Коротко о главном Средний уровень

Теорема синусов. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Теорема синусов: формулировка

Что же нам сообщает теорема синусов? Вероятнее всего, что-нибудь о синусах, не правда ли? Давай сформулируем.

Теорема синусов: формулировка

Для любого  

 

(здесь   – радиус описанной окружности).

Первый вопрос, который возникает при взгляде на эту формулу: «Но при чём же здесь вообще  ?». Вот давай именно с него и начнём.

Теорема синусов: доказательство

Тебе уже известно, что около каждого треугольника можно описать окружность. Мы это и сделаем. А потом проведём диаметр  . Пусть этот диаметр пересекает окружность в точке  . Давай рассмотрим  . Что же это за треугольник?

Теорема синусов: доказательство

Ну, конечно же, прямоугольный, ведь в   угол   опирается на диаметр   (вспоминаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Но и кроме того,   в   равен   в  , потому что эти углы опираются на одну дугу   (опять вспоминаем ту же тему…).

А теперь просто запишем выражение для синуса   в прямоугольном    .

Но ведь   – диаметр  , и  .

Вспомним, что   и получим  .

Вот и всё! Провели одну линию, рассмотрели один прямоугольный треугольник – и доказательство готово.

Но как же быть с углами   и  ? – спросишь ты. Да, точно также. Давай рассмотрим  .

Теорема синусов: доказательство 2.

Теперь проведём диаметр   и соединим точки   и  . Как-то тут немного по-другому получается, ты заметил?  , конечно, прямоугольный, так как   опирается на диаметр  . Но теперь  , потому что четырехугольник   – вписанный. (Надеюсь, ты ещё помнишь, что для угла   у нас было  .) В чём же дело? Ну, просто   – тупой, поэтому и получилось такое различие. Но, к счастью, для теоремы синусов это различие не играет роли. Сейчас мы в этом убедимся. Итак, запишем выражение для синуса   в прямоугольном  .

 ; то есть  

Но   (читаем или вспоминаем формулы приведения в тригонометрии.)

Значит,  .

Ну вот, мы рассмотрели и острый, и тупой угол. Если ты все ещё беспокоишься об угле  , то проделай все те же действия самостоятельно и убедись, что все получается. Обрати внимание, что мы доказали «четверное равенство».

 

в такой последовательности:

 

А теперь внимание! Обсудим пользу этой теоремы.

Понимаешь, теорема синусов – единственный разумный способ для нахождения радиуса описанной окружности.

Почему я так говорю? А ты вспомни сам: ну где ещё в формулах участвует  ?! Возможно, правда, ты знаком с формулой  , то есть  , но!

Давай – ка сравним:

Из теоремы синусов:  

Из формулы площади:  .

Чувствуешь разницу? В первой формуле нужно знать только одну сторону и один угол, а во второй формуле – все стороны, да ещё и площадь! Ну и какую формулу легче применить? А кроме того, открою тебе маленький секрет: формула   как раз и доказывается именно с применением теоремы синусов. Чтобы убедиться в этом, читай темы «Площадь круга и его частей, Площадь треугольника и четырехугольника». Итак, теорема синусов бывает полезна и для нахождения синуса какого – то угла, если известны две стороны и один угол, но в основном теорема синусов – главный инструмент для нахождения радиуса описанной окружности. Запомни это очень хорошо!