21 июля

0 comments

Рациональные неравенства (ЕГЭ – 2021)

Привет!

Хочешь без труда решать ЛЮБЫЕ неравенства?

Тогда начни с рациональных! Они должны стать твоей крепкой опорой.

Читай эту статью и ты во всём разберешься!

Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.

Что такое рациональное выражение? Напомню:

Рациональное выражение - это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной \(\displaystyle x\) с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Например, такое рациональное неравенство: \(\displaystyle \frac{x+1}{{x}-2}\le \frac{x+2}{x}\)

Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам.

Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители.

Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени.

Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.

Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».

Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».

Первый шаг у нас уже раньше встречался. Где? В рациональных уравнениях!

Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель!

Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем!

Это правило у нас уже было в теме «Метод интервалов». И вообще, в этой теме мы уже учились решать рациональные неравенства. Поэтому здесь ограничимся отдельными примерами.

Разбор примеров

\(\displaystyle \frac{x}{{x}-2}\le 1\)

Решение:

Очень распространенной ошибкой здесь будет домножить все на знаменатель.

Делать этого нельзя: мы ведь не знаем какой знак имеет выражение \(\displaystyle \left( {x}-2 \right)\); но при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется! А на положительное – не меняется.

Так что, менять нам знак или нет? Лучше просто не умножать! Следуем нашим двум шагам: переносим все в одну сторону.

\(\displaystyle \frac{x}{{x}-2}\le 1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{x}{{x}-2}-1\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{{x}-x+2}{{x}-2}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{2}{{x}-2}\le 0\)

Почему корень выколотый? Потому что он из знаменателя!

\(\displaystyle x<2\)

\(\displaystyle \frac{x+1}{{x}-2}\le \frac{x+2}{x}\)

Решение:

\(\displaystyle \frac{x+1}{{x}-2}\le \frac{x+2}{x}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{x+1}{{x}-2}-\frac{x+2}{x}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\)

\(\displaystyle \frac{x\left( x+1 \right)-\left( x+2 \right)\left( {x}-2 \right)}{x\left( {x}-2 \right)}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \frac{{{x}^{2}}+{x}-{{x}^{2}}+4}{x\left( {x}-2 \right)}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{x+4}{x\left( {x}-2 \right)}\le 0\)

\(\displaystyle x\in \left( -\infty ;-4 \right]\cup \left( 0;2 \right)\)

\(\displaystyle \frac{{x}-2}{{{x}^{2}}+2{x}-3}-\frac{x+1}{{{x}^{2}}+5x+6}\le \frac{3}{x+3}\)

Решение:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим их знаменатели на множители.

Это квадратные трехчлены, надо вспомнить, как их раскладывают на множители? (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»).

Напомню, что для этого нужно найти корни соответствующих квадратных уравнений:

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{2}}+2{x}-3=0\\{{x}^{2}}+5x+6=0\end{array}\)

Решим их с помощью теоремы Виета: у первого корни \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle -3\), у второго \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle -3\).

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{x}-2}{{{x}^{2}}+2{x}-3}-\frac{x+1}{{{x}^{2}}+5x+6}\le \frac{3}{x+3}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \frac{{x}-{{2}^{\backslash x+2}}}{\left( {x}-1 \right)\left( x+3 \right)}-\frac{x+{{1}^{\backslash {x}-1}}}{\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}-\frac{{{3}^{\backslash \left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)}}}{x+3}\le 0\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-4-\left( {{x}^{2}}-1 \right)-3\left( {{x}^{2}}+{x}-2 \right)}{\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}\le 0\Leftrightarrow \\\frac{-3{{x}^{2}}-3x+3}{\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}\le 0\Leftrightarrow \\\frac{{{x}^{2}}+{x}-1}{\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}\ge 0\end{array}\)

Для того, чтобы разложить на множители числитель, так же как и раньше, решим соответствующее квадратное уравнение:

\(\displaystyle \left. \begin{array}{l}{{x}^{2}}+{x}-1=0\\D=1+4=5\\{{x}_{1,2}}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\text{ }\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }{{x}^{2}}-{x}-1=\left( {x}-\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)\left( {x}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)\)

Вернемся к неравенству. Оно принимает вид:

\(\displaystyle \frac{\left( {x}-\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)\left( {x}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)}{\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}\ge 0\)

Теперь нужно расположить эти корни на числовой оси, а для этого надо понять, где находятся числа \(\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\) и \(\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) относительно \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle -3\).

Подробно о том, как это делается, читай в теме «Сравнение чисел».

\(\displaystyle \begin{array}{l}2<\sqrt{5}<3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\\1<-1+\sqrt{5}<2\text{ }\Leftrightarrow \\\frac{1}{2}<\frac{-1+\sqrt{5}}{2}<1\end{array}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}2<\sqrt{5}<3\text{ }\Leftrightarrow \\-3<-\sqrt{5}<-2\text{ }\Leftrightarrow \\-4<-1-\sqrt{5}<-3\text{ }\Leftrightarrow \\-2<\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<-\frac{3}{2}\end{array}\)

\(\displaystyle x\in \left( -3;-2 \right)\cup \left[ \frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right]\cup \left( 1;+\infty \right)\)

\(\displaystyle \frac{2{{x}^{2}}-2x}{{{x}^{2}}-x+1}<\frac{2{{x}^{2}}-2x-2}{{{x}^{2}}-{x}-2}-1\)

Решение:

Ты уже попробовал привести к общему знаменателю? Ужас, правда?

Но ты не мог не заметить, что куда ни посмотри, нам все время попадается одно и то же выражение \(\displaystyle \left( {{x}^{2}}-x \right)\).

А это верный знак, что сейчас будет замена переменных (повтори одноименную тему «Замена переменных»):

\(\displaystyle t={{x}^{2}}-x\)

Тогда наше неравенство принимает вид:

\(\displaystyle \frac{2t}{t+1}<\frac{2t-2}{t-2}-1\)

Такое мы решать уже умеем:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{{2t}^{\backslash t-2}}}{t+1}-\frac{{{2 \left( t-1 \right) }^{\backslash t+1}}}{t-2}+{{1}^{\backslash \left( t-2 \right)\left( t+1 \right)}}<0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\\\frac{{2{t}^{2}}-4t-2{{t}^{2}}+2+{{t}^{2}}-t-2}{\left( t+1 \right)\left( t-2 \right)}<0\text{ }\Leftrightarrow \\\frac{{{t}^{2}}-5t}{\left( t+1 \right)\left( t-2 \right)}<0\text{ }\Leftrightarrow \\\frac{t\left( t-5 \right)}{\left( t+1 \right)\left( t-2 \right)}<0\end{array}\)

\(\displaystyle t\in \left( -1;0 \right)\cup \left( 2;5 \right)\)

Не забываем вернуться к начальной переменной \(\displaystyle x\)!

Для этого нужно переписать полученное решение для \(\displaystyle t\) в виде неравенств:

\(\displaystyle t\in \left( -1;0 \right)\cup \left( 2;5 \right)\text{ }\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t>-1\\t<0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}t>2\\t<5\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x>-1\\{{x}^{2}}-x<0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x>2\\{{x}^{2}}-x<5\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x+1>0\text{ }-\text{ корней нет }\Rightarrow \text{ выполняется}\ \text{при}\ \text{всех}\ \text{x}\\{{x}^{2}}-x<0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\left( {x}-1 \right)<0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left( 0;1 \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-{x}-2>0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left( {x}-2 \right)\left( x+1 \right)>0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\\{{x}^{2}}-{x}-5<0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left( {x}-\frac{1-\sqrt{21}}{2} \right)\left( {x}-\frac{1+\sqrt{21}}{2} \right)<0\text{ }\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x\in \left( 0;1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {x}-2 \right)\left( x+1 \right)>0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\\\left( {x}-\frac{1-\sqrt{21}}{2} \right)\left( {x}-\frac{1+\sqrt{21}}{2} \right)<0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left( \frac{1-\sqrt{21}}{2};\frac{1+\sqrt{21}}{2} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}4<\sqrt{21}<5\\-5<-\sqrt{21}<-4\\-4<1-\sqrt{21}<-3\\-2<\frac{1-\sqrt{21}}{2}<-\frac{3}{2}\end{array}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}4<\sqrt{21}<5\\5<1+\sqrt{21}<6\\\frac{5}{2}<\frac{1+\sqrt{21}}{2}<3\end{array}\)

\(\displaystyle x\in \left( \frac{1-\sqrt{21}}{2};-1 \right)\cup \left( 0;1 \right)\cup \left( 2;\frac{1+\sqrt{21}}{2} \right)\)

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Рациональное неравенство - неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями, то есть функциями, представимыми в виде отношения многочленов \(\displaystyle f\left(x\right)\) и \(\displaystyle g\left(x\right)\).
\(\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0\)
  • \(\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0\), тогда и только тогда, когда \(\displaystyle f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)>0\);
  • \(\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0\), тогда и только тогда, когда \(\displaystyle f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)<0\).
  • \(\displaystyle \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\ge 0\ \ \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{l}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}>0,\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=0,\\g\left( x \right)\ne 0.\end{array} \right.\end{array} \right.\)
  • \(\displaystyle \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\le 0\ \ \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{l}\frac{f\left( x \right)}{g~\left( x \right)}<0,\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=0,\\g\left( x \right)\ne 0.\end{array} \right.\end{array} \right.\)
  1. 1
    Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю, чтобы получить рациональное неравенство в стандартном виде: \(\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0\);
  2. 2
    Раскладываем числитель (\(\displaystyle f\left( x \right)\)) и знаменатель (\(\displaystyle g\left( x \right)\)) на множители. Для этого решаем уравнения \(\displaystyle f\left( x \right)=0\) и \(\displaystyle g\left( x \right)=0\);
  3. 3
    Находим ОДЗ (\(\displaystyle g\left( x \right)\ne 0\));
  4. 4
     Отмечаем на числовой оси нули числителя и нули знаменателя;
  5. 5
     Определяем знаки для каждого интервала. Для этого берем произвольный \(x\) из одного из интервалов и определяем знак в интервале к которому относится корень, чередуем знаки, обращая внимание на корни, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет;
  6. 6
     Выбираем интервалы, на которых значения функции имеют знак, соответствующий знаку неравенства;
  7. 7
     Записываем ответ, обращая внимания на знак неравенства и на ОДЗ. Если неравенство строгое - все точки выколотые; если неравенство нестрогое - нули знаменателя - выколотые точки (по ОДЗ), а нули числителя - не выколотые точки.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Итак, что думаешь?

Сначала рациональные неравенства, а потом и весь мир!

Сегодня ты научился решать рациональные неравенства. И готов покорять любые другие! Я очень горжусь тобой.

Понравилась ли тебе статья? Все ли было понятно?

Оставь свой комментарий ниже и поделись своим мнением об этой статье!

А еще задай вопросы, если такие есть. И мы обязательно тебе ответим.

Мы читаем все.

Успехов!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>