Показательные уравнения. Исчерпывающее руководство (2020)
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Привет!
Сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.
Как элементарными, так и такими, которые обычно дают на ЕГЭ «на засыпку».
Прямо с прошлых вариантов ЕГЭ.
Впрочем после прочтения этой статьи все они станут для тебя элементарными.
Почему?
Потому что ты сможешь проследить шаг за шагом как я думаю, когда я их решаю и научиться думать так же как и я.
Поехали!
Что такое показательные уравнения
Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:
- Свойства степени и корня
- Решение линейных и квадратных уравнений
- Разложение на множители
Повторил? Замечательно!
Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения
Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем.
Теперь ответь мне на вопрос, чему равно
А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что
Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я
Спрашивается, сколько раз я умножил
\begin{align} & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end{align}
Тогда ты можешь сделать вывод, что
Как еще это можно проверить?
А вот как: непосредственно по определению степени:
Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем
И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)
где
Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что
Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:
И даже нашел его корень
Вот тебе еще один пример:
Но что же делать?
Ведь
Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.
Какого?
Верно:
Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:
Откуда, как ты уже понял,
Давай более не будем тянуть и запишем определение:
Показательные уравнения - уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени. Уравнение вида: называется простейшим показательным уравнением. |
В нашем с тобой случае:
Решаются эти уравнения сведением их к виду:
Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что
Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах:
Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа.
Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число
Но, ничего страшного, ведь
Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом?
Правило «степени в степени», которое гласит:
Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:
\begin{align} & 5x+2=4({x} -1), \\ & 5x+2=4{x} -4, \\ & 5{x} -4{x} =-4-2, \\ & x=-6. \\ \end{align}
Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например с таким уравнением?
Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:
для любого положительного числа поэтому, уравнение равносильно откуда |
А что если:
Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:
Нам не представляет труда заметить, что чем меньше
И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА!!!
Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!!
Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении
А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение
Теперь давай потренируемся и порешаем простые примерчики:
Давай сверяться:
1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!)
Как правило, все приводят к наименьшему основанию:
Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему:
Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней:
При умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении – вычитаются.
Тогда я получу:
Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному: \begin{align}
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
& x=0. \\
\end{align}
2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить
В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:
Левая часть уравнения примет вид:
Что же нам это дало?
А вот что: Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:
Применительно к моей ситуации это даст:
\begin{align}
& 4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}=6400, \\
& 4\cdot {{(64\cdot 25)}^{x}}=6400, \\
& {{1600}^{x}}=\frac{6400}{4}, \\
& {{1600}^{x}}=1600, \\
& x=1. \\
\end{align}
Неплохо, правда?
3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай).
Перенесу слагаемое с минусом вправо:
Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:
Сложу степени слева и получу равносильное уравнение
Ты без труда найдешь его корень:
4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!
Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего?
Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав:
Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем!
Мне кажется, дальше ты понял=)
5.
Тут опять-таки все ясно:
Кто говорил, что можно пропускать степень с отрицательным показателем? Ну вот и я о том же, что никто). Теперь я получу:
\begin{align}
& {{2}^{4\left( {x} -9 \right)}}={{2}^{-1}} \\
& 4({x} -9)=-1 \\
& x=\frac{35}{4}. \\
\end{align}
Еще показательные уравнения для тренировки
Вот тебе задачки для тренировки, к которым я лишь приведу ответы (но в «перемешанном» виде). Порешай их, сверься, и мы с тобой продолжим наши изыскания!
Готов? Ответы вот такие:
- любое число
Ну ладно, ладно, я пошутил! Вот вам наброски решений (некоторые – весьма краткие!)
1.
Тебе не кажется неслучайным, что одна дробь слева – это «перевернутая» другая? Грех будет этим не воспользоваться:
|
Это правило очень часто используется при решении показательных уравнений, запомни его хорошенько!
Тогда исходное уравнение станет вот таким:
откуда
Решив это квадратное уравнение, ты получишь вот такие корни:
2. Еще один прием решения: деление обеих частей уравнения на выражение, стоящее слева (или справа).
Разделю на то, что справа, тогда получу:
Откуда
3.
4.
5. Нужно воспользоваться формулой, приведенной в первой задаче, тогда получишь, что:
Уравнение превратилось в тривиальное тождество, которое верно при любом
Ну что же, вот ты и потренировался решать простейшие показательные уравнения.
Примеры из жизни по решению показательных уравнений
Теперь я хочу тебе привести несколько жизненных примеров, которые помогут тебе понять, а для чего они нужны в принципе.
Пример 1 (меркантильный)
Пусть у тебя есть
Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под
Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму?
Вполне приземленная задача, не так ли?
Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения: Пусть
Тогда:
В нашем случае
А почему
Тогда мы получим вот такое уравнение:
Данное показательное уравнение уже можно решить только при помощи калькулятора (его внешний вид на это намекает, причем для этого требуется знание логарифмов, с которыми мы познакомимся чуть позже), что я и сделаю:
Таким образом, для получения
Пример 2 (регулярно попадается на ЕГЭ!! - задача взята из «реального» варианта)
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону
В начальный момент времени масса изотопа
Ничего страшного: просто берем и подставляем все данные в предложенную нам формулу:
Разделим обе части на
Ну что же, нам очень повезло! Слева стоит
Как видишь, показательные уравнения имеют вполне реальное приложение на практике.
Теперь я хочу разобрать с тобой еще один (нехитрый) способ...
Решение показательных уравнений, основанное на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых.
Не пугайся моих слов, ты уже сталкивался с этим методом в 7 классе, когда изучал многочлены. Например, если тебе требовалось разложить на множители выражение:
Давай сгруппируем: первое и третье слагаемое, а также второе и четвертое.
Ясно, что первое и третье – это разность квадратов:
а второе и четвертое имеют общий множитель тройку:
Тогда исходное выражение равносильно такому:
Откуда вынести общий множитель уже не представляет труда:
Следовательно,
Вот примерно таким образом мы и будем поступать при решении показательных уравнений: искать «общность» среди слагаемых и выносить ее за скобки, ну а потом – будь что будет, я верю, что нам будет везти =))
Пример №1
Справа стоит далеко не степень семерки (я проверял!) Да и слева – немногим лучше, можно, конечно, «оттяпать» от первого слагаемого множитель
Я не хочу иметь дело с дробями, которые неизбежно образуются при «выделении»
Тогда дробей у меня не будет: как говорится, и волки сыты и овцы целы:
Посчитай выражение в скобках. Волшебным, магическим образом получается, что
Тогда сократим обе части уравнения на этот множитель. Получим:
Вот пример посложнее (совсем немного, правда):
Вот беда-то! У нас здесь нет одного общего основания! Не совсем ясно, что же теперь делать. А давай сделаем, что сможем: во-первых перенесем «четверки» в одну сторону, а «пятерки» в другую:
Теперь давай вынесем «общее» слева и справа:
Ну и что теперь? В чем выгода от такой бестолковой группировки? На первый взгляд она совсем не видна, однако давай глянем глубже:
Ну а теперь сделаем так, чтобы слева у нас было только выражение с
Невероятно! Cлева у нас стоит выражение
Тогда тут же делаем вывод, что
Пример №2
Я приведу его краткое решение (не особо утруждая себя пояснениями), постарайся сам разобраться во всех «тонкостях» решения.
Теперь итоговое закрепление пройденного материала. Постарайся самостоятельно решить следующие задачи.
Я лишь приведу краткие рекомендации и советы к их решению:
Краткие рекомендации к решению:
- Вынесем общий множитель
- Первое выражение представим в виде:
- Представь
- Вынеси
- Вынеси
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Я предполагаю, что после ознакомления с первой статьей, в которой рассказывалось что такое показательные уравнения и как их решать, ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров.
Теперь я разберу еще один метод решения показательных уравнений, это...
Метод введения новой переменной (или замены)
Им решается большинство «трудных» задач, на тему показательные уравнения (и не только уравнения).
Этот способ – один из наиболее часто употребляемых на практике. Сперва рекомендую ознакомиться с темой «Замена переменных».
Как ты уже понял из названия, суть этого метода – ввести такую замену переменной, что твое показательное уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.
Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» - это сделать «обратную замену»: то есть вернуться от замененного к заменяемому.
Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:
Пример 1. Метод простой замены
Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики.
В самом деле, замена здесь – самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что
Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:
Если же дополнительно представить
Ты без проблем самостоятельно отыщешь его корни:
Что нам делать теперь?
Пришло время возвращаться к исходной переменной
А что я забыл указать? Именно: при замене некоторой степени на новую переменную (то есть при замене вида
Ты и сам без труда ответишь, почему.
Таким образом,
Ответ:
Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда.
Однако, давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой
Пример 2. Метод простой замены
Ясно, что скорее всего заменять придется
Однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно:
Тогда можно заменять
О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать.
Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить
А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).
Первое предположение
Левая часть равна
Правая часть:
Есть! Угадали первый корень. Теперь дело пойдет легче!
Ты знаешь, про схему деления «уголком»? Конечно знаешь, ты применяешь ее, когда делишь одно число на другое. Но немногие знают, что то же самое можно делать и с многочленами.
Есть одна замечательная теорема:
Если |
Применимо к моей ситуации это говорит мне о том, что
Как же осуществляется деление? А вот как:
Я смотрю, на какой одночлен я должен домножить
Вычитаю полученное выражение из
Теперь, на что мне нужно домножить
и опять вычту полученное выражение из оставшегося:
Ну и последний шаг, домножу
Ура, деление окончено! Что мы накопили в частном? Само собой:
Тогда получили вот такое разложение исходного многочлена:
Решим второе уравнение:
Оно имеет корни:
Тогда исходное уравнение:
имеет три корня:
Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:
Ответ:
Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!
Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.
Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.
Пример №3 с менее очевидной заменой:
Совершенно не ясно, что нам делать: проблема в том, что в нашем уравнении два разных основания и одно основание не получается из другого возведением ни в какую (разумную, естественно) степень.
Однако, что мы видим?
Оба основания – отличаются только знаком, а их произведение – есть разность квадратов, равная единице:
Определение:
Числа |
Таким образом, числа, являющиеся основаниями в нашем примере – сопряженные.
В таком случае разумным шагом будет домножить обе части уравнения на сопряженное число.
Например, на
его корни
Ответ:
Как правило, метода замены оказывается достаточно, для решения большинства «школьных» показательных уравнений.
Следующие задачи повышенного уровня сложности взяты из вариантов ЕГЭ.
Задачи повышенной сложности из вариантов ЕГЭ
Ты уже достаточно грамотный для того, чтобы самостоятельно решать данные примеры. Я лишь приведу требуемую замену.
- Решите уравнение:
- Найдите корни уравнения:
- Решите уравнение:
А теперь краткие пояснения и ответы:
Уравнение №1.
Здесь нам достаточно заметить, что
Тогда исходное уравнение будет эквивалентно вот такому:
Уравнение №2.
Здесь даже можно обойтись без замены: достаточно перенести вычитаемое вправо и представить оба основания через степени двойки:
Уравнение №3
Тоже решается довольно стандартно: представим
Тогда заменив
Ты ведь уже знаешь, что такое логарифм? Нет? Тогда срочно читай тему «Логарифмы»!
Первый корень, очевидно, не принадлежит отрезку
Вычтем из обеих частей
Левую часть можно представить в виде:
домножим обе части на
или
Тогда сравним:
или
так как
Тогда второй корень принадлежит искомому промежутку
Ответ:
Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов, так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения.
Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике: «математику, как историю, за ночь не прочитаешь».
Как правило, всю сложность при решении задач С1 составляет именно отбор корней уравнения.
Еще один пример для тренировки
Ясно, что само уравнение решается довольно просто. Сделав замену
Тогда
Вначале давай рассмотрим первый корень.
Сравним
Тогда ясно, что
Теперь второй корень:
Осталось сравнить
так как
Таким образом, я могу «вбить колышек» между
Этим колышком является число
Тогда второе выражение больше первого и корень
Ответ:
В завершение давай рассмотрим еще один пример уравнения, где замена достаточно нестандартна
Пример уравнения с нестандартной заменой!
Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что – в принципе можно, но лучше не делать.
Можно – представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет?
Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться.
А что же тогда нужно?
Давай заметим, что
И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения!
Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:
Такие уравнения называются однородными (подробнее читай в теме «Однородные уравнения»).
Теперь разделим обе части получившегося уравнения на
Эврика! Теперь можно заменять
откуда:
Ну что, теперь твоя очередь решать задачки на показательные, а я приведу к ним лишь краткие комментарии, чтобы ты не сбился с верного пути! Удачи!
1. Самая трудная! Замену здесь усмотреть ох как негелко! Но тем не менее этот пример вполне решаем при помощи выделения полного квадрата. Для его решения достаточно заметить, что:
Тогда вот тебе и замена:
Теперь для решения примера тебе осталось решить два уравнения:
Оба они решаются «стандартной заменой» (зато второй в одном примере!)
2. Заметь, что
3. Разложи число
4. Подели числитель и знаменатель дроби на
5. Заметь, что числа
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ. ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
В дополнение давай рассмотрим еще один способ - решение показательных уравнений методом логарифмирования.
Не могу сказать, что решение показательных уравнений этим методом очень уж популярно, однако в некоторых случаях только он способен привести нас к правильному решению нашего уравнения.
Особенно часто он используется для решения так называемых «смешанных уравнений»: то есть таких, где встречаются функции разного вида.
Например, уравнение вида:
в общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию
Давай рассмотрим следующий пример:
Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только
Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию
Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу.
Давай потренируемся еще на одном примере:
Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию
Сделаем замену:
Тогда
Однако, мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах? Ведь
Ответ:
Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений приведенных ниже:
А теперь сверь свое решение с этим:
1. Логарифмируем обе части по основанию
2. Логарифмируем по основанию
Преобразуем полученное выражение к следующему виду:
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Показательное уравнение
Уравнение вида:
называется простейшим показательным уравнением.
Свойства степеней
Произведение степеней | |
Деление степеней | |
Возведение степени в степень |
Подходы к решению
- Приведение к одинаковому основанию
- Приведение к одинаковому показателю степени
- Замена переменной
- Упрощение выражения и применение одного из вышеназванных.
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER
Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:
ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!
Комментарии
Спасибо огромное автору, намного понятнее, чем на других сайтах. Всё просто и расписано до мельчайших подробностей.
4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части! {{2}^{2x}}{{3}^{x}}{{5}^{x}}={{60}^{4{x}-15}}2 2x 3 x 5 x =60 4x−15 Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего? Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав:{{2}^{2x}}={{4}^{x}}2 2x =4 x . Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем! {{60}^{x}}={{60}^{4{x} -15}}60 x =60 4x−15 Мне кажется, дальше ты понял=) ~x=3 x=3. ОТВЕТ НЕ 3, А 5!
Здравствуйте! Никак не получается найти подход к такому уравнению: 7^(-x)=2^(x-1)-2 Что здесь можно применить? Хотя бы намек!
В первой главе в 4-ом примере ошибка: ответ 3, но х=4х-15 будет равно 5-ти
в "решение показательных уравнений, основанное на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых" пример 1, ошибка в 7^x (-1). (-1) должна быть в степени.
Здравствуйте.помогите..в итоговом закреплении первый пример.Не могу разобраться( (2 х 3 в степени х+1 - 6 х 3 в степени х-1 - 3 в степени х = 9. Вообще непонятен момент вынесения общего множителя 3 в степени х-1. почему именно в такой степени?В краткой рекомендации к решению вообще непонятно, как его вынесли. Помогите пожалуйста!!!
ответить