17 июля

1 comments

Построение графика квадратичной функции. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое квадратичная функция и с чем ее едят. 

Проверь себя, ответь на эти вопросы:

  • Как выглядит квадратичная функция в общем виде (формула)?
  • Как называется график квадратичной функции?
  • Как влияет старший коэффициент на график квадратичной функции?

Если ты сходу смог ответить, продолжай читать. 

Если хоть один вопрос вызвал затруднения, повтори тему «Квадратичная функция».

А мы начинаем!

Квадратичная функция и её коэффициенты

Итак, ты уже умеешь обращаться с квадратичной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам.

Ну что же, вот она: \( y=a{{x}^{2}}+bx+c\).

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.

  • Старший коэффициент \( \displaystyle a\) отвечает за «крутизну» параболы, или, по-другому, за ее ширину: чем больше \( \displaystyle a\), тем парабола у́же (круче), а чем \( \displaystyle a\) меньше, тем парабола шире (более пологая).
  • Свободный член \( \displaystyle c\) – это координата пересечения параболы с осью ординат.
  • А коэффициент \( \displaystyle b\) каким-то образом отвечает за смещение параболы от центра координат. Вот об этом сейчас подробнее.

С чего мы всегда начинаем строить параболу? Какая у нее есть отличительная точка?

Это вершина. А как найти координаты вершины, помнишь?

Абсцисса ищется по такой формуле:

\( {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}\).

Вот так: чем больше \( \displaystyle b\), тем левее смещается вершина параболы.

Ординату вершины можно найти, подставив \( {{x}_{в}}\) в функцию:

\( {{y}_{в}}=a{{x}_{в}}^{2}+b{{x}_{в}}+c\).

Подставь сам и посчитай. Что получилось?

Если сделать все правильно и максимально упростить полученное выражение, получится:

\( {{y}_{в}}=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}\).

Получается, что чем \( \displaystyle b\) больше по модулю, тем выше будет вершина параболы.

Перейдем, наконец, к построению графика.
Самый простой способ – строить параболу, начиная с вершины.

Построить график функции \( y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+2{x}-1\).

Решение:

Для начала определим коэффициенты: \( a=\frac{1}{2};\text{ }b=2;\text{ }c=-1\).

Теперь вычислим координаты вершины:

\( {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot \frac{1}{2}}=-2\)

\( {{y}_{в}}=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}=-\frac{4+2}{2}=-3\)

А теперь вспоминаем: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом выглядят одинаково.

Значит, если мы построим параболу \( y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\) и переместим ее вершиной в точку \( \left( -2;-3 \right)\), получится нужный нам график:

Просто, правда?

Остается только один вопрос…

Как быстро рисовать параболу?

Даже если мы рисуем параболу с вершиной в начале координат, все равно приходится строить ее по точкам, а это долго и неудобно. А ведь все параболы выглядят одинаково, может, есть способ ускорить их рисование?

Когда я учился в школе, учительница математики сказала всем вырезать из картона трафарет в форме параболы, чтобы быстро ее чертить. Но с трафаретом везде ходить не получится, да и на экзамен его взять не разрешат. Значит, не будем пользоваться посторонними предметами, а будем искать закономерность.

Рассмотрим простейшую параболу \( y={{x}^{2}}\). Построим ее по \( \displaystyle 7\) точкам:

Закономерность здесь такая.

Если из вершины сместиться вправо (вдоль оси \( \displaystyle Ox\)) на \( \displaystyle 1\), и вверх (вдоль оси \( \displaystyle Oy\)) на \( \displaystyle 1\), то попадем в точку параболы.

Дальше: если из этой точки сместиться вправо на \( \displaystyle 1\) и вверх на \( \displaystyle 3\), снова попадем в точку параболы.

Дальше: вправо на \( \displaystyle 1\) и вверх на \( \displaystyle 5\). Дальше что?

Вправо на \( \displaystyle 1\) и вверх на \( \displaystyle 7\).

И так далее: смещаемся на \( \displaystyle 1\) вправо, и на следующее нечетное число вверх.

То же самое потом проделываем с левой веткой (ведь парабола симметрична, то есть ее ветви выглядят одинаково):

Отлично, это поможет построить из вершины любую параболу со старшим коэффициентом, равным \( \displaystyle 1\).

Пример построения параболы быстрым способом

Например, нам стало известно, что вершина параболы находится в точке \( \displaystyle \left( 1;-2 \right)\). Построй (самостоятельно, на бумаге) эту параболу.

Построил?

Должно получиться так:

Теперь соединяем полученные точки:

Вот и все.

ОК, ну что же, теперь строить только параболы с \( \displaystyle a=1\)?

Конечно, нет. Сейчас разберемся, что с ними делать, если \( \displaystyle a\ne 1\).

3 типичных случая построения параболы

Cлучай 1. \( a=-1\).

То есть функция выглядит как \( y=-{{x}^{2}}\). Ну что же здесь сложного? Просто переворачиваем параболу рогами вниз, и все. То есть, теперь будем двигаться так:

  1. 1
    \( 1\) вправо – \( 1\) вниз
  2. 2
    \( 1\) вправо – \( 3\) вниз
  3. 3
    \( 1\) вправо – \( 5\) вниз и т. д.

И то же самое, только влево.

Случай 2. \( a>1\).

Что делать, если, например, \( a=2\)?

Все просто: начинаем так же: \( 1\) вправо, но когда дело доходит до «вверх», любое число увеличиваем в \( 2\) раза:

  1. 1
    \( 1\) вправо – \( 2\) вверх
  2. 2
    \( 1\) вправо – \( 6\) вверх
  3. 3
    \( 1\) вправо – \( 10\) вверх и т. д.

Аналогично в случае \( a<-1\):

  1. 1
    \( 1\) вправо – \( 2\) вниз
  2. 2
    \( 1\) вправо – \( 6\) вниз
  3. 3
    \( 1\) вправо – \( 10\) вниз и т. д.

В общем случае так:

  1. 1
    \( 1\) вправо – \( a\) вверх
  2. 2
    \( 1\) вправо – \( 3a\) вверх
  3. 3
    \( 1\) вправо – \( 5a\) вверх и т. д.

Если \( a<0\), то вместо «вверх» делаем «вниз».

Случай 3. А если \( -1<a<1\)?

Принцип тот же: каждый шаг вправо или влево сопровождается шагом вверх или вниз, равным какому-то нечетному числу, умноженному на \( a\).

Но отмерять нецелые (дробные) отрезки всегда лень. Поэтому иногда удобнее сделать по-другому: шаг вправо или влево делать не \( 1\), а \( \frac{1}{a}\).

Тогда вверх/вниз придется смещаться на целые \( \frac{1}{a}\), \( \frac{3}{a}\), \( \frac{5}{a}\), \( \frac{7}{a}\), … клеток.

Например: построим график \( y=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}\). Будем откладывать:

  1. 1
    вправо \( 3\) – вниз \( 3\)
  2. 2
    вправо \( 3\) – вниз \( 9\)
  3. 3
    вправо \( 3\) – вниз \( 15\) и т. д.

и затем то же самое влево.

Отлично, параболу рисовать научились, давай теперь потренируемся на настоящих функциях.

4 задачи на построение графика функции

Нарисуй 4 графика следующих функций:

  1. 1
    \( y={{x}^{2}}-2{x}+3\)
  2. 2
    \( y=-2{{x}^{2}}+12{x}-20\)
  3. 3
    \( y=\frac{{{x}^{2}}}{2}-2{x}-2\)
  4. 4
     \( y={{x}^{2}}+5{x}+3\)

Ответы:

1. \( {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}=1;\text{ }{{y}_{в}}=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}=2\):

2. \( {{x}_{в}}=3;\text{ }{{y}_{в}}=-2\)

3. Вершина: \( {{x}_{в}}=2;\text{ }{{y}_{в}}=-4\).

Помнишь, что делать, если старший коэффициент меньше \( \displaystyle 1\)?

Смотрим на знаменатель дроби: он равен \( \displaystyle 2\). Значит, будем двигаться так:

  1. 1
    \( \displaystyle 2\) вправо – \( \displaystyle 2\) вверх
  2. 2
    \( \displaystyle 2\) вправо – \( \displaystyle 6\) вверх
  3. 3
    \( \displaystyle 2\) вправо – \( \displaystyle 10\) вверх

и так же влево:

4. Вершина: \( {{x}_{в}}=-2,5;\text{ }{{y}_{в}}=-3,25\).

Ой, а что с этим делать? Как отмерять клетки, если вершина где-то между линиями?..

А мы схитрим.

Нарисуем сперва параболу, а уже потом переместим ее вершиной в точку \( \left( -2,5;-3,25 \right)\). Даже нет, поступим еще хитрее: нарисуем параболу, а потом переместим оси: \( \displaystyle Ox\) – на \( \displaystyle 3,25\) вверх, а \( \displaystyle Oy\) – на \( \displaystyle 2,5\) вправо:

Этот прием очень удобен в случае любой параболы, запомни его.

Рассмотрим еще один способ записи квадратичной функции: выделение полного квадрата. Этот способ был подробно описан в теме «Квадратные уравнения».

Выделение полного квадрата

Напомню, что мы можем представить функцию \( y=a{{x}^{2}}+bx+c\) в таком виде:

\( y=a{{\left( x-p \right)}^{2}}+q\).

Например: \( y={{x}^{2}}-6x+5={{\left( x-3 \right)}^{2}}-4\).

Или: \( 2{{x}^{2}}+6x+1=2{{\left( x+1,5 \right)}^{2}}-3,5\).

Что это нам дает?

Дело в том, что число, которое вычитается из \( \displaystyle x\) в скобках (\( \displaystyle p\)) – это абсцисса вершины параболы, а слагаемое за скобками (\( \displaystyle q\)) – ордината вершины.

Это значит, что, построив параболу \( y=a{{x}^{2}}\), нужно будет просто сместить ось \( \displaystyle Oy\) на \( \displaystyle p\) влево и ось \( \displaystyle Ox\) на \( q\) вниз.

Пример: построим график функции \( y=0,5{{x}^{2}}+2x+1\).

Выделим полный квадрат:

\( y=0,5\left( {{x}^{2}}+4x \right)+1=0,5\left( {{x}^{2}}+4x+4-4 \right)+1=0,5\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)-2+1=0,5{{\left( x+2 \right)}^{2}}-1\)

Какое число вычитается из \( \displaystyle x\) в скобках? Это \( \displaystyle -2\) (а не \( \displaystyle 2\), как можно решить, не подумав).

Итак, строим параболу \( y=0,5{{x}^{2}}\):

Теперь смещаем ось \( \displaystyle Ox\) на \( \displaystyle -1\) вниз, то есть на \( \displaystyle 1\) вверх:

А теперь – \( \displaystyle Oy\) на \( \displaystyle -2\) влево, то есть на \( \displaystyle 2\) вправо:

Вот и все. Это то же самое, как переместить параболу \( y=0,5{{x}^{2}}\) вершиной из начала координат в точку \( \displaystyle (-2;-1)\), только прямые оси двигать намного легче, чем кривую параболу.

Теперь, как обычно, сам.

Еще два примера на самостоятельную работу

  1. 1
    \( y=2{{x}^{2}}-8x+3\)
  2. 2
    \( y=-{{x}^{2}}-4x+2\)

И не забывай стирать ластиком старые оси!

Я в качестве ответов для проверки напишу тебе ординаты вершин этих парабол:

  1. 1
    \( \displaystyle -5\)
  2. 2
    \( \displaystyle 6\)

Все сошлось?

Если да, то ты молодец! Уметь обращаться с параболой – очень важно и полезно, и здесь мы выяснили, что это совсем не трудно.

Определение

Квадратичная функция – функция вида \( y=a{{x}^{2}}+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) ­– любые числа (коэффициенты), \( c\) – свободный член.

График квадратичной функции – парабола.

Если коэффициент \( \displaystyle a<0\), ветви параболы направлены вниз, если \( \displaystyle a>0\) – ветви параболы направлены вверх.

Чем больше значение \( \displaystyle a\) (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше \( \displaystyle a\), тем парабола шире.

Вершина параболы

\( \displaystyle {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}\), т.е. чем больше \( \displaystyle b\), тем левее смещается вершина параболы.

Подставляем \( \displaystyle {{x}_{в}}\) в функцию \( y=a{{x}^{2}}+bx+c\), и получаем:

\( \displaystyle {{y}_{в}}=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a^2}\), т.е. чем \( \displaystyle b\) больше по модулю, тем выше будет вершина параболы

Свободный член \( \displaystyle c\) – это координата пересечения параболы с осью ординат.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Хочешь помочь?

Поздравляю! Ты разблокировал достижение "Мастер параболы" 🙂

Теперь ты знаешь все нюансы построения графика квадратичной функции.

Нравится ли тебе строить графики? Была ли эта статья полезна?

Напиши нам в комментариях внизу. Поделись этой статьей с тем, кому нужна помощь.

А если у тебя остались вопросы, задай их! И мы обязательно тебе ответим.

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Добрые человек
    27 октября 2017
    Хороший сайт, очень удобно и понятно ,спасибо вам)

    Светлана
    14 ноября 2017
    Спасибо. Всё встало на свои места. А как на счёт остальных функций?

    Юлия Овчиникова
    16 февраля 2020
    В случае со смещением на 0,5 и 0,25 происходит изменение не на нечетное количество клеток, а четное. Сначала отмечаем две ближайшие клетки, а потом: 2,4,6, и т.д.

    Алексей Шевчук
    19 февраля 2020
    Юлия, да, это верно, этим способом можно пользоваться. Но я решил не включать его в статью, чтобы не создать кашу из разных, но похожих друг на друга, алгоритмов. Вполне достаточно одного способа рисовать параболу + смещения графика или осей.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >