Секущие и хорды в окружности. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинку:

1 Здесь $latex \displaystyle AC$ – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
Хорды в окружности рис. 1 Здесь $latex \displaystyle BC$ — хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда $latex \displaystyle BC$ является кусочком секущей $latex \displaystyle AC$? Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас $latex \displaystyle AB$ – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущих и хордах в окружности? Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе «Теоремы синусов и косинусов» — с длины хорды в окружности.

Длина хорды в окружности

Пусть $latex \displaystyle AB$ – хорда, $latex \displaystyle R$ – радиус, $latex \displaystyle \angle ABC$ – любой вписанный угол, опирающийся на хорду $latex \displaystyle AB$.Тогда $latex \Large\frac{AB}{\sin \alpha }=2R$

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды можно найти по формуле:

$latex \displaystyle AB=2R\sin \alpha $

Обратите внимание: из этой формулы видно, что если ты знаешь радиус окружности и то, сколько градусов «сидит» в дуге, которую стягивает хорда, то ты можешь считать, что знаешь и длину хорды.

И наоборот, чтобы узнать радиус окружности, достаточно знать длину всего-то одной хорды в окружности и величину соответствующего вписанного угла. А можно центрального? Конечно, можно – центральный угол нужно будет просто-напросто поделить на $latex \displaystyle 2$ –  и получится вписанный (если не помнишь этого – смотри тему «Окружность. Вписанный угол»).

Проверь себя — реши задачи на секущие и хорды в окружности.

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих. Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Смотри:

Произведение длин отрезков хорд Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку $latex \displaystyle A$, выполняется: $latex \Large AB\cdot AC=AD\cdot AE$
Произведение длин отрезков секущих Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку $latex \displaystyle A$, выполняется:$latex \Large AB\cdot AC=AD\cdot AE$

Вопрос первый: почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ первый: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же –  удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Ответ второй: Смотри, точки на окружности мы отметили голубым, а «особенную» точку $latex \displaystyle A$ – оранжевым. А теперь погляди внимательно на формулы с произведениями:

Безымянный

В каждом отрезке участвуют «особенная» точка $latex \displaystyle A$. Крайне важно это помнить, когда имеешь дело с секущими (с хордами почему-то всем легче). Осознай всё это и НИКОГДА НЕ ПИШИ ТАК:

2

Вопрос третий: а доказывать будем?

Ответ третий: Будем – это совсем несложно и ОЧЕНЬ полезно.

Итак, сперва о хордах. Повторим формулировку.

6 Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку $latex \displaystyle A$, выполняется: $latex AB\cdot AC=AD\cdot AE$

А теперь попробуем доказать.

7 Рассмотрим $latex \triangle ABD$ и $latex \triangle AEC$. У них углы $latex \displaystyle A$ равны как вертикальные и $latex \angle DBC=\angle DEC$, потому что они опираются на одну дугу $latex \displaystyle DC$.
Значит, $latex \displaystyle \triangle ABD\sim \triangle AEC$ по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).

Запишем, что же нам даёт это подобие.

23

Перепишем это отношение в виде произведения:

$latex AB\cdot AC=AD\cdot AE$

Ух! Вот и всё – доказали!

На самом деле откроем маленький секрет – в задачах чаще всего используется именно подобие $latex \triangle ABD$ и $latex \triangle AEC$, а не просто «голое» произведение $latex \displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE$.

Теперь перейдём к секущим. Ещё раз формулировку:

5 Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку $latex \displaystyle A$, выполняется: $latex AB\cdot AC=AD\cdot AE$

Докажем? Снова рассмотрим $latex \displaystyle \triangle ABD$ и $latex \displaystyle \triangle AEC$.

9
  1. У них есть общий $latex \angle A$.
  2. Четырехугольник $latex BCED$ — вписанный (срочно повторяем или читаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Значит, $latex \angle 1+\angle 2=180{}^\circ $ (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $latex 180{}^\circ $). Но $latex \angle 2+\angle 3=180{}^\circ $ — как смежные углы (смотри на картинку).

Что же получилось?

$latex \left\{ \begin{array}{l}\angle 1+\angle 2=180{}^\circ \\\angle 2+\angle 3=180{}^\circ \end{array} \right.\Rightarrow \angle 1=\angle 3$

То есть $latex \underbrace{\angle ACE}_{в\ \triangle AEC}=\underbrace{\angle ADB}_{в\ \triangle ABD\ }$.

Из всего этого следует, что $latex \triangle AEC\sim \triangle ABD$ по двум углам ($latex \angle A$ – общий и $latex \angle ACE=\angle ADB$).

Снова запишем отношение соответствующих сторон:

23

Перепишем в виде произведения:

$latex AB\cdot AC=AD\cdot AE$

Доказали!

И опять тот же секрет: помни не только о равенстве произведений, но и о том, что на картинке с двумя секущими всегда и непременно есть два подобных треугольника – это часто помогает решить задачу.

Проверь себя — реши задачи на секущие и хорды в окружности.

Касательные и секущие

Касательные и секущие рис. 1 В предыдущем пункте мы выяснили, что $latex AB\cdot AC=AD\cdot AE$

Но возникает вопрос: а что будет, если секущая $latex AC$ и «превратится» в касательную? Вот так:

Касательные и секущие рис. 2 Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:
Для любых секущей и касательной, проходящих через точку $latex A$, верно: $latex \Large A{{C}^{2}}=AD\cdot AE$.

Тут точки $latex B$ и $latex C$ как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?

Давай докажем то, что сформулировали.

Касательные и секущие рис. 3  Здесь рассмотрим $latex \triangle ACD$и $latex \triangle AEC$.

  1. $latex \angle A$ — общий
  2. $latex \angle ACD$ — угол между касательной $latex AC$ и хордой $latex CD$, а $latex \angle DEC$ — вписанный, опирающийся на дугу $latex CD$.

Значит, по теореме об угле между касательной и хордой (заглядываем в раздел «Касательные. Касающиеся окружности»).

$latex \angle ACD=\angle AEC$

Получилось, что $latex \triangle ACD\sim \triangle AEC$ по двум углам ($latex \angle A$ – общий и $latex \angle ACD=\angle AEC$).

Запишем отношения:

24

Снова перейдём к произведению:

$latex A{{C}^{2}}=AD\cdot AE$

И снова видим, что нужное утверждение доказано.

И в третий раз напомню о секрете: важно помнить не только то, $latex A{{C}^{2}}=AD\cdot AE$, но в большей степени то, что на картинке с касательной и секущей есть два «хитро» подобных треугольника $latex ACD$ и $latex AEC$. Тогда ты сможешь извлекать и дополнительные соотношения.

Ну вот, например:

$latex \frac{CD}{CE}=\frac{AD}{AC}$, то есть $latex AC\cdot CD=AD\cdot CE$

Видишь, это уже совсем никак не запоминающееся соотношение, а вот если помнить про подобие, то ни дробь, ни произведение запоминать не надо – они сами выйдут, кода понадобятся.

Проверь себя — реши задачи на секущие и хорды в окружности.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий