Пирамида. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое пирамида?

Как она выглядит?

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

1

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания. Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

2

3

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

5

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.

Высота пирамиды.

Высота пирамидыперпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

6

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты. Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:

7

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

8

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.

Правильная пирамида.

Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов? Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» — это понятно. А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Шестиугольная: в основании – правильный шестиугольник, вершина \(\displaystyle S\) проецируется в центр основания.

9

Четырёхугольная: в основании – квадрат, вершина \(\displaystyle S\) проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

10

Треугольная: в основании – правильный треугольник, вершина \(\displaystyle S\) проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

11

Очень важные свойства правильной пирамиды:

В правильной пирамиде

  • все боковые рёбра равны.
  • все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды:

1

\(\displaystyle \Large V=\frac{1}{3}{{S}_{осн}}\cdot H\)

Откуда взялась именно \(\displaystyle \frac{1}{3}\)? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \(\displaystyle \frac{1}{3}\), а у пирамиды и цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

2

Пусть сторона основания равна \(\displaystyle a\), а боковое ребро равно \(\displaystyle b\). Нужно найти \(\displaystyle {{S}_{осн}}\) и \(\displaystyle H\).

\(\displaystyle {{S}_{осн}}\) — это площадь правильного треугольника \(\displaystyle ABC\).

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

3

\(\displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma \).

У нас «\(\displaystyle a\)» — это \(\displaystyle a\), а «\(\displaystyle b\)» — это тоже \(\displaystyle a\), а \(\displaystyle \sin \gamma =\sin 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Значит, \(\displaystyle {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Теперь найдем \(\displaystyle H\).

4

По теореме Пифагора для \(\displaystyle \Delta SOC\)

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}\).

Чему же равно \(\displaystyle OC\)? Это радиус описанной окружности в \(\displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамида правильная и, значит, \(\displaystyle O\) — центр \(\displaystyle \Delta ABC\).

Найдем \(\displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

5

\(\displaystyle OC=\frac{2}{3}CK\), так как \(\displaystyle O\) — точка пересечения и медиан тоже.

\(\displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}\) (теорема Пифагора для \(\displaystyle \Delta ACK\))

\(\displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\); \(\displaystyle CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Значит, \(\displaystyle OC=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Подставим \(\displaystyle OC\) в формулу для \(\displaystyle H\).

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}\)

И подставим все в формулу объема:

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}\)

\(\displaystyle V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}\).

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \(\displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

\(\displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{6\sqrt{2}}\).

Объем правильной четырехугольной пирамиды

6

Пусть сторона основания равна \(\displaystyle a\), а боковое ребро равно \(\displaystyle b\).

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}H\).

Здесь \(\displaystyle {{S}_{OCH}}\) и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому \(\displaystyle {{S}_{OCH}}={{a}^{2}}\).

Найдем \(\displaystyle H\). По теореме Пифагора для \(\displaystyle \Delta SOD\)

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{D}^{2}}\).

Известно ли нам \(\displaystyle OD\)? Ну, почти. Смотри:

7

\(\displaystyle OD=a\cdot \cos 45{}^\circ =\frac{a}{\sqrt{2}}\) (это мы увидели, рассмотрев \(\displaystyle \Delta COD\)).

Подставляем \(\displaystyle OD\) в формулу для \(\displaystyle H\):

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}\);

\(\displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}\)

А теперь и \(\displaystyle H\) и \(\displaystyle {{S}_{OCH}}\) подставляем в формулу объема.

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H=\frac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}\).

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.

Объем правильной шестиугольной пирамиды.

8

Пусть сторона основания равна \(\displaystyle a\), а боковое ребро \(\displaystyle b\).

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H\).

Как найти \(\displaystyle {{S}_{OCH}}\)? Смотри, шестиугольник \(\displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

\(\displaystyle {{S}_{ABCDEF}}=6\cdot {{S}_{AOF}}=6\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\)

Теперь найдем \(\displaystyle H\) (это \(\displaystyle SO\)).

По теореме Пифагора для \(\displaystyle \Delta SOE\)

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-OE\)?

Но чему же равно \(\displaystyle OE\)? Это просто \(\displaystyle a\), потому что \(\displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}\)

\(\displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

Подставляем:

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OSN}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

\(\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *