Секущие и хорды в окружности. Визуализированный гид (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинку:

Секущая окружности Здесь   – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
Хорды в окружности рис. 1 Здесь   - хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда   является кусочком секущей  ? Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас   – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущих и хордах в окружности? Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе "Теорема синусов" и "Теорема косинусов" - с длины хорды в окружности.

Длина хорды в окружности

Пусть   – хорда,   – радиус,   – любой вписанный угол, опирающийся на хорду  .Тогда  

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды можно найти по формуле:

 

Обратите внимание: из этой формулы видно, что если ты знаешь радиус окружности и то, сколько градусов «сидит» в дуге, которую стягивает хорда, то ты можешь считать, что знаешь и длину хорды.

И наоборот, чтобы узнать радиус окружности, достаточно знать длину всего-то одной хорды в окружности и величину соответствующего вписанного угла. А можно центрального? Конечно, можно – центральный угол нужно будет просто-напросто поделить на   – и получится вписанный (если не помнишь этого – смотри тему «Окружность. Вписанный угол»).

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих. Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Смотри:

Произведение длин отрезков хорд Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  
Произведение длин отрезков секущих Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку  , выполняется: 

Вопрос первый: почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ первый: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Ответ второй: Смотри, точки на окружности мы отметили голубым, а «особенную» точку   – оранжевым. А теперь погляди внимательно на формулы с произведениями:

В каждом отрезке участвуют «особенная» точка  . Крайне важно это помнить, когда имеешь дело с секущими (с хордами почему-то всем легче). Осознай всё это и НИКОГДА НЕ ПИШИ ТАК:

Вопрос третий: а доказывать будем?

Ответ третий: Будем – это совсем несложно и ОЧЕНЬ полезно.

Итак, сперва о хордах. Повторим формулировку.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  

А теперь попробуем доказать.

Рассмотрим   и  . У них углы   равны как вертикальные и  , потому что они опираются на одну дугу  .
Значит,   по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).

Запишем, что же нам даёт это подобие.

Перепишем это отношение в виде произведения:

 

Ух! Вот и всё – доказали!

На самом деле откроем маленький секрет – в задачах чаще всего используется именно подобие   и  , а не просто «голое» произведение  .

Теперь перейдём к секущим. Ещё раз формулировку:

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  

Докажем? Снова рассмотрим   и  .

  1. У них есть общий  .
  2. Четырехугольник   - вписанный (срочно повторяем или читаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Значит,   (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна  ). Но   - как смежные углы (смотри на картинку).

Что же получилось?

 

То есть  .

Из всего этого следует, что   по двум углам (  – общий и  ).

Снова запишем отношение соответствующих сторон:

Перепишем в виде произведения:

 

Доказали!

И опять тот же секрет: помни не только о равенстве произведений, но и о том, что на картинке с двумя секущими всегда и непременно есть два подобных треугольника – это часто помогает решить задачу.

Касательные и секущие

Касательные и секущие рис. 1 В предыдущем пункте мы выяснили, что  

Но возникает вопрос: а что будет, если секущая   и «превратится» в касательную? Вот так:

Касательные и секущие рис. 2 Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:
Для любых секущей и касательной, проходящих через точку  , верно:  .

Тут точки   и   как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?

Давай докажем то, что сформулировали.

Касательные и секущие рис. 3

 Здесь рассмотрим  и  .

  1.   - общий
  2.   - угол между касательной   и хордой  , а   - вписанный, опирающийся на дугу  .

Значит, по теореме об угле между касательной и хордой (заглядываем в раздел «Касательные, касающиеся окружности»).

 

Получилось, что   по двум углам (  – общий и  ).

Запишем отношения:

Снова перейдём к произведению:

 

И снова видим, что нужное утверждение доказано.

И в третий раз напомню о секрете: важно помнить не только то,  , но в большей степени то, что на картинке с касательной и секущей есть два «хитро» подобных треугольника   и  . Тогда ты сможешь извлекать и дополнительные соотношения.

Ну вот, например:

 , то есть  

Видишь, это уже совсем никак не запоминающееся соотношение, а вот если помнить про подобие, то ни дробь, ни произведение запоминать не надо – они сами выйдут, кода понадобятся.

 

СЕКУЩИЕ И ХОРДЫ В ОКРУЖНОСТИ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Хорда и секущая

  • Здесь \displaystyle AC – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
  • Здесь \displaystyle BC - хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Длина хорды

  • Пусть   – хорда,   – радиус,   – любой вписанный угол, опирающийся на хорду  . Тогда:
    \displaystyle AB=2R\sin \alpha .

Произведение длин отрезков хорд и секущих

  • Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:
    AB\cdot AC=AD\cdot AE.

Касательные и секущие

  • Для любых секущей и касательной, проходящих через точку  , верно:
    A{{C}^{2}}=AD\cdot AE.

 

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Богдан
15 ноября 2018

Спасибо огромное!

ответить

александр (админ)
15 ноября 2018

Пожалуйста, Богдан. Заходите.

ответить

Любовь
25 января 2019

Да, замечательно все и очень понятно. Спасибо за ваш труд

ответить

Александр (админ)
25 января 2019

Спасибо, Любовь! Удачи на экзаменах!

ответить

piven
05 февраля 2019

У диаметра 4-е конца, а у хорды только 2-а». «Григорий Пивень 1 год назад Вы не можете сравнить хорду Лобачевского и радиусы Пивня? Сравните для начала эти линии, а затем перейдём во 2-й класс. А Вы хотите получить всю геометрию и сразу». Николай, У хорды 2 конца, обращённые в противоположные сторонЫ РАСШИРЕНИЯ, а у хорды-диаметра уже 2 радиуса, у которых появляется ещё 2 конца, уходящих в стороны микромира с 2-х сторон, сужающиеся, т.е. у диаметра 4-е конца. Это открытие сделал Пивень Григорий Иванович, но и здесь прошло ещё 5-ть лет, а умные математики пока не появились. 5.2.2019г. Пивень Григорий-автор НОВЫХ основ математики.

ответить

Енот - полоскун
02 апреля 2019

Потрясающе, спасибо огромное!

ответить

Александр (админ)
02 апреля 2019

Пожалуйста, Енот! ))

ответить

Уля
03 апреля 2019

ВЫ МНЕ ОЧЕНЬ ПОМОГЛИ , СПАСИБО ОГРОМНОЕ ВАМ !

ответить

Александр (админ)
03 апреля 2019

Уля, очень рады! И тебе спасибо за тёплые слова. Твой успех - наш успех. Удачи на экзаменах!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 499 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 499 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть