16 июля

2 comments

Иррациональные неравенства. Исчерпывающий гид (ЕГЭ – 2021)

Привет!

Говоря об иррациональности, может показаться, что сложнее иррациональных уравнений есть лишь одна вещь — иррациональные неравенства.

И сейчас ты поймешь, что это не так!

Если ты хорошо разобрался в предыдущих темах (я скажу, в каких в начале статьи), то иррациональные уравнения покажутся тебе легкими!

Мы рассмотрим все виды неравенств и разберем различные примеры!

Поехали покорять квадратные корни и дробные степени!

Содержание

Иррациональным называется неравенство, содержащее переменную под знаком радикала (корня)

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

Помнишь, что такое ОДЗ?

ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл.

Например, в уравнении \( \sqrt{x+2}=3\) присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно.

То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства \( x+2\ge 0\).

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, такую задачу:

\( \sqrt{{{x}^{2}}+3x}>2\).

При возведении в квадрат получаем \( {{x}^{2}}+3x>4\), то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример, просто найдя ОДЗ. Например:

\( \sqrt{2{x}-6}>-2\).

Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше \( -2\). Значит, решением задачи будет ОДЗ:

\( 2{x}-6\ge 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\ge 3\).

Ответ: \( \left[ 3;+\infty \right)\).

\( \sqrt{A}\ge \sqrt{B}\)

Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.

Здесь и далее большими буквами \( A\), \( B\), \( C\) и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную.

Так, общая запись \( \sqrt{A}>\sqrt{B}\) соответствует, например, уравнению \( \sqrt{{{x}^{2}}-{x}-2}>\sqrt{{x}-1}\).

Здесь \( A={{x}^{2}}-{x}-2\) и \( B={x}-1\).

Как решить такое неравенство?

Для начала вспомним, что функция \( f\left( x \right)=\sqrt{x}\) – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень.

Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?

Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

\( \left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:

\( \sqrt{A}\ge \sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

или

\( \sqrt{A}>\sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A>B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

  1. 1
    \( \sqrt{{{x}^{2}}-{x}+2}>\sqrt{{x}+1}\)
  2. 2
    \( \sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}\ge \sqrt{{x}-2}\)
  3. 3
    \( \sqrt{2{{x}^{2}}-x-6}\le \sqrt{3{{x}^{2}}-{8x}}\)

Применим только что выученное правило:

\( \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-x+2}>\sqrt{x+1}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x+2>x+1\\x+1\ge 0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x+1>0\\x\ge -1\end{array} \right.\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}>0\\x\ge -1\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{array}{l}x\ne 1\\x\ge -1\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left[ -1;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)\).

\( \displaystyle \sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}\ge \sqrt{{x}-2}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-6{x}-17\ge {x}-2\\{x}-2\ge 0\end{array} \right.\ \Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-7{x}-15\ge 0\\x\ge 2\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x}-5 \right)\left( x+\frac{3}{2} \right)\ge 0\\x\ge 2\end{array} \right.\).

\( x\ge 5\).

\( \displaystyle \sqrt{2{{x}^{2}}-{x}-6}\le \sqrt{3{{x}^{2}}-8x}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}3{{x}^{2}}-8x\ge 2{{x}^{2}}-{x}-6\\2{{x}^{2}}-{x}-6\ge 0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}\left( {x}-6 \right)\left( {x}-1 \right)\ge 0\\2\left( {x}-2 \right)\left( x+\frac{3}{2} \right)\ge 0\end{array} \right.\).

\( x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 6;+\infty \right)\).

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит, скорее всего, ты не повторил тему «Квадратные неравенства».

\( A\sqrt{B}>0\) или \( A\sqrt{B}<0\)

Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому, он влияет на это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень, чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением \( A\). И не забываем про ОДЗ, подкоренное выражение неотрицательно. А если оно неотрицательно, и при этом не должно быть равно нулю, то оно строго болше нуля:

\( A\sqrt{B}>0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A>0\end{array} \right.\)

или

\( A\sqrt{B}<0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A<0\end{array} \right.\)

  1. 1
    \( x\sqrt{x+5}>0\)
  2. 2
    \( ({{x}^{2}}-{x}-2)\cdot \sqrt{{x}-2}<0\)
  3. 3
    \( ({{x}^{2}}-9)\sqrt{{{x}^{2}}-4}>0\)

\( x\sqrt{x+5}>0\)

\( \left\{ \begin{array}{l}x+5>0\\x>0\end{array} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>-5\\x>0\end{array} \right.\Rightarrow x>0\).

\( ({{x}^{2}}-{x}-2)\cdot \sqrt{{x}-2}<0\)

\( \left\{ \begin{array}{l}{x}-2>0\\{{x}^{2}}-{x}-2<0\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>2\\({x}-2)\cdot (x+1)<0\end{array} \right.\Rightarrow \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>2\\-1<x<2\end{array} \right.\Rightarrow \emptyset \).

\( ({{x}^{2}}-9)\sqrt{{{x}^{2}}-4}>0\)

\( \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-9>0\\{{x}^{2}}-4>0\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x}-3)\cdot (x+3)>0\\({x}-2)\cdot (x+2)>0\end{array} \right.\Rightarrow \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\in (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )\\x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )\end{array} \right.\Rightarrow x\in (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )\).

Третий вид неравенств

\( A\sqrt{B}\ge 0\)

В случае нестрогого неравенства условие, что подкоренное выражение не равно нулю теперь лишнее. Но это только добавило нам проблем, ведь при этом выражение \( \displaystyle A\) может быть любым. Значит, надо отдельно рассмотреть случай, когда корень равен нулю:

\( A\sqrt{B}\ge 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

или

\( A\sqrt{B}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\le 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
  1. 1
    \( x\sqrt{{x}-1}\ge 0\)
  2. 2
    \( \left( {{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{x+1}\le 0\)
  3. 3
    \( \left( {{x}^{2}}-3{x}-4 \right)\sqrt{x+1}>0\)

\( x\sqrt{{x}-1}\ge 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}{x}-1=0\\\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\{x}-1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=1\\x\ge 1\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\ge 1.\).

\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{x+1}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x+1=0\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-4\le 0\\x+1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\\left\{ \begin{array}{l}-2\le x\le 2\\x\ge -1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left[ -1;2 \right].\).

\( \displaystyle \left( {{x}^{2}}-3{x}-4 \right)\sqrt{x+1}>0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\)

\( \displaystyle \text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x+1>0\\{{x}^{2}}-3{x}-4>0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x>4.\).

Четвертый вид неравенств

\( \sqrt{A}\le B\)

Здесь все немного проще: поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной:

\( \sqrt{A}\le B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\\A\le {{B}^{2}}\end{array} \right.\) или \( \sqrt{A}<B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B>0\\A<{{B}^{2}}\end{array} \right.\).

  1. 1
    \( \sqrt{15-8x}\le x\)
  2. 2
    \( x+3>\sqrt{4x}\)
  3. 3
    \( \sqrt{x+7}+3x<4{x}-5\)

\( \sqrt{15-2x}\le x\)

\( \left\{ \begin{array}{l}15-2x \ge 0\\x\ge 0\\15-2x\le {{x}^{2}}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7,5\\x\ge 0\\{{x}^{2}}+2{x}-15\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7,5\\x\ge 0\\({x}-3)\cdot ({x}+5)\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow \)

\( \left\{ \begin{array}{l}x \le 7,5\\x\ge 0\\x\in (-\infty ;\left. -5 \right]\cup \left[ 3 \right.;+\infty )\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ 3; \right.\left. 7,5 \right]\).

\( x+3>\sqrt{4x}\)

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}4x\ge 0\\x+3>0\\4x\le {{(x+3)}^{2}}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x>-3\\{{x}^{2}}+2x+9\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow \)

\( \displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x>-3\\x\in (-\infty ;+\infty )\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ 0;+\infty \right)\).

\( \sqrt{x+7}+3x<4{x}-5\)

\( \left\{ \begin{array}{l}x+7\ge 0\\{x}-5>0\\x+7<{{({x}-5)}^{2}}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge -7\\x>5\\x+7<{{x}^{2}}-10x+25\end{array} \right.\Rightarrow \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>5\\({x}-2)\cdot ({x}-9)>0\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>5\\\left[ \begin{array}{l}x<2\\x>9\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left( 9;+\infty \right)\).

Пятый вид неравенств

\( \sqrt{A}\ge B\)

Рассмотрим пример:

\( \sqrt{x+2}\ge x\)

Тут возможны два варианта. Если \( x\le 0\), неравенство выполнится при всех допустимых \( x\), ведь корень неотрицателен, значит, он автоматически больше (или равен) неположительного числа:

\( \left\{ \begin{array}{l}x\le 0\\x+2\ge 0\end{array} \right.\)

Если же правая часть положительна (\( x>0\)), имеем право возводить в квадрат:

\( x+2\ge {{x}^{2}}\).

ОДЗ, как видим, здесь учтено автоматически. Итак, собираем все в кучу:

\( \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\le 0\\x+2\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x+2\ge {{x}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Запомни, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что обе части неравенства неотрицательны! Тоже своего рода ОДЗ.

Итак, правило в общем виде:

\( \sqrt{A}\ge B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\le 0\\A\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A\ge {{B}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

А как будет выглядеть это правило, если неравенство строгое? Вот так:

\( \sqrt{A}>B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B<0\\A\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\ge 0\\A>{{B}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Подумай сам, почему именно так.

  1. 1
    \( \sqrt{4x+1}\ge {x}-1\)
  2. 2
    \( \sqrt{2{x}-1}-\sqrt{x+2}<1\)
  3. 3
    \( \displaystyle 3\sqrt{6+2{x}-4{{x}^{2}}}+2>8x\)

\( \displaystyle \sqrt{4x+1}\ge {x}-1\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x}-1\le 0\\4x+1\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x+1\ge {{x}^{2}}-2x+1\\{x}-1>0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}-\frac{1}{4}\le x\le 1\\\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x}-6 \right)\le 0\\x>1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}-\frac{1}{4}\le x\le 1\\\left\{ \begin{array}{l}0\le x\le 6\\x>1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left[ -\frac{1}{4};6 \right]\text{.}\).

\( \sqrt{2{x}-1}-\sqrt{x+2}<1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{2{x}-1}<1+\sqrt{x+2}\)

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат (не забыв также, что подкоренное выражение в левой части должно быть неотрицательным):

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{\left( \sqrt{2{x}-1} \right)}^{2}}<{{\left( 1+\sqrt{x+2} \right)}^{2}} \\ {2x-1 \ge 0} \end{array} \right. \text{ }\Leftrightarrow \text{ } \left\{ \begin{array}{l}2{x}-1<1+2\sqrt{x+2}+x+2 \\ {x \ge \frac{1}{2}} \end{array}\right. \text{ }\Leftrightarrow\)

\( \displaystyle{ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2\sqrt{x+2}>{x}-4}\\{x \ge \frac{1}{2}}\end{array} \right. \text{ }\begin{array}{r}{\left( 1 \right)}\\{\left( 2 \right)}\end{array}}\)

Теперь решаем неравенство (1) по шаблону:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x}-4<0\\x+2\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x+8>{{x}^{2}}-8x+16\\{x}-4\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}-2\le x<4\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-12x+12<0\\x\ge 4\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}-2\le x<4\\\left\{ \begin{array}{l}x\in \left( 6-2\sqrt{6};6+2\sqrt{6} \right)\\x\ge 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Теперь необходимо сравнить числа \( 6-2\sqrt{6}\), \( 6+2\sqrt{6}\) и \( 4\). Вспоминаем тему «Сравнение чисел»:

\( 6-2\sqrt{6}\vee 4\text{ }\Leftrightarrow \text{ }6-4\vee 2\sqrt{6}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2\vee \sqrt{6}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }4\overset{<}{\mathop{\vee }}\,6\text{ }\Rightarrow \text{ }6-2\sqrt{6}<4\)

\( 6+2\sqrt{6}\vee 4\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2\sqrt{6}\vee 4-6\text{ }\Leftrightarrow \text{ 2}\sqrt{6}\overset{>}{\mathop{\vee }}\,-2\text{ }\Rightarrow \text{ }6+2\sqrt{6}>4\)

Тогда система \( \left\{ \begin{array}{l}x\in \left( 6-2\sqrt{6};6+2\sqrt{6} \right)\\x\ge 4\end{array} \right.\) превратится в \( x\in \left( 4;6+2\sqrt{6} \right)\):

\( \left[ \begin{array}{l}x\in \left[ -2;4 \right)\\x\in \left[ 4;6+2\sqrt{6} \right)\end{array} \right.\text{ }\Leftarrow \text{с учётом неравенства (2)} \Rightarrow x\in \left[ \frac{1}{2};6+2\sqrt{6} \right)\).

\( \displaystyle 3\sqrt{6+2{x}-4{{x}^{2}}}+2>8x\)

\( \displaystyle \begin{array}{l}3\sqrt{6+2{x}-4{{x}^{2}}}>8{x}-2\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}8{x}-2<0\\6+2{x}-4{{x}^{2}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}8{x}-2\ge 0\\9(6+2{x}-4{{x}^{2}})>{{(8{x}-2)}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-{x}-3\le 0\\x<0,25\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0,25\\100{{x}^{2}}-50{x}-50<0\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2({x}-1,5)\cdot (x+1)\le 0\\x<0,25\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0,25\\2({x}-1)\cdot (x+0,5)<0\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \ \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}-1\le x\le 1,5\\x<0,25\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0,25\\-0,5<x<1\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}-1\le x<0,25\\0,25\le x<1\end{array} \right.\Rightarrow \\\Rightarrow \ x\in \left[ -1;\ 1\ ) \right.\end{array}\).

Если же корень в неравенстве не квадратный, важна четность его степени.

Корни чётной степени

Корни \( 2\), \( 4\), \( 6\) и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

\( \sqrt[4]{x}=\sqrt{\sqrt{x}};\text{ }\sqrt[6]{x}=\sqrt{\sqrt[3]{x}};\text{ }\sqrt[2k]{x}=\sqrt{\sqrt[k]{x}}\)

Например:

\( \displaystyle \sqrt[4]{A}\le B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\le {{B}^{4}}\\B\ge 0\\A\ge 0\end{array} \right.\).

Корни нечётной степени

С нечетными степенями (\( 3\), \( 5\), …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt[3]{A}>B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }A>{{B}^{3}}\\\sqrt[5]{A}<B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }A<{{B}^{5}},\end{array}\) и т.д.

  1. 1
    \( \displaystyle \sqrt[5]{2-x}>-2\)
  2. 2
    \( \displaystyle \sqrt[4]{3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}}\le x\)
  3. 3
    \( \displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}\ge x\)
  4. 4
    \( \displaystyle \sqrt[3]{6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}<\sqrt[3]{1-x}\)

\( \displaystyle \sqrt[5]{2-x}>-2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2-x>{{\left( -2 \right)}^{5}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2-x>-32\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x<34\).

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}4x\ge 0\\x+3>0\\4x\le {{(x+3)}^{2}}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x>-3\\{{x}^{2}}+2x+9\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow \)

\( \displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x>-3\\x\in (-\infty ;+\infty )\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ 0;+\infty \right)\).

\( \displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}\ge x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{3}}+3x+5\ge {{x}^{3}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\ge -\frac{5}{3}\).

\( \displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{2}}-{x}-7}<\sqrt[3]{1-x}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-{x}-7<1-x\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-8<0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left( -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right).\).

Определение

Иррациональное неравенство – это неравенство, содержащее переменную под корнем

Неравенства вида \( \sqrt{A}\ge \sqrt{B}\)

\( \sqrt{A}\ge \sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

или

\( \sqrt{A}>\sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A>B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Неравенства вида \( A\sqrt{B}>0\) или \( A\sqrt{B}<0\)

\( A\sqrt{B}>0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A>0\end{array} \right.\)

или

\( A\sqrt{B}<0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A<0\end{array} \right.\)

Неравенства вида \( A\sqrt{B}\ge 0\)

\( A\sqrt{B}\ge 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

или

\( A\sqrt{B}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\le 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Неравенства вида \( \sqrt{A}\ge B\)

\( \sqrt{A}\ge B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\le 0\\A\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A\ge {{B}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

или

\( \sqrt{A}>B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B<0\\A\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\ge 0\\A>{{B}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Неравенства вида \( \sqrt{A}\le B\)

\( \sqrt{A}\le B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\\A\le {{B}^{2}}\end{array} \right.\)

или

\( \sqrt{A}<B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B>0\\A<{{B}^{2}}\end{array} \right.\)

Корни четной степени

Например:

\( \displaystyle \sqrt[4]{A}\le B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\le {{B}^{4}}\\B\ge 0\\A\ge 0\end{array} \right.\)

Корни нечетной степени

Корень нечетной степени можно извлекать из любого числа!

\( \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt[3]{A}>B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }A>{{B}^{3}}\\\sqrt[5]{A}<B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }A<{{B}^{5}},\end{array}\) и т.д.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Следующий шаг...

Иррациональные неравенства – одни из самых сложных. А теперь ты знаешь о них все!

Смотри, ты постепенно научился решать иррациональные уравнения самых разных типов. И тепепрь сможешь решить их и в школе, и на экзаменах, и вообще где угодно! 

Нам очень интересно узнать твои мысли об этой статье. Все ли было понятно?

Напиши свое мнение об этой статье в комментариях!

И если остались вопросы, обязательно задай их. А мы поможем тебе.

Мы читаем все.

Успехов!

  • Даниил Мягков:

    У вас опечатка в 4 виде неравенств в первом примере.

    • Александр Кель:

      Спасибо, Даниил, проверим.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >