Показательные уравнения. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Привет! Сегодня мы обсудим с тобой, как решать уравнения, которые могут быть как элементарными (а я надеюсь, что после прочтения этой статьи почти что все они и будут для тебя таковыми), так и такими, которые обычно дают «на засыпку». Видимо, чтобы засыпать окончательно. Но я постараюсь сделать все возможное, чтобы уж теперь ты не попал впросак, столкнувшись с таким типом уравнений. Я не буду больше ходить вокруг да около, а сразу открою маленький секрет: сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.

Прежде чем переходить к разбору способов их решений, я сразу обрисую перед тобой круг вопросов (достаточно небольшой), который тебе стоит повторить, прежде чем бросаться на штурм этой темы. Итак, для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

  1. Свойства степени и корня
  2. Решение линейных и квадратных уравнений
  3. Разложение на множители 

Повторил? Замечательно! Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения   является число  . Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно   в третьей степени? Ты абсолютно прав:  . А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что  . Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я   раз умножаю само на себя число   и получаю в результате  . Спрашивается, сколько раз я умножил   само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\begin{align} & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end{align}

Тогда ты можешь сделать вывод, что   само на себя я умножал   раза. Как еще это можно проверить? А вот как: непосредственно по определению степени:  . Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем  , ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать   само на себя до посинения. И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

 

где   – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь   само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что  , тогда моя задачка запишется в виде:

 , откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

 .

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

 

И даже нашел его корень  . Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же. Вот тебе еще один пример:

 .

Но что же делать? Ведь   нельзя записать в виде степени (разумной) числа  . Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа. Какого? Верно:  . Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

 

Откуда, как ты уже понял,   . Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Показательные уравнения - уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.

Уравнение вида:  , где  

называется простейшим показательным уравнением.

В нашем с тобой случае:  .

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

 c последующим решением уравнения  

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что  . И мы решали с тобой простейшее уравнение  .

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах:

 

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа. Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число  . Но, ничего страшного, ведь  , и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

 

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом? Правило «степени в степени», которое гласит:

 

Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:
\begin{align} & 5x+2=4({x} -1), \\ & 5x+2=4{x} -4, \\ & 5{x} -4{x} =-4-2, \\ & x=-6. \\ \end{align}

Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например с таким уравнением?

 

Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:

для любого положительного числа   выполняется:

 

поэтому, уравнение  

равносильно  ,

откуда  .

А что если:

 

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

                   
                   

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше  , тем меньше значение  , но тем не менее, все эти значения больше нуля. И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА!!! Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!!   (для любых   и  ). Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении  ? А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение  . Теперь давай потренируемся и порешаем простые примерчики:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!) Как правило, все приводят к наименьшему основанию:  ,  . Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему:   Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней: при умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении – вычитаются. Тогда я получу:   Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному: \begin{align}
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
& x=0. \\
\end{align}

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить   и   в виде степени одного и того же числа. В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

 

Левая часть уравнения примет вид:   Что же нам это дало? А вот что: Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать.При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:

 

Применительно к моей ситуации это даст:

 \begin{align}
& 4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}=6400, \\
& 4\cdot {{(64\cdot 25)}^{x}}=6400, \\
& {{1600}^{x}}=\frac{6400}{4}, \\
& {{1600}^{x}}=1600, \\
& x=1. \\
\end{align}

Неплохо, правда?

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай). Перенесу слагаемое с минусом вправо:

 

Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:

 

Сложу степени слева и получу равносильное уравнение

 

 Ты без труда найдешь его корень:

 

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!

 

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего? Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав: . Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем!

 

Мне кажется, дальше ты понял=)

 .

5.  .

Тут опять-таки все ясно: (если ты не понял, каким волшебным образом я получил последнее равенство, оторвись на минуту, передохни и прочитай свойства степени еще раз очень внимательно. Кто говорил, что можно пропускать степень с отрицательным показателем? Ну вот и я о том же, что никто). Теперь я получу:

\begin{align}
& {{2}^{4\left( {x} -9 \right)}}={{2}^{-1}} \\
& 4({x} -9)=-1 \\
& x=\frac{35}{4}. \\
\end{align}

Вот тебе задачки для тренировки, к которым я лишь приведу ответы (но в «перемешанном» виде). Порешай их, сверься, и мы с тобой продолжим наши изыскания!

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Готов? Ответы вот такие:

  1. любое число
  2.   и  
  3.  
  4.  
  5.   и  .

Ну ладно, ладно, я пошутил! Вот вам наброски решений (некоторые – весьма краткие!)

1.  
 .

Тебе не кажется неслучайным, что одна дробь слева – это «перевернутая» другая? Грех будет этим не воспользоваться:

 

Это правило очень часто используется при решении показательных уравнений, запомни его хорошенько!

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

 ,

откуда

 .

 Решив это квадратное уравнение, ты получишь вот такие корни:

 

2. Еще один прием решения: деление обеих частей уравнения на выражение, стоящее слева (или справа). Разделю на то, что справа, тогда получу:

 

Откуда   (почему?!)

3.   даже не хочу повторятся, настолько все уже «разжевано».
 

4.   равносильно квадратному уравнению  , корни  

5. Нужно воспользоваться формулой, приведенной в первой задаче, тогда получишь, что:

 

 

 

Уравнение превратилось в тривиальное тождество, которое верно при любом  . Тогда ответ – это любое действительное число.

Ну что же, вот ты и потренировался решать простейшие показательные уравнения. Теперь я хочу тебе привести несколько жизненных примеров, которые помогут тебе понять, а для чего они нужны в принципе. Здесь я приведу два примера. Один из них вполне повседневен, ну а другой – скорее имеет научный, нежели практический интерес.

Пример 1 (меркантильный) Пусть у тебя есть   рублей, а тебе хочется превратить его в   рублей. Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под   годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением). Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму? Вполне приземленная задача, не так ли? Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения: Пусть   – начальная сумма,   – конечная сумма,   – процентная ставка за период,   – количество периодов. Тогда:

 

В нашем случае   (если ставка   годовых, то за месяц начисляют  ). А почему   делится на  ? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»! Тогда мы получим вот такое уравнение:

 

 

Данное показательное уравнение уже можно решить только при помощи калькулятора (его внешний вид на это намекает, причем для этого требуется знание логарифмов, с которыми мы познакомимся чуть позже), что я и сделаю:  … Таким образом, для получения   млн. нам потребуется сделать вклад на   месяц (не очень быстро, не правда ли?).

Пример 2 (скорее научный). Несмотря на его, некоторую «оторванность», рекомендую тебе обратить на него внимание: он регулярно «проскальзывает в ЕГЭ!! (задача взята из «реального» варианта) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону  , где   (мг) — начальная масса изотопа,   (мин.) — время, прошедшее от начального момента,   (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа   мг. Период его полураспада   мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна   мг? Ничего страшного: просто берем и подставляем все данные в предложенную нам формулу:

 

Разделим обе части на  , «в надежде», что слева мы получим что-нибудь удобоваримое:

 

 Ну что же, нам очень повезло! Слева стоит  , тогда перейдем к равносильному уравнению:

 , откуда   мин.

Как видишь, показательные уравнения имеют вполне реальное приложение на практике. Теперь я хочу разобрать с тобой еще один (нехитрый) способ решения показательных уравнений, который основан на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых. Не пугайся моих слов, ты уже сталкивался с этим методом в 7 классе, когда изучал многочлены. Например, если тебе требовалось разложить на множители выражение:

 

Давай сгруппируем: первое и третье слагаемое, а также второе и четвертое. Ясно, что первое и третье – это разность квадратов:

 ,

а второе и четвертое имеют общий множитель тройку:

 

Тогда исходное выражение равносильно такому:

 ,

Откуда вынести общий множитель уже не представляет труда:

 

Следовательно,

 

Вот примерно таким образом мы и будем поступать при решении показательных уравнений: искать «общность» среди слагаемых и выносить ее за скобки, ну а потом – будь что будет, я верю, что нам будет везти =)) Например:

 

Справа стоит далеко не степень семерки (я проверял!) Да и слева – немногим лучше, можно, конечно, «оттяпать» от первого слагаемого множитель   а от второго  , а затем уже разбираться с полученным, но давай с тобой поступим благоразумнее. Я не хочу иметь дело с дробями, которые неизбежно образуются при «выделении»  , так не лучше ли мне вынести  ? Тогда дробей у меня не будет: как говорится, и волки сыты и овцы целы:

 

Посчитай выражение в скобках. Волшебным, магическим образом получается, что   (удивительно, хотя чего нам еще ждать?).

Тогда сократим обе части уравнения на этот множитель. Получим:  , откуда  .

Вот пример посложнее (совсем немного, правда):

 

Вот беда-то! У нас здесь нет одного общего основания! Не совсем ясно, что же теперь делать. А давай сделаем, что сможем: во-первых перенесем «четверки» в одну сторону, а «пятерки» в другую:

 

Теперь давай вынесем «общее» слева и справа:

 

Ну и что теперь? В чем выгода от такой бестолковой группировки? На первый взгляд она совсем не видна, однако давай глянем глубже:

 

Ну а теперь сделаем так, чтобы слева у нас было только выражение с  , а справа – все остальное. Как нам это сделать? А вот как: Разделить обе части уравнения сначала на   (так мы избавимся от степени справа), а затем разделим обе части на   ( так мы избавимся от числового множителя слева). Окончательно получим:

 

Невероятно! Cлева у нас стоит выражение  , а справа – просто   . Тогда тут же делаем вывод, что  

Вот тебе еще один пример на закрепление:

 

Я приведу его краткое решение (не особо утруждая себя пояснениями), постарайся сам разобраться во всех «тонкостях» решения.

 

 

 

 

 

 

 

Теперь итоговое закрепление пройденного материала. Постарайся самостоятельно решить следующие задачи. Я лишь приведу краткие рекомендации и советы к их решению:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

Краткие рекомендации к решению:

  1. Вынесем общий множитель   за скобки:   Откуда  
  2. Первое выражение представим в виде:   , разделим обе части на   и получим, что  
  3.   ,  ,  , тогда исходное уравнение преобразуется к виду:   Ну а теперь подсказка – ищи, где мы с тобой уже решали это уравнение!
  4. Представь   как  ,   как  , а  , ну а затем подели обе части на  , так ты получишь простейшее показательное уравнение.
  5. Вынеси  за скобки.
  6. Вынеси   за скобки.

Комментарии

Виктория
24 января 2018

Здравствуйте.помогите..в итоговом закреплении первый пример.Не могу разобраться( (2 х 3 в степени х+1 - 6 х 3 в степени х-1 - 3 в степени х = 9. Вообще непонятен момент вынесения общего множителя 3 в степени х-1. почему именно в такой степени?В краткой рекомендации к решению вообще непонятно, как его вынесли. Помогите пожалуйста!!!

ответить

Андр
17 марта 2018

Спасибо огромное автору, намного понятнее, чем на других сайтах. Всё просто и расписано до мельчайших подробностей.

ответить

Александр (админ)
17 марта 2018

Спасибо, Андр! Удачи на экзаменах!

ответить

Дочь Петрова
19 марта 2018

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части! {{2}^{2x}}{{3}^{x}}{{5}^{x}}={{60}^{4{x}-15}}2 ​2x ​​ 3 ​x ​​ 5 ​x ​​ =60 ​4x−15 ​​ Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего? Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав:{{2}^{2x}}={{4}^{x}}2 ​2x ​​ =4 ​x ​​ . Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем! {{60}^{x}}={{60}^{4{x} -15}}60 ​x ​​ =60 ​4x−15 ​​ Мне кажется, дальше ты понял=) ~x=3 x=3. ОТВЕТ НЕ 3, А 5!

ответить

Алексей
30 марта 2018

Здравствуйте! Никак не получается найти подход к такому уравнению: 7^(-x)=2^(x-1)-2 Что здесь можно применить? Хотя бы намек!

ответить

kek
01 мая 2018

ошибка в 35x+2=34(x−1)3 ​5x+2 ​​ =3 ​4(x−1) ​​

ответить

Александр (админ)
06 мая 2018

Спасибо Kek! Исправили.

ответить

Сергей
06 мая 2018

В первой главе в 4-ом примере ошибка: ответ 3, но х=4х-15 будет равно 5-ти

ответить

Александр (админ)
06 мая 2018

Сергей, спасибо огромное за внимательность!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть