Квадратичная функция. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Для начала скажи мне, что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

Итак, ты усвоил что такое функция. Повторим: функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция $latex y=f\left( x \right)$, это значит что каждому допустимому значению переменной $latex x$ (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной $latex y$ (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»! Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции $latex y=\sqrt{x}$ отрицательные значения аргумента $latex x$ – недопустимы.

Кстати, а с линейной функцией ты уже дружишь? Про нее все написано в теме «Линейная функция» – там ты поймешь, что в функциях ничего страшного нет и научишься понимать и использовать коэффициенты (это циферки перед буквой $latex x$).

И еще, надеюсь, ты умеешь решать квадратные уравнения? Освежить память можно, почитав тему «Квадратные уравнения».

Итак, приступим!

Квадратичная функция. Понятие

Квадратичная функция — это функция вида $latex y=a{{x}^{2}}+bx+c$, где $latex a\ne 0$, $latex b$ и $latex c$ ­– любые числа (они и называются коэффициентами). Число $latex a$ называют старшим или первым коэффициентом такой функции, $latex b$ – вторым коэффициентом, а $latex c$ – свободным членом.

Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения $latex D\left( y \right)$ и область значений$latex E\left( y \right)$.

Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции $latex y=a{{x}^{2}}+bx+c$? Правильно, любыми. Ведь в эту формулу можно подставить любое число (в отличии, например, от функции $latex y=\frac{1}{x}$ – в нее нельзя подставить $latex x=0$).

Значит, область определения – все действительные числа:

$latex D\left( y \right)=\mathbb{R}$ или $latex D\left( y \right)=\left( -\infty ;+\infty  \right)$.

А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?

Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию $latex y={{x}^{2}}$ $latex \left( a=1,\text{ }b=0,\text{ }c=0 \right)~$, чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю. Значит, эта функция всегда не меньше нуля. А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше. Таким образом, можем написать для $latex y={{x}^{2}}:E\left( y \right)=\left[ 0;+\infty  \right)$.

В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.

Больше задач — после регистрации.

Квадратичная функция. График

Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем.

Построение графика квадратичной функции:

Начнем с простейшей квадратичной функции – $latex y={{x}^{2}}$.

Составим таблицу значений:

x -2 -1 0 1 2
y 5 0 -3 -4 -3

Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

1

Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.

Рассмотрим теперь другую функцию: $latex y={{x}^{2}}-2{x}-3$. Составим таблицу значений:

x -2 -1 0 1 2 3 4
y 5 0 -3 -4 -3 0 5

2

Сравним два рисунка. Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах. Во второй параболе вершина переместилась в точку $latex \left( 1;-4 \right)$, а ветви переехали вместе с ней. Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.

Больше задач — после регистрации.

Коэффициенты квадратичной функции

Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида $latex y=a{{x}^{2}}$ ($latex b=0$, $latex c=0$ – пусть не мешают).

Построим на одном рисунке графики нескольких функций: при $latex a= -2,\text{ }-1,\frac{1}{2},\text{ }1,\text{ }3:$

график 3
  • Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?

Во-первых, это невозможно не заметить, если $latex \displaystyle \mathbf{a}<\mathbf{0}$, ветви парабол направлены вниз, а если $latex \displaystyle \mathbf{a}>\mathbf{0}$, то вверх. Это важно запомнить.

Далее, чем больше значение $latex \displaystyle a$ (по модулю), тем у́же становится наша парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше старший коэффициент, тем парабола шире.

Теперь свободный член $latex \displaystyle c$. Построй сам 3-4 параболы с одинаковыми $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle b$, но с разными $latex \displaystyle c$. Например:

$latex \displaystyle y={{x}^{2}}+x-2$ $latex \displaystyle y={{x}^{2}}+x-1;$ $latex \displaystyle y={{x}^{2}}+x;$$latex \displaystyle y={{x}^{2}}+x+2$.

Построил? Что заметил?

У тебя должны были получиться одинаковые параболы, смещенные друг относительно друга строго по вертикали (вдоль оси $latex \displaystyle Oy$). Чем больше $latex \displaystyle c$, тем выше располагается парабола.

На коэффициенте $latex \displaystyle b$ не будем долго останавливаться – он не так очевидно влияет на вид параболы. Скажу только, что он частично отвечает за горизонтальное смещение параболы (вдоль оси $latex \displaystyle Ox$).

Точки пересечения параболы с осями

Как обычно, начнем с простого. Помнишь, как находить точку пересечения графика с осью ординат? Очень просто: ведь на оси $latex \displaystyle Oy$ координата $latex \displaystyle x$ всегда равна нулю! Подставим $latex \displaystyle x=0$ в функцию $latex \displaystyle y=a{{x}^{2}}+bx+c$:

$latex \displaystyle y=a\cdot 0+b\cdot 0+c=c$.

То есть парабола пересекает ось $latex \displaystyle Oy$ в точке с координатами $latex \displaystyle \left( 0;c \right)$. Вот, оказывается, какой смысл свободного член $latex \displaystyle c$ – то же самое, что коэффициент $latex \displaystyle b$ линейной функции $latex \displaystyle y=kx+b$.

Идем дальше. Посмотрим, где парабола пересекает ось абсцисс. Теперь координата $latex \displaystyle y=0$:

$latex \displaystyle 0=a{{x}^{2}}+bx+c$.

Получаем квадратное уравнение. Помнишь ведь, как его решать?

Вот так: оказывается, корни квадратного уравнения – это абсциссы точек пересечения параболы с осью $latex \displaystyle Ox$!

А что, если корней у уравнения нет? Такое ведь бывает?

Да, бывает (если дискриминант меньше нуля). Смотри:

график 4 Если корней нет, это значит, что парабола не пересекает ось $latex \displaystyle Ox$. То есть она лежит целиком выше или ниже оси

А как определить, будет она лежать выше или ниже оси $latex \displaystyle Ox$? Очень просто, посмотри: у той параболы, которая сверху, ветви направлены куда? Вверх. Что это значит? То, что $latex \displaystyle a>0$. А у нижней параболы? Верно, $latex \displaystyle a<0$.

Так, хорошо. Значит, если парабола пересекает ось $latex \displaystyle Ox$ в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения. Если не пересекает – корней нет. Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси $latex \displaystyle Ox$ вершиной:

3

А что такое вершина параболы?

Вершина параболы

Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при $latex \displaystyle D=0$, получим формулу вершины:

$latex \displaystyle {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}$.

Это тоже бывает очень полезно.

Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:

график 6

А теперь порешаем задачки.

Квадратичная функция. Примеры решения задач

1. График какой из функций избражен на рисунке?

a) $latex y=-{{x}^{2}}+2x+5$

b) $latex y={{x}^{2}}-2x+5$

c) $latex y=-{{x}^{2}}-2x+4$

d) $latex y=-{{x}^{2}}+2x+4$

4

2. Найдите сумму корней квадратного уравнения $latex a{{x}^{2}}+bx+c=0$, если на рисунке приведен график функции $latex y=a{{x}^{2}}+bx+c$:

5

3. Найдите произведение корней квадратного уравнения $latex a{{x}^{2}}+bx+c=0$, если на рисунке приведен график функции $latex y=a{{x}^{2}}+bx+c$:

6

4. По графику функции $latex y={{x}^{2}}+bx+c$ определите коэффициенты $latex b$ и $latex c$:

7

Решения:

1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, $latex \displaystyle a<0$. То есть вариант b) сразу не подходит.

Дальше посмотрим на точку пересечения с осью $latex \displaystyle Oy:y=4$. Что нам дает эта точка? Вспоминай. Это – свободный член c. Значит, $latex \displaystyle c=4$ – отбросим вариант a).

Ну что же, $latex \displaystyle a=-1,c=4,$ осталось определить b. Тут нам поможет вершина. Напоминаю, что ее координата вычисляется по формуле: $latex \displaystyle {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}$. В нашем случае $latex \displaystyle {{x}_{в}}=1$. Тогда:

$latex \displaystyle 1=\frac{-b}{2\cdot \left( -1 \right)}\text{  }\Rightarrow \text{  }b=2$.

Итак, наша парабола задается формулой: $latex \displaystyle y=-{{x}^{2}}+2x+4$. Это вариант ответа d)

2. Проще простого: корни – это точки пересечения параболы с осью $latex \displaystyle Ox$. Смотрим: $latex \displaystyle {{x}_{1}}=1$, $latex \displaystyle {{x}_{2}}=5$. Значит, их сумма $latex \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6$.

3. То же самое: $latex \displaystyle {{x}_{1}}=-1$, $latex \displaystyle {{x}_{2}}=3$. Произведение $latex \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-3$.

4. Хм… Ну, коэффициент с мы бы нашли, да только по оси $latex \displaystyle Oy$ нет обозначений. Зато показаны точки пересечения с осью $latex \displaystyle Ox$. А это ведь корни уравнения $latex \displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0:{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=4$. Как это нам поможет?

Кстати, чему равен старший коэффициент?

Он равен $latex \displaystyle 1$. Как называется такое квадратное уравнение? Вспоминай: оно называется приведенным. Теперь догадался? Можно ведь применить теорему Виета. Точно! Ведь она говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком:

$latex \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b$,

а произведение – свободному члену:

$latex \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=c$.

Ну вот и решили: $latex \displaystyle b=-\left( -1+4 \right)=-3$, $latex \displaystyle c=-1\cdot 4=-4$.

Ответ: $latex \displaystyle -3;\text{ -}4.$

Ну вот ты и усвоил, что такое квадратичная функция, какой у нее график, и как пользоваться графиком при решении задач.

А в теме «Построение графика квадратичной функции» ты научишься сам быстро строить любые параболы без таблицы (не по точкам, а как это делают взрослые, серьезные люди).

Удачи!

Проверь себя — реши задачи на квадратичную функцию.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий