Пирамида. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое пирамида?

Как она выглядит?

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

Пирамиды

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания. Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

из чего состоит пирамида

боковые грани и основания пирамиды

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

косая пирамида

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

Высота пирамиды.

Высота пирамидыперпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Высота пирамиды

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты. Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:

Высота пирамиды 2

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильная пирамида.

Правильнойназывается такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов? Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» - это понятно. А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Шестиугольная: в основании – правильный шестиугольник, вершина   проецируется в центр основания.

основание пирамиды

Четырёхугольная: в основании – квадрат, вершина   проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Четырёхугольная пирамида

Треугольная: в основании – правильный треугольник, вершина   проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Треугольная пирамида

Очень важные свойства правильной пирамиды:

В правильной пирамиде

  • все боковые рёбра равны.
  • все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды:

формула объема пирамиды

 

Откуда взялась именно  ? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть  , а у  цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  . Нужно найти   и  .

  - это площадь правильного треугольника  .

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

 .

У нас « » - это  , а « » - это тоже  , а  .

Значит,  .

Теперь найдем  .

По теореме Пифагора для  

 .

Чему же равно  ? Это радиус описанной окружности в  , потому что пирамидаправильная и, значит,   - центр  .

Найдем   (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

 , так как   - точка пересечения и медиан тоже.

  (теорема Пифагора для  )

 ;  

Значит,  

Подставим   в формулу для  .

 

И подставим все в формулу объема:

 

 .

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.  ), то формула получается такой:

 .

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

 .

Здесь   и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому  .

Найдем  . По теореме Пифагора для  

 .

Известно ли нам  ? Ну, почти. Смотри:

  (это мы увидели, рассмотрев  ).

Подставляем   в формулу для  :

 ;

 

А теперь и   и   подставляем в формулу объема.

 .

Объем правильной шестиугольной пирамиды.

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро  .

 .

Как найти  ? Смотри, шестиугольник   состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

 

Теперь найдем   (это  ).

По теореме Пифагора для  

 ?

Но чему же равно  ? Это просто  , потому что   (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

 

 

Подставляем:

 

\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}

 

ПИРАМИДА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Пирамида - это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (боковые ребра).

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойство правильной пирамиды:

  • В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
  • Все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды:

 

 

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Кирилл
31 марта 2019

Нет вообще ничего, что искал

ответить

Александр (админ)
01 апреля 2019

Кирилл, а что вы искали?

ответить

Мария
06 апреля 2019

куда падает высота в пирамиде с основанием равнобедренный треугольник?

ответить

Иван
06 апреля 2019

В центр окружности описанной вокруг равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды.

ответить

Анатолий
14 апреля 2019

А есть какая-то теория пирамид привязанная к целым числам? Т.е. не высота пирамиды h, а высота пирамиды n*h, где h целое число.

ответить

Алексей Шевчук
11 мая 2019

Анатолий, а чем особенны такие пирамиды? Мы ведь можем взять любую, и умножить все рёбра на одно и то же число, чтобы высота стала выражаться целым числом. Рёбра тоже должны быть целыми или только высота?

ответить

Фрэнки
18 ноября 2019

Было бы здорово добавить информацию про связь окружности (внутри или вокруг основания) и расстояния от основания высоты до граней/сторон основания. Это все время встречается в задачах, а в интернете теорию почти не найти

ответить

Алексей Шевчук
19 ноября 2019

Фрэнки, спасибо, скоро добавим.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть