Иррациональные неравенства. Средний уровень.

Определение

Иррациональным называется неравенство, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

• «ОДЗ»
• «Корень степени   и его свойства»
• «Квадратные уравнения»
• «Квадратные неравенства»
• «Иррациональные уравнения»

И на всякий случай напоминаем, что ты можешь сдать пробный ЕГЭ у нас на сайте. Прямо сейчас... Вдруг ты не знаешь.

ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ?

ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл.

Например, в уравнении   присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства  .

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, такую задачу:

 .

При возведении в квадрат получаем  , то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ. Например:

 .

Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше  . Значит, решением задачи будет ОДЗ:

 .

Ответ:  .

Неравенства вида  .

Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.

Здесь и далее большими буквами  ,  ,  , и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись   соответствует, например, уравнению  : здесь   и  .

Как решить такое неравенство?

Для начала вспомним, что функция   – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень. Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?

Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

 

Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:

или

Примеры (реши сам):

1.  
2.  
3.  

Ответы:

1. Применим только что выученное правило:

 

 

2.  

 

 .

3.  

 

 .

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Неравенства вида   или  .

Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому, он влияет на это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень, чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением  . И не забываем про ОДЗ, подкоренное выражение неотрицательно. А если оно неотрицательно, и при этом не должно быть равно нулю, то оно строго болше нуля:

или

Примеры (реши сам):

1.  
2.  
3.  

Ответы:

1.  
    
2.  
    
    
3.  
    
    

Неравенства вида  .

В случае нестрогого неравенства условие, что подкоренное выражение не равно нулю теперь лишнее. Но это только добавило нам проблем, ведь при этом выражение   может быть любым. Значит, надо отдельно рассмотреть случай, когда корень равен нулю:

или

Примеры (реши сам):

1.  

2.  

3.  

Ответы:

1.  

2.  

 

3.  

 

Неравенства вида  .

Рассмотрим пример:

 

Тут возможны два варианта. Если  , неравенство выполнится при всех допустимых  , ведь корень неотрицателен, значит, он автоматически больше (или равен) неположительного числа:

 

Если же правая часть положительна ( ), имеем право возводить в квадрат:

 .

ОДЗ, как видим, здесь учтено автоматически. Итак, собираем все в кучу:

 

Запомни, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что обе части неравенства неотрицательны! Тоже своего рода ОДЗ.

Итак, правило в общем виде:

А как будет выглядеть это правило, если неравенство нестрогое? Вот так:

Подумай сам, почему именно так.

Примеры:

1.  
2.  
3.  

Ответы:

1.  

 

 

2.  

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат:

 

 

Теперь решаем по шаблону:

 

 

Теперь необходимо сравнить числа  ,   и  . Вспоминаем тему «Сравнение чисел»:

 

 

Тогда система   превратится в  :

 .

3.  

 

Неравенства вида  .

Здесь все немного проще: поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной:

  или  

Примеры:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

1.  
 
 

2.  
 

 

3.  
 
 

Корни степени больше  

Если же корень в неравенстве не кваратный, важна четность его степени.

I. Корни четной степени.

Корни  ,  ,  , и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

 

Например:

 

II. Корни нечетной степени.

С нечетными степенями ( ,  , …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

  и т.д.

Примеры:

1.  

2.  

3.  

4.  

Ответы:

1.  

2.  

 

3.  

4.