Коротко о главном Начальный уровень

Функции. Начальный уровень.

1. Функцией называется правило  , по которому каждому элементу   множества   ставится в соответствие единственный элемент   множества  .

  •   - это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
  •   - переменная величина, или, аргумент;
  •   - зависимая величина – изменяется при изменении аргумента, то есть согласно какой-либо определенной формуле  , отражающей зависимость одной величины от другой.

2. Допустимые значения аргумента, или область определения функции   - это то, что связано с возможными  , при которых функция имеет смысл.

3. Область значений функции   - это то, какие значения принимает  , при допустимых значениях  .

4. Существует 4 способа задания функции:

  • аналитический (с помощью формул);
  • табличный;
  • графический
  • словесное описание.

5. Основные виды функций:

Суть понятия «функция»

Понятие «функция» пронизывает все сферы математики и не только. Мы все знаем, что функция записывается как  , но можешь ли ты ответить, что обозначает эта формула? Если да, то ты большой молодец! А если нет – не страшно! Сейчас быстренько во всем разберемся!

Так вот, функция отражает зависимость величин друг от друга: то есть при изменении одного числа  , по некоторому закону   изменяется  . Зависимость, или взаимосвязь - вот ключевые слова при определении понятия функции.

Попробуй самостоятельно придумать несколько примеров из жизни, где четко проявляется зависимость одного от другого.

И?... Не можешь придумать ни один пример? Как так! Смотри:

Допустим автомобиль движется со средней скоростью   км/ч, как тогда выразить зависимость пути   от времени  ? Правильно:

 

То есть чем больше времени автомобилист проведет за рулем, тем больше расстояние он преодолеет на своем автомобиле. Чем не зависимость?

Что в этом случае будет  , что  , и как будет выражено в итоге  ? Проведем параллели между физической формулой и привычной нам записью функции  :

  •  , то есть путь, который проедет автомобилист;
  •  , время, которое он проведет в пути;
  •   - зависимость пути от времени, учитывая, что скорость на всем пути постоянна.

Разобрался что к чему? Теперь перейдем на математический язык. Итак. Еще раз смотрим на нашу формулу:

 

Слева стоит   - это и есть функция. За этой буквой может быть все что угодно: температура, скорость, сила, путь – неважно!   - зависимая величина. Она может зависеть от множества критериев. Например, как в нашем случае, зависимость пути от времени, проведенном в дороге при движении с постоянной скоростью.

Справа у нас стоит  . Эта величина переменная, или, как говорят математики, «аргумент». Логично, что чем больше времени проведет автомобилист в дороге, тем большее расстояние он проедет (конечно, если скорость будет постоянна, и он не встрянет намертво в московских пробках).

Справа у нас также есть  , за этим скрываются все действия, совершаемые над  . В нашем случае мы говорим, что  , а так как  км/ч, то под   скрывается умножение на  , вот мы и получаем -  .

Теперь думаю тебе все понятно? Подведем краткий итог:

  1.   - это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
  2.   - переменная величина, или, аргумент;
  3.   - зависимая величина – изменяется при изменении аргумента, то есть   согласно какой-либо определенной формуле  , отражающей зависимость одной величины от другой.

Теперь, когда ты понял суть понятия «функция», знаешь что такое переменная величина, а что постоянная, посмотрим на определение функции, каким его дают математики:

Функцией называется правило  , по которому каждому элементу   множества   ставится в соответствие единственный элемент   множества  .

Вроде и   есть… и   есть, и даже правило   есть, но что это за множества такие? «О них мы ни слова не говорили!» - воскликнешь ты. Не паникуй!:) Множества – это очень просто, сейчас все-все проясним!

Вернемся к нашему примеру – автомобилист едет с постоянной скоростью и проезжает расстояние, которое зависит от того, сколько времени он провел в пути. Все верно? Разбираемся дальше. Мы говорили, что  , это как раз и есть время, проведенное в пути. Каким оно может быть?

Ты сейчас крайней удивлен, но все же, каким может быть это время? Правильно, чисто теоретически от   до  . Вот ты сам и определил для нашего конкретного случая множество  , а иначе говоря, допустимые значения аргумента или область определения функции  .

Запомнить очень легко: что определяет нашу функцию? От чего зависит игрек, и что мы меняем? Функцию определяет икс! Соответственно, область определения – это возможные значения  .

Теперь давай рассматривать, что такое множество  . Думаю, ты сам ответишь, что путь не может быть отрицательным, так что   в нашей с тобой придуманной функции так же может принимать значения в промежутке от   до  . Это называется областью значений функции  , то есть множество  , которые существуют для данной функции.

Итак, сделаем небольшой вывод по последнему:

  1. Допустимые значения аргумента, или область определения функции   - это то, что связано с возможными  , при которых функция имеет смысл.
  2. Область значений функции  - это то, какие значения принимает  , при допустимых значениях  .

Легко? То-то же. Давай потренируемся находить области определения функции и ее допустимые значения.


Для начала попробуй найти область определения функции:

Рисунок функции 1

Справился? Сравним ответы:

А)  

Б)  

В)  

Г)  

Все верно? Молодец! Теперь попробуем найти область значения функции:

График функции 2

Записал? Сравниваем:

А)  

Б)  

В)  

Г)  

Сошлось? Молодец! Еще раз поработаем с графиками, только теперь чуть-чуть посложнее – найти и область определения функции, и область значения функции:

График кусочной функции

А)  
 

Б)  
 

С графиками, я думаю, ты разобрался. Теперь попробуем в соответствии с формулами найти область определения функции (если ты не знаешь как это сделать, прочитай раздел про ОДЗ):

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Справился? Сверим ответы:

 

  1.  , так как подкоренное выражение   должно быть больше или равно нулю.
  2.  , так как на ноль делить нельзя и подкоренное выражение не может быть отрицательным.
  3.  , так как  , соответственно   при всех  .
  4.  , так как на ноль делить нельзя.

 

 

Однако, у нас остался еще один не разобранный момент… Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:

Функцией называется правило  , по которому каждому элементу   множества   ставится в соответствие единственный элемент   множества  .

 

Заметил? Слово «единственный» - это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.

Допустим, у нас есть функция, заданная прямой.  . При  , мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что  . Одному значению   соответствует одно значение  . Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.

           
           

А вот и график с нашими отмеченными точками:

График функции y=kx+b

Как ты убедился – графиком является прямая, в которой одному значению   соответствует одно значение   (данный факт показан красными линиями).

Соответственно, данная зависимость подходит под определение функции.

А что ты скажешь о такой зависимости:  , то есть параболы? Является ли она функцией? Давай составим также табличку значений:

           
           

«Смотри! - скажешь ты, -«  » встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является!

То, что « » встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!

Дело в том, что, при расчёте для  , мы получили один игрек. И при расчёте с   мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией. Посмотри на график:

График функции y=ax2+bx+c

Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!

Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:

функция 6

Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» - нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.

Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:

функция 7

Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу   множества   ставится в соответствие несколько элементов   множества  . Соответственно, это не функция.

Проверим твои знания на практике. Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:

График функции 8

Разобрался? А вот и ответы:

  • Функцией является – В,Е.
  • Функцией не является – А, Б, Г, Д.

Ты спросишь почему? Да вот почему:

функция 9

На всех рисунках кроме В) и Е) на один   приходится несколько  !

Уверена, теперь, ты с легкостью отличишь функцию от не функции, скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции. Приступаем к следующему разделу – как задать функцию?

Способы задания функции

Как ты думаешь, что означают слова «задать функцию»? Правильно, это значит объяснить всем желающим, о какой функции в данном случае идет речь. Причем объяснить так, чтобы каждый понял тебя правильно и нарисованные людьми по твоему объяснению графики функций были одинаковы.

Как это можно сделать? Как задать функцию? Самый простой способ, который уже не раз применялся в этой статье – с помощью формулы. Мы пишем формулу, и, подставляя в нее значение  , высчитываем значение  . А как ты помнишь, формула – это закон, правило, по которому нам и другому человеку становится ясно, как икс превращается в игрек.

Обычно, именно так и делают – в заданиях мы видим уже готовые функции, заданные формулами, однако, существуют и другие способы задать функцию, про которые все забывают, в связи с чем вопрос «как еще можно задать функцию?» ставит в тупик. Разберемся во всем по порядку, а начнем с аналитического способа.

Аналитический способ задания функции

Аналитический способ это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ. Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все – ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.

Рассмотрим функцию  . Чему равно  ?

«Что это значит?» – спросишь ты. Сейчас объясню.

Напомню, что в записи   выражение в скобках называется аргументом. И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто  . Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо   в выражении  .

В нашем примере получится так:

 .

Рассмотрим еще задание, связанное с аналитическим способом задания функции, которое будет у тебя на экзамене. Задание звучит следующим образом:

Найдите значение выражения  , при  .

Уверена, что сначала, ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного!

Все как и в прошлом примере: каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо   в выражении  . Например, для функции   .

Что же нужно сделать в нашем примере? Вместо   надо написать  , а вместо –  :

 

А дальше, используя свойства степени (можешь лишний раз одним глазком заглянуть в соответствующую тему – не помешает), а именно:

  и  

сократить получившееся выражение:

 

Вот и все!

Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:

  1.  , если  
  2.  , если  

Справился? Сравним наши ответы:

 

  1.  
  2.  

 

Мы привыкли, что функция имеет вид  , даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например  . Попробуй построить эту функцию самостоятельно.

Справился?

Вот как строила ее я.

 

 

 

Какое уравнение мы в итоге вывели? Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой:

           
           

А теперь строим по данным точкам график:

функция 10

Вот так из неявной формулы получилась линейная функция. А теперь посмотри следующую формулу:  . Является ли она функцией? Согласись, вызывает затруднение… Попробуй подставить различные значения   и посмотреть, какой   им соответствует.

       
       

Вот как раз то, о чем мы говорили… Одному   соответствует несколько  . Попробуем нарисовать то, что получилось:

График функции y2=x

Является ли то, что у нас получилось функцией? Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло?

График функции 12

«Потому что одному значению   соответствует несколько значений  

Какой вывод мы можем из этого сделать? Правильно, функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!

Табличный способ задания функции

Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. Да, да. Наподобие той, которой мы с тобой уже составляли. Например:

           
           

Как ты уже знаешь, в первой строчке мы ставим значение аргумента, а во второй строчке - соответствующие ему значение функции. Таким образом, в таблице каждому иксу соответствует одно значение игрека.

Заметь, в последней приведенной табличке невозможно четко определить правило, по которому игрек зависит от икс. Так тоже бывает и в этом нет ничего страшного, просто мы не можем вот так сразу взять и определить правило.

Если тебя это смущает, приведу в пример другую таблицу:

           
           

Здесь ты сразу подметил закономерность – игрек в три раза больше чем икс. А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции  ?

Не будем долго рассуждать, а будем рисовать!

Итак. Рисуем функцию, заданную обоями способами:

функция 13

Видишь разницу? Дело совсем не в отмеченных точках! Присмотрись внимательнее:

функция 14

Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них. Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай!

Графический способ построения функции 

Графический способ построения функции не менее удобен. Мы рисуем нашу функцию, а другой заинтересованный человек может найти чему равен игрек при определенном икс и так далее. Графический и аналитический способы одни из самых распространенных.

Однако, здесь нужно помнить о чем мы с тобой говорили в самом начале – не каждая «загогулина» нарисованная в системе координат является функцией! Вспомнил? На всякий случай скопирую тебе сюда определение, что функцией является:

Функцией называется правило  , по которому каждому элементу   множества   ставится в соответствие единственный элемент   множества   .

Как правило, люди обычно называют именно те три способа задания функции, которые мы разобрали – аналитический (с помощью формулы), табличный и графический, напрочь забывая о том, что функцию можно словесно описать. Как это? Да очень просто!

Словесное описание функции

Как же описать функцию словесно? Возьмем наш недавний пример -  . Данную функцию можно описать «каждому действительному значению икс соответствует его утроенное значение». Вот и все. Ничего сложного. Ты, конечно, возразишь - «есть настолько сложные функции, которые словесно задать просто невозможно!» Да, есть и такие, но есть функции, которые описать словесно легче, чем задать формулой. Например: «каждому натуральному значению икс соответствует разница между цифрами, из которых он состоит, при этом за уменьшаемое берется наибольшее цифра, содержащиеся в записи числа». Теперь рассмотрим, как наше словесное описание функции реализуется на практике:

Пусть  

Наибольшая цифра в данном числе –  , соответственно,   – уменьшаемое, тогда:

 

Основные виды функций

Теперь перейдем к самому интересному - рассмотрим, основные виды функций, с которыми ты работал/работаешь и будешь работать в курсе школьной и институтской математики, то есть познакомимся с ними, так сказать и дадим им краткую характеристику. Более подробно про каждую функцию читай в соответствующем разделе.

Линейная функция

Функция вида  , где    - действительные числа.

Графиком данной функции служит прямая, поэтому построение линейной функции сводится к нахождению координат двух точек.

Положение прямой на координатной плоскости зависит от углового коэффициента  .

График линейной функции

Область допустимых значений -  .

Область определения -  .

Квадратичная функция

Функция вида  , где  

Графиком функции является парабола, при   ветви параболы направлены вниз, при   — вверх.

Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле  

Положение параболы на координатной плоскости относительно значения   и коэффициента   показаны на рисунке:

График квадратичной функции (парабола)

Область допустимых значений -  

Область определения   зависит от экстремума данной функции (точки вершины параболы) и коэффициента   (направления ветвей параболы)

Гипербола

Функция, представляющая собой обратную пропорциональность.

Она задана формулой:  , где  

Число   называется коэффициентом обратной пропорциональности. В зависимости от того, какое значение  , ветви гиперболы находятся в разных квадратах:

График функции (гипербола)

Область допустимых значений -  .

Область определения -  .

Комментарии

ВЛАД,10КЛАСС
23 октября 2017

Тому кто написал данную статью большое спасибо.Побольше бы таких людей.Вы мне очень помогли!!!СПАСИБО.

ответить

Александр (Админ)
23 октября 2017

Влад, всегда рады помочь. Спасибо большое за теплые слова. Мы правда тронуты. Следи за нашей рассылкой. Будут еще такие же полезные посты. Надеюсь ты на нее подписан.

ответить

Rai
25 октября 2017

Ошибок то же много..

ответить

Александр (админ)
25 октября 2017

Учебник написан "с нуля". Поэтому ошибки могут быть. Но мы их постоянно исправляем. Будем признательны, если подскажете где ошибка.

ответить

Marina
15 января 2018

Ошибка в слове "тоже" у Rai ))) Большое спасибо за материал!

ответить

Александр (админ)
15 января 2018

Спасибо, Марина, большое! :)

ответить

Арсений
04 февраля 2018

Добрый вечер!Подскажите, а то запутался....Я что-то упустил или всё таки в первом задании-где нужно ответить на области определения функции и найти её значение в варианте Б) D(y)=(2;2)u (2;6) необходимо D(y)=(-2;2)(2;6)-пропущен ,,-,,? Также и в следующем задании вариант Б) E(y) = (-&;1) u (1;+&), а нужно E(y) = (-&;-1) (и здесь знак не объединения, а другой скорей всего) (1;+&).

ответить

Павел
23 февраля 2018

Мне тоже кажется что "-" пропущен в "Б"

ответить

Александр (админ)
18 мая 2018

Арсений, Павел, спасибо, за то, что заметили ошибки! Исправили.

ответить

Арс
01 февраля 2018

Добрый вечер!Подскажите, а то запутался....Я что-то упустил или всё таки в первом задании-где нужно ответить на области определения функции и найти её значение в варианте Б) D(y)=(2;2)u (2;6) необходимо D(y)=(-2;2)(2;6)-пропущен ,,-,,? Также и в следующем задании вариант Б) E(y) = (-&;1) u (1;+&), а нужно E(y) = (-&;-1) (и здесь знак не объединения, а другой скорей всего) (1;+&).

ответить

Алексей Шевчук
03 марта 2018

Арсений, спасибо за замечание! Нужен именно знак объединения, который показывает, что подходят значения из обеих областей.

ответить

Евгений
09 февраля 2018

Ошибки

ответить

Александр (админ)
10 февраля 2018

Исправляем

ответить

Арс
10 февраля 2018

Спасибо

ответить

Александр (админ)
10 февраля 2018

Спасибо тебе, Арс!

ответить

Павел
23 февраля 2018

Здравствуйте, только начал изучать функции и столкнулся с проблемой. Не могли бы вы прояснить: Почему в начале Б: D(y)=(2;2)∪(2;6), а не D(y)=(-2;2)∪(6;2) ? Почему во вторых рисунках Б) E(y)=(−∞;1]∪[1;+∞), а не E(y)=(−∞;-1]∪[-1;+∞) и точно ли так функция записывается?

ответить

Алексей Шевчук
03 марта 2018

Павел, спасибо за замечания, ошибки исправил.

ответить

Anastira
29 марта 2018

Здравствуйте) Очень полезная статья, помогло разобраться с тем, чего я не понимала Но разве в разделе "Квадратичная функция" на 4, 5, 6 рисунке а > 0?

ответить

Светланаа
08 августа 2018

Очень хорошая у вас статья - даже инженеру в помощь!!!

ответить

Александр (админ)
08 августа 2018

Ого! Неожиданно, но приятно! Спасибо, Светлана.

ответить

Кристина
20 августа 2018

Спасибо огромное, очень доступно. А скажите,будь ласка, как найти аналитическую формулу функции по ее табличному виду, без подбора. Благодарю.

ответить

Игорь
20 августа 2018

Вот здесь можно посмотреть как написать функцию по таблице: https://ru.wikihow.com/написать-функцию-по-таблице-значений-функции

ответить

Александр (админ)
20 августа 2018

Кристина, хороший вопрос! Я отвечать не возьмусь. Может быть Алексей ответит. Или коллективный могз, кто-нибудь из наших читателей захочет?

ответить

Александр
11 сентября 2018

Что-то ничего не написано про четность/нечетность и про параметр ничего не нашел

ответить

Марина
19 октября 2018

У меня скоро экзамен, недавно писала пробник, написала плохо, никогда не понимала функции, сейчас села, нашла эту статью, все переписала, попробовала решить и все получилось. У меня улыбка до ушей, спасибо огромное

ответить

Александр (админ)
20 октября 2018

Всегда приятно читать такие комментарии, Марина! Спасибо! И удачи на всех экзаменах!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть