Обратная зависимость. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Сейчас мы будем говорить об обратной зависимости, или другими словами – обратной пропорциональности, как о функции. Ты помнишь, что функция – это определенного рода зависимость? Если ты еще не читал тему «Функции», настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое – функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: линейную и квадратичную. Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Итак, ты вспомнил, что такое функция?
Повторим: функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция \(y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \(x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \(y\) (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»! Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции \(y=\sqrt{x}\) отрицательные значения аргумента \(x\) – недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида \(y=\frac{k}{x}\), где \(k\ne 0\).

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.
Давай определим область определения. Чему может быть равен \(x\)? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить – это \(0\), поэтому \(x\ne 0\):

\(D\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)\)

или, что то же самое,

\(D\left( y \right)=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

(такая запись означает, что \(x\) может быть любым числом, кроме \(0\): знак «\(\mathbb{R}\)» обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел; знаком «\(\backslash \)» обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»), и число \(0\) в фигурных скобках означает просто число \(0\); получается, что из всех возможных чисел мы исключаем \(0\)).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если \(k\ne 0\), то на что бы мы его не делили, \(0\) не получится:

\(E\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)\) или \(E\left( y \right)=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Также возможны некоторые вариации формулы \(y=\frac{k}{x}\). Например, \(y=\frac{k}{x+a}\) – это тоже функция, описывающая обратную зависимость.
Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

  • \(D\left( y \right)=\left( -\infty ;-a \right)\cup \left( -a;+\infty  \right)\)
  • \(E\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)\).

Давай посмотрим на такую функцию: \(y=\frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}\). Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении \(x\) увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально? Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

\(y=\frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}=\frac{x-5}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}=\frac{1}{x+5},\text{  }x\ne 5\).

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой: \(x\ne 5\).

Вот еще пример: \(y=\frac{x+2}{x-3}\).

Тут сложнее: ведь числитель и знаменатель теперь уж точно не сокращаются. Но все-же мы можем попробовать:

\(y=\frac{x+2}{x-3}=\frac{x-3+3+2}{x-3}=\frac{\left( x-3 \right)+5}{x-3}\)

Ты понял, что я сделал? В числителе я добавил и вычел одно и то же число (\(3\)), таким образом я вроде бы ничего не изменил, но теперь в числителе есть часть, равная знаменателю. Теперь я почленно поделю, то есть разобью эту дробь на сумму двух дробей:

\(y=\frac{\left( x-3 \right)+5}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{5}{x-3}\)

(и правда, если привести то что у меня получилось к общему знаменателю, получится как-раз наша начальная дробь):

\(y=\underbrace{\left( \frac{x-3}{x-3} \right)}_{=1}+\frac{5}{x-3}=1+\frac{5}{x-3}.\)

Ух ты! Снова получается обратная зависимость, только теперь к ней еще прибавляется число \(\displaystyle 1\).
Этот метод нам очень пригодится позже при построении графиков.

А теперь самостоятельно приведи выражения к виду обратной зависимости:

  1. \(\displaystyle y=\frac{x-1}{x+2}\)
  2. \(\displaystyle y=\frac{x+5}{{{x}^{2}}+4{x}-5}\)
  3. \(\displaystyle y=\frac{2{x}-3}{x+1}\)

Ответы:

1. \(\displaystyle y=1-\frac{3}{x+2}\)

2. Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»). Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: \(\displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=0\). Я найду их устно с помощью теоремы Виета: \(\displaystyle {{x}_{1}}=-5\), \(\displaystyle {{x}_{2}}=1\). Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения».
Итак, получаем: \(\displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=\left( x+5 \right)\left( x-1 \right)\), следовательно:

\(\displaystyle y=\frac{x+5}{\left( x+5 \right)\left( x-1 \right)}=\frac{1}{x-1},\text{ }x\ne -5\)

3. Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка? Наверняка в том, что в числителе у нас \(\displaystyle 2x\), а в знаменателе – просто \(\displaystyle x\). Это не беда. Нам нужно будет сократить на \(\displaystyle \left( x+2 \right)\), поэтому в числителе следует вынести \(\displaystyle 2\) за скобки (чтобы в скобках \(\displaystyle x\) получился уже без коэффициента):

\(\displaystyle y=\frac{2{x}-3}{x+1}=\frac{2\left( x-\frac{3}{2} \right)}{x+1}=2\cdot \frac{x-1,5}{x+1}=2\cdot \frac{x+1-1-1,5}{x+1}=…\) дальше сам.
Ответ: \(\displaystyle y=2-\frac{5}{x+1}\).

График обратной зависимости

Как всегда, начнем с самого простого случая: \(\displaystyle y=\frac{1}{x}\).
Составим таблицу:

\(\displaystyle \mathbf{x}\) \(\displaystyle -3\) \(\displaystyle -2\) \(\displaystyle -1\) \(\displaystyle -0,5\) \(\displaystyle 0,5\) \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle 2\) \(\displaystyle 3\) \(\displaystyle 4\)
\(\displaystyle \mathbf{y}\) \(\displaystyle -\frac{1}{3}\) \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) \(\displaystyle -1\) \(\displaystyle -2\) \(\displaystyle 2\) \(\displaystyle \;1\) \(\displaystyle \frac{1}{2}\) \(\displaystyle \frac{1}{3}\) \(\displaystyle \frac{1}{4}\)

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Точки на координатной плоскости

Теперь их надо плавно соединить, но как? Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть. График будет выглядеть так:

Соединенные точки

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом. Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям \(\displaystyle Ox\) и \(\displaystyle Oy\), но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Гипербола

Оно и понятно: так как \(\displaystyle x\ne 0\), график не может пересекать ось \(\displaystyle Oy\). Но и \(\displaystyle y\ne 0\), так что график никогда не коснется и оси \(\displaystyle Ox\).

Ну что же, теперь посмотрим, на что влияют коэффициенты. Рассмотрим такие функции:
\(\displaystyle y=\frac{1}{x};\text{ }y=\frac{2}{x};\text{ }y=\frac{4}{x};\text{ }y=-\frac{1}{x};\text{ }y=-\frac{3}{x}\):

Варианты построения графиков

Ух ты, какая красота!
Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь? Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси \(\displaystyle Ox\).

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например, \(y=\frac{1}{x-1}+2\)?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная \(y=\frac{1}{x}\), только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен \(x\)? Правильно, \(x\ne 1\). Значит, график никогда не достигнет прямой \(x=1\). А чему не может быть равен \(y\)? Теперь \(y\ne 2\). Значит, теперь график будет стремиться к прямой \(y=2\), но никогда ее не пересечет. Итак, теперь прямые \(x=1\) и \(y=2\) выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции \(y=\frac{1}{x}\). Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Ассимптоты

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим в теме «Построение графика обратной зависимости».

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления:

1. На рисунке изображен график функции \(y=\frac{k}{x}\). Определите \(k\).

Пример 1

2. На рисунке изображен график функции \(y=\frac{k}{x}\). Определите \(k\)

Пример 2

3. На рисунке изображен график функции \(y=\frac{1}{x+a}\). Определите \(a\).

Пример 3

4. На рисунке изображен график функции \(y=\frac{1}{x}+a\). Определите \(a\).

Пример 4

5. На рисунке приведены графики функций \(y=\frac{a}{x},\text{ }y=\frac{b}{x}\) и \(y=\frac{c}{x}\).

Выбери верное соотношение:

a. \(a>b>c\)

b. \(c>a>b\)

c. \(b>c>a\)

d. \(a=c>b\)

Пример 5

Ответы:

1. \(\displaystyle 3.\)

2. \(\displaystyle -2.\)

3. \(\displaystyle 1.\)

4. \(\displaystyle -2.\)

5. \(\displaystyle a.\)

Обратная зависимость в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный – это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние. И правда, вспомним формулу скорости: \(v=\frac{S}{t}\), где \(v\) – скорость, \(t\) – время в пути, \(S\) – расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время: \(t=\frac{S}{v}\)

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью \(40\) км/ч, и доезжает за \(1\) час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью \(60\) км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

\(60\) км/ч – \(60\) мин.
\(60\) км/ч – \(x\) мин.

Далее ты определял, что это обратная пропорциональность, так как чем больше скорость, тем меньше время. Значит, чтобы решить эту пропорцию, нужно поделить числа «крест-накрест»:

\(\frac{40}{x}=\frac{60}{60}\text{  }\Rightarrow \text{  }x=40\)(мин).

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:

\(t\left( v \right)=\frac{S}{v}\).

Известно, что \(t\left( 40 \right)=60\), тогда:

\(\frac{S}{40}=60\text{  }\Rightarrow \text{  }S=40\cdot 60=2400\).

Нужно найти \(t\left( 60 \right)\):

\(t\left( 60 \right)=\frac{2400}{60}=40\) (мин).

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.
Придумал? Молодец, если да. Удачи!

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий