель уже не представляет труда:

 

Следовательно,

 

Вот примерно таким образом мы и будем поступать при решении показательных уравнений: искать «общность» среди слагаемых и выносить ее за скобки, ну а потом – будь что будет, я верю, что нам будет везти =))

Пример №1

 

Справа стоит далеко не степень семерки (я проверял!) Да и слева – немногим лучше, можно, конечно, «оттяпать» от первого слагаемого множитель   а от второго  , а затем уже разбираться с полученным, но давай с тобой поступим благоразумнее.

Я не хочу иметь дело с дробями, которые неизбежно образуются при «выделении»  , так не лучше ли мне вынести  ?

Тогда дробей у меня не будет: как говорится, и волки сыты и овцы целы:

Пример №2

 

 

Теперь итоговое закрепление пройденного материала. Постарайся самостоятельно решить следующие задачи.

Я лишь приведу краткие рекомендации и советы к их решению:

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  

Краткие рекомендации к решению:

1. Вынесем общий множитель   за скобки:   Откуда  
2. Первое выражение представим в виде:   , разделим обе части на   и получим, что  
3.   ,  ,  , тогда исходное уравнение преобразуется к виду:   Ну а теперь подсказка – ищи, где мы с тобой уже решали это уравнение!
4. Представь   как  ,   как  , а  , ну а затем подели обе части на  , так ты получишь простейшее показательное уравнение.
5. Вынеси  за скобки.
6. Вынеси   за скобки.

 

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Я предполагаю, что после ознакомления с первой статьей, в которой рассказывалось что такое показательные уравнения и как их решать, ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров.

Теперь я разберу еще один метод решения показательных уравнений, это...

Метод введения новой переменной (или замены)

Им решается большинство «трудных» задач, на тему показательные уравнения (и не только уравнения). 

Этот способ – один из наиболее часто употребляемых на практике. Сперва рекомендую ознакомиться с темой «Замена переменных».

Как ты уже понял из названия, суть этого метода – ввести такую замену переменной, что твое показательное уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.

Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» - это сделать «обратную замену»: то есть вернуться от замененного к заменяемому.

Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

Пример 1. Метод простой замены

 

Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики.

В самом деле, замена здесь – самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

 

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда.

Однако, давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой

Пример 2. Метод простой замены 

 

Ясно, что скорее всего заменять придется   (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение).  

Однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно:  ,  .

Тогда можно заменять  , в результате я получу следующее выражение:

 

 

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать.
 

 

Пример №3 с менее очевидной заменой:

 

Совершенно не ясно, что нам делать: проблема в том, что в нашем уравнении два разных основания и одно основание не получается из другого возведением ни в какую (разумную, естественно) степень.

Однако, что мы видим?
 

Как правило, метода замены оказывается достаточно, для решения большинства «школьных» показательных уравнений.

Следующие задачи повышенного уровня сложности взяты из вариантов ЕГЭ.

Задачи повышенной сложности из вариантов ЕГЭ

Ты уже достаточно грамотный для того, чтобы самостоятельно решать данные примеры. Я лишь приведу требуемую замену.

1. Решите уравнение:  
2. Найдите корни уравнения:  
3. Решите уравнение:  . Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку:  

А теперь краткие пояснения и ответы:

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов, так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения.

Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике: «математику, как историю, за ночь не прочитаешь».

Как правило, всю сложность при решении задач С1 составляет именно отбор корней уравнения. 

Еще один пример для тренировки

  при  

Ясно, что само уравнение решается довольно просто. Сделав замену   мы сведем наше исходное уравнение к следующему:

 

 

Тогда  

Вначале давай рассмотрим первый корень.
 

В завершение давай рассмотрим еще один пример уравнения, где замена достаточно нестандартна

 

Пример уравнения с нестандартной заменой!

 

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что – в принципе можно, но лучше не делать.

Можно – представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет?

Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться.

А что же тогда нужно?

Давай заметим, что   а   

И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения!

Ну что, теперь твоя очередь решать задачки на показательные, а я приведу к ним лишь краткие комментарии, чтобы ты не сбился с верного пути! Удачи!

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  

1. Самая трудная! Замену здесь усмотреть ох как негелко! Но тем не менее этот пример вполне решаем при помощи выделения полного квадрата. Для его решения достаточно заметить, что:

 

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ. ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В дополнение давай рассмотрим еще один способ - решение показательных уравнений методом логарифмирования.

Не могу сказать, что решение показательных уравнений этим методом очень уж популярно, однако в некоторых случаях только он способен привести нас к правильному решению нашего уравнения.

Особенно часто он используется для решения так называемых «смешанных уравнений»: то есть таких, где встречаются функции разного вида.

Например, уравнение вида:

 , причем  ,   

в общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию  ), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

 

Давай рассмотрим следующий пример:

 

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только  . Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине. Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию  :

 

 

 

 

 

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу.

Давай потренируемся еще на одном примере:

 

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию  , тогда получим:

 

 

 

Сделаем замену:  

 

Тогда  

Однако, мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах? Ведь   тогда:

  что не удовлетворяет требованию   (подумай откуда оно взялось!)

Ответ:  

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений приведенных ниже:

1.  
2.  

А теперь сверь свое решение с этим:

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Показательное уравнение

Уравнение вида:

 , где  

называется простейшим показательным уравнением.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Подходы к решению

• Приведение к одинаковому основанию
• Приведение к одинаковому показателю степени
• Замена переменной
• Упрощение выражения и применение одного из вышеназванных.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!