Квадратичная функция. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Для начала скажи мне, что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

Итак, ты усвоил что такое функция. Повторим: функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция \(y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \(x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \(y\) (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»! Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции \(y=\sqrt{x}\) отрицательные значения аргумента \(x\) – недопустимы.

Кстати, а с линейной функцией ты уже дружишь? Про нее все написано в теме «Линейная функция» – там ты поймешь, что в функциях ничего страшного нет и научишься понимать и использовать коэффициенты (это циферки перед буквой \(x\)).

И еще, надеюсь, ты умеешь решать квадратные уравнения? Освежить память можно, почитав тему «Квадратные уравнения».

Итак, приступим!

Квадратичная функция. Понятие

Квадратичная функция — это функция вида \(y=a{{x}^{2}}+bx+c\), где \(a\ne 0\), \(b\) и \(c\) ­– любые числа (они и называются коэффициентами). Число \(a\) называют старшим или первым коэффициентом такой функции, \(b\) – вторым коэффициентом, а \(c\) – свободным членом.

Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения \(D\left( y \right)\) и область значений\(E\left( y \right)\).

Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции \(y=a{{x}^{2}}+bx+c\)? Правильно, любыми. Ведь в эту формулу можно подставить любое число (в отличии, например, от функции \(y=\frac{1}{x}\) – в нее нельзя подставить \(x=0\)).

Значит, область определения – все действительные числа:

\(D\left( y \right)=\mathbb{R}\) или \(D\left( y \right)=\left( -\infty ;+\infty  \right)\).

А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?

Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию \(y={{x}^{2}}\) \(\left( a=1,\text{ }b=0,\text{ }c=0 \right)~\), чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю. Значит, эта функция всегда не меньше нуля. А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше. Таким образом, можем написать для \(y={{x}^{2}}:E\left( y \right)=\left[ 0;+\infty  \right)\).

В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.

Больше задач — после регистрации.

Квадратичная функция. График

Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем.

Построение графика квадратичной функции:

Начнем с простейшей квадратичной функции – \(y={{x}^{2}}\).

Составим таблицу значений:

x -2 -1 0 1 2
y 5 0 -3 -4 -3

Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

1

Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.

Рассмотрим теперь другую функцию: \(y={{x}^{2}}-2{x}-3\). Составим таблицу значений:

x -2 -1 0 1 2 3 4
y 5 0 -3 -4 -3 0 5

2

Сравним два рисунка. Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах. Во второй параболе вершина переместилась в точку \(\left( 1;-4 \right)\), а ветви переехали вместе с ней. Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.

Больше задач — после регистрации.

Коэффициенты квадратичной функции

Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида \(y=a{{x}^{2}}\) (\(b=0\), \(c=0\) – пусть не мешают).

Построим на одном рисунке графики нескольких функций: при \(a= -2,\text{ }-1,\frac{1}{2},\text{ }1,\text{ }3:\)

график 3
  • Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?

Во-первых, это невозможно не заметить, если \(\displaystyle \mathbf{a}<\mathbf{0}\), ветви парабол направлены вниз, а если \(\displaystyle \mathbf{a}>\mathbf{0}\), то вверх. Это важно запомнить.

Далее, чем больше значение \(\displaystyle a\) (по модулю), тем у́же становится наша парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше старший коэффициент, тем парабола шире.

Теперь свободный член \(\displaystyle c\). Построй сам 3-4 параболы с одинаковыми \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\), но с разными \(\displaystyle c\). Например:

\(\displaystyle y={{x}^{2}}+x-2\) \(\displaystyle y={{x}^{2}}+x-1;\) \(\displaystyle y={{x}^{2}}+x;\)\(\displaystyle y={{x}^{2}}+x+2\).

Построил? Что заметил?

У тебя должны были получиться одинаковые параболы, смещенные друг относительно друга строго по вертикали (вдоль оси \(\displaystyle Oy\)). Чем больше \(\displaystyle c\), тем выше располагается парабола.

На коэффициенте \(\displaystyle b\) не будем долго останавливаться – он не так очевидно влияет на вид параболы. Скажу только, что он частично отвечает за горизонтальное смещение параболы (вдоль оси \(\displaystyle Ox\)).

Точки пересечения параболы с осями

Как обычно, начнем с простого. Помнишь, как находить точку пересечения графика с осью ординат? Очень просто: ведь на оси \(\displaystyle Oy\) координата \(\displaystyle x\) всегда равна нулю! Подставим \(\displaystyle x=0\) в функцию \(\displaystyle y=a{{x}^{2}}+bx+c\):

\(\displaystyle y=a\cdot 0+b\cdot 0+c=c\).

То есть парабола пересекает ось \(\displaystyle Oy\) в точке с координатами \(\displaystyle \left( 0;c \right)\). Вот, оказывается, какой смысл свободного член \(\displaystyle c\) – то же самое, что коэффициент \(\displaystyle b\) линейной функции \(\displaystyle y=kx+b\).

Идем дальше. Посмотрим, где парабола пересекает ось абсцисс. Теперь координата \(\displaystyle y=0\):

\(\displaystyle 0=a{{x}^{2}}+bx+c\).

Получаем квадратное уравнение. Помнишь ведь, как его решать?

Вот так: оказывается, корни квадратного уравнения – это абсциссы точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle Ox\)!

А что, если корней у уравнения нет? Такое ведь бывает?

Да, бывает (если дискриминант меньше нуля). Смотри:

график 4 Если корней нет, это значит, что парабола не пересекает ось \(\displaystyle Ox\). То есть она лежит целиком выше или ниже оси

А как определить, будет она лежать выше или ниже оси \(\displaystyle Ox\)? Очень просто, посмотри: у той параболы, которая сверху, ветви направлены куда? Вверх. Что это значит? То, что \(\displaystyle a>0\). А у нижней параболы? Верно, \(\displaystyle a<0\).

Так, хорошо. Значит, если парабола пересекает ось \(\displaystyle Ox\) в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения. Если не пересекает – корней нет. Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси \(\displaystyle Ox\) вершиной:

3

А что такое вершина параболы?

Вершина параболы

Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при \(\displaystyle D=0\), получим формулу вершины:

\(\displaystyle {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}\).

Это тоже бывает очень полезно.

Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:

график 6

А теперь порешаем задачки.

Квадратичная функция. Примеры решения задач

1. График какой из функций избражен на рисунке?

a) \(y=-{{x}^{2}}+2x+5\)

b) \(y={{x}^{2}}-2x+5\)

c) \(y=-{{x}^{2}}-2x+4\)

d) \(y=-{{x}^{2}}+2x+4\)

4

2. Найдите сумму корней квадратного уравнения \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), если на рисунке приведен график функции \(y=a{{x}^{2}}+bx+c\):

5

3. Найдите произведение корней квадратного уравнения \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), если на рисунке приведен график функции \(y=a{{x}^{2}}+bx+c\):

6

4. По графику функции \(y={{x}^{2}}+bx+c\) определите коэффициенты \(b\) и \(c\):

7

Решения:

1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, \(\displaystyle a<0\). То есть вариант b) сразу не подходит.

Дальше посмотрим на точку пересечения с осью \(\displaystyle Oy:y=4\). Что нам дает эта точка? Вспоминай. Это – свободный член c. Значит, \(\displaystyle c=4\) – отбросим вариант a).

Ну что же, \(\displaystyle a=-1,c=4,\) осталось определить b. Тут нам поможет вершина. Напоминаю, что ее координата вычисляется по формуле: \(\displaystyle {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}\). В нашем случае \(\displaystyle {{x}_{в}}=1\). Тогда:

\(\displaystyle 1=\frac{-b}{2\cdot \left( -1 \right)}\text{  }\Rightarrow \text{  }b=2\).

Итак, наша парабола задается формулой: \(\displaystyle y=-{{x}^{2}}+2x+4\). Это вариант ответа d)

2. Проще простого: корни – это точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle Ox\). Смотрим: \(\displaystyle {{x}_{1}}=1\), \(\displaystyle {{x}_{2}}=5\). Значит, их сумма \(\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6\).

3. То же самое: \(\displaystyle {{x}_{1}}=-1\), \(\displaystyle {{x}_{2}}=3\). Произведение \(\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-3\).

4. Хм… Ну, коэффициент с мы бы нашли, да только по оси \(\displaystyle Oy\) нет обозначений. Зато показаны точки пересечения с осью \(\displaystyle Ox\). А это ведь корни уравнения \(\displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0:{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=4\). Как это нам поможет?

Кстати, чему равен старший коэффициент?

Он равен \(\displaystyle 1\). Как называется такое квадратное уравнение? Вспоминай: оно называется приведенным. Теперь догадался? Можно ведь применить теорему Виета. Точно! Ведь она говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком:

\(\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b\),

а произведение – свободному члену:

\(\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=c\).

Ну вот и решили: \(\displaystyle b=-\left( -1+4 \right)=-3\), \(\displaystyle c=-1\cdot 4=-4\).

Ответ: \(\displaystyle -3;\text{ -}4.\)

Ну вот ты и усвоил, что такое квадратичная функция, какой у нее график, и как пользоваться графиком при решении задач.

А в теме «Построение графика квадратичной функции» ты научишься сам быстро строить любые параболы без таблицы (не по точкам, а как это делают взрослые, серьезные люди).

Удачи!

Проверь себя — реши задачи на квадратичную функцию.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий