25 июля

1 comments

Как решать однородные уравнения (ЕГЭ – 2021)

В этой статье ты научишься решать однородные уравнения.

В частности, тригонометрические и показательные.

И это не так сложно, как выглядит!

Потому что алгоритм решения однородных уравнений один и тот же!

Для этого эти уравнения и выделили в одну группу – чтобы было легче решать. По одному алгоритму.

Читай статью, решай примеры и все поймешь!

Что такое однородные уравнения?

Однородные уравнения – это уравнения вида \( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+...+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

\( {{a}^{2}}-4ab+3{{b}^{2}}=0\)

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида \( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+...+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\)…

Стоп! Давай все-таки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

\( {{k}_{0}}{{x}^{n}}\)

На первом месте должна идти первая переменная в степени \( n\) с некоторым коэффициентом. В нашем случае это \( 1\cdot {{a}^{2}},\ \ k=1,\ \ x=a,\ \ n=2\)

\( {{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y\)

Дальше идет первая переменная в степени \( n-1\) и вторая переменная в первой степени.

В нашем случае это \( -4ab\).

Как мы выяснили, \( n=2\), значит здесь степень \( n-1=1\) при первой переменной \( \left( a \right)\) – сходится.

И вторая переменная \( \left( b \right)\) в первой степени – на месте. Коэффициент \( k=\)\( -4\).

\( {{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}\)

У нас это \( 3{{b}^{2}}\).

Первая переменная \( \left( a \right)\) в степени \( n-2=0\), и вторая переменная \( \left( b \right)\) в квадрате, с коэффициентом \( \left( 3 \right)\). Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные \( (a\) и \( b)\). Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

\( {{a}^{2}}\) - сумма степеней равна \( 2\).

\( -4ab\) - сумма степеней равна \( 2\) (\( 1\) при \( a\) и \( 1\) при \( b\)).

\( 3{{b}^{2}}\) - сумма степеней равна \( 2\).

Как видишь, все сходится! Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

  1. 1
    \( 4{{x}^{2}}+3xy\ -5{{y}^{2}}=0\);
  2. 2
    \( 2{{x}^{2}}+\ 7xy+3{{y}^{2}}=0\);
  3. 3
    \( {{x}^{2}}+3xy\ -6{{y}^{2}}=0\);
  4. 4
    \( 3{{x}^{2}}+\frac{x}{y}-2{{y}^{2}}=0\);
  5. 5
    \( \ \frac{3{{x}^{2}}}{y}+2xy-13{{y}^{2}}=0\);
  6. 6
    \( 3{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}y+4x{{y}^{2}}-12{{y}^{3}}=0\);
  7. 7
    \( 24{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4xy+5x{{y}^{2}}-7{{y}^{3}}=0\);
  8. 8
    \( 8{{y}^{3}}+11{{x}^{2}}y-{{y}^{2}}x+12{{x}^{3}}=0\);
  9. 9
    \( {{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\);
  10. 10
    \( {{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x-2{{\sin }^{2}}x=0\);
  11. 11
    \( 25\cdot {{4}^{x}}+3\cdot {{6}^{x}}=11\cdot {{9}^{x}}\);

Однородные уравнения - уравнения под номерами:

\( 1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }6,\text{ }8,\text{ }9,\text{ }11.\)

Рассмотрим отдельно \( 11\) уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим

\( \begin{array}{l}11.\ 25\cdot {{4}^{x}}+3\cdot {{6}^{x}}=11\cdot {{9}^{x}}\\\ \ \ \ 25\cdot {{2}^{2x}}+3\cdot {{3}^{x}}\cdot {{2}^{x}}-11\cdot {{3}^{2x}}=0\end{array}\)

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.

\( {{x}^{2}}-7xy+10{{y}^{2}}=0\)

Найдите \( \displaystyle \frac{x}{y}\).

Разделим уравнение на \( {{y}^{2}}\).

Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна \( 0\). Например, если нас просят найти \( \frac{x}{y}\), то мы сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя. Когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай, когда эта переменная равна \( 0\).

У нас по условию y не может быть равен \( 0\). Поэтому мы можем смело делить на \( {{y}^{2}}\)

\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}-\frac{7xy}{{{y}^{2}}}+\frac{10{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}=0\)

\( \displaystyle {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}-7\left( \frac{x}{y} \right)+10=0\)

Произведя замену \( t=\frac{x}{y}\), мы получим простое квадратное уравнение:

\( {{t}^{2}}-7t+10=0\)

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=7\\{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}=10\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=2\\{{t}_{2}}=5\end{array} \right.\)

Произведя обратную замену, получаем ответ

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y}=2\\\frac{x}{y}=5\end{array} \right.\)

Ответ: \( 2;5\)

\( 3{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}=0\)

Нужно: \( \displaystyle \ \frac{x}{y}.\)

Разделим уравнение на \( {{y}^{2}}\) (\( y\ne 0\) по условию).

\( 3{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}=0\)

\( \displaystyle 3\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}-2\frac{xy}{{{y}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}=0\)

\( \displaystyle 3{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}-2\left( \frac{x}{y} \right)-1=0\)

Произведем замену \( \displaystyle t=\frac{x}{y}\) и решим квадратное уравнение:

\( 3{{t}^{2}}-2t-1=0\)

\( D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -2 \right)}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -1 \right)=4+12=16\)

\( \displaystyle t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm 4}{6}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=1\\{{t}_{2}}=-\frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Произведя обратную замену, получим ответ:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y}=1\\\frac{x}{y}=-\frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Ответ: \( -\frac{1}{3};\ \ 1\)

Найдите \( xy\), если \( \displaystyle 3{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}-\frac{8}{{{y}^{2}}}=0\).

Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на \( {{y}^{2}}\):

\( \displaystyle 3{{x}^{2}}\cdot {{y}^{2}}+5\frac{x\cdot {{y}^{2}}}{y}-\frac{8\cdot {{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}=0\)

\( 3{{\left( xy \right)}^{2}}+5xy-8=0\)

Произведем замену \( t=xy\) и решим квадратное уравнение:

\( 3{{t}^{2}}+5t-8=0\)

\( D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -8 \right)=25+96=121\)

\( t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm 11}{2\cdot 3}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=1\\{{t}_{2}}=-\frac{8}{3}\end{array} \right.\)

Произведя обратную замену, получим ответ:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}xy=1\\xy=-\frac{8}{3}\end{array} \right.\)

Ответ: \( -\frac{8}{3};\ \ 1\)

Решение однородных тригонометрических уравнений

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше.

Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел «Тригонометрические уравнения»).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Решите уравнение \( {{\sin }^{2}}x-3\sin x\cdot \cos x-4{{\cos }^{2}}x=0\).

Мы видим типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на \( {{\cos }^{2}}x\), рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\)

В этом случае уравнение примет вид: \( {{\sin }^{2}}x=0\), значит \( \sin x=0\). Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1\). Поэтому \( \cos x\ne 0\), и на него можно смело делить:

\( \displaystyle \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3\sin x\cdot \cos x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{4{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=0\)

\( t{{g}^{2}}x-3tgx-4=0\)

Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

\( {{t}^{2}}-3t-4=0\)

Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:

\( \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3\\{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}=-4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=-1\\{{t}_{2}}=4\end{array} \right.\)

Сделаем обратную замену и найдем \( {{x}_{1}}\) и \( {{x}_{2}}\):

\( \left[ \begin{array}{l}tg{{x}_{1}}=-1\\tg\,{{x}_{2}}=4\end{array} \right.\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-\frac{\pi }{4}+\pi n\\{{x}_{2}}=arctg4+\pi k\end{array} \right.\text{ }n,\ k\in \mathbb{Z}.\)

Ответ: \( -\frac{\pi }{4}+\pi n;\ \ arctg4+\pi k,\ \ n,\ k\in \mathbb{Z}\)

Решите уравнение \( 5{{\sin }^{2}}x-2\sin x\cdot \cos x-3{{\cos }^{2}}x=0\).

Как и в примере \( 5\), нужно разделить уравнение на \( {{\cos }^{2}}x\). Рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\) :

\( \cos x=0\)

\( 5{{\sin }^{2}}x-2\cdot 0-3\cdot 0=0\)

\( 5{{\sin }^{2}}x=0\)

\( \sin x=0\)

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1\). Поэтому \( \cos x\ne 0\).

\( \displaystyle \frac{5{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{2\sin x\cdot \cos x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=0\)

\( \displaystyle 5\cdot {{\left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)}^{2}}-2\cdot \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)-3=0\)

\( 5t{{g}^{2}}\,x-2tg\,x-3=0\)

Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

\( 5{{t}^{2}}-2t-3=0\)

\( D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -2 \right)}^{2}}-4\cdot 5\cdot \left( -3 \right)=4+60=64\)

\( tg\,x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm 8}{10}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=1\\{{t}_{2}}=-0,6\end{array} \right.\)

Сделаем обратную замену и найдем \( {{x}_{1}}\) и \( {{x}_{2}}\):

\( \left[ \begin{array}{l}tg\,{{x}_{1}}=1\\tg\,{{x}_{2}}=-0,6\end{array} \right.=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{\pi }{4}+\pi n\\{{x}_{2}}=-arctg\,0,6+\pi k\end{array} \right.\ \ n,k\in \mathbb{Z}\)

Ответ: \( \frac{\pi }{4}+\pi n;\ \ \ -arctg0,6+\pi k,\ n,k\in \mathbb{Z}\)

Решение однородных показательных уравнений

Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения – посмотри соответствующий раздел («Показательные уравнения»)!

Рассмотрим несколько примеров.

Решите уравнение \( {{2}^{2x}}-7\cdot {{36}^{x}}-18\cdot {{18}^{2x}}=0\)

Представим \( {{36}^{x}}\) как \( {{18}^{x}}\cdot {{2}^{x}}\):

\( {{2}^{2x}}-7\cdot {{18}^{x}}\cdot {{2}^{x}}-18\cdot {{18}^{2x}}=0\)

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней \( 2x\). Разделим уравнение на \( {{18}^{2x}}\):

\( \displaystyle \frac{{{2}^{2x}}}{{{18}^{2x}}}-\frac{7\cdot {{18}^{x}}\cdot {{2}^{x}}}{{{18}^{2x}}}-\frac{18\cdot {{9}^{2x}}}{{{18}^{2x}}}=0\)

\( \displaystyle {{\left( \frac{2}{18} \right)}^{2x}}-7{{\left( \frac{2}{18} \right)}^{x}}-18=0\)

\( \displaystyle {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{2x}}-7{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}-18=0\)

Как можно заметить, произведя замену \( t={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\), мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль - \( {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\) всегда строго больше нуля):

\( \displaystyle t={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}>0\)

\( {{t}^{2}}-7t-18=0\)

По теореме Виета:

\( \left\{ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\left( -7 \right)\\{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}=-18\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=9\\{{t}_{2}}=-2\end{array} \right.\)

Корень \( {{t}_{2}}=-2\) не удовлетворяет условию \( t>0\). Произведем обратную замену \( {{t}_{1}}\) и найдем \( x\):

\( \displaystyle t={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}=9\)

\( \displaystyle {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{-1}}\)

\( x=-1\)

Ответ: \( -1\).

Решите уравнение \( 4\cdot {{9}^{2x}}+{{144}^{x}}-3\cdot {{16}^{2x}}=0\)

Представим \( {{144}^{x}}\) как \( {{9}^{x}}\cdot {{16}^{x}}\):

\( 4\cdot {{9}^{2x}}+{{144}^{x}}-3\cdot {{16}^{2x}}=0\)

Разделим уравнение на \( {{16}^{2x}}\):

\( \displaystyle \frac{4\cdot {{9}^{2x}}}{{{16}^{2x}}}+\frac{{{9}^{x}}\cdot {{16}^{x}}}{{{16}^{2x}}}-\frac{3\cdot {{16}^{2x}}}{{{16}^{2x}}}=0\)

\( \displaystyle 4\cdot {{\left( \frac{9}{16} \right)}^{2x}}+{{\left( \frac{9}{16} \right)}^{x}}-3=0\)

Произведем замену \( \displaystyle t={{\left( \frac{9}{16} \right)}^{x}}>0\) и решим квадратное уравнение:

\( \displaystyle \begin{array}{l}4\cdot {{t}^{2}}+t-3=0\\D={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4\cdot 4\cdot \left( -3 \right)=1+48=49\\t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm 7}{8}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=\frac{3}{4}\\{{t}_{2}}=-1\end{array} \right.\end{array}\)

Корень \( {{t}_{2}}=-1\) не удовлетворяет условию \( t>0\). Произведем обратную замену \( {{t}_{1}}\) и найдем \( x\):

\( \displaystyle t={{\left( \frac{9}{16} \right)}^{x}}=\frac{3}{4}\)

\(\displaystyle {{\left( \frac{{{3}^{2}}}{{{4}^{2}}} \right)}^{x}}=\frac{3}{4}\)

\( \displaystyle {{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2x}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{1}}\)

\( 2x=1\)

\( x=0,5\)

Ответ: \( 0,5\)

Сначала на примере одной задачки напомню, что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.

Найдите \( \displaystyle \frac{a}{b}\), если \( {{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0\).

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на \( {{b}^{2}}\), получим:

\( \displaystyle {{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0\text{ }\left| :{{b}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{3ab}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}}=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ } \right.{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}-3\cdot \left( \frac{a}{b} \right)+2=0\).

То есть, теперь нет отдельных \( a\) и \( b\), – теперь переменной в уравнении является искомая величина \( \frac{a}{b}\). И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно \( 2\), а сумма \( 3\) – это числа \( 2\) и \( 1\).

Ответ: \( 1;\text{ }2.\)

Уравнения вида

\( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+...+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\)

называется однородным.

То есть это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна \( 2\).

Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

\( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+...+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\text{ }\left| :{{y}^{n}}\text{ } \right.\Leftrightarrow \)\( {{k}_{0}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n}}+{{k}_{1}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-2}}+...+{{k}_{n-1}}\left( \frac{x}{y} \right)+{{k}_{n}}=0\),

И последующей заменой переменных: \( t=\frac{x}{y}\). Таким образом получаем уравнение \( n\) степени с одной неизвестной \( t\):

\( {{k}_{0}}{{t}^{n}}+{{k}_{1}}{{t}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{t}^{n-2}}+...+{{k}_{n-1}}t+{{k}_{n}}=0\).

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

\( \displaystyle a{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}=0\text{ }\left| :{{y}^{2}}\ne \text{0 }\Leftrightarrow \text{ }a{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+b\cdot \frac{x}{y} \right.+c=0\text{ }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\)

\( \displaystyle \Leftrightarrow\ a{{t}^{2}}+bt+c=0\).

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю!

Например, если нас просят найти \( \displaystyle \frac{x}{y}\), сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя.

В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение \( {{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\).

Видим здесь типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).

Но, прежде чем разделить на \( {{\cos }^{2}}x\) и получить квадратное уравнение относительно \( \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\), мы должны рассмотреть случай, когда \( \cos x=0\).

В этом случае уравнение примет вид: \( {{\sin }^{2}}x=0\), значит, \( \sin x=0\).

Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству: \( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1\). Поэтому \( \cos x\ne 0\), и на него можно смело делить:

\( \displaystyle {{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\text{ }\left| :{{\cos }^{2}}x\ne 0\text{ }\Leftrightarrow \right.\)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \ \ {{\left( \frac{\sin \ x}{\cos \ x} \right)}^{2}}+3\frac{\sin \ x}{\cos \ x}+2=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }t{{g}^{2}}x+3tg\ x+2=0\ \Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{l}tg\ x=-2\\tg\ x=-1\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=-arctg\ 2+\pi k\\x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\end{array} \right.\text{ }k,n\in \mathbb{Z}.\)

Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел «Тригонометрические уравнения».

Если же непонятно, откуда взялось \( \left[ \begin{array}{l}tgx=-2\\tgx=-1\end{array} \right.\), тебе нужно вернуться еще раньше – к разделу «Квадратные уравнения».

Реши сам:

  1. 1
    Найдите \( \displaystyle \frac{x}{y}\), если \( 3{{x}^{2}}+7xy+4{{y}^{2}}=0\).
  2. 2
    Найдите \( xy\), если \( \displaystyle 2{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}+\frac{3}{{{y}^{2}}}=0\).
  3. 3
    Решите уравнение \( {{\sin }^{2}}x-\sin x\cdot \cos x-2{{\cos }^{2}}x=0\).

Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:

1. \( \displaystyle 3{{x}^{2}}+7xy+4{{y}^{2}}=0\text{ }\left| :{{y}^{2}}\ne 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ 3}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+7\frac{x}{y} \right.+4=0\text{ }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\)

\( \displaystyle \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+7t+4=0\);

\( D=49-48=1\)

\( \displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-7\pm 1}{6}\text{ }\Rightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=-\frac{4}{3}\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y}=-1\\\frac{x}{y}=-\frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Ответ: \( -\frac{4}{3};\text{ }-1\).

2. А здесь надо не делить, а умножать:

\( \displaystyle 2{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}+\frac{3}{{{y}^{2}}}=0\text{ }\left| \times {{y}^{2}}\ne 0 \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2{{\left( xy \right)}^{2}}+5xy+3=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}xy=1\\xy=\frac{3}{2}.\end{array} \right.\)

Ответ: \( 1;\text{ }1,5.\)

3Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.

Так как здесь нам нужно делить на \( {{\cos }^{2}}x\), убедимся сперва, сто он не равен нулю:

\( {{\cos }^{2}}x=0\text{ }\Rightarrow \text{ }{{\sin }^{2}}x=0\text{ }\Rightarrow \text{ }{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=0\), а это невозможно.

Значит, \( {{\cos }^{2}}x\ne 0\).

\( \displaystyle {{\sin }^{2}}x-\sin x\cdot \cos x-2{{\cos }^{2}}x=0\text{ }\left| :{{\cos }^{2}}x\ne 0 \right.\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \ \ \text{t}{{\text{g}}^{2}}x-tgx-2=0\text{ }\Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{l}tg\ x=2\\tg\ x=-1\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=arctg2+\pi k\\x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\end{array} \right.\text{ }k,n\in \mathbb{Z}.\)

Ответ: \( arctg2+\pi k;\text{ }-\frac{\pi }{4}+\pi n,\text{ }k,n\in \mathbb{Z}\).

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Опредление

Однородные уравнения – это уравнения вида \( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+...+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.

 Алгоритм

\( \displaystyle \left. a{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}=0 \right|\ :{{y}^{2}}\ne 0\)
\( \displaystyle a{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+b\left( \frac{x}{y} \right)+c=0\)
\( \displaystyle t=\frac{x}{y}\ \Rightarrow a{{t}^{2}}+bt+c=0\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Следующий шаг...

Сегодня ты разобрался с тем, как решать однородные уравнения. Я уверен, ты сможешь решить любое из них! Это просто дело практики 🙂

А теперь мы очень хотим услышать тебя!

Напиши в комментариях внизу, помогла ли тебе статья. Какой тип однородных уравнений тебе решать нравится больше всего? Почему?

А еще там же ты можешь задать любой вопрос. И мы непременно ответим тебе!

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Анна
    07 октября 2019
    Спасибо, все просто и понятно, по теме. Но тут не указано, что можно также делить на произведение неизвестных…

    Алексей Шевчук
    13 октября 2019
    Анна, действительно можно, но зачем? Ведь уравнение всё равно сведётся к рациональному, только теперь оно будет дробным, нужно будет приводить к общему знаменателю. Хотя, возможно, и есть примеры, которые выгоднее решать так. Сможете привести пример?

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >