Однородные уравнения. Исчерпывающий гид (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Однородные уравнения – это уравнения вида   с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Пример 1.

 

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида  

Стоп! Давай всетаки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

 

На первом месте должна идти первая переменная в степени   с некоторым коэффициентом. В нашем случае это  

 

Дальше идет первая переменная в степени   и вторая переменная в первой степени.

В нашем случае это  . Как мы выяснили,  , значит здесь степень   при первой переменной   – сходится. И вторая переменная   в первой степени – на месте. Коэффициент   .

 

У нас это  .

Первая переменная   в степени  , и вторая переменная   в квадрате, с коэффициентом  . Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные   и  . Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

  - сумма степеней равна  .

  - сумма степеней равна   (  при   и   при  ).

  - сумма степеней равна  .

Как видишь, все сходится!!!

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Определи, какие из уравнений – однородные:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  

Однородные уравнения - уравнения под номерами:

 

Рассмотрим отдельно   уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим

 

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Как решать однородные уравнения?

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени   и дальнейшей заменой переменных.

Пример 2.

 

Найдите  .

Разделим уравнение на  .

Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна  . Например, если нас просят найти  , то мы сразу понимаем, что  , поскольку на   делить нельзя. Когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай, когда эта переменная равна  .

У нас по условию y не может быть равен  . Поэтому мы можем смело делить на  

 

 

Произведя замену  , мы получим простое квадратное уравнение:

 

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

 

Произведя обратную замену, получаем ответ

 

Ответ:  

Пример 3.

 

 

Разделим уравнение на   (  по условию).

 

 

 

Произведем замену   и решим квадратное уравнение:

 

 

 

Произведя обратную замену, получим ответ:

 

Ответ:  

Пример 4.

Найдите  , если  .

Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на  :

 

 

Произведем замену   и решим квадратное уравнение:

 

 

 

Произведя обратную замену, получим ответ:

 

Ответ:  

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше. Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел «Тригонометрические уравнения»).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Пример 5.

Решите уравнение  .

Мы видим типичное однородное уравнение:   и   – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна  .

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на  , рассмотрим случай, когда  

В этом случае уравнение примет вид:  , значит  . Но синус и косинус не могут одновременно быть равны  , ведь по основному тригонометрическому тождеству  . Поэтому  , и на него можно смело делить:

 

 

Сделаем замену   и решим квадратное уравнение:

 

Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:

 

Сделаем обратную замену и найдем   и  :

 

Ответ:  

Пример 6.

Решите уравнение  .

Как и в примере  , нужно разделить уравнение на  . Рассмотрим случай, когда   :

 

 

 

 

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны  , ведь по основному тригонометрическому тождеству  . Поэтому  .

 

 

 

Сделаем замену   и решим квадратное уравнение:

 

 

 

Сделаем обратную замену и найдем   и  :

 

Ответ:  

Решение однородных показательных уравнений.

Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения – посмотри соответствующий раздел («Показательные уравнения»)!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 7.

Решите уравнение  

Представим   как  :

 

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней  . Разделим уравнение на  :

 

 

 

Как можно заметить, произведя замену  , мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль -   всегда строго больше нуля):

 

 

По теореме Виета:

 

Корень   не удовлетворяет условию  . Произведем обратную замену   и найдем  :

 

 

 

Ответ:  .

Пример 8.

Решите уравнение  

Представим   как  :

 

Разделим уравнение на  :

 

 

Произведем замену   и решим квадратное уравнение:

 

Корень   не удовлетворяет условию  . Произведем обратную замену   и найдем  :

 

 

 

 

 

Ответ:  

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Сначала на примере одной задачки напомню что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.

Решите задачу:

Найдите  , если  .

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на  , получим:

 .

То есть, теперь нет отдельных   и  , – теперь переменной в уравнении является искомая величина  . И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно  , а сумма   – это числа   и  .

Ответ:  

Уравнения вида

 

называется однородным. То есть, это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна  . Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

  ,

И последующей заменой переменных:  . Таким образом получаем уравнение   степени с одной неизвестной  :

 .

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

 

 .$

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю! Например, если нас просят найти  , сразу понимаем, что  , поскольку на   делить нельзя. В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение  .

Решение:

Видим здесь типичное однородное уравнение:   и   – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна  .

Но, прежде чем разделить на   и получить квадратное уравнение относительно  , мы должны рассмотреть случай, когда  . В этом случае уравнение примет вид:  , значит,  . Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству:  . Поэтому  , и на него можно смело делить:

 

 

 

Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел «Тригонометрические уравнения». Если же непонятно, откуда взялось  , тебе нужно вернуться еще раньше – к разделу «Квадратные уравнения».

Реши сам:

  1. Найдите  , если  .
  2. Найдите  , если  .
  3. Решите уравнение  .

Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:

Решения:

  1.  

     ;

     

     

    Ответ:   .

  2. А здесь надо не делить, а умножать:

     

    Ответ:  

  3. Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.

    Так как здесь нам нужно делить на  , убедимся сперва, сто он не равен нулю:

     , а это невозможно.

    Значит,  .

     

     

     

    Ответ:  .

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Однородные уравнения – это уравнения вида   с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени   и дальнейшей заменой переменных.

Алгоритм:

  1.  
  2.  
  3.  

 

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Анна
19 октября 2017

Помогите решить уравнения

ответить

Александр (админ)
19 октября 2017

О каких уравнениях идет речь?

ответить

Лисик
17 июня 2018

В примере 7, кажется, опечатка. Исправьте, пожалуйста

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть