Однородные неравенства. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое однородное неравенство

Однородным называется неравенство вида\({{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}\ge 0\) (вместо знака \(\ge \) может стоять любой знак неравенства), с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Если ты читал раздел «Однородные уравнения», то должен заметить, что определение неравенства, точно такое же, как и уравнения, за исключением другого знака (\(>,\ \ <,\ \ \ge ,\ \ \ \le \) вместо \(=\)). Если не читал, то рекомендуем тебе прочитать этот раздел – в нем ты найдешь много полезного для решения однородных неравенств.

Не будем надолго останавливаться на определении, повторим лишь основные моменты:

  • В неравенстве должно быть две переменные (предположим, \(x\) и \(y\)), возведенные в одинаковую степень (предположим \(2\)). Т.е. \({{x}^{2}}\), \({{y}^{2}}\);
  • В неравенстве должно присутствовать произведение этих переменных, при этом сумма степеней должна быть такой же, как и у каждой переменной в отдельности. В нашем примере эта степень равна \(2\). Т.е. в неравенстве ты должен увидеть \(x\cdot y\) — сумма их степеней равна \(\displaystyle 2\);
  • При каждом из слагаемых могут быть некоторые коэффициенты (в том числе \(0\)). Например, \(-2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}\);
  • Должен присутствовать знак неравенства — \(>,\ \ <,\ \ \ge ,\ \ \ \le \).

Допустим у нас будет \(\ge \).

Вот мы и получили простое однородное неравенство:

\(-2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}\ge 0\)

Теперь давай попробуем его решить.

Пример 1.

При каких значениях \(x\), верно неравенство:

\(-2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}\ge 0\)

Принцип решения такой же, как и у однородных уравнений – свести все к простому квадратному неравенству, и решить его (Повтори как решать «Квадратные неравенства»).

Для решения нам нужно разделить неравенство на \(-2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}\ge 0\). Но как ты помнишь, здесь есть нюанс – на ноль делить нельзя. Поэтому давай отдельно рассмотрим случай когда \({{y}^{2}}=0\), т.е. \(y=0\):

\(-2{{x}^{2}}\ge 0\)

\(2{{x}^{2}}\le 0\)

\({{x}^{2}}\le 0\)

Но \({{x}^{2}}\) не может быть отрицательным, а значит \({{y}^{2}}\ne 0\), так как в этом случае нет решений. Можно смело делить:

\(\frac{-2{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}+\frac{3xy}{{{y}^{2}}}+\frac{5{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}\ge 0\)

\(-2{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+3\left( \frac{x}{y} \right)+5\ge 0\)

Произведем замену \(t=\frac{x}{y}\) и решим простое квадратное неравенство:

\(-2{{t}^{2}}+3t+5\ge 0\)

Найдем корни уравнения \(-2{{t}^{2}}+3t+5=0\):

\(D={{b}^{2}}-4ac={{3}^{2}}-4\cdot \left( -2 \right)\cdot 5=9+40=49\)

\(t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{2\cdot \left( -2 \right)}=\frac{3\pm 7}{-4}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=-\frac{10}{4}\\{{t}_{2}}=1\end{array} \right.=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=-2,5\\{{t}_{2}}=1\end{array} \right.\)

Отметим точки на прямой, и расставим знаки, учитывая, что ветви параболы направлены вниз (коэффициент \(a=-2\) при \({{x}^{2}}\)):

270ж1

Таким образом, \(-1\le t\le 2,5\). Произведем обратную замену:

\(-1\le \frac{x}{y}\le 2,5\)

\(-y\le x\le 2,5y\)

Поскольку y может быть как положительным, так и отрицательным, то нужно учесть это в ответе. При положительном у, значениеи \(-y\) будет меньше, чем \(2,5y\), – а значит ответ записан корректно.

При отрицательном \(y\), наоборот, \(-y\) будет больше, чем \(2,5y\). То есть:

При \(y<0:\ \ 2,5\le x\le -y\)

Ответ:
При \(y<0\): \(2,5\le x\le -y\)
При \(y>0\): \(-y\le x\le 2,5y\)

Показательные однородные неравенства.

Чаще всего однородные неравенства бывают показательными. Если ты забыл, как решаются показательные неравенства, повтори соответствующий раздел теории.

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.

Решите неравенство \({{5}^{x}}-{{3}^{x}}\ge 0\)

Да-да! Это тоже однородное неравенство. Есть две переменных переменные (в виде \({{5}^{x}}\) и \({{3}^{x}}\)) и суммах их степеней в каждом слагаемом равна \(1\).

Разделим все на \({{3}^{x}}\). Важно заметить, что в показательных однородных неравенствах можно смело делить на на переменную, ведь она всегда строго больше \(0\) (\({{3}^{x}}\) при любом \(x\) будет больше \(0\)).

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{{5}^{x}}}{{{3}^{x}}}-\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}}\ge 0\\{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x}}\ge 1\end{array}\)

А теперь все совсем просто. Представим \(1\), как \({{\left( \frac{5}{3} \right)}^{0}}\) и найдем \(x\):

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x}}\ge {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{0}}\\x\ge 0\end{array}\)

Ответ: \(\displaystyle \left[ 0;\ \infty  \right)\)

Рассмотрим еще несколько стандартных примеров, часто встречающихся в ЕГЭ.

Пример 3.

Решите неравенство \(\displaystyle 2\cdot {{5}^{2x}}+{{10}^{x}}-15\cdot {{2}^{2x}}\le 0\)

Заметим, что \(\displaystyle {{10}^{x}}={{5}^{x}}\cdot {{2}^{x}}\). Таким образом, перед нами однородное неравенство. Разделим все на \(\displaystyle {{2}^{2x}}\) (можно делить и на \(\displaystyle {{5}^{2x}}\) — сделай самостоятельно):

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{2\cdot {{5}^{2x}}}{{{2}^{2x}}}+\frac{{{5}^{x}}\cdot {{2}^{x}}}{{{2}^{2x}}}-\frac{15\cdot {{2}^{2x}}}{{{2}^{2x}}}\le 0\\2\cdot {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2x}}+{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}-15\le 0\end{array}\)

Произведем замену \(\displaystyle t={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}>0\) и решим квадратное неравенство:
\(\displaystyle 2\cdot {{t}^{2}}+t-15\le 0\).
Найдем корни уравнения \(\displaystyle 2\cdot {{t}^{2}}+t-15=0\):

\(\displaystyle \begin{array}{l}D={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4\cdot 2\cdot \left( -15 \right)=1+120=121\\t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm 11}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm 11}{4}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=2,5\\{{t}_{2}}=-3\end{array} \right.\end{array}\)

Отметим на прямой точки \({{t}_{1}}\) и \({{t}_{2}}\) и расставим знаки (ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент \(\displaystyle a\) при \({{t}_{2}}\) больше \(0\)):

270ж2

С учетом ОДЗ (\(\displaystyle t={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}>0\)) — \(\displaystyle 0\le t\le 2,5\). Произведем обратную замену:
\(\displaystyle \begin{array}{l}0\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le 2,5\\0\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{1}}\end{array}\)
Поскольку \(\displaystyle {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}>0\) при любом \(x\), получаем ответ:

Ответ: \(\displaystyle \left( -\infty \ ;\ 1 \right]\)

Пример 4.

Решите неравенство \(\displaystyle {{2}^{2x+1}}-5\cdot {{8}^{x}}+2\cdot {{4}^{2x}}<0\) Заметим, что \(\displaystyle {{2}^{2x+1}}=2\cdot {{2}^{2x}}\), а \(\displaystyle {{8}^{x}}={{2}^{x}}\cdot {{4}^{x}}\). Таким образом, перед нами однородное неравенство. Разделим его на \(\displaystyle {{4}^{2x}}\):
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{2\cdot {{2}^{2x}}}{{{4}^{2x}}}-\frac{5\cdot {{2}^{x}}\cdot {{4}^{x}}}{{{4}^{2x}}}+\frac{2\cdot {{4}^{2x}}}{{{4}^{2x}}}<0\\2\cdot {{\left( \frac{2}{4} \right)}^{2x}}-5\cdot {{\left( \frac{2}{4} \right)}^{x}}+2<0\\2\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2x}}-5{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+2<0\end{array}\)
Произведем замену \(\displaystyle t={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}>0\) и решим квадратное неравенство:
\(\displaystyle 2{{t}^{2}}-5t+2<0\).
Найдем корни уравнения \(\displaystyle 2{{t}^{2}}-5t+2=0\):
\(\displaystyle \begin{array}{l}D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -5 \right)}^{2}}-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9\\t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left( -5 \right)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 3}{4}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=2\\{{t}_{2}}=\frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Отметим на прямой точки \({{t}_{1}}\) и \({{t}_{2}}\) и расставим знаки (ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент \(\displaystyle a\) при \({{t}_{2}}\) больше \(0\)): 270ж3
Таким образом, \(\displaystyle \frac{1}{2}<t<2\)
Произведем обратную замену: \(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}<2\\{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{1}}<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-1}}\end{array}\)
Поскольку основание \(\displaystyle \frac{1}{2}<1\), то при избавлении от дробинего, мы меняем знаки неравенства: \(\displaystyle -1<x<1\)

Ответ: \(\displaystyle \left( -1\ ;\ 1 \right)\)

Задания для самостоятельного решения.

А теперь несколько заданий для самостоятельного решения.

  1. \(\displaystyle 3\cdot {{2}^{2x}}-10\cdot {{36}^{x}}+3\cdot {{18}^{2x}}<0;\)
  2. \(\displaystyle 5\cdot {{3}^{2x+1}}-34\cdot {{15}^{x}}+3\cdot {{5}^{2x+1}}\ge 0;\)
  3. \(\displaystyle {{2}^{2x+1}}-5\cdot {{6}^{x}}+{{3}^{2x+1}}\le 0.\)

Ответы:

  1. \(\displaystyle \left( -0,5\ ;\ 0,5 \right);\)
  2. \(\displaystyle \left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 1;\ \infty  \right);\)
  3. \(\displaystyle \left[ -1;\ 0 \right].\)

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *