Секущие и хорды в окружности. Визуализированный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинку:

Секущая окружности Здесь   – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
Хорды в окружности рис. 1 Здесь   - хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда   является кусочком секущей  ? Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас   – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущих и хордах в окружности? Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе "Теорема синусов" и "Теорема косинусов" - с длины хорды в окружности.

Длина хорды в окружности

Пусть   – хорда,   – радиус,   – любой вписанный угол, опирающийся на хорду  .Тогда  

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды можно найти по формуле:

 

Обратите внимание: из этой формулы видно, что если ты знаешь радиус окружности и то, сколько градусов «сидит» в дуге, которую стягивает хорда, то ты можешь считать, что знаешь и длину хорды.

И наоборот, чтобы узнать радиус окружности, достаточно знать длину всего-то одной хорды в окружности и величину соответствующего вписанного угла. А можно центрального? Конечно, можно – центральный угол нужно будет просто-напросто поделить на   – и получится вписанный (если не помнишь этого – смотри тему «Окружность. Вписанный угол»).

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих. Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Смотри:

Произведение длин отрезков хорд Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  
Произведение длин отрезков секущих Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку  , выполняется: 

Вопрос первый: почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ первый: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Ответ второй: Смотри, точки на окружности мы отметили голубым, а «особенную» точку   – оранжевым. А теперь погляди внимательно на формулы с произведениями:

В каждом отрезке участвуют «особенная» точка  . Крайне важно это помнить, когда имеешь дело с секущими (с хордами почему-то всем легче). Осознай всё это и НИКОГДА НЕ ПИШИ ТАК:

Вопрос третий: а доказывать будем?

Ответ третий: Будем – это совсем несложно и ОЧЕНЬ полезно.

Итак, сперва о хордах. Повторим формулировку.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  

А теперь попробуем доказать.

Рассмотрим   и  . У них углы   равны как вертикальные и  , потому что они опираются на одну дугу  .
Значит,   по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).

Запишем, что же нам даёт это подобие.

Перепишем это отношение в виде произведения:

 

Ух! Вот и всё – доказали!

На самом деле откроем маленький секрет – в задачах чаще всего используется именно подобие   и  , а не просто «голое» произведение  .

Теперь перейдём к секущим. Ещё раз формулировку:

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  

Докажем? Снова рассмотрим   и  .

  1. У них есть общий  .
  2. Четырехугольник   - вписанный (срочно повторяем или читаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Значит,   (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна  ). Но   - как смежные углы (смотри на картинку).

Что же получилось?

 

То есть  .

Из всего этого следует, что   по двум углам (  – общий и  ).

Снова запишем отношение соответствующих сторон:

Перепишем в виде произведения:

 

Доказали!

И опять тот же секрет: помни не только о равенстве произведений, но и о том, что на картинке с двумя секущими всегда и непременно есть два подобных треугольника – это часто помогает решить задачу.

Касательные и секущие

Касательные и секущие рис. 1 В предыдущем пункте мы выяснили, что  

Но возникает вопрос: а что будет, если секущая   и «превратится» в касательную? Вот так:

Касательные и секущие рис. 2 Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:
Для любых секущей и касательной, проходящих через точку  , верно:  .

Тут точки   и   как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?

Давай докажем то, что сформулировали.

Касательные и секущие рис. 3

 Здесь рассмотрим  и  .

  1.   - общий
  2.   - угол между касательной   и хордой  , а   - вписанный, опирающийся на дугу  .

Значит, по теореме об угле между касательной и хордой (заглядываем в раздел «Касательные, касающиеся окружности»).

 

Получилось, что   по двум углам (  – общий и  ).

Запишем отношения:

Снова перейдём к произведению:

 

И снова видим, что нужное утверждение доказано.

И в третий раз напомню о секрете: важно помнить не только то,  , но в большей степени то, что на картинке с касательной и секущей есть два «хитро» подобных треугольника   и  . Тогда ты сможешь извлекать и дополнительные соотношения.

Ну вот, например:

 , то есть  

Видишь, это уже совсем никак не запоминающееся соотношение, а вот если помнить про подобие, то ни дробь, ни произведение запоминать не надо – они сами выйдут, кода понадобятся.

 

СЕКУЩИЕ И ХОРДЫ В ОКРУЖНОСТИ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Хорда и секущая

  • Здесь \displaystyle AC – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
  • Здесь \displaystyle BC - хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Длина хорды

  • Пусть   – хорда,   – радиус,   – любой вписанный угол, опирающийся на хорду  . Тогда:
    \displaystyle AB=2R\sin \alpha .

Произведение длин отрезков хорд и секущих

  • Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:
    AB\cdot AC=AD\cdot AE.

Касательные и секущие

  • Для любых секущей и касательной, проходящих через точку  , верно:
    A{{C}^{2}}=AD\cdot AE.

 

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Богдан
15 ноября 2018

Спасибо огромное!

ответить

александр (админ)
15 ноября 2018

Пожалуйста, Богдан. Заходите.

ответить

Любовь
25 января 2019

Да, замечательно все и очень понятно. Спасибо за ваш труд

ответить

Александр (админ)
25 января 2019

Спасибо, Любовь! Удачи на экзаменах!

ответить

piven
05 февраля 2019

У диаметра 4-е конца, а у хорды только 2-а». «Григорий Пивень 1 год назад Вы не можете сравнить хорду Лобачевского и радиусы Пивня? Сравните для начала эти линии, а затем перейдём во 2-й класс. А Вы хотите получить всю геометрию и сразу». Николай, У хорды 2 конца, обращённые в противоположные сторонЫ РАСШИРЕНИЯ, а у хорды-диаметра уже 2 радиуса, у которых появляется ещё 2 конца, уходящих в стороны микромира с 2-х сторон, сужающиеся, т.е. у диаметра 4-е конца. Это открытие сделал Пивень Григорий Иванович, но и здесь прошло ещё 5-ть лет, а умные математики пока не появились. 5.2.2019г. Пивень Григорий-автор НОВЫХ основ математики.

ответить

Енот - полоскун
02 апреля 2019

Потрясающе, спасибо огромное!

ответить

Александр (админ)
02 апреля 2019

Пожалуйста, Енот! ))

ответить

Елена
12 октября 2019

Пожалуйста, помогите.Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. К задаче 1 сформулируйте подзадачу 1.1 с условием, что произведение отрезков хорды можно рассматривать как площадь прямоугольника, сторонами которого являются отрезки хорд. Рассмотреть частный случай-одна из хорд является диаметром, а вторая перпендикулярна ей.

ответить

Уля
03 апреля 2019

ВЫ МНЕ ОЧЕНЬ ПОМОГЛИ , СПАСИБО ОГРОМНОЕ ВАМ !

ответить

Александр (админ)
03 апреля 2019

Уля, очень рады! И тебе спасибо за тёплые слова. Твой успех - наш успех. Удачи на экзаменах!

ответить

Ророша
17 мая 2019

Наконец-то теперь я поняла, спасибо большое

ответить

Александр (амдин)
18 мая 2019

Ророша, рады за тебя! Удачи на всех жизненных экзаменах!

ответить

Вячеслав
05 июня 2019

Спасибо большое.

ответить

Александр (админ)
05 июня 2019

Пожалуйста, Вячеслав!!!

ответить

Лилит
10 июня 2019

Супер! Спасибо. Все очень просто и понятно.

ответить

Александр (админ)
10 июня 2019

Лилит, спасибо и тебе! Удачи во всем!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть