30 июля

0 comments

Однородные неравенства (ЕГЭ – 2021)

Чтобы в совершенстве решать неравенства, нужно хорошо разобраться в каждом их типе.

Один из них – однородные неравенства.

После прочтения этой статьи ты сможешь решить любое однородное неравенство! 

Поехали!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Заметь, что определение однородного неравенства точно такое же как определение однородного уравнения, только знак другой (\( \displaystyle >,\ \ <,\ \ \ge ,\ \ \ \le \) вместо \( \displaystyle =\)).

Если ты не читал раздел «Однородные уравнения», то рекомендуем тебе это сделать. В нем ты найдешь много полезного и для решения однородных неравенств.

Итак…

Однородным называется неравенство вида \( \displaystyle {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+...+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}\ge 0\) (вместо знака \( \displaystyle \ge \) может стоять любой знак неравенства), с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Не будем надолго останавливаться на определении, повторим лишь основные моменты.

  • В неравенстве должно быть две переменные (предположим, \( \displaystyle x\) и \( \displaystyle y\)), возведенные в одинаковую степень (предположим \( \displaystyle 2\)). Т.е. \( \displaystyle {{x}^{2}}\), \( \displaystyle {{y}^{2}}\);
  • В неравенстве должно присутствовать произведение этих переменных, при этом сумма степеней должна быть такой же, как и у каждой переменной в отдельности. В нашем примере эта степень равна \( \displaystyle 2\). Т.е. в неравенстве ты должен увидеть \( \displaystyle x\cdot y\) - сумма их степеней равна \( \displaystyle 2\);
  • При каждом из слагаемых могут быть некоторые коэффициенты (в том числе \( \displaystyle 0\)). Например, \( \displaystyle -2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}\);
  • Должен присутствовать знак неравенства - \( \displaystyle >,\ \ <,\ \ \ge ,\ \ \ \le \).

Допустим, у нас будет \( \displaystyle \ge \).

Вот мы и получили простое однородное неравенство:

\( \displaystyle -2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}\ge 0\)

Теперь давай попробуем его решить.

При каких значениях \( \displaystyle x\), верно неравенство:

\( \displaystyle -2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}\ge 0\)

Принцип решения такой же, как и у однородных уравнений – свести все к простому квадратному неравенству, и решить его (Повтори как решать «Квадратные неравенства»).

Для решения нам нужно разделить неравенство на \( \displaystyle -2{{x}^{2}}+3xy+5{{y}^{2}}\ge 0\). Но как ты помнишь, здесь есть нюанс – на ноль делить нельзя.

Поэтому давай отдельно рассмотрим случай когда \( \displaystyle {{y}^{2}}=0\), т.е. \( \displaystyle y=0\):

\( \displaystyle -2{{x}^{2}}\ge 0\)

\( \displaystyle 2{{x}^{2}}\le 0\)

\( \displaystyle {{x}^{2}}\le 0\)

Но \( \displaystyle {{x}^{2}}\) не может быть отрицательным, а значит \( \displaystyle {{y}^{2}}\ne 0\), так как в этом случае нет решений. Можно смело делить:

\( \displaystyle \frac{-2{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}+\frac{3xy}{{{y}^{2}}}+\frac{5{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}\ge 0\)

\( \displaystyle -2{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+3\left( \frac{x}{y} \right)+5\ge 0\)

Произведем замену \( \displaystyle t=\frac{x}{y}\) и решим простое квадратное неравенство:

\( \displaystyle -2{{t}^{2}}+3t+5\ge 0\)

Найдем корни уравнения \( \displaystyle -2{{t}^{2}}+3t+5=0\):

\( \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac={{3}^{2}}-4\cdot \left( -2 \right)\cdot 5=9+40=49\)

\( \displaystyle t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{2\cdot \left( -2 \right)}=\frac{3\pm 7}{-4}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=-\frac{10}{4}\\{{t}_{2}}=1\end{array} \right.=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=-2,5\\{{t}_{2}}=1\end{array} \right.\)

Отметим точки на прямой, и расставим знаки, учитывая, что ветви параболы направлены вниз (коэффициент \( \displaystyle a=-2\) при \( \displaystyle {{x}^{2}}\)):

Таким образом, \( \displaystyle -1\le t\le 2,5\).

Произведем обратную замену:

\( \displaystyle -1\le \frac{x}{y}\le 2,5\)

\( \displaystyle -y\le x\le 2,5y\)

Поскольку y может быть как положительным, так и отрицательным, то нужно учесть это в ответе. При положительном у, значениеи \( \displaystyle -y\) будет меньше, чем \( \displaystyle 2,5y\), – а значит ответ записан корректно.

При отрицательном \( \displaystyle y\), наоборот, \( \displaystyle -y\) будет больше, чем \( \displaystyle 2,5y\). То есть:

При \( \displaystyle y<0:\ \ 2,5y\le x\le -y\)

Ответ:

При \( \displaystyle y<0\): \( \displaystyle 2,5y\le x\le -y\)

При \( \displaystyle y>0\): \( \displaystyle -y\le x\le 2,5y\)

Чаще всего однородные неравенства бывают показательными. Если ты забыл, как решаются показательные неравенства, повтори соответствующий раздел теории.

Давай рассмотрим несколько примеров.

Решите неравенство \( \displaystyle {{5}^{x}}-{{3}^{x}}\ge 0\)

Да-да! Это тоже однородное неравенство. Есть две переменных переменные (в виде \( \displaystyle {{5}^{x}}\) и \( \displaystyle {{3}^{x}}\)) и суммах их степеней в каждом слагаемом равна \( \displaystyle 1\).

Разделим все на \( \displaystyle {{3}^{x}}\). Важно заметить, что в показательных однородных неравенствах можно смело делить на переменную, ведь она всегда строго больше \( \displaystyle 0\) (\( \displaystyle {{3}^{x}}\) при любом \( \displaystyle x\) будет больше \( \displaystyle 0\)).

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{{{5}^{x}}}{{{3}^{x}}}-\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}}\ge 0\\{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x}}\ge 1\end{array}\)

А теперь все совсем просто. Представим \( \displaystyle 1\), как \( \displaystyle {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{0}}\) и найдем \( \displaystyle x\):

\( \displaystyle \begin{array}{l}{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x}}\ge {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{0}}\\x\ge 0\end{array}\)

Ответ: \( \displaystyle \left[ 0;\ \infty \right)\)

Рассмотрим еще несколько стандартных примеров, часто встречающихся в ЕГЭ.

Решите неравенство \( \displaystyle 2\cdot {{5}^{2x}}+{{10}^{x}}-15\cdot {{2}^{2x}}\le 0\)

Заметим, что \( \displaystyle {{10}^{x}}={{5}^{x}}\cdot {{2}^{x}}\).

Таким образом, перед нами однородное неравенство. Разделим все на \( \displaystyle {{2}^{2x}}\) (можно делить и на \( \displaystyle {{5}^{2x}}\) - сделай самостоятельно):

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{2\cdot {{5}^{2x}}}{{{2}^{2x}}}+\frac{{{5}^{x}}\cdot {{2}^{x}}}{{{2}^{2x}}}-\frac{15\cdot {{2}^{2x}}}{{{2}^{2x}}}\le 0\\2\cdot {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2x}}+{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}-15\le 0\end{array}\)

Произведем замену \( \displaystyle t={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}>0\) и решим квадратное неравенство:

\( \displaystyle 2\cdot {{t}^{2}}+t-15\le 0\).

Найдем корни уравнения \( \displaystyle 2\cdot {{t}^{2}}+t-15=0\):

\( \displaystyle \begin{array}{l}D={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4\cdot 2\cdot \left( -15 \right)=1+120=121\\t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm 11}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm 11}{4}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=2,5\\{{t}_{2}}=-3\end{array} \right.\end{array}\)

Отметим на прямой точки \( \displaystyle {{t}_{1}}\) и \( \displaystyle {{t}_{2}}\) и расставим знаки (ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент \( \displaystyle a\) при \( \displaystyle {{t}_{2}}\) больше \( \displaystyle 0\)):

С учетом ОДЗ (\( \displaystyle t={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}>0\)) - \( \displaystyle 0\le t\le 2,5\).

Произведем обратную замену:

\( \displaystyle \begin{array}{l}0\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le 2,5\\0\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{1}}\end{array}\)

Поскольку \( \displaystyle {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}>0\) при любом \( \displaystyle x\), получаем ответ:

Ответ: \( \displaystyle \left( -\infty \ ;\ 1 \right]\)

Решите неравенство \( \displaystyle {{2}^{2x+1}}-5\cdot {{8}^{x}}+2\cdot {{4}^{2x}}<0\)

Заметим, что \( \displaystyle {{2}^{2x+1}}=2\cdot {{2}^{2x}}\), а \( \displaystyle {{8}^{x}}={{2}^{x}}\cdot {{4}^{x}}\).

Таким образом, перед нами однородное неравенство.

Разделим его на \( \displaystyle {{4}^{2x}}\):

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{2\cdot {{2}^{2x}}}{{{4}^{2x}}}-\frac{5\cdot {{2}^{x}}\cdot {{4}^{x}}}{{{4}^{2x}}}+\frac{2\cdot {{4}^{2x}}}{{{4}^{2x}}}<0\\2\cdot {{\left( \frac{2}{4} \right)}^{2x}}-5\cdot {{\left( \frac{2}{4} \right)}^{x}}+2<0\\2\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2x}}-5{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+2<0\end{array}\)

Произведем замену \( \displaystyle t={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}>0\) и решим квадратное неравенство:

\( \displaystyle 2{{t}^{2}}-5t+2<0\).

Найдем корни уравнения \( \displaystyle 2{{t}^{2}}-5t+2=0\):
\( \displaystyle \begin{array}{l}D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -5 \right)}^{2}}-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9\\t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left( -5 \right)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 3}{4}=\left[ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=2\\{{t}_{2}}=\frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Отметим на прямой точки \( \displaystyle {{t}_{1}}\) и \( \displaystyle {{t}_{2}}\) и расставим знаки (ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент \( \displaystyle a\) при \( \displaystyle {{t}_{2}}\) больше \( \displaystyle 0\)):

Таким образом, \( \displaystyle \frac{1}{2}<t<2\)

Произведем обратную замену: \( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}<2\\{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{1}}<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-1}}\end{array}\)

Поскольку основание \( \displaystyle \frac{1}{2}<1\), то при избавлении от дроби мы меняем знаки неравенства: \( \displaystyle -1<x<1\)

Ответ: \( \displaystyle \left( -1\ ;\ 1 \right)\)

А теперь несколько заданий для самостоятельного решения.

  1. 1
    \( \displaystyle 3\cdot {{2}^{2x}}-10\cdot {{36}^{x}}+3\cdot {{18}^{2x}}<0;\)
  2. 2
    \( \displaystyle 5\cdot {{3}^{2x+1}}-34\cdot {{15}^{x}}+3\cdot {{5}^{2x+1}}\ge 0;\)
  3. 3
    \( \displaystyle {{2}^{2x+1}}-5\cdot {{6}^{x}}+{{3}^{2x+1}}\le 0.\)

Ответы:

  1. 1
    \( \displaystyle \left( -0,5\ ;\ 0,5 \right);\)
  2. 2
    \( \displaystyle \left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 1;\ \infty \right);\)
  3. 3
    \( \displaystyle \left[ -1;\ 0 \right].\)

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Неравенство с параметром

\( \displaystyle {{x}^{2}}-3ax+2{{a}^{2}}\le 0\), при \( \displaystyle a\ne 0\).

Его мы сможем решить с помощью метода интервалов, если разложим левую часть на множители. Но как это сделать?

Заметим, что если поделить каждое слагаемое на \( \displaystyle {{a}^{2}}\), получим:

\( \displaystyle {{x}^{2}}-3ax+2{{a}^{2}}\le 0\text{ }\left| :{{a}^{2}} \right.\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{3ax}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}-3\frac{x}{a}+2\le 0\)

Сделав замену \( \displaystyle t=\frac{x}{a}\), получим обычное квадратное неравенство относительно \( \displaystyle t\):

\( \displaystyle {{t}^{2}}-3t+2\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left( t-2 \right)\left( t-1 \right)\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ 1}\le t\le 2\).

Обратная замена: \( \displaystyle 1\le \frac{x}{a}\le 2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}a\le x\le 2a,\text{ } при \ \ a>0\\2x\le x\le a,\text{ } при \ \ a<0\end{array} \right.\)

Такие неравенства называются однородными.

Однородным называется неравенство вида:
\( \displaystyle {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+...+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}\ge 0\)
(вместо знака \( \displaystyle \ge \) может, конечно, стоять любой знак неравенства).

То есть это неравенство с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна \( \displaystyle 2\). Решаются такие неравенства делением на одну из неизвестных в этой степени:

\( \displaystyle {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+...+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}\le 0\text{ }\left| :{{y}^{n}}\text{ } \right.\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle {{k}_{0}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n}}+{{k}_{1}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-2}}+...+{{k}_{n-1}}\left( \frac{x}{y} \right)+{{k}_{n}}\le 0\),

и последующей заменой переменных: \( \displaystyle t=\frac{x}{y}\). Таким образом получаем рациональное неравенство \( \displaystyle n\)-ной степени с одной неизвестной \( \displaystyle t\):

\( \displaystyle {{k}_{0}}{{t}^{n}}+{{k}_{1}}{{t}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{t}^{n-2}}+...+{{k}_{n-1}}t+{{k}_{n}}\le 0\).

Ты заметил ошибку в моих рассуждениях?

Ведь нельзя просто так взять и поделить неравенство на переменную! Она (переменная) может оказаться отрицательной или нулевой.

Поэтому всегда нужно специально проверять, можно ли это сделать.

Чаще всего нам будут встречаться неравенства второй степени (то есть квадратные), тогда делить придется на переменную в квадрате, а она заведомо неотрицательна:

\( \displaystyle a{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}\ge 0\text{ }\left| :{{y}^{2}}\ne \text{0 }\Leftrightarrow \text{ }a{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+b\cdot \frac{x}{y} \right.+c\ge 0\text{ }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }\)

\( \displaystyle \underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }a{{t}^{2}}+bt+c\ge 0\ \)

Отметим также, что эта переменная не может быть равна нулю. В случаях, когда это не очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите неравенство \( \displaystyle {{x}^{2}}-3ax+2{{a}^{2}}\le 0\) при всех \( \displaystyle a\).

Видим здесь типичное однородное неравенство: \( \displaystyle x\) и \( \displaystyle a\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( \displaystyle 2\).

Но, прежде чем разделить на \( \displaystyle {{a}^{2}}\) и получить квадратное неравенство относительно \( \displaystyle \frac{x}{a}\), мы должны рассмотреть случай, когда \( \displaystyle a=0\). В этом случае неравенство примет вид: \( \displaystyle {{x}^{2}}\le 0\), значит, \( \displaystyle x=0\) – решение неравенства при \( \displaystyle a=0\).

А теперь пусть \( \displaystyle a\ne 0\), тогда и \( \displaystyle {{a}^{2}}\ne 0\), и на него можно смело делить:

\( \displaystyle {{x}^{2}}-3ax+2{{a}^{2}}\le 0\text{ }\left| :{{a}^{2}} \right.\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{3ax}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}-3\frac{x}{a}+2\le 0\)

Замена \( \displaystyle t=\frac{x}{a}\):

\( \displaystyle {{t}^{2}}-3t+2\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left( t-2 \right)\left( t-1 \right)\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ 1}\le t\le 2\).

Обратная замена: \( \displaystyle 1\le \frac{x}{a}\le 2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}a\le x\le 2a,\text{ } при \ \ a>0\\2x\le x\le a,\text{ } при \ \ a<0\end{array} \right.\)

Ответ:

\( \displaystyle 0\) при \( \displaystyle a=0\);

\( \displaystyle \left[ a;2a \right]\) при \( \displaystyle a>0\)

\( \displaystyle \left[ 2a;a \right]\) при \( \displaystyle a<0\)

Чаще всего однородные неравенства нам попадаются среди показательных. Помнишь, как они решаются? Чтобы их вспомнить, посмотри тему «Показательные неравенства».

\( \displaystyle {{3}^{x}}-{{2}^{x}}\ge 0\).

Неужели это простое неравенство так сложно называется – однородное?

Да, однородные неравенства чаще всего довольно простые. Действительно, здесь в качестве переменных \( \displaystyle {{3}^{x}};\text{ }{{2}^{x}}\), и в каждом слагаемом сумма их степеней одинакова: \( \displaystyle 1\).

Итак, на что делим?

\( \displaystyle {{3}^{x}}-{{2}^{x}}\ge 0\text{ }\left| :{{2}^{x}}>0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-1\ge 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ } \right.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\ge 1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\ge 0\).

Как видим, в показательных неравенствах ничего дополнительно проверять не нужно – все и так всегда строго положительно.

Примеры на самостоятельную работу:

  • \( \displaystyle {{3}^{2x}}-2\cdot {{2}^{x}}\cdot {{3}^{x}}+{{2}^{2x}}\le 0\)
  • \( \displaystyle 10\cdot {{5}^{2x}}-29\cdot {{10}^{x}}+10\cdot {{2}^{2x}}\le 0\)
  • \( \displaystyle {{2}^{2x}}-3\cdot {{10}^{x}}+2\cdot {{5}^{2x}}>0\)

Если примеры совсем не даются, повтори темы «Квадратные неравенства» и «Показательные неравенства».

\( \displaystyle {{3}^{2x}}-2\cdot {{2}^{x}}\cdot {{3}^{x}}+{{2}^{2x}}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \text{ }{{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-2\cdot {{2}^{x}}\cdot {{3}^{x}}+{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}\le 0\text{ }\left| :{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}>0 \right.\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle {{\left( \frac{{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}} \right)}^{2}}-2\cdot \frac{{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}}+1\le 0\text{ }\underset{t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }{{t}^{2}}-2t+1\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \text{ }{{\left( t-1 \right)}^{2}}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }t=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=0\)

\( \displaystyle 10\cdot {{5}^{2x}}-29\cdot {{10}^{x}}+10\cdot {{2}^{2x}}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow \text{ }10\cdot {{5}^{2x}}-29\cdot {{2}^{x}}\cdot {{5}^{x}}+10\cdot {{2}^{2x}}\le 0\text{ }\left| :{{2}^{2x}}>0\text{ }\Leftrightarrow \right.\)

\( \displaystyle \Leftrightarrow 10\cdot {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2x}}-29\cdot {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}+10\le 0\text{ }\underset{t={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }10{{t}^{2}}-29t+10\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\)

\( \displaystyle \Leftrightarrow 10\left( t-2,5 \right)\left( t-0,4 \right)\le 0\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle 0,4\le t\le 2,5\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{2}{5}\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le \frac{5}{2}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }-1\le x\le 1\).

Ответ: \( \displaystyle \left[ -1;1 \right]\).

Пример решения однородного неравенства №9

\( \displaystyle {{2}^{2x}}-3\cdot {{10}^{x}}+2\cdot {{5}^{2x}}>0\text{ }\left| :{{5}^{2x}}>0 \right.\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{2x}}-3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+2>0\text{ }\underset{t={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }{{t}^{2}}-3t+2>0\text{ }\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle \left( t-1 \right)\left( t-2 \right)>0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}t>2\\0<t<1\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}>2\\0<{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}<1\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x<{{\log }_{\frac{2}{5}}}2\\x>0.\end{array} \right.\)

Ответ:

\( \displaystyle \left( -\infty ;{{\log }_{\frac{2}{5}}}2 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)\).

Однородным называется неравенство вида \( \displaystyle {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+...+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}\ge 0\)

(вместо знака \( \displaystyle \ge \) может, конечно, стоять любой знак неравенства).

  1. 1
    Проверить что одна из переменных не отрицательна и не равна нулю;
  2. 2
    Разделить неравенство на эту переменную
    \( \displaystyle {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+...+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}\le 0\text{ }\left| :{{y}^{n}}\text{ } \right.\Leftrightarrow \)
    \( \displaystyle {{k}_{0}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n}}+{{k}_{1}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-2}}+...+{{k}_{n-1}}\left( \frac{x}{y} \right)+{{k}_{n}}\le 0\);
  3. 3
    Сделать замену дробной переменной \( \displaystyle t=\frac{x}{y}\)
    \( \displaystyle {{k}_{0}}{{t}^{n}}+{{k}_{1}}{{t}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{t}^{n-2}}+...+{{k}_{n-1}}t+{{k}_{n}}\le 0\);
  4. 4
    Сделать обратную замену.

Чаще всего будут встречаться неравенства второй степени, тогда делить придется на переменную в квадрате, а она заведомо неотрицательна:

\( \displaystyle a{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}\ge 0\text{ }\left| :{{y}^{2}}\ne \text{0 }\Leftrightarrow \text{ }a{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+b\cdot \frac{x}{y} \right.+c\ge 0\text{ }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }a{{t}^{2}}+bt+c\ge 0\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

А теперь немного про тебя 🙂

Сегодня ты научился решать однородные неравенства. Ты молодец!

Я очень горжусь тобой. Хотя бы потому, что ты решил сесть и разобраться. И сделал это!

Мы будем очень рады услышать твое мнение об этой статье. Понравилась ли она тебе? И помогла ли?

Было ли легко решать однородные уравнения вместе?

Пиши нам. И задавай вопросы, если есть. А мы обязательно ответим!

Успехов!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>