Практические задачи. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Данный раздел поможет тебе научиться решать задачи B1 и B4. Давай попробуем рассмотреть, в чем особенности каждого из этих типов заданий.

Задачи B1

Задачи B1 – одни из самых простых в ЕГЭ. Для их решения нужно применить жизненные знания и произвести несколько элементарных арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление). Вот собственно и все. Всегда обращай внимание на эти два момента!

Алгоритм решения задач такой:

1. Нужно выделить математическое содержание из словесного описания задачи.

2. Исходя из общей, житейской логики, проверить правильность решения.

Давай посмотрим на примере.

Практические задачи. Примеры.

Пример 1.

Шоколадка стоит $latex \displaystyle 28$ рублей. Какое наибольшее количество шоколадок можно купить на $latex \displaystyle 160$ рублей.

Решение.

  1. Всего у нас есть $latex \displaystyle 160$ рублей. На $latex \displaystyle 28$ рублей можно купить $latex \displaystyle 1$ шоколадку. А на $latex \displaystyle 160$ рублей — $latex \displaystyle \frac{160}{28}=5,714$ шоколадки.
  2. А теперь подумаем, можно ли купить $latex \displaystyle 5,714$ шоколадки? Конечно же нет! Можно купить или $latex \displaystyle 5$ или $latex \displaystyle 6$ шоколадок. Очевидно, что нам хватит денег только на $latex \displaystyle 5$, ведь $latex \displaystyle 6$ шоколадок будут стоить — $latex \displaystyle 6\cdot 28=168$. А у нас есть только $latex \displaystyle 160$.

Ответ: $latex \displaystyle 5$.

Это был совсем простой пример. Теперь давай посмотрим более реалистичные задачи.

Пример 2.

Булка хлеба стоит $latex \displaystyle 20$ рублей. Какое максимальное количество булок хлеба можно купить на $latex \displaystyle 150$ рублей, после повышения цены хлеба на $latex \displaystyle 10$%?

Решение.

  1. а)Сколько мы можем купить хлеба? Наша сумма ($latex \displaystyle 150$ рублей), деленная на цену хлеба. Но цена изменилась. Давай найдем новую цену.
    б)Произошло повышение на $latex \displaystyle 10$%. А чему равняется $latex \displaystyle 1$ процент от старой цены ($latex \displaystyle 20$ рублей)? Процент – это сотая доля числа, а значит $latex \displaystyle 1$ процент = $latex \displaystyle \frac{20}{100}=0,2$. А $latex \displaystyle 10$ таких процентов? Правильно, десять умножить на $latex \displaystyle 1$ процент: $latex 0,2\cdot 10=2$. Значит, цена увеличилась на $latex \displaystyle 2$ рубля и стала составлять $latex \displaystyle 20+2=22$ рубля.
    в)Теперь находим максимальное количество булок хлеба: $latex \displaystyle \frac{150}{22}=6,8181$.
  2. Можно ли купить $latex \displaystyle 6,8181$ булок хлеба? Нет. Или $latex \displaystyle 6$ или $latex \displaystyle 7$. Денег на $latex \displaystyle 7$ булок нам не хватит ($latex \displaystyle 7\cdot 22=154$ рубля). Значит ответ $latex \displaystyle 6$.

Ответ: $latex \displaystyle 6$.

Если тебе не совсем понятен пункт 1. б) – повтори раздел «Дроби, проценты, рациональные числа».

Попробуй решить несколько похожих задач самостоятельно:

  1. Оптовая цена футболки $latex \displaystyle 80$ рублей. Розничная цена на $latex \displaystyle 80$% выше оптовой. Какое наибольшее число футболок можно купить по розничной цене на $latex \displaystyle 1500$ рублей?
  2. Магазин покупает саженцы розы по оптовой цене $latex \displaystyle 100$ рублей за штуку и продает с наценкой $latex \displaystyle 15$%. Какое наибольшее количество саженцев можно купить в этом магазине на $latex \displaystyle 500$ рублей?
  3. Футболка стоит $latex \displaystyle 200$ руб. Какое наибольшее количество футболок можно купить на $latex \displaystyle 1500$ рублей во время распродажи с учетом $latex \displaystyle 20$% скидки.

Ответы:

  1. $latex \displaystyle 10$
  2. $latex \displaystyle 4$
  3. $latex \displaystyle 9$

Хватит покупок. Теперь давай рассмотрим задачи чуть-чуть сложнее.

Пример 3.

Больному ангиной необходимо пить $latex \displaystyle 1$ столовую ложку сиропа $latex \displaystyle 4$ раза в день. В одной ложке содержится $latex \displaystyle 15$ мл лекарства, которое необходимо принимать в течение $latex \displaystyle 2$ недель. Сироп продается в бутылочках по $latex \displaystyle 200$ мл. Какого наименьшего количества бутылочек хватит на весь курс лечения?

Решение.

Ух… Сироп, лекарство, бутылочки… С какой стороны подступить… Давай начнем с начала.

  1. Выделяем математическое содержание из словесного описания.
    «$latex \displaystyle 1$ столовая ложка сиропа $latex \displaystyle 4$ раза в день». То есть $latex \displaystyle 4$ ложки в день. «В одной ложке $latex \displaystyle 15$ мл лекарства». Значит на $latex \displaystyle 1$ день нам нужно $latex \displaystyle 15\cdot 4=60$ мл лекарства.
    «Курс длится $latex \displaystyle 2$ недели», или $latex \displaystyle 14$ дней. Значит на весь курс нужно $latex \displaystyle 60\cdot 14=840$ мл лекарства. Вот теперь уже все ясно. Посчитаем количество бутылочек $latex \displaystyle \frac{840}{200}=4,2$:
  2. $latex \displaystyle 4$ или $latex \displaystyle 5$ бутылочек? Очевидно, что $latex \displaystyle 4$ нам не хватит (ведь в них только $latex \displaystyle 800$ мл лекарства). Значит нужно покупать $latex \displaystyle 5$ бутылочек.

Ответ: $latex \displaystyle 5$.

Пример 4.

Одного рулона обоев хватает для поклейки полосы от пола до потолка шириной $latex \displaystyle 1,2$ м. Сколько нужно рулонов обоев для оклейки прямоугольной комнаты размерами $latex \displaystyle 3,6$ м  на  $latex \displaystyle 4,8$ м?

Решение.

  1. Одного рулона нам хватит на $latex \displaystyle 1,2$ метра. Значит нужно посчитать, сколько таких метров нужно на всю комнату (найти периметр комнаты): $latex 3,6\cdot 2+4,8\cdot 2=16,8$ м.
  2. А теперь найдем количество рулонов обоев: $latex \displaystyle \frac{16,8}{1,2}=14$ .

Ответ: $latex \displaystyle 14$.

Ну и последний типичный пример.

Пример 5.

Алеша вылетает на самолете из Москвы в Пекин в $latex \displaystyle 19:20$ и прибывает в $latex \displaystyle 3:50$ по московскому времени. Сколько часов длится полет?

Решение.

Простая и житейская задача. А как можно посчитать? Можно воспользоваться двумя самыми простыми способами.

Способ 1.

Длительность перелета можно посчитать путем сложения количества часов полета до $latex \displaystyle 00:00$ и после $latex \displaystyle 00:00$.

Тогда из $latex \displaystyle 24$ часов вычтем $latex \displaystyle 19$ часов $latex \displaystyle 20$ минут и получим $latex \displaystyle 4$ часа $latex \displaystyle 40$ минут.

т.е. до полуночи полет длился $latex \displaystyle 4$ часа $latex \displaystyle 40$ минут. После полуночи полет длился $latex \displaystyle 3$ часа $latex \displaystyle 50$ минут.

Сначала сложим часы $latex \displaystyle 4+3=7$ часов.

Затем минуты $latex \displaystyle 40+50=90$ минут, что эквивалентно $latex \displaystyle 1$ часу и $latex \displaystyle 30$ минутам.

$latex \displaystyle 7$ часов + $latex \displaystyle 1$ час $latex \displaystyle 30$ минут = $latex \displaystyle 8$ часов $latex \displaystyle 30$ минут – длительность перелета из Москвы в Пекин.

Способ 2.

Альтернативный вариант. Изобразим на картинке указанный промежуток полета зеленым цветом.

Промежуток полета. Визуализация.

И теперь ясно, что найти искомый промежуток времени можно, если из $latex \displaystyle 24$ часов вычесть время вне полета (ту часть временной шкалы, которая закрашена черным).

Найдем это черный промежуток: из $latex \displaystyle 19$ часов $latex \displaystyle 20$ минут вычтем $latex \displaystyle 3$ часа $latex \displaystyle 50$ минут и получим $latex \displaystyle 15$ часов $latex \displaystyle 30$ минут.

Теперь осталось из $latex \displaystyle 24$ часов вычесть получившийся результат:  $latex \displaystyle 24$ часа минус  $latex \displaystyle 15$ часов  $latex \displaystyle 30$ минут =  $latex \displaystyle 8$ часов  $latex \displaystyle 30$ минут.

При записи ответа нужно помнить, что нас просили дать ответ в часах, а  $latex \displaystyle 30$ минут – это полчаса, или  $latex \displaystyle 0,5$ часа, т.е. полет длится  $latex \displaystyle 8,5$ часов.

Ответ: $latex \displaystyle 8,5$

Попробуй решить несколько задач самостоятельно:

  1. На кладку тротуаров расходуется $latex \displaystyle 350$ плиток в день. В машину, которая поставляет плитки с завода на склад, помещается $latex \displaystyle 2800$ плиток. Какое наименьшее число рейсов должна совершить машина, чтобы привезти запас на $latex \displaystyle 5$ недель?
  2. Кекс стоит $latex \displaystyle 45$ рублей. В субботу в кондитерской действует специальное предложение: заплатив за $latex \displaystyle 2$ кекса, покупатель получает $latex \displaystyle 3$ (один в подарок). Сколько кексов можно получить на $latex \displaystyle 250$ рублей в субботу?
  3. Для приготовления малинового морса требуется $latex \displaystyle 300$ мл варенья на $latex \displaystyle 1,5$ литра кипяченой воды. Какое наименьшее количество полулитровых банок варенья необходимо для приготовления $latex \displaystyle 4,5$ литров морса?
  4. В гимназии «Всезнайка» учится $latex \displaystyle 1500$ учеников. Среди них $latex \displaystyle 15$% после окончания гимназии поступают в вузы родного города, а остальные – в вузы других городов. Среди уезжающих выпускников $latex \displaystyle 40$% поступает на технические специальности. Сколько уезжающих выпускников поступает на другие специальности?
  5. Самолет Москва-Пхукет отправляется в $latex \displaystyle 17:40$, а прибывает в $latex \displaystyle 3:10$ на следующий день (время московское). Сколько часов самолет находится в пути?
  6. Одного рулона обоев хватает для поклейки полосы от пола до потолка шириной $latex \displaystyle 1,4$ м. Сколько нужно рулонов обоев для оклейки прямоугольной комнаты размерами $latex \displaystyle 4,6$ м на $latex \displaystyle 5,7$ м

Ответы:

  1. $latex \displaystyle 5$
  2. $latex \displaystyle 7$
  3. $latex \displaystyle 2$
  4. $latex \displaystyle 765$
  5. $latex \displaystyle 9,5$
  6. $latex \displaystyle 19$

Больше задач — после регистрации.

Задачи B4

В задачах B4 требуется из нескольких вариантов, представленных для выбора, найти оптимальный.

Пример 6.
Максим хочет заниматься в тренажерном зале, и у него есть выбор между пакетами услуг, предлагаемыми залом. Максим предполагает, что будет посещать зал $latex \displaystyle 14$ раз в месяц. Сколько нужно заплатить Максиму за месяц занятий, если он выбирает самый дешевый вариант?

Пакет услуг Месячный абонемент Плата за каждое отдельное занятие сверх абонемента
(руб.)
А нет 300
Б 10 занятий за 2800 рублей 290
В 15 занятий за 4050 рублей 280

Решение.
Для решения таких задач нужно рассмотреть и просчитать каждый вариант в отдельности, а затем выбрать тот, который отвечает условию (в нашем случае – самый дешевый).
Давай считать.

  1. Пакет А. Здесь подразумевается плата за каждое занятие в отдельности. $latex \displaystyle 14$ занятий по $latex \displaystyle 300$ рублей – это $latex \displaystyle 14\cdot 300=4200$ рублей.
  2. Пакет Б. Максим приобретает $latex \displaystyle 10$ занятий за $latex \displaystyle 2800$ рублей, а оставшиеся $latex \displaystyle 14-10=4$ занятия по $latex \displaystyle 290$ рублей, т.е. за $latex \displaystyle 4\cdot 290=1160$ рублей. Всего в этом случае Максим потратит $latex \displaystyle 2800+1160=3960~$ рублей.
  3. Пакет В. Покупается $latex \displaystyle 15$ занятий за $latex \displaystyle 4050$ рублей. Одно занятие в итоге сгорает.

Посчитав каждый из вариантов мы знаем, что наиболее выгодным для Максима оказался вариант Б, выбрав который, он заплатит $latex \displaystyle 3960$ рублей.

Ответ: $latex \displaystyle 3960$.

Видишь, ничего сложного!

Давай рассмотрим пример посложнее.

Пример 7.

Независимое агенство каждый месяц определяет рейтинг развлекательных журналов на основе следующих показателей:

  • I – показатель информативности
  • R – количество рекламы
  • O – показатель объективности
  • K – качество бумаги

Рейтинг рассчитывается по формуле: $latex \displaystyle R=30\left( \frac{3I-3R+5O+2K}{4}+1 \right)$.

В таблице представлены показатели четырех журналов.

Журнал I R O К
А 3 2 -2 3
Б -1 4 2 2
В 2 1 -1 1
Г 1 0 2 0

Найдите наивысший рейтинг журнала из представленных в таблице.

Решение.

Решение ничем не отличается от предыдущей задачи. Только здесь значения из таблицы нужно подставлять в формулу.

Давай посчитаем рейтинг для журнала А.

$latex {{R}_{a}}=30\left( \frac{3\cdot 3-3\cdot 2+5\left( -2 \right)+2\cdot 3}{4}+1 \right)=$

$latex =30\left( \frac{9-6-10+6}{4}+1 \right)=30\left( -0,25+1 \right)=$

$latex =30\cdot 0,75=22,5$

Для остальных журналов, посчитай значения сам!

Теперь подставим полученные результаты в таблицу и посмотрим, у какого журнала наивысший рейтинг и сколько он составляет.

Журнал I R O K Рейтинг
А 3 2 -2 3 22,5
Б -1 4 2 2 22,5
В 2 1 -1 1 30
Г 1 0 2 0 127,5

Теперь ясно, что наивысший рейтинг $latex \displaystyle 127,5$ у журнала Г.

Ответ: $latex \displaystyle 127,5$.

В задачах варианты могут быть представлены и без таблицы. Давай рассмотрим такой пример.

Пример 8.

Семья из трех человек планирует поехать отдыхать из Москвы в Крым (Симферополь). Можно полететь самолетом, а можно – на своей машине. Билет на самолет на одного человека стоит $latex \displaystyle 4500$ рублей туда и обратно. Автомобиль расходует $latex \displaystyle 10$ литров бензина на $latex \displaystyle 100$ км, а цена бензина – $latex \displaystyle 32,5$ рубля за $latex \displaystyle 1$ литр. Расстояние от Москвы до Симферополя – $latex \displaystyle 1800$ км. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую поездку на троих туда и обратно?

Решение.

Здесь нужно рассмотреть каждый вариант в отдельности и выбрать самый дешевый – прям как в задачах с таблицами!

Давай считать:

  1. Полет на самолете. Тут все просто: $latex \displaystyle 3$ человека по $latex \displaystyle 4500$ рублей – это $latex \displaystyle 13500$ рублей.
  2. Поездка на машине. Туда и обратно – это $latex \displaystyle 1800+1800=3600$  километров. Машина расходует $latex \displaystyle 10$ литров на $latex \displaystyle 100$ километров, или $latex \displaystyle 100$ литров на $latex \displaystyle 1000$ километров. А у нас $latex \displaystyle 3,6$ тысяч километров, а значит $latex \displaystyle 100$ литров умножаем на $latex \displaystyle 3,6$ – $latex \displaystyle 360$ литров бензина. Именно столько нам нужно, чтобы совершить поездку. Один литр стоит $latex \displaystyle 32,5$ рублей, а значит общая стоимость поездки будет:
    $latex \displaystyle 360\cdot 32,5=11700$ рублей.

На машине ехать дешевле!

Ответ: $latex \displaystyle 11700$.

А теперь примеры для самостоятельного решения:

  1. Мобильный оператор предлагает три тарифных плана интернет услуг, представленных в таблице.
    Тарифный план Абонентская плата
    (руб.)
    Плата за трафик
    «Ноль» нет 0,7 рублей за 1 Mb
    «1000» 200 0,5 рублей за 1 Mb сверх 1000 Mb
    «Безлимит» 500 нет

    Пользователь планирует, что его трафик не будет превышать $latex \displaystyle 1500$ Mb. Сколько рублей в месяц будет тратить пользователь, если выберет самый выгодный тарифный план?

  2. Строительной фирме нужно приобрести $latex \displaystyle 90$ кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Определите наименьшую стоимость покупки вместе с доставкой (в рублях). Цена и условия доставки приведены в таблице.
    Поставщик Цена бруса
    (руб. за м3)
    Стоимость доставки
    (руб.)
    Дополнительные условия
    А 1600 15000
    Б 1700 6000 При заказе на сумму свыше 150 000 руб. – доставка бесплатно
    В 1800 8000 При заказе на сумму свыше 170 000 руб. – доставка бесплатно
  3. Для строительства дома можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный и пеноблочный. Для фундамента из пеноблоков нужно $latex \displaystyle 5$ кубометров пеноблоков и $latex \displaystyle 2$ мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо $latex \displaystyle 3$ тонны щебня и $latex \displaystyle 35$ мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит $latex \displaystyle 2500$ рублей, щебень стоит $latex \displaystyle 1000$ рублей за тонну, а мешок цемента – $latex \displaystyle 300$ рублей. Сколько рублей понадобится на покупку материала, если выбирается самый дешевый вариант?
  4. На игровом сервере ведется рейтинг игроков на основе следующих показателей:

    • W – процент побед
    • K – количество боев
    • A – точность стрельбы
    • L – уровень персонажа

    Рейтинг считается по формуле: $latex \displaystyle R=\frac{K}{100L}+100W+50A$.
    В таблице представлены показатели 4 игроков.

    Журнал W K A L
    А 0,6 100 0,4 7
    Б 0,52 100 0,51 2
    В 0,55 400 0,55 4
    Г 0,49 3000 0,45 11

Найдите наивысший рейтинг, среди игроков, представленных в таблице.

Ответы:

  1. $latex \displaystyle 450$
  2. $latex \displaystyle 153000$
  3. $latex \displaystyle 13100$
  4. $latex \displaystyle 83,5$

Проверь себя — реши практические задачи.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий