Иррациональные неравенства. Исчерпывающий гид (2020)
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Определение
Иррациональным называется неравенство, содержащее переменную под знаком радикала (корня). |
Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:
- «ОДЗ»
- «Корень и его свойства»
- «Квадратные уравнения»
- «Квадратные неравенства»
- «Иррациональные уравнения»
СОДЕРЖАНИЕ
ОДЗ (Область допустимых значений)
Помнишь, что такое ОДЗ?
ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл. |
Например, в уравнении
Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.
Взять, например, такую задачу:
При возведении в квадрат получаем
Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ. Например:
Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше
Ответ:
Неравенства вида .
Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.
Здесь и далее большими буквами
Как решить такое неравенство?
Для начала вспомним, что функция
Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?
Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:
или
Примеры (реши сам):
Ответы:
1. Применим только что выученное правило:
2.
3.
Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».
Неравенства вида или .
Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому, он влияет на это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень, чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением
или
Примеры (реши сам):
Ответы:
Неравенства вида .
В случае нестрогого неравенства условие, что подкоренное выражение не равно нулю теперь лишнее. Но это только добавило нам проблем, ведь при этом выражение
или
Примеры (реши сам):
1.
2.
3.
Ответы:
1.
2.
3.
Неравенства вида .
Здесь все немного проще: поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной:
Примеры:
1.
2.
3.
Ответы:
1.
2.
3.
Неравенства вида .
Рассмотрим пример:
Тут возможны два варианта. Если
Если же правая часть положительна (
ОДЗ, как видим, здесь учтено автоматически. Итак, собираем все в кучу:
Запомни, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что обе части неравенства неотрицательны! Тоже своего рода ОДЗ.
Итак, правило в общем виде:
А как будет выглядеть это правило, если неравенство строгое? Вот так:
Подумай сам, почему именно так.
Примеры:
Ответы:
1.
2.
Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат (не забыв также, что подкоренное выражение в левой части должно быть неотрицательным):
Теперь решаем неравенство (1) по шаблону:
Теперь необходимо сравнить числа
Тогда система
3.
Корни степени больше 2
Если же корень в неравенстве не кваlратный, важна четность его степени.
I. Корни четной степени.
Корни
Например:
II. Корни нечетной степени.
С нечетными степенями (
Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)
Что это значит?
Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:
Примеры:
1.
2.
3.
4.
Ответы:
1.
2.
3.
4.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Иррациональное неравенство - это неравенство, содержащее переменную под корнем
1. Неравенства вида
или
2. Неравенства вида
или
3. Неравенства вида
или
4. Неравенства вида
или
5. Неравенства вида
или
6. Корни четной степени.
Например:
7. Корни нечетной степени.
корень нечетной степени можно извлекать из любого числа!
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER
Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:
ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!
Комментарии
У Вас в практических задачах в первом и третьем примере не совпадают условие и ответ на него. Исправьте, пожалуйста.
Здравствуйте, у вас очень хороший сайт , но много ошибок , есть такое приложение photomath, на телефон про сканируйте пожалуйста свои примеры и ответы , я нашел 4 ошибки (фатальных для ответа). 1)√2x2−x−5≤√3x2−6x+1 2)(x2−9)√x2−4x+4>0 3)√2x−1−√x+2<1 (здесь вообще ОДЗ забыли)
В подтеме "Неравенства вида √A ≥ B" в решении первого примера при вычислении (x-1)^2 вы используете квадрат суммы, хотя по логике нужно квадрат разности.
"""""А как будет выглядеть это правило, если неравенство нестрогое? Вот так:"""" Здесь нужно исправить "нестрогое" на "строгое" """""Подумай сам, почему?
Здравствуйте. Не подскажите что делать если выражение вида : 0 < (A^0.5)/(1+B^0.5) <1 Где A и B выражения с переменной x. P.S. в задании 8 правильные корни 2 и 3, а не 1 и 6. Вы забыли поменять знак перенеся -x с право на лево.
Елена, спасибо, ошибку исправил. В вашем примере должны одновременно (то есть в системе) выполняться два условия: 0 < A < 1; B>=0.
По -моему,у вас перепутаны строгое и нестрогое неравенство и примеры не все решены правильно,проверьте ,пожалуйста. У вас прекрасный сайт!Спасибо!
ответить