Иррациональные неравенства. Исчерпывающий гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Определение

Иррациональным называется неравенство, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

• «ОДЗ»
• «Корень и его свойства»
• «Квадратные уравнения»
• «Квадратные неравенства»
• «Иррациональные уравнения»

СОДЕРЖАНИЕ

 

ОДЗ (Область допустимых значений)

Помнишь, что такое ОДЗ?

ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл.

Например, в уравнении   присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства  .

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, такую задачу:

 .

При возведении в квадрат получаем  , то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ. Например:

 .

Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше  . Значит, решением задачи будет ОДЗ:

 .

Ответ:  .

Неравенства вида  .

Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.

Здесь и далее большими буквами  ,  ,  , и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись   соответствует, например, уравнению  : здесь   и  .

Как решить такое неравенство?

Для начала вспомним, что функция   – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень. Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?

Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

 

Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:

или

Примеры (реши сам):

1.  
2.  
3.  

Ответы:

1. Применим только что выученное правило:

 

 

2.  

 

 .

3.  

 

 .

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Неравенства вида   или  .

Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому, он влияет на это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень, чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением  . И не забываем про ОДЗ, подкоренное выражение неотрицательно. А если оно неотрицательно, и при этом не должно быть равно нулю, то оно строго болше нуля:

или

Примеры (реши сам):

1.  
2.  
3.  

Ответы:

1.  
    
2.  
    
    
3.  
    
    

Неравенства вида  .

В случае нестрогого неравенства условие, что подкоренное выражение не равно нулю теперь лишнее. Но это только добавило нам проблем, ведь при этом выражение   может быть любым. Значит, надо отдельно рассмотреть случай, когда корень равен нулю:

или

Примеры (реши сам):

1.  

2.  

3.  

Ответы:

1.  

2.  

 

3.  

 

Неравенства вида  .

Здесь все немного проще: поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной:

  или  

Примеры:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

1.  
 
 

2.  
 

 

3.  
 
 

Неравенства вида  .

Рассмотрим пример:

 

Тут возможны два варианта. Если  , неравенство выполнится при всех допустимых  , ведь корень неотрицателен, значит, он автоматически больше (или равен) неположительного числа:

 

Если же правая часть положительна ( ), имеем право возводить в квадрат:

 .

ОДЗ, как видим, здесь учтено автоматически. Итак, собираем все в кучу:

 

Запомни, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что обе части неравенства неотрицательны! Тоже своего рода ОДЗ.

Итак, правило в общем виде:

А как будет выглядеть это правило, если неравенство строгое? Вот так:

Подумай сам, почему именно так.

Примеры:

1.  
2.  
3.  

Ответы:

1.  

 

 

2.  

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат (не забыв также, что подкоренное выражение в левой части должно быть неотрицательным):

 

 

Теперь решаем неравенство (1) по шаблону:

 

 

Теперь необходимо сравнить числа  ,   и  . Вспоминаем тему «Сравнение чисел»:

 

 

Тогда система   превратится в  :

 .

3.  

 

Корни степени больше 2

Если же корень в неравенстве не кваlратный, важна четность его степени.

I. Корни четной степени.

Корни  ,  ,  , и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

 

Например:

 

II. Корни нечетной степени.

С нечетными степенями ( ,  , …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

  и т.д.

Примеры:

1.  

2.  

3.  

4.  

Ответы:

1.  

2.  

 

3.  

4.  

 

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Иррациональное неравенство - это неравенство, содержащее переменную под корнем

1. Неравенства вида  .

 

или

 

2. Неравенства вида   или  .

 

или

 

3. Неравенства вида  .

 

или

 

4. Неравенства вида  .

 

или

 

5. Неравенства вида  .

 

или

 

6. Корни четной степени.

Например:

 

7. Корни нечетной степени.

корень нечетной степени можно извлекать из любого числа!

  и т.д.

 

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!