Однородные уравнения. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018
Однородные уравнения – это уравнения вида   с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Пример 1.

 

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида  

Стоп! Давай всетаки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

 

На первом месте должна идти первая переменная в степени   с некоторым коэффициентом. В нашем случае это  

 

Дальше идет первая переменная в степени   и вторая переменная в первой степени.

В нашем случае это  . Как мы выяснили,  , значит здесь степень   при первой переменной   – сходится. И вторая переменная   в первой степени – на месте. Коэффициент   .

 

У нас это  .

Первая переменная   в степени  , и вторая переменная   в квадрате, с коэффициентом  . Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные   и  . Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

  - сумма степеней равна  .

  - сумма степеней равна   (  при   и   при  ).

  - сумма степеней равна  .

Как видишь, все сходится!!!

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Определи, какие из уравнений – однородные:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  

Однородные уравнения - уравнения под номерами:

 

Рассмотрим отдельно   уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим

 

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Как решать однородные уравнения?

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени   и дальнейшей заменой переменных.

Пример 2.

 

Найдите  .

Разделим уравнение на  .

Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна  . Например, если нас просят найти  , то мы сразу понимаем, что  , поскольку на   делить нельзя. Когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай, когда эта переменная равна  .

У нас по условию y не может быть равен  . Поэтому мы можем смело делить на  

 

 

Произведя замену  , мы получим простое квадратное уравнение:

 

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

 

Произведя обратную замену, получаем ответ

 

Ответ:  

Пример 3.

 

 

Разделим уравнение на   (  по условию).

 

 

 

Произведем замену   и решим квадратное уравнение:

 

 

 

Произведя обратную замену, получим ответ:

 

Ответ:  

Пример 4.

Найдите  , если  .

Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на  :

 

 

Произведем замену   и решим квадратное уравнение:

 

 

 

Произведя обратную замену, получим ответ:

 

Ответ:  

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше. Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел «Тригонометрические уравнения»).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Пример 5.

Решите уравнение  .

Мы видим типичное однородное уравнение:   и   – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна  .

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на  , рассмотрим случай, когда  

В этом случае уравнение примет вид:  , значит  . Но синус и косинус не могут одновременно быть равны  , ведь по основному тригонометрическому тождеству  . Поэтому  , и на него можно смело делить:

 

 

Сделаем замену   и решим квадратное уравнение:

 

Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:

 

Сделаем обратную замену и найдем   и  :

 

Ответ:  

Пример 6.

Решите уравнение  .

Как и в примере  , нужно разделить уравнение на  . Рассмотрим случай, когда   :

 

 

 

 

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны  , ведь по основному тригонометрическому тождеству  . Поэтому  .

 

 

 

Сделаем замену   и решим квадратное уравнение:

 

 

 

Сделаем обратную замену и найдем   и  :

 

Ответ:  

Решение однородных показательных уравнений.

Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения – посмотри соответствующий раздел («Показательные уравнения»)!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 7.

Решите уравнение  

Представим   как  :

 

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней  . Разделим уравнение на  :

 

 

 

Как можно заметить, произведя замену  , мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль -   всегда строго больше нуля):

 

 

По теореме Виета:

 

Корень   не удовлетворяет условию  . Произведем обратную замену   и найдем  :

 

 

 

Ответ:  .

Пример 8.

Решите уравнение  

Представим   как  :

 

Разделим уравнение на  :

 

 

Произведем замену   и решим квадратное уравнение:

 

Корень   не удовлетворяет условию  . Произведем обратную замену   и найдем  :

 

 

 

 

 

Ответ:  

Комментарии

Анна
19 октября 2017

Помогите решить уравнения

ответить

Александр (админ)
19 октября 2017

О каких уравнениях идет речь?

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok