Пирамида. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое пирамида?

Как она выглядит?

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

1

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания. Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

2

3

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

5

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.

Высота пирамиды.

Высота пирамидыперпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

6

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты. Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:

7

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

8

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.

Правильная пирамида.

Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов? Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» — это понятно. А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Шестиугольная: в основании – правильный шестиугольник, вершина $latex \displaystyle S$ проецируется в центр основания.

9

Четырёхугольная: в основании – квадрат, вершина $latex \displaystyle S$ проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

10

Треугольная: в основании – правильный треугольник, вершина $latex \displaystyle S$ проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

11

Очень важные свойства правильной пирамиды:

В правильной пирамиде

  • все боковые рёбра равны.
  • все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды:

1

$latex \displaystyle \Large V=\frac{1}{3}{{S}_{осн}}\cdot H$

Откуда взялась именно $latex \displaystyle \frac{1}{3}$? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть $latex \displaystyle \frac{1}{3}$, а у пирамиды и цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

2

Пусть сторона основания равна $latex \displaystyle a$, а боковое ребро равно $latex \displaystyle b$. Нужно найти $latex \displaystyle {{S}_{осн}}$ и $latex \displaystyle H$.

$latex \displaystyle {{S}_{осн}}$ — это площадь правильного треугольника $latex \displaystyle ABC$.

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

3

$latex \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma $.

У нас «$latex \displaystyle a$» — это $latex \displaystyle a$, а «$latex \displaystyle b$» — это тоже $latex \displaystyle a$, а $latex \displaystyle \sin \gamma =\sin 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значит, $latex \displaystyle {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдем $latex \displaystyle H$.

4

По теореме Пифагора для $latex \displaystyle \Delta SOC$

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}$.

Чему же равно $latex \displaystyle OC$? Это радиус описанной окружности в $latex \displaystyle \Delta ABC$, потому что пирамида правильная и, значит, $latex \displaystyle O$ — центр $latex \displaystyle \Delta ABC$.

Найдем $latex \displaystyle OC$ (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

5

$latex \displaystyle OC=\frac{2}{3}CK$, так как $latex \displaystyle O$ — точка пересечения и медиан тоже.

$latex \displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}$ (теорема Пифагора для $latex \displaystyle \Delta ACK$)

$latex \displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}$; $latex \displaystyle CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Значит, $latex \displaystyle OC=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Подставим $latex \displaystyle OC$ в формулу для $latex \displaystyle H$.

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}$

И подставим все в формулу объема:

$latex \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}$

$latex \displaystyle V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}$.

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. $latex \displaystyle b=a$), то формула получается такой:

$latex \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{6\sqrt{2}}$.

Объем правильной четырехугольной пирамиды

6

Пусть сторона основания равна $latex \displaystyle a$, а боковое ребро равно $latex \displaystyle b$.

$latex \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}H$.

Здесь $latex \displaystyle {{S}_{OCH}}$ и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому $latex \displaystyle {{S}_{OCH}}={{a}^{2}}$.

Найдем $latex \displaystyle H$. По теореме Пифагора для $latex \displaystyle \Delta SOD$

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{D}^{2}}$.

Известно ли нам $latex \displaystyle OD$? Ну, почти. Смотри:

7

$latex \displaystyle OD=a\cdot \cos 45{}^\circ =\frac{a}{\sqrt{2}}$ (это мы увидели, рассмотрев $latex \displaystyle \Delta COD$).

Подставляем $latex \displaystyle OD$ в формулу для $latex \displaystyle H$:

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}$;

$latex \displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}$

А теперь и $latex \displaystyle H$ и $latex \displaystyle {{S}_{OCH}}$ подставляем в формулу объема.

$latex \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H=\frac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}$.

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.

Объем правильной шестиугольной пирамиды.

8

Пусть сторона основания равна $latex \displaystyle a$, а боковое ребро $latex \displaystyle b$.

$latex \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H$.

Как найти $latex \displaystyle {{S}_{OCH}}$? Смотри, шестиугольник $latex \displaystyle ABCDEF$ состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

$latex \displaystyle {{S}_{ABCDEF}}=6\cdot {{S}_{AOF}}=6\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$

Теперь найдем $latex \displaystyle H$ (это $latex \displaystyle SO$).

По теореме Пифагора для $latex \displaystyle \Delta SOE$

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-OE$?

Но чему же равно $latex \displaystyle OE$? Это просто $latex \displaystyle a$, потому что $latex \displaystyle \Delta EOF$ (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}$

$latex \displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$

Подставляем:

$latex \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OSN}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$

$latex \displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий