Иррациональные неравенства (ЕГЭ 2022)

Привет!

Говоря об иррациональности, может показаться, что сложнее иррациональных уравнений есть лишь одна вещь — иррациональные неравенства.

И сейчас ты поймешь, что это не так!

Если ты хорошо разобрался в предыдущих темах (я скажу, в каких в начале статьи), то иррациональные уравнения покажутся тебе легкими.

Мы рассмотрим все виды неравенств и разберем различные примеры, так, чтобы ты смог решить любое иррациональное неравенство. 

Иррациональные неравенства – коротко о главном

Определение

Иррациональное неравенство – это неравенство, содержащее переменную под корнем

Неравенства вида \( \sqrt{A}\ge \sqrt{B}\)

\( \sqrt{A}\ge \sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

или

\( \sqrt{A}>\sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A>B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Неравенства вида \( A\sqrt{B}>0\) или \( A\sqrt{B}<0\)

\( A\sqrt{B}>0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A>0\end{array} \right.\)

или

\( A\sqrt{B}<0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A<0\end{array} \right.\)

Неравенства вида \( A\sqrt{B}\ge 0\)

\( A\sqrt{B}\ge 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

или

\( A\sqrt{B}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\le 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Неравенства вида \( \sqrt{A}\ge B\)

\( \sqrt{A}\ge B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\le 0\\A\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A\ge {{B}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

или

\( \sqrt{A}>B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B<0\\A\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\ge 0\\A>{{B}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Неравенства вида \( \sqrt{A}\le B\)

\( \sqrt{A}\le B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\\A\le {{B}^{2}}\end{array} \right.\)

или

\( \sqrt{A}<B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B>0\\A<{{B}^{2}}\end{array} \right.\)

Корни четной степени

Например:

\( \displaystyle \sqrt[4]{A}\le B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\le {{B}^{4}}\\B\ge 0\\A\ge 0\end{array} \right.\)

Корни нечетной степени

Корень нечетной степени можно извлекать из любого числа!

\( \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt[3]{A}>B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }A>{{B}^{3}}\\\sqrt[5]{A}<B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }A<{{B}^{5}},\end{array}\) и т.д.

Темы на повторение:

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

Определение:

Иррациональным называется неравенство, содержащее переменную под знаком радикала (корня)

ОДЗ (Область допустимых значений)

Помнишь, что такое ОДЗ?

ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл.


Например, в уравнении \( \sqrt{x+2}=3\) присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно.

То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства \( x+2\ge 0\).

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, такую задачу:

\( \sqrt{{{x}^{2}}+3x}>2\).

При возведении в квадрат получаем \( {{x}^{2}}+3x>4\), то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример, просто найдя ОДЗ. Например:

\( \sqrt{2{x}-6}>-2\).

Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше \( -2\). Значит, решением задачи будет ОДЗ:

\( 2{x}-6\ge 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\ge 3\).

Ответ: \( \left[ 3;+\infty \right)\).

Пять видов неравенств и способы их решений


Первый вид неравенств

\( \sqrt{A}\ge \sqrt{B}\)

Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.

Здесь и далее большими буквами \( A\), \( B\), \( C\) и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную.

Так, общая запись \( \sqrt{A}>\sqrt{B}\) соответствует, например, уравнению \( \sqrt{{{x}^{2}}-{x}-2}>\sqrt{{x}-1}\).

Здесь \( A={{x}^{2}}-{x}-2\) и \( B={x}-1\).

Как решить такое неравенство?

Для начала вспомним, что функция \( f\left( x \right)=\sqrt{x}\) – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень.

Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?

Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

\( \left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:

\( \sqrt{A}\ge \sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

или

\( \sqrt{A}>\sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A>B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Три примера на закрепление материала:

Пример №1. \( \sqrt{{{x}^{2}}-{x}+2}>\sqrt{{x}+1}\)


Пример №2. \( \sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}\ge \sqrt{{x}-2}\)


Пример №3. \( \sqrt{2{{x}^{2}}-x-6}\le \sqrt{3{{x}^{2}}-{8x}}\)

Решение примера №1

Применим только что выученное правило:

\( \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-x+2}>\sqrt{x+1}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x+2>x+1\\x+1\ge 0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x+1>0\\x\ge -1\end{array} \right.\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}>0\\x\ge -1\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{array}{l}x\ne 1\\x\ge -1\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left[ -1;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)\).

Второй вид неравенств

\( A\sqrt{B}>0\) или \( A\sqrt{B}<0\)


Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому, он влияет на это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень, чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением \( A\).

И не забываем про ОДЗ, подкоренное выражение неотрицательно. А если оно неотрицательно, и при этом не должно быть равно нулю, то оно строго болше нуля:

\( A\sqrt{B}>0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A>0\end{array} \right.\)

или

\( A\sqrt{B}<0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A<0\end{array} \right.\)

Три примера на закрепление материала

Пример №1. \( x\sqrt{x+5}>0\)


Пример №2. \( ({{x}^{2}}-{x}-2)\cdot \sqrt{{x}-2}<0\)


Пример №3. \( ({{x}^{2}}-9)\sqrt{{{x}^{2}}-4}>0\)

Решение примера №1

\( x\sqrt{x+5}>0\)

\( \left\{ \begin{array}{l}x+5>0\\x>0\end{array} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>-5\\x>0\end{array} \right.\Rightarrow x>0\).

Третий вид неравенств


\( A\sqrt{B}\ge 0\)

В случае нестрогого неравенства условие, что подкоренное выражение не равно нулю теперь лишнее. Но это только добавило нам проблем, ведь при этом выражение \( \displaystyle A\) может быть любым. Значит, надо отдельно рассмотреть случай, когда корень равен нулю:

\( A\sqrt{B}\ge 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

или

\( A\sqrt{B}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\le 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Три примера на закрепление материала

Пример №1. \( x\sqrt{{x}-1}\ge 0\)


Пример №2. \( \left( {{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{x+1}\le 0\)


Пример №3. \( \left( {{x}^{2}}-3{x}-4 \right)\sqrt{x+1}>0\)

Решение примера №1

\( x\sqrt{{x}-1}\ge 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}{x}-1=0\\\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\{x}-1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=1\\x\ge 1\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\ge 1.\).

Четвертый вид неравенств


\( \sqrt{A}\le B\)

Здесь все немного проще: поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной:

\( \sqrt{A}\le B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\\A\le {{B}^{2}}\end{array} \right.\) или \( \sqrt{A}<B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B>0\\A<{{B}^{2}}\end{array} \right.\).

Три примера на закрепление материала

Пример №1. \( \sqrt{15-2x}\le x\)


Пример №2. \( x+3>\sqrt{4x}\)


Пример №3. \( \sqrt{x+7}+3x<4{x}-5\)

Решение примера №1

\( \sqrt{15-2x}\le x\) \( \left\{ \begin{array}{l}15-2x \ge 0\\x\ge 0\\15-2x\le {{x}^{2}}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7,5\\x\ge 0\\{{x}^{2}}+2{x}-15\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7,5\\x\ge 0\\({x}-3)\cdot ({x}+5)\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow \)

\( \left\{ \begin{array}{l}x \le 7,5\\x\ge 0\\x\in (-\infty ;\left. -5 \right]\cup \left[ 3 \right.;+\infty )\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ 3; \right.\left. 7,5 \right]\).


Пятый вид неравенств

\( \sqrt{A}\ge B\)

Рассмотрим пример:

\( \sqrt{x+2}\ge x\)

Тут возможны два варианта. Если \( x\le 0\), неравенство выполнится при всех допустимых \( x\), ведь корень неотрицателен, значит, он автоматически больше (или равен) неположительного числа:

\( \left\{ \begin{array}{l}x\le 0\\x+2\ge 0\end{array} \right.\)

Если же правая часть положительна (\( x>0\)), имеем право возводить в квадрат:

\( x+2\ge {{x}^{2}}\).

ОДЗ, как видим, здесь учтено автоматически. Итак, собираем все в кучу:

\( \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\le 0\\x+2\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x+2\ge {{x}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Запомни, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что обе части неравенства неотрицательны! Тоже своего рода ОДЗ.

Итак, правило в общем виде:

\( \sqrt{A}\ge B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\le 0\\A\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A\ge {{B}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

А как будет выглядеть это правило, если неравенство строгое? Вот так:

\( \sqrt{A}>B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B<0\\A\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\ge 0\\A>{{B}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Подумай сам, почему именно так.

Три примера на закрепление материала

Пример №1. \( \sqrt{4x+1}\ge {x}-1\)


Пример №2. \( \sqrt{2{x}-1}-\sqrt{x+2}<1\)


Пример №3. \( \displaystyle 3\sqrt{6+2{x}-4{{x}^{2}}}+2>8x\)

Решение примера №1

\( \displaystyle \sqrt{4x+1}\ge {x}-1\text{ }\Leftrightarrow \) \( \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x}-1\le 0\\4x+1\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x+1\ge {{x}^{2}}-2x+1\\{x}-1>0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}-\frac{1}{4}\le x\le 1\\\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x}-6 \right)\le 0\\x>1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}-\frac{1}{4}\le x\le 1\\\left\{ \begin{array}{l}0\le x\le 6\\x>1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left[ -\frac{1}{4};6 \right]\text{.}\).

Корни степени больше 2

Если же корень в неравенстве не квадратный, важна четность его степени.

Корни чётной степени

Корни \( 2\), \( 4\), \( 6\) и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

\( \sqrt[4]{x}=\sqrt{\sqrt{x}};\text{ }\sqrt[6]{x}=\sqrt{\sqrt[3]{x}};\text{ }\sqrt[2k]{x}=\sqrt{\sqrt[k]{x}}\)

Например:

\( \displaystyle \sqrt[4]{A}\le B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\le {{B}^{4}}\\B\ge 0\\A\ge 0\end{array} \right.\).

Корни нечётной степени

С нечетными степенями (\( 3\), \( 5\), …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt[3]{A}>B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }A>{{B}^{3}}\\\sqrt[5]{A}<B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }A<{{B}^{5}},\end{array}\) и т.д.

Три примера на закрепление материала

Пример №1. \( \displaystyle \sqrt[5]{2-x}>-2\)


Пример №2. \( \displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}\ge x\)


Пример №3. \( \displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{2}}-{x}-7}<\sqrt[3]{1-x}\)

Решение пример №1

\( \displaystyle \sqrt[5]{2-x}>-2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2-x>{{\left( -2 \right)}^{5}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }2-x>-32\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x<34\).

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Следующий шаг…

Иррациональные неравенства – одни из самых сложных. А теперь ты знаешь о них все!

Смотри, ты постепенно научился решать иррациональные уравнения самых разных типов. И тепепрь сможешь решить их и в школе, и на экзаменах, и вообще где угодно! 

Нам очень интересно узнать твои мысли об этой статье. Все ли было понятно?

Напиши свое мнение об этой статье в комментариях!

И если остались вопросы, обязательно задай их. А мы поможем тебе.

Мы читаем все.

Успехов!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий для Саня Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

5 комментариев

  1. У вас ошибка в решении примера №2 из пятого типа неравенств ( ошибка вычислительная, там не +12, а +8)