Однородные неравенства. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое однородное неравенство

Однородным называется неравенство вида$latex {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}\ge 0$ (вместо знака $latex \ge $ может стоять любой знак неравенства), с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Если ты читал раздел «Однородные уравнения», то должен заметить, что определение неравенства, точно такое же, как и уравнения, за исключением другого знака ($latex >,\ \ <,\ \ \ge ,\ \ \ \le $ вместо $latex =$). Если не читал, то рекомендуем тебе прочитать этот раздел – в нем ты найдешь много полезного для решения однородных неравенств.

Не будем надолго останавливаться на определении, повторим лишь основные моменты:

  • В неравенстве должно быть две переменные (предположим, $latex x$ и $latex y$), возведенные в одинаковую степень (предположим $latex 2$). Т.е. $latex {{x}^{2}}$, $latex {{y}^{2}}$;
  • В неравенстве должно присутствовать произведение этих переменных, при этом сумма степеней должна быть такой же, как и у каждой переменной в отдельности. В нашем примере эта степень равна $latex 2$. Т.е. в неравенстве ты должен увидеть $latex x\cdot y$ — сумма их степеней равна $latex \displaystyle 2$;
  • При каждом из слагаемых могут быть некоторые коэффициенты (в том числе $latex 0$). Например, $latex -2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}$;
  • Должен присутствовать знак неравенства — $latex >,\ \ <,\ \ \ge ,\ \ \ \le $.

Допустим у нас будет $latex \ge $.

Вот мы и получили простое однородное неравенство:

$latex -2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}\ge 0$

Теперь давай попробуем его решить.

Пример 1.

При каких значениях $latex x$, верно неравенство:

$latex -2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}\ge 0$

Принцип решения такой же, как и у однородных уравнений – свести все к простому квадратному неравенству, и решить его (Повтори как решать «Квадратные неравенства»).

Для решения нам нужно разделить неравенство на $latex -2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}\ge 0$. Но как ты помнишь, здесь есть нюанс – на ноль делить нельзя. Поэтому давай отдельно рассмотрим случай когда $latex {{y}^{2}}=0$, т.е. $latex y=0$:

$latex -2{{x}^{2}}\ge 0$

$latex 2{{x}^{2}}\le 0$

$latex {{x}^{2}}\le 0$

Но $latex {{x}^{2}}$ не может быть отрицательным, а значит $latex {{y}^{2}}\ne 0$, так как в этом случае нет решений. Можно смело делить:

$latex \frac{-2{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}+\frac{3xy}{{{y}^{2}}}+\frac{5{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}\ge 0$

$latex -2{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+3\left( \frac{x}{y} \right)+5\ge 0$

Произведем замену $latex t=\frac{x}{y}$ и решим простое квадратное неравенство:

$latex -2{{t}^{2}}+3t+5\ge 0$

Найдем корни уравнения $latex -2{{t}^{2}}+3t+5=0$:

$latex D={{b}^{2}}-4ac={{3}^{2}}-4\cdot \left( -2 \right)\cdot 5=9+40=49$

$latex t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{2\cdot \left( -2 \right)}=\frac{3\pm 7}{-4}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=-\frac{10}{4}\\{{t}_{2}}=1\end{array} \right.=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=-2,5\\{{t}_{2}}=1\end{array} \right.$

Отметим точки на прямой, и расставим знаки, учитывая, что ветви параболы направлены вниз (коэффициент $latex a=-2$ при $latex {{x}^{2}}$):

270ж1

Таким образом, $latex -1\le t\le 2,5$. Произведем обратную замену:

$latex -1\le \frac{x}{y}\le 2,5$

$latex -y\le x\le 2,5y$

Поскольку y может быть как положительным, так и отрицательным, то нужно учесть это в ответе. При положительном у, значениеи $latex -y$ будет меньше, чем $latex 2,5y$, – а значит ответ записан корректно.

При отрицательном $latex y$, наоборот, $latex -y$ будет больше, чем $latex 2,5y$. То есть:

При $latex y<0:\ \ 2,5\le x\le -y$

Ответ:
При $latex y<0$: $latex 2,5\le x\le -y$
При $latex y>0$: $latex -y\le x\le 2,5y$

Показательные однородные неравенства.

Чаще всего однородные неравенства бывают показательными. Если ты забыл, как решаются показательные неравенства, повтори соответствующий раздел теории.

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.

Решите неравенство $latex {{5}^{x}}-{{3}^{x}}\ge 0$

Да-да! Это тоже однородное неравенство. Есть две переменных переменные (в виде $latex {{5}^{x}}$ и $latex {{3}^{x}}$) и суммах их степеней в каждом слагаемом равна $latex 1$.

Разделим все на $latex {{3}^{x}}$. Важно заметить, что в показательных однородных неравенствах можно смело делить на на переменную, ведь она всегда строго больше $latex 0$ ($latex {{3}^{x}}$ при любом $latex x$ будет больше $latex 0$).

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{{{5}^{x}}}{{{3}^{x}}}-\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}}\ge 0\\{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x}}\ge 1\end{array}$

А теперь все совсем просто. Представим $latex 1$, как $latex {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{0}}$ и найдем $latex x$:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x}}\ge {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{0}}\\x\ge 0\end{array}$

Ответ: $latex \displaystyle \left[ 0;\ \infty  \right)$

Рассмотрим еще несколько стандартных примеров, часто встречающихся в ЕГЭ.

Пример 3.

Решите неравенство $latex \displaystyle 2\cdot {{5}^{2x}}+{{10}^{x}}-15\cdot {{2}^{2x}}\le 0$

Заметим, что $latex \displaystyle {{10}^{x}}={{5}^{x}}\cdot {{2}^{x}}$. Таким образом, перед нами однородное неравенство. Разделим все на $latex \displaystyle {{2}^{2x}}$ (можно делить и на $latex \displaystyle {{5}^{2x}}$ — сделай самостоятельно):

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{2\cdot {{5}^{2x}}}{{{2}^{2x}}}+\frac{{{5}^{x}}\cdot {{2}^{x}}}{{{2}^{2x}}}-\frac{15\cdot {{2}^{2x}}}{{{2}^{2x}}}\le 0\\2\cdot {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2x}}+{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}-15\le 0\end{array}$

Произведем замену $latex \displaystyle t={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}>0$ и решим квадратное неравенство:
$latex \displaystyle 2\cdot {{t}^{2}}+t-15\le 0$.
Найдем корни уравнения $latex \displaystyle 2\cdot {{t}^{2}}+t-15=0$:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}D={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4\cdot 2\cdot \left( -15 \right)=1+120=121\\t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm 11}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm 11}{4}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=2,5\\{{t}_{2}}=-3\end{array} \right.\end{array}$

Отметим на прямой точки $latex {{t}_{1}}$ и $latex {{t}_{2}}$ и расставим знаки (ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент $latex \displaystyle a$ при $latex {{t}_{2}}$ больше $latex 0$):

270ж2

С учетом ОДЗ ($latex \displaystyle t={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}>0$) — $latex \displaystyle 0\le t\le 2,5$. Произведем обратную замену:
$latex \displaystyle \begin{array}{l}0\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le 2,5\\0\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{1}}\end{array}$
Поскольку $latex \displaystyle {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}>0$ при любом $latex x$, получаем ответ:

Ответ: $latex \displaystyle \left( -\infty \ ;\ 1 \right]$

Пример 4.

Решите неравенство $latex \displaystyle {{2}^{2x+1}}-5\cdot {{8}^{x}}+2\cdot {{4}^{2x}}<0$ Заметим, что $latex \displaystyle {{2}^{2x+1}}=2\cdot {{2}^{2x}}$, а $latex \displaystyle {{8}^{x}}={{2}^{x}}\cdot {{4}^{x}}$. Таким образом, перед нами однородное неравенство. Разделим его на $latex \displaystyle {{4}^{2x}}$:
$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{2\cdot {{2}^{2x}}}{{{4}^{2x}}}-\frac{5\cdot {{2}^{x}}\cdot {{4}^{x}}}{{{4}^{2x}}}+\frac{2\cdot {{4}^{2x}}}{{{4}^{2x}}}<0\\2\cdot {{\left( \frac{2}{4} \right)}^{2x}}-5\cdot {{\left( \frac{2}{4} \right)}^{x}}+2<0\\2\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2x}}-5{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+2<0\end{array}$
Произведем замену $latex \displaystyle t={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}>0$ и решим квадратное неравенство:
$latex \displaystyle 2{{t}^{2}}-5t+2<0$.
Найдем корни уравнения $latex \displaystyle 2{{t}^{2}}-5t+2=0$:
$latex \displaystyle \begin{array}{l}D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -5 \right)}^{2}}-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9\\t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left( -5 \right)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 3}{4}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=2\\{{t}_{2}}=\frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$
Отметим на прямой точки $latex {{t}_{1}}$ и $latex {{t}_{2}}$ и расставим знаки (ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент $latex \displaystyle a$ при $latex {{t}_{2}}$ больше $latex 0$): 270ж3
Таким образом, $latex \displaystyle \frac{1}{2}<t<2$
Произведем обратную замену: $latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}<2\\{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{1}}<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-1}}\end{array}$
Поскольку основание $latex \displaystyle \frac{1}{2}<1$, то при избавлении от дробинего, мы меняем знаки неравенства: $latex \displaystyle -1<x<1$

Ответ: $latex \displaystyle \left( -1\ ;\ 1 \right)$

Задания для самостоятельного решения.

А теперь несколько заданий для самостоятельного решения.

  1. $latex \displaystyle 3\cdot {{2}^{2x}}-10\cdot {{36}^{x}}+3\cdot {{18}^{2x}}<0;$
  2. $latex \displaystyle 5\cdot {{3}^{2x+1}}-34\cdot {{15}^{x}}+3\cdot {{5}^{2x+1}}\ge 0;$
  3. $latex \displaystyle {{2}^{2x+1}}-5\cdot {{6}^{x}}+{{3}^{2x+1}}\le 0.$

Ответы:

  1. $latex \displaystyle \left( -0,5\ ;\ 0,5 \right);$
  2. $latex \displaystyle \left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 1;\ \infty  \right);$
  3. $latex \displaystyle \left[ -1;\ 0 \right].$

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий