Обратная зависимость. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Сейчас мы будем говорить об обратной зависимости, или другими словами – обратной пропорциональности, как о функции. Ты помнишь, что функция – это определенного рода зависимость? Если ты еще не читал тему «Функции», настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое – функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: линейную и квадратичную. Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Итак, ты вспомнил, что такое функция?
Повторим: функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция $latex y=f\left( x \right)$, это значит что каждому допустимому значению переменной $latex x$ (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной $latex y$ (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»! Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции $latex y=\sqrt{x}$ отрицательные значения аргумента $latex x$ – недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида $latex y=\frac{k}{x}$, где $latex k\ne 0$.

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.
Давай определим область определения. Чему может быть равен $latex x$? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить – это $latex 0$, поэтому $latex x\ne 0$:

$latex D\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)$

или, что то же самое,

$latex D\left( y \right)=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

(такая запись означает, что $latex x$ может быть любым числом, кроме $latex 0$: знак «$latex \mathbb{R}$» обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел; знаком «$latex \backslash $» обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»), и число $latex 0$ в фигурных скобках означает просто число $latex 0$; получается, что из всех возможных чисел мы исключаем $latex 0$).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если $latex k\ne 0$, то на что бы мы его не делили, $latex 0$ не получится:

$latex E\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)$ или $latex E\left( y \right)=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Также возможны некоторые вариации формулы $latex y=\frac{k}{x}$. Например, $latex y=\frac{k}{x+a}$ – это тоже функция, описывающая обратную зависимость.
Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

  • $latex D\left( y \right)=\left( -\infty ;-a \right)\cup \left( -a;+\infty  \right)$
  • $latex E\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)$.

Давай посмотрим на такую функцию: $latex y=\frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}$. Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении $latex x$ увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально? Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

$latex y=\frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}=\frac{x-5}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}=\frac{1}{x+5},\text{  }x\ne 5$.

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой: $latex x\ne 5$.

Вот еще пример: $latex y=\frac{x+2}{x-3}$.

Тут сложнее: ведь числитель и знаменатель теперь уж точно не сокращаются. Но все-же мы можем попробовать:

$latex y=\frac{x+2}{x-3}=\frac{x-3+3+2}{x-3}=\frac{\left( x-3 \right)+5}{x-3}$

Ты понял, что я сделал? В числителе я добавил и вычел одно и то же число ($latex 3$), таким образом я вроде бы ничего не изменил, но теперь в числителе есть часть, равная знаменателю. Теперь я почленно поделю, то есть разобью эту дробь на сумму двух дробей:

$latex y=\frac{\left( x-3 \right)+5}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{5}{x-3}$

(и правда, если привести то что у меня получилось к общему знаменателю, получится как-раз наша начальная дробь):

$latex y=\underbrace{\left( \frac{x-3}{x-3} \right)}_{=1}+\frac{5}{x-3}=1+\frac{5}{x-3}.$

Ух ты! Снова получается обратная зависимость, только теперь к ней еще прибавляется число $latex \displaystyle 1$.
Этот метод нам очень пригодится позже при построении графиков.

А теперь самостоятельно приведи выражения к виду обратной зависимости:

  1. $latex \displaystyle y=\frac{x-1}{x+2}$
  2. $latex \displaystyle y=\frac{x+5}{{{x}^{2}}+4{x}-5}$
  3. $latex \displaystyle y=\frac{2{x}-3}{x+1}$

Ответы:

1. $latex \displaystyle y=1-\frac{3}{x+2}$

2. Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»). Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: $latex \displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=0$. Я найду их устно с помощью теоремы Виета: $latex \displaystyle {{x}_{1}}=-5$, $latex \displaystyle {{x}_{2}}=1$. Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения».
Итак, получаем: $latex \displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=\left( x+5 \right)\left( x-1 \right)$, следовательно:

$latex \displaystyle y=\frac{x+5}{\left( x+5 \right)\left( x-1 \right)}=\frac{1}{x-1},\text{ }x\ne -5$

3. Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка? Наверняка в том, что в числителе у нас $latex \displaystyle 2x$, а в знаменателе – просто $latex \displaystyle x$. Это не беда. Нам нужно будет сократить на $latex \displaystyle \left( x+2 \right)$, поэтому в числителе следует вынести $latex \displaystyle 2$ за скобки (чтобы в скобках $latex \displaystyle x$ получился уже без коэффициента):

$latex \displaystyle y=\frac{2{x}-3}{x+1}=\frac{2\left( x-\frac{3}{2} \right)}{x+1}=2\cdot \frac{x-1,5}{x+1}=2\cdot \frac{x+1-1-1,5}{x+1}=…$ дальше сам.
Ответ: $latex \displaystyle y=2-\frac{5}{x+1}$.

График обратной зависимости

Как всегда, начнем с самого простого случая: $latex \displaystyle y=\frac{1}{x}$.
Составим таблицу:

$latex \displaystyle \mathbf{x}$ $latex \displaystyle -3$ $latex \displaystyle -2$ $latex \displaystyle -1$ $latex \displaystyle -0,5$ $latex \displaystyle 0,5$ $latex \displaystyle 1$ $latex \displaystyle 2$ $latex \displaystyle 3$ $latex \displaystyle 4$
$latex \displaystyle \mathbf{y}$ $latex \displaystyle -\frac{1}{3}$ $latex \displaystyle -\frac{1}{2}$ $latex \displaystyle -1$ $latex \displaystyle -2$ $latex \displaystyle 2$ $latex \displaystyle \;1$ $latex \displaystyle \frac{1}{2}$ $latex \displaystyle \frac{1}{3}$ $latex \displaystyle \frac{1}{4}$

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Точки на координатной плоскости

Теперь их надо плавно соединить, но как? Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть. График будет выглядеть так:

Соединенные точки

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом. Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям $latex \displaystyle Ox$ и $latex \displaystyle Oy$, но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Гипербола

Оно и понятно: так как $latex \displaystyle x\ne 0$, график не может пересекать ось $latex \displaystyle Oy$. Но и $latex \displaystyle y\ne 0$, так что график никогда не коснется и оси $latex \displaystyle Ox$.

Ну что же, теперь посмотрим, на что влияют коэффициенты. Рассмотрим такие функции:
$latex \displaystyle y=\frac{1}{x};\text{ }y=\frac{2}{x};\text{ }y=\frac{4}{x};\text{ }y=-\frac{1}{x};\text{ }y=-\frac{3}{x}$:

Варианты построения графиков

Ух ты, какая красота!
Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь? Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси $latex \displaystyle Ox$.

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например, $latex y=\frac{1}{x-1}+2$?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная $latex y=\frac{1}{x}$, только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен $latex x$? Правильно, $latex x\ne 1$. Значит, график никогда не достигнет прямой $latex x=1$. А чему не может быть равен $latex y$? Теперь $latex y\ne 2$. Значит, теперь график будет стремиться к прямой $latex y=2$, но никогда ее не пересечет. Итак, теперь прямые $latex x=1$ и $latex y=2$ выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции $latex y=\frac{1}{x}$. Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Ассимптоты

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим в теме «Построение графика обратной зависимости».

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления:

1. На рисунке изображен график функции $latex y=\frac{k}{x}$. Определите $latex k$.

Пример 1

2. На рисунке изображен график функции $latex y=\frac{k}{x}$. Определите $latex k$

Пример 2

3. На рисунке изображен график функции $latex y=\frac{1}{x+a}$. Определите $latex a$.

Пример 3

4. На рисунке изображен график функции $latex y=\frac{1}{x}+a$. Определите $latex a$.

Пример 4

5. На рисунке приведены графики функций $latex y=\frac{a}{x},\text{ }y=\frac{b}{x}$ и $latex y=\frac{c}{x}$.

Выбери верное соотношение:

a. $latex a>b>c$

b. $latex c>a>b$

c. $latex b>c>a$

d. $latex a=c>b$

Пример 5

Ответы:

1. $latex \displaystyle 3.$

2. $latex \displaystyle -2.$

3. $latex \displaystyle 1.$

4. $latex \displaystyle -2.$

5. $latex \displaystyle a.$

Обратная зависимость в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный – это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние. И правда, вспомним формулу скорости: $latex v=\frac{S}{t}$, где $latex v$ – скорость, $latex t$ – время в пути, $latex S$ – расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время: $latex t=\frac{S}{v}$

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью $latex 40$ км/ч, и доезжает за $latex 1$ час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью $latex 60$ км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

$latex 60$ км/ч – $latex 60$ мин.
$latex 60$ км/ч – $latex x$ мин.

Далее ты определял, что это обратная пропорциональность, так как чем больше скорость, тем меньше время. Значит, чтобы решить эту пропорцию, нужно поделить числа «крест-накрест»:

$latex \frac{40}{x}=\frac{60}{60}\text{  }\Rightarrow \text{  }x=40$(мин).

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:

$latex t\left( v \right)=\frac{S}{v}$.

Известно, что $latex t\left( 40 \right)=60$, тогда:

$latex \frac{S}{40}=60\text{  }\Rightarrow \text{  }S=40\cdot 60=2400$.

Нужно найти $latex t\left( 60 \right)$:

$latex t\left( 60 \right)=\frac{2400}{60}=40$ (мин).

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.
Придумал? Молодец, если да. Удачи!

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий