Секущие и хорды в окружности. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинку:

1 Здесь \(\displaystyle AC\) – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
Хорды в окружности рис. 1 Здесь \(\displaystyle BC\) — хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда \(\displaystyle BC\) является кусочком секущей \(\displaystyle AC\)? Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас \(\displaystyle AB\) – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущих и хордах в окружности? Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе «Теоремы синусов и косинусов» — с длины хорды в окружности.

Длина хорды в окружности

Пусть \(\displaystyle AB\) – хорда, \(\displaystyle R\) – радиус, \(\displaystyle \angle ABC\) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду \(\displaystyle AB\).Тогда \(\Large\frac{AB}{\sin \alpha }=2R\)

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды можно найти по формуле:

\(\displaystyle AB=2R\sin \alpha \)

Обратите внимание: из этой формулы видно, что если ты знаешь радиус окружности и то, сколько градусов «сидит» в дуге, которую стягивает хорда, то ты можешь считать, что знаешь и длину хорды.

И наоборот, чтобы узнать радиус окружности, достаточно знать длину всего-то одной хорды в окружности и величину соответствующего вписанного угла. А можно центрального? Конечно, можно – центральный угол нужно будет просто-напросто поделить на \(\displaystyle 2\) –  и получится вписанный (если не помнишь этого – смотри тему «Окружность. Вписанный угол»).

Проверь себя — реши задачи на секущие и хорды в окружности.

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих. Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Смотри:

Произведение длин отрезков хорд Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку \(\displaystyle A\), выполняется: \(\Large AB\cdot AC=AD\cdot AE\)
Произведение длин отрезков секущих Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку \(\displaystyle A\), выполняется:\(\Large AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Вопрос первый: почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ первый: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же –  удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Ответ второй: Смотри, точки на окружности мы отметили голубым, а «особенную» точку \(\displaystyle A\) – оранжевым. А теперь погляди внимательно на формулы с произведениями:

Безымянный

В каждом отрезке участвуют «особенная» точка \(\displaystyle A\). Крайне важно это помнить, когда имеешь дело с секущими (с хордами почему-то всем легче). Осознай всё это и НИКОГДА НЕ ПИШИ ТАК:

2

Вопрос третий: а доказывать будем?

Ответ третий: Будем – это совсем несложно и ОЧЕНЬ полезно.

Итак, сперва о хордах. Повторим формулировку.

6 Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку \(\displaystyle A\), выполняется: \(AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

А теперь попробуем доказать.

7 Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle AEC\). У них углы \(\displaystyle A\) равны как вертикальные и \(\angle DBC=\angle DEC\), потому что они опираются на одну дугу \(\displaystyle DC\).
Значит, \(\displaystyle \triangle ABD\sim \triangle AEC\) по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).

Запишем, что же нам даёт это подобие.

23

Перепишем это отношение в виде произведения:

\(AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Ух! Вот и всё – доказали!

На самом деле откроем маленький секрет – в задачах чаще всего используется именно подобие \(\triangle ABD\) и \(\triangle AEC\), а не просто «голое» произведение \(\displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE\).

Теперь перейдём к секущим. Ещё раз формулировку:

5 Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку \(\displaystyle A\), выполняется: \(AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Докажем? Снова рассмотрим \(\displaystyle \triangle ABD\) и \(\displaystyle \triangle AEC\).

9
  1. У них есть общий \(\angle A\).
  2. Четырехугольник \(BCED\) — вписанный (срочно повторяем или читаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Значит, \(\angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна \(180{}^\circ \)). Но \(\angle 2+\angle 3=180{}^\circ \) — как смежные углы (смотри на картинку).

Что же получилось?

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle 1+\angle 2=180{}^\circ \\\angle 2+\angle 3=180{}^\circ \end{array} \right.\Rightarrow \angle 1=\angle 3\)

То есть \(\underbrace{\angle ACE}_{в\ \triangle AEC}=\underbrace{\angle ADB}_{в\ \triangle ABD\ }\).

Из всего этого следует, что \(\triangle AEC\sim \triangle ABD\) по двум углам (\(\angle A\) – общий и \(\angle ACE=\angle ADB\)).

Снова запишем отношение соответствующих сторон:

23

Перепишем в виде произведения:

\(AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Доказали!

И опять тот же секрет: помни не только о равенстве произведений, но и о том, что на картинке с двумя секущими всегда и непременно есть два подобных треугольника – это часто помогает решить задачу.

Проверь себя — реши задачи на секущие и хорды в окружности.

Касательные и секущие

Касательные и секущие рис. 1 В предыдущем пункте мы выяснили, что \(AB\cdot AC=AD\cdot AE\)

Но возникает вопрос: а что будет, если секущая \(AC\) и «превратится» в касательную? Вот так:

Касательные и секущие рис. 2 Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:
Для любых секущей и касательной, проходящих через точку \(A\), верно: \(\Large A{{C}^{2}}=AD\cdot AE\).

Тут точки \(B\) и \(C\) как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?

Давай докажем то, что сформулировали.

Касательные и секущие рис. 3  Здесь рассмотрим \(\triangle ACD\)и \(\triangle AEC\).

  1. \(\angle A\) — общий
  2. \(\angle ACD\) — угол между касательной \(AC\) и хордой \(CD\), а \(\angle DEC\) — вписанный, опирающийся на дугу \(CD\).

Значит, по теореме об угле между касательной и хордой (заглядываем в раздел «Касательные. Касающиеся окружности»).

\(\angle ACD=\angle AEC\)

Получилось, что \(\triangle ACD\sim \triangle AEC\) по двум углам (\(\angle A\) – общий и \(\angle ACD=\angle AEC\)).

Запишем отношения:

24

Снова перейдём к произведению:

\(A{{C}^{2}}=AD\cdot AE\)

И снова видим, что нужное утверждение доказано.

И в третий раз напомню о секрете: важно помнить не только то, \(A{{C}^{2}}=AD\cdot AE\), но в большей степени то, что на картинке с касательной и секущей есть два «хитро» подобных треугольника \(ACD\) и \(AEC\). Тогда ты сможешь извлекать и дополнительные соотношения.

Ну вот, например:

\(\frac{CD}{CE}=\frac{AD}{AC}\), то есть \(AC\cdot CD=AD\cdot CE\)

Видишь, это уже совсем никак не запоминающееся соотношение, а вот если помнить про подобие, то ни дробь, ни произведение запоминать не надо – они сами выйдут, кода понадобятся.

Проверь себя — реши задачи на секущие и хорды в окружности.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий