Показательные неравенства. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Прежде чем переходить к изучению данной темы, я рекомендую тебе повторить следующие разделы:

  1. Линейные неравенства
  2. Метод интервалов
  3. Степень
  4. Показательные уравнения
  5. Свойства логарифмов.

Методы решения показательных неравенств во многом дублируют способы решения показательных уравнений. Вот только что мы ищем при решении уравнения? Верно, корни соответствующего уравнения. Или же показываем, что их нет. В неравенстве мы будем искать промежутки (то есть те множества значений переменной, на которой данное неравенство выполняется). Для этого используют различные методы.

Вспомни, к чему сводилось решение показательного уравнения? Да, мы сводили его к такому виду:

\({{a}^{f\left( x \right)}}={{a}^{g\left( x \right)}}\)

После чего делали вывод, что \(f\left( x \right)=g\left( x \right)\) и решали уже полученное уравнение. Практически аналогичным образом мы поступаем и с показательным неравенством.

Определение: Простейшими показательными неравенствами являются неравенства следующего вида:
\({{a}^{f\left( x \right)}}>{{a}^{g\left( x \right)}},~{{a}^{f\left( x \right)}}<{{a}^{g\left( x \right)}},~{{a}^{f\left( x \right)}}\ge {{a}^{g\left( x \right)}},~{{a}^{f\left( x \right)}}\le {{a}^{g\left( x \right)}}\),
Где \(a\) – основание, \(f\left( x \right),~g\left( x \right)\) – показатели.

Например, в неравенстве \({{3}^{3\left( x+2 \right)}}\le {{3}^{4}}\) \(a=3\) – основание, \(f\left( x \right)=3\left( x+2 \right)\), \(g\left( x \right)=4\) – показатели.

Существует основное правило решения показательных неравенств. Обрати на него особое внимание. Незнание этого правила является очень частой причиной глупейших (и оттого еще более обидных ошибок).

Правило:
\({{a}^{f\left( x \right)}}>{{a}^{g\left( x \right)}}=>~f\left( x \right)>g\left( x \right)\) \(\left(при\ ~a>1 \right)\)
\({{a}^{f\left( x \right)}}>{{a}^{g\left( x \right)}}=>~f\left( x \right)<g\left( x \right)\) \((при\ ~0<a<1)\)

Аналогичные законы справедливы и для трех оставшихся знаков неравенств. Сформулируй правила самостоятельно.

Теперь перейдем к методам решения показательных неравенств. Я могу выделить 4 основных приема решения, вот они:

  1. Если неравенство имеет вид: \({{a}^{f\left( x \right)}}>{{b}^{g\left( x \right)}}\), то работаем с основаниями: преобразовываем их к такому виду, чтобы они являлись степенями одного и того же числа. \(a={{c}^{q}},~b={{c}^{t}}\), а затем решаем простейшее неравенство \({{с}^{qf\left( x \right)}}>{{c}^{tg\left( x \right)}}\). Кажется немного непонятно, не так ли? Однако дай мне пару минут, и все встанет на свои места.
  2. Вторым методом решения неравенств является разложение на множители.
  3. Еще одним приемом является замена переменной. В таком случае мы сразу же сводим показательное неравенство к более простому (как правило) виду: например, к квадратичному. Затем решаем это «простое» неравенство и делаем обратную замену.
  4. Последним по номеру, но не по значимости, является решение неравенства методом анализа монотонности функции. Данный метод достаточно хитер: не всегда ясно, когда его следует применять. Я бы прибегал к нему в последнюю очередь. Однако, если твое неравенство является смешанным, например \({{2}^{x}}>1-x\) (то есть включает в себя не только степени, но и линейное выражение \(1-x\)), то данного метода уже, увы, не избежать. Данный метод будет рассмотрен в следующей статье.

Итак, разберем первые три метода более подробно на соответствующих примерах.

Пример 1: 

\({{27}^{x+2}}\le 81\)

Решение:

Заметим, что \(27={{3}^{3}},~81={{3}^{4}}\). Таким образом, левая и правая часть неравенства – есть степени тройки. Тогда все становится сразу понятным: исходное неравенство равносильно такому: \({{3}^{3\left( x+2 \right)}}\le {{3}^{4}}\), так как \(3>1\), то получаем, что \(3\left( x+2 \right)\le 4\), раскроем скобки:

\(3x+6\le 4,~3x\le -2,~x\le -\frac{2}{3}\).

Отсюда, ответ: \(x\in \left( -\infty ;~-\frac{2}{3} \right]\).

Теперь еще один пример, немного посложнее.

Пример 2: 

\({{5}^{4x+2}}<\frac{125}{\sqrt{{{5}^{-6}}}}\)

Решение:

\(\frac{125}{\sqrt{{{5}^{-6}}}}=\frac{{{5}^{3}}}{{{5}^{\frac{-6}{2}}}}=\frac{{{5}^{3}}}{{{5}^{-3}}}={{5}^{3-\left( -3 \right)}}={{5}^{6}}\), подставим полученное выражение в правую часть неравенства: \({{5}^{4x+2}}<{{5}^{6}}\), так как \(5>1\), то \(4x+2<6,~4x<4,~x<1\).
Ответ: \(x\in \left( -\infty ;1 \right)\).

Ну и для закрепления последний пример на первый метод решения:

Пример 3:

\({{2}^{{{x}^{2}}}}>{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2{x} -3}}\)

Решение:

\({{2}^{{{x}^{2}}}}>{{\left( {{2}^{-1}} \right)}^{2{x} -3}}\),

\({{2}^{{{x}^{2}}}}>{{2}^{-\left( 2{x} -3 \right)}}\), откуда

\({{x}^{2}}>-\left( 2{x} -3 \right)\), что эквивалентно следующему квадратному неравенству:

\({{x}^{2}}+2{x} -3>0\), корни уравнения \({{x}^{2}}+2{x} -3=0\) равны \({{x}_{1}}=-3,{{x}_{2}}=1\).

Тогда решением исходного неравенства будет объединение двух промежутков:

\(x\in \left( -\infty ;-3 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 1;+\infty  \right)\).

Ничего сложного, правда? Как я и обещал, показательные неравенства свелись к обыкновенным, хорошо изученным неравенствам для их показателей. Теперь рассмотрим второй метод.

Пример 4:

\({{3}^{x+2}}+{{3}^{{x} -1}}<28\)

Решение:

Вынесем общий множитель в выражении слева за скобки. Какое выражение является этим множителем? Конечно же, это \({{3}^{{x} -1}}\) (тут стоит не кривить душой и сказать, что вы бы могли вынести и просто \({{3}^{x}}\), и результат бы совпал, но принято выносить за скобки наименьшую из возможных степеней) Итого, получим:

\({{3}^{{x} -1}}({{3}^{3}}+{{3}^{1}})<28\),

\({{3}^{{x} -1}}\cdot 28<28\),

\({{3}^{{x} -1}}<1={{3}^{0}}\),

\(x<1\).

Ответ: \(x\in \left( -\infty ;1 \right)\).

Ничего сложного, правда? Все почти как в 7 классе, с той лишь разницей, что тут объекты немного другие.

Еще один пример:

Пример 5:

\({{3}^{x+2}}+{{3}^{x+1}}+{{3}^{x}}\le 39\)

Решение:

\({{3}^{x}}\left( {{3}^{2}}+3+1 \right)\le 39\),

\({{3}^{x}}\cdot 13\le 39\), \({{3}^{x}}\le 3\),

откуда \(x\le 1\).

Ответ: \(x\in \left( -\infty ;1 \right]\).

Теперь я приведу задачки для самостоятельного решения.

  1. \({{\left( 0,3 \right)}^{\frac{x}{{x} -2}}}<{{\left( 0,3 \right)}^{\frac{6}{{x} -1}}}\)
  2. \({{3}^{\frac{2{x} -1}{{x} -2}}}<1\)
  3. \({{\left( \frac{2}{7} \right)}^{3\left( 2{x} -7 \right)}}{{\left( \frac{49}{4} \right)}^{2x+0,5}}\ge 1\)
  4. \({{2}^{3-x}}+{{2}^{1-x}}>40\)
  5. \({{\left( \frac{13}{11} \right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<\frac{121}{169}\)

Давай проверим вместе:

  1. \({{\left( 0,3 \right)}^{\frac{x}{{x} -2}}}<{{\left( 0,3 \right)}^{\frac{6}{{x} -1}}}\), т.к. \(0,3<1\), то
    \(\frac{x}{{x} -2}>\frac{6}{{x} -1}\),
    приведем дроби к общему знаменателю:
    \(\frac{x\left( {x} -1 \right)}{\left( {x} -2 \right)\left( {x} -1 \right)}>\frac{6\left( {x} -2 \right)}{\left( {x} -2 \right)\left( {x} -1 \right)}\),
    \(\frac{x\left( {x} -1 \right)-6\left( {x} -2 \right)}{\left( {x} -2 \right)\left( {x} -1 \right)}>0\)
    \(\frac{{{x}^{2}}-{x} -6x+12}{\left( {x} -2 \right)\left( {x} -1 \right)}>0\),
    \(\frac{{{x}^{2}}-7x+12}{\left( {x} -2 \right)\left( {x} -1 \right)}>0\),
    разложим \({{x}^{2}}-7x+12~\) на множители:
    \({{x}^{2}}-7x+12=\left( {x} -3 \right)\left( {x} -4 \right)\), тогда получим:
    \(\frac{\left( {x} -3 \right)\left( {x} -4 \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }}{\left( {x} -2 \right)\left( {x} -1 \right)}>0\)
    Решим полученное неравенство методом интервалов и запишем ответ.
    Ответ: \(x\in \left( -\infty ;1 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 2;3 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 4;+\infty  \right)\).
  2. \({{3}^{\frac{2{x} -1}{{x} -2}}}<1\), тогда \(\frac{2{x} -1}{{x} -2}<0\).
    Данное неравенство снова решается методом интервалов:
    нанесем корни числителя и знаменателя на координатную ось, расставим знаки и получим ответ: \(x\in \left( \frac{1}{2};2 \right)\)
  3. \({{\left( \frac{2}{7} \right)}^{3\left( 2{x} -7 \right)}}{{\left( \frac{49}{4} \right)}^{2x+0,5}}\ge 1\),
    \({{\left( \frac{2}{7} \right)}^{3\left( 2{x} -7 \right)}}{{\left( \frac{{{7}^{2}}}{{{2}^{2}}} \right)}^{2x+0,5}}\ge 1\),
    \({{\left( \frac{2}{7} \right)}^{3\left( 2{x} -7 \right)}}{{\left( \frac{7}{2} \right)}^{2\left( 2x+0,5 \right)}}\ge 1\), так как \({{\left( \frac{2}{7} \right)}^{-1}}=\frac{7}{2}\), то
    \({{\left( \frac{7}{2} \right)}^{-3\left( 2{x} -7 \right)}}{{\left( \frac{7}{2} \right)}^{2\left( 2x+0,5 \right)}}\ge 1\),
    \({{\left( \frac{7}{2} \right)}^{-3\left( 2{x} -7 \right)+2\left( 2x+0,5 \right)}}\ge 1\),
    \({{\left( \frac{7}{2} \right)}^{-6x+21+4x+1}}\ge 1\),
    \({{\left( \frac{7}{2} \right)}^{-2x+22}}\ge {{\left( \frac{7}{2} \right)}^{0}}\),
    откуда \(-2x+22\le 0,~-2x\le -22,~x\ge 11\).
    Ответ: \(x\in \left[ 11;+\infty  \right)\).
  4. \({{2}^{3-x}}+{{2}^{1-x}}>40\),
    \({{2}^{-x}}\left( {{2}^{3}}+2 \right)>40\),
    \({{2}^{-x}}>4\),
    \(-x>2,~x<-2\)
    Ответ: \(x\in \left( -\infty ;~-2 \right)\).
  5. \({{\left( \frac{13}{11} \right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<\frac{121}{169}\),
    \({{\left( \frac{13}{11} \right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{\left( \frac{11}{13} \right)}^{2}}\),
    \({{\left( \frac{13}{11} \right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{\left( \frac{13}{11} \right)}^{-2}}\), так как \(\frac{13}{11}>1\), то
    \({{x}^{2}}-3x<-2\),
    откуда \({{x}^{2}}-3x+2<0\),
    заменяю знак \(<\) в последнем неравенстве на \(=\), решаю уравнение \({{x}^{2}}-3x+2=0\),
    нахожу его корни: \({{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=2\).
    Отмечаю эти точки на координатной прямой и выясняю знак выражения \({{x}^{2}}-3x+2\) на каждом из полученных интервалов.
    Меня интересует знак «\(-\)».
    Тогда получу ответ:
    \(x\in \left( 1;2 \right)\).

Теперь перейдем к третьему методу решения показательных неравенств. Вспомни, например, как решается уравнение

\({{x}^{4}}+{{x}^{2}}-6=0\),

вспомнил? Ты делал простую замену \(t={{x}^{2}}\), не забывая, что \(t\ge 0\), а затем уже решал совсем простое уравнение \({{t}^{2}}+t-6=0\), находил его корни \({{t}_{1}}=-3\) (этот корень нам не подходит, так как он меньше нуля), \({{t}_{2}}=2\), а затем делал обратную замену: \(2={{x}^{2}}\), последнее уравнение имеет корни \({{x}_{1}}=\sqrt{2},~{{x}_{2}}=-\sqrt{2}\), которые и являются корнями нашего исходного уравнения.

При решении неравенств мы тоже можем прибегнуть к приему замены переменной. Но здесь есть один подводный камень… Заинтригован? Тогда решаем вместе!

Пример 6:

\(3\cdot {{5}^{x}}-5\cdot {{25}^{x}}+2>0\)

Решение:

Перепишем данное неравенство в следующем виде:

\(3\cdot {{5}^{x}}-5\cdot {{5}^{2x}}+2>0\)

Теперь пора задуматься, а что дальше? Ясно, что первый метод решения здесь не поможет: у нас есть «противная» двойка, от которой нам никак не избавиться. Это же мешает применить разложение на множители: от двойки мы никак не избавимся. Да и вынести выражение так, чтобы только одно выражение содержало \(x\), также не получится. Надо придумать замену. Какую? Обычно принято заменять выражение, содержащее минимальную степень \(x\). В нашем случае это \({{5}^{x}}\). Если мы введем замену \(t={{5}^{x}}\), то чем же будет являться \({{25}^{x}}={{5}^{2x}}\)? Да, ты абсолютно правильно понял, \({{5}^{2x}}={{t}^{2}}\). Тогда исходное выражение будет равносильно следующему:

\(3\cdot t-5\cdot {{t}^{2}}+2>0\)

Решим данное неравенство, предварительно умножив его на \(\left( -1 \right)\):

\(5\cdot {{t}^{2}}-3\cdot t-2<0\)

Решениями соответствующего уравнения будут числа:

\({{t}_{1}}=1,~{{t}_{2}}=-\frac{2}{5}\).

Нас интересует знак «\(-\)», поэтому решениями соответствующего неравенства будет промежуток \(-\frac{2}{5}<t<1\). (конечный !!!!)

Данное двойное неравенство равносильно системе:

\(\left\{ \begin{array}{l}t>-\frac{2}{5}\\t<1\end{array} \right.\).

Теперь вспомним о том, что такое \(t\):    \(t={{5}^{x}}\). Тогда получим систему уже относительно \(x\):

\(\displaystyle \left( 1 \right)\ \ \left\{ \begin{array}{l}{{5}^{x}}>-\frac{2}{5}\\{{5}^{x}}<1\end{array} \right.\)

Известен факт, что выражение

\({{a}^{x}}>0\) (для любых \(a\) и \(x\)).

Таким образом, что можно сказать про наше первое неравенство? Да! Нам несказанно повезло, оно имеет решения при всех \(x\)!!!! Так что решение системы будет равносильно решению второго ее неравенства! Здорово, правда?

Теперь разберемся со вторым. Мы видим нашего старого знакомого – простейшее показательное неравенство. Оно имеет решение: \(x\in \left( -\infty ;0 \right)\) (бесконечный промежуток!!!). Уверен, ты сам без труда получишь такой же ответ.

Так что же является решением исходного неравенства

\(3\cdot {{5}^{x}}-5\cdot {{5}^{2x}}+2>0\)

Им является решение системы (1). А его мы уже нашли!

Ответ: \(\displaystyle x\in \left( -\infty ;0 \right)\)

Давай решим еще один подобный пример.

Пример 7:

\(\displaystyle 4\cdot {{4}^{x}}-29\cdot {{10}^{x}}+25\cdot {{25}^{x}}\le 0\)

Решение:

Здесь мы столкнулись с тем, что сделать замену напрямую не представляется возможным – четверка – это степень двойки, а \(\displaystyle 25\) – степень пятерки. Однако у нас есть еще одно слагаемое посередине – \(\displaystyle {{10}^{x}}\), которое равно \(\displaystyle {{5}^{x}}{{2}^{x}}\). Также представим \(\displaystyle {{4}^{x}}={{2}^{2x}},~{{25}^{x}}={{5}^{2x}}\):

\(\displaystyle 4\cdot {{2}^{2x}}-29\cdot {{5}^{x}}{{2}^{x}}+25\cdot {{5}^{2x}}\le 0\)

Теперь у нас есть одно слагаемое, содержащее степень двойки, одно – степень пятерки, и еще одно посередине – содержит произведение степеней. Прием, который позволяет решать такие неравенства заключается в делении обеих его частей на либо \(\displaystyle {{2}^{2x}}\) либо \(\displaystyle {{5}^{2x}}\).

Что же у нас получится? Я разделю на \(\displaystyle {{5}^{2x}}\):

\(\displaystyle 4\cdot \frac{{{2}^{2x}}}{{{5}^{2x}}}-29\cdot \frac{{{5}^{x}}{{2}^{x}}}{{{5}^{2x}}}+25\le 0\)

Преобразую, используя свойства степеней:

\(\displaystyle 4\cdot {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{2x}}-29\cdot {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+25\le 0\)

Теперь замена очевидна, правда?

\(\displaystyle 4\cdot {{t}^{2}}-29\cdot t+25\le 0\), где \(\displaystyle t={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}\)

Решаю последнее неравенство, получу (а ты получи сам!!) систему:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}t\ge 1\\t\le \frac{25}{4}\end{array} \right.\)

Откуда обратной заменой получу, что

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}\ge 1={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{0}}\\{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}\le \frac{25}{4}={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{-2}}\end{array} \right.\)

Так как \(\displaystyle \frac{2}{5}<1\), то

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\le 0\\x\ge -2\end{array} \right.\)

Ответ: \(\displaystyle x\in \left[ -2;0 \right]\).

Не так уж все и страшно, правда?

А вот тебе задачи для самостоятельного решения.

  1. \(\displaystyle \sqrt{{{9}^{x}}-{{3}^{x+2}}}>{{3}^{x}}-9\)
  2. \(\displaystyle 3\cdot {{2}^{2x}}-5\cdot {{6}^{x}}+2\cdot {{3}^{2x}}>0\)
  3. \(\displaystyle {{\left( \frac{1}{36} \right)}^{x}}-5\cdot {{6}^{-x}}-6<0\)
  4. \(\displaystyle {{2}^{x+2}}-{{2}^{x+3}}-{{2}^{x+4}}>{{5}^{x+1}}+{{5}^{x+2}}\)
  5. \(\displaystyle {{6}^{\frac{{x} -7}{3}}}-{{6}^{\frac{13-x}{3}}}-35>0\)

Я приведу краткие решения или лишь наметки решений к каждому из них:

  1. \(\displaystyle \sqrt{{{9}^{x}}-{{3}^{x+2}}}>{{3}^{x}}-9\Rightarrow \)
    \(\displaystyle \sqrt{{{3}^{2x}}-9\cdot {{3}^{x}}}>{{3}^{x}}-9,\ t={{3}^{x}}\Rightarrow \)
    \(\displaystyle \sqrt{{{t}^{2}}-9\cdot t}>t-9\), откуда:
    \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{t}^{2}}-9t\ge 0~\left( ОДЗ\ квадратного\ корня \right)\\t>0~\left( из-за\ замены \right)\\{{t}^{2}}-9\cdot t>{{\left( 9-t \right)}^{2}}\end{array} \right.\)
    Решение полученной системы, а так же обратную замену я предоставляю тебе в качестве упражнения.
    Ответ: нет решений.
  2. \(\displaystyle 3\cdot {{2}^{2x}}-5\cdot {{6}^{x}}+2\cdot {{3}^{2x}}>0\)
    Делим обе части на \(\displaystyle {{3}^{2x}}\), получим:
    \(\displaystyle 3{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2x}}-5{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}+2>0\),
    замена \(\displaystyle t={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}\) приводит к неравенству: \(\displaystyle 3{{t}^{2}}-5t+2>0\), которое я опять-таки доверяю решить тебе самостоятельно. Уверен, ты меня не подведешь!
    Ответ: \(\displaystyle x\in \left( -\infty ;0 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 1;+\infty  \right)\)
  3. \(\displaystyle {{\left( \frac{1}{36} \right)}^{x}}-5\cdot {{6}^{-x}}-6<0\),\(\displaystyle t={{6}^{-x}}\), получим:
    \(\displaystyle {{t}^{2}}-5t-6<0\) и т. д.
    Ответ: \(\displaystyle x\in \left( -1;+\infty  \right)\)
  4. \(\displaystyle {{2}^{x+2}}-{{2}^{x+3}}-{{2}^{x+4}}>{{5}^{x+1}}+{{5}^{x+2}}\), вынесем общий множитель из левой и правой части:
    \(\displaystyle {{2}^{x}}\left( 4-8-16 \right)>{{5}^{x}}\left( 5+25 \right)\)
    \(\displaystyle -20\cdot {{2}^{x}}>30\cdot {{5}^{x}}\)
    Левая часть неравенства всегда меньше нуля, а правая – всегда больше, значит, левая часть никогда не превосходит правую, и неравенство не имеет решений.
  5. \(\displaystyle {{6}^{\frac{{x} -7}{3}}}-{{6}^{\frac{13-x}{3}}}-35>0\Rightarrow \)
    \(\displaystyle \Rightarrow {{6}^{\frac{x}{3}}}{{6}^{\frac{-7}{3}}}-{{6}^{-\frac{x}{3}}}{{6}^{\frac{13}{3}}}-35>0,\)
    \(\displaystyle {{6}^{\frac{x}{3}}}{{6}^{\frac{-7}{3}}}-\frac{1}{{{6}^{\frac{x}{3}}}}{{6}^{\frac{13}{3}}}-35>0\),
    замена \(\displaystyle t={{6}^{\frac{x}{3}}}\) и умножение обеих частей неравенства на \(\displaystyle t\) приводит к неравенству \(\displaystyle {{6}^{\frac{-7}{3}}}{{t}^{2}}-{{6}^{\frac{13}{3}}}-35t>0\), решение которого остается на твоей совести.
    Ответ: \(\displaystyle x\in \left( 3lo{{g}_{6}}4+13;+\infty  \right)\).

Теперь мы с тобой владеем всеми необходимыми знаниями для решения таких неподступных «монстров», как неравенства С3 из ЕГЭ. Конечно, те неравенства в которых есть пока что «непонятные» логарифмы, я здесь не привожу (приведу далее, так что от них ты тоже никуда не денешься), а вот с показательными мы вполне в состоянии справиться! Здесь нет ничего сложного, вся техника для их решения уже у тебя в руках!

Давай посмотрим вначале на совсем простой пример (ума не приложу, как он вообще попал в С3?!)

Пример:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{5}^{x}}+{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{x}}>2\\{{2}^{{{x}^{2}}}}\le 64\cdot {{2}^{x}}\end{array} \right.\)

Решение:

Не так страшен черт, как его малюют) Берем первое неравенство:

\(\displaystyle {{5}^{x}}+{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{x}}>2\).

Перепишем его в виде: \(\displaystyle {{5}^{x}}+{{5}^{-x}}>2\) и домножим обе части на положительное выражение \(\displaystyle {{5}^{x}}\), тогда получим:

\(\displaystyle {{5}^{2x}}+1-2\cdot {{5}^{x}}>0\).

Я думаю, ты догадался, что дальше) Да, делаем замену: \(\displaystyle t={{5}^{x}}\),

\(\displaystyle {{t}^{2}}-2t+1>0\).

Ну а последнее есть «формула»! Сворачиваем: \(\displaystyle {{\left( t-1 \right)}^{2}}>0\). Ясно, что это выражение и так больше нуля, кроме одной единственно точки, где оно равно нулю. Это точка \(\displaystyle t=1\). Откуда \(\displaystyle x=0\). Поэтому делаем вывод, что первое неравенство системы верно при всех \(\displaystyle x\ne 0\).

Примерно таким же образом «расправимся» и со вторым: легко заметить, что оно – наш давний знакомый – простейшее показательное неравенство. Ведь его мы можем переписать в виде: \(\displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}\le {{2}^{6+x}}\). А уж такое мы точно умеем решать!

\(\displaystyle {{x}^{2}}-{x} -6\le 0\)

Я доверяю тебе этот вопрос настолько, что позволю себе лишь записать ответ: \(\displaystyle x\in \left[ -2;3 \right]\). Теперь вспомним про первое неравенство, оно имеет место всегда, кроме \(\displaystyle x=0\). Тогда запишем окончательный ответ:

\(\displaystyle x\in \left[ -2;0 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 0;3 \right]\)

Пример:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{{5}^{x}}-1}+\frac{{{5}^{x}}-2}{{{5}^{x}}-3}\ge 2\\{{\left( \frac{2}{25{{x}^{2}}-10{x} -8}+\frac{25{{x}^{2}}-10{x} -8}{2} \right)}^{2}}\ge 4\end{array} \right.\)

Очередная помесь «бульдога с носорогом». Вверху у нас – показательное неравенство, а снизу – дробно-рациональное, причем устрашающего вида. Вот с него бы мне и хотелось начать.

Конечно, ничто не мешает нам решить его, как говорится, в «лоб». Только сам его вид должен отталкивать тебя от такой неразумной мысли. Все на самом деле довольно просто. Давай заметим, что первое слагаемое скобки – перевернутое второе и наоборот. Таким образом, я могу сказать, что внутри у нас написана сумма величин вида: \(\displaystyle a+\frac{1}{a}\). Знаешь, как называются такие величины? Они называются взаимно-обратными. Кстати, посмотри на первое уравнение предыдущего примера. Увидел? Да, там тоже сумма подобного вида. В том случае мы доказали, что неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме нуля. При нуле мы получали двойку. Таким образом, я утверждаю, что для всех сумм вида: \(\displaystyle a+\frac{1}{a}\) выполняется следующее неравенство:

\(\displaystyle a+\frac{1}{a}\ge 2\), при \(\displaystyle a>0\);
\(\displaystyle a+\frac{1}{a}\le -2\), при \(\displaystyle a<0\).

Ты можешь сам без труда доказать это утверждение. А что же из него следует? А вот что:

\(\displaystyle {{\left( a+\frac{1}{a} \right)}^{2}}\ge 4\), при всех \(\displaystyle a\ne 0\)!!!

Таким образом, нам лишь нужно «откинуть» те значения, при которых выражение \(\displaystyle 25{{x}^{2}}-10{x} -8\) равно нулю (иначе оно обнулит знаменатель!).

Мы без труда найдем такие числа:

\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{4}{5},{{x}_{2}}=-\frac{2}{5}\).

Тогда второе неравенство имеет место при всех действительных \(\displaystyle x\), кроме \(\displaystyle \frac{4}{5}\), \(\displaystyle -\frac{2}{5}\).

Теперь решим первое неравенство: \(\displaystyle \frac{2}{{{5}^{x}}-1}+\frac{{{5}^{x}}-2}{{{5}^{x}}-3}\ge 2\). Сразу же сделаем замену переменных: \(\displaystyle t={{5}^{x}}\). Тогда получим:

\(\displaystyle \frac{2}{t-1}+\frac{t-2}{t-3}\ge 2\)

Приведем выражение к общему знаменателю и получим:

\(\displaystyle \frac{\left( t-5 \right)\left( t-2 \right)}{\left( t-1 \right)\left( t-3 \right)}\le 0\)

Решим данное неравенство методом интервалов, тогда получим:

\(\displaystyle t\in \left( 1;2 \right]\mathop{\cup }^{}\left( 3;5 \right]\)

Вернемся назад к переменной \(\displaystyle x\).

Тогда наш ответ превратился в следующий (ты ведь знаешь свойства логарифма, которые я просил повторить!?)

\(\displaystyle x\in \left( 0;lo{{g}_{5}}2 \right]\mathop{\cup }^{}\left( lo{{g}_{5}}3;1 \right]\)

Но мы с тобой помним, что у нас осталось две точки, которые мы должны «выбросить» из нашего решения. Это \(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{4}{5},{{x}_{2}}=-\frac{2}{5}\).

Ясно, что вторая точка не принадлежит нашему решению (она вообще меньше нуля), а что насчет первой? Надо определить, какому из интервалов она принадлежит (если вообще принадлежит)

Давай сравним числа \(\displaystyle lo{{g}_{5}}3\) и \(\displaystyle \frac{4}{5}\).

Ясно, что на самом деле нам надо сравнить \(\displaystyle 5lo{{g}_{5}}3\) и \(\displaystyle 4\)

По свойству логарифмов, надо сравнить \(\displaystyle {{3}^{5}}=243\) и \(\displaystyle 625={{5}^{4}}\), ясно, что второе больше первого. Тогда

\(\displaystyle lo{{g}_{5}}3<\frac{4}{5}\)

В то же время \(\displaystyle \frac{4}{5}<1\).

Тогда \(\displaystyle \frac{4}{5}\) принадлежит промежутку \(\displaystyle \left( lo{{g}_{5}}3;1 \right]\), откуда мы данное число и удалим.

Окончательно получим ответ:

\(\displaystyle x\in \left( 0;lo{{g}_{5}}2 \right]\mathop{\cup }^{}\left( lo{{g}_{5}}3;\frac{4}{5} \right)\mathop{\cup }^{}\left( \frac{4}{5};1 \right]\)

В заключение я бы хотел рассмотреть еще один мощный метод решения показательных неравенств – метод декомпозиции. Он особенно тебе пригодится, когда тебе придется иметь дело с показательными неравенствами с переменным основанием. Например, с вот таким:

\(\displaystyle {{\left| {x} -3 \right|}^{\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}}}>1\)

В чем вся беда? А неприятность в том, что переменная в основании влияет на знак неравенства между показателями. В самом деле, если основание больше единицы, то знак неравенства сохраняется, а если же оно больше нуля и меньше единицы, то знак неравенства меняется на противоположный. Однако, существует универсальный метод решения таких сложных неравенств. Это метод декомпозиции, сводящий одно сложное неравенство к куче мелких, но попроще. Вначале я рассмотрю формулы, а потом применю их к нашему примеру.

  1. Неравенство

    \(\displaystyle h{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}}~\vee ~h{{\left( x \right)}^{f\left( x \right)}}~\left( 1 \right)\)

    Равносильно следующей системе:

    \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( h\left( x \right)-1 \right)\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\ \vee ~0\\h\left( x \right)>0\end{array} \right.\)

  2. Неравенство

    \(\displaystyle h{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}}-1~\vee ~0\ \ \ \ \left( 2 \right)\)

    Равносильно следующей системе:

    \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( h\left( x \right)-1 \right)f\left( x \right)~\ \vee \ ~0\\h\left( x \right)>0\end{array} \right.\)

  3. Неравенство

    \(\displaystyle f{{\left( x \right)}^{h\left( x \right)}}~\vee ~g{{\left( x \right)}^{h\left( x \right)}}\ \ \ \left( 3 \right)\)

    Равносильно следующей системе:

    \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)h\left( x \right)~\vee ~0\\f\left( x \right)>0\\g\left( x \right)>0\end{array} \right.\)

Я объясню тебе, откуда берутся эти правила. Например, рассмотрим первое из перечисленных неравенств.

\(\displaystyle h{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}}~\vee ~h{{\left( x \right)}^{f\left( x \right)}}\)

То, что \(\displaystyle h\left( x \right)>0\) следует непосредственно из определения основания. Как же получилось первое неравенство? В частности, если  \(\displaystyle 0<h\left( x \right)<1\), то неравенство \(\displaystyle h{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}}>~h{{\left( x \right)}^{f\left( x \right)}}\) влечет за собой \(\displaystyle f\left( x \right)<g\left( x \right)\). С другой стороны, так как \(\displaystyle h\left( x \right)-1<0\), то неравенство \(\displaystyle \left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\left( h\left( x \right)-1 \right)>0\) имеет место только тогда, когда \(\displaystyle f\left( x \right)-g\left( x \right)<0\) или \(\displaystyle f\left( x \right)<g\left( x \right)\). Получили, что при \(\displaystyle 0<h\left( x \right)<1\) неравенства \(\displaystyle h{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}}>~h{{\left( x \right)}^{f\left( x \right)}}\) и \(\displaystyle \left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\left( h\left( x \right)-1 \right)>0\) равносильны (учитывая, конечно, ОДЗ на основание). Аналогично ты можешь получить, что эти же неравенства будут равносильны и при \(\displaystyle h\left( x \right)>1\). Аналогичным образом получаются и все другие системы неравенств.

Давай вернемся к нашему примеру. Я напомню тебе его

\(\displaystyle {{\left| {x} -3 \right|}^{\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}}}>1\)

Смотрим, к неравенству какого типа он относится? А к вот такому: \(\displaystyle h{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}}-1>~0\). Значит, решить его, это все равно, что решить вот такую систему

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( \left| {x} -3 \right|-1 \right)\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\\\left| {x} -3 \right|>0\end{array} \right.\)

Давай вначале решим нижнее неравенство: так как по определению модуль – число неотрицательное, то \(\displaystyle \left| {x} -3 \right|>0\) всюду, кроме \(\displaystyle x=3\) – та точка, где модуль нулевой. Тогда исходная система равносильна

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( \left| {x} -3 \right|-1 \right)\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\\x\ne 3\end{array} \right.\)

Теперь нужно решить сложное первое неравенство. Опять-таки, нам нужно разбить его, анализируя два случая. Каких? Что у нас дает эти случаи? Это опять-таки модуль! Если \(\displaystyle x>3\), то \(\displaystyle \left| {x} -3 \right|=\left( {x} -3 \right)\), а если же \(\displaystyle x<3\), то \(\displaystyle \left| {x} -3 \right|=-\left( {x} -3 \right)=3-x\). Объединим эти условия, записав новую систему:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {x} -4 \right)\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\\x>3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left( 2-x \right)\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\\x<3\end{array} \right.\end{array} \right.\\x\ne 3\end{array} \right.\)

Ну что же, теперь наша цель – решить каждую из этих систем в совокупности. Начнем?

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( {x} -4 \right)\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\\x>3\end{array} \right.\)

\(\displaystyle {{x}^{2}}-8x+15=\left( {x} -3 \right)\left( {x} -5 \right)\)

\(\displaystyle \frac{\left( {x} -3 \right)\left( {x} -5 \right)\left( {x} -4 \right)}{{x} -2}>0\)

Решим неравенство методом интервалов:

\(\displaystyle x\in \left( -\infty ;2 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 3;4 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 5;+\infty  \right)\)

Однако, надо учесть, что \(\displaystyle x>3\). Тогда первая система имеет следующее множество решений:

\(\displaystyle x\in \left( 3;4 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 5;+\infty  \right)\)

Теперь черед второй системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( 2-x \right)\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\\x<3\end{array} \right.\)

Так как \(\displaystyle 2-x\) и \(\displaystyle {x} -2\) отличаются только знаком, то при любых \(\displaystyle x\ne 2\) имеем: \(\displaystyle \frac{2-x}{{x} -2}=-1\). Тогда систему я перепишу в следующем виде:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-8x+15<0\\x<3\\x\ne 2\end{array} \right.\)

Решаю методом интервалов:

\(\displaystyle {{x}^{2}}-8x+15<0\)

\(\displaystyle x\in \left( 3;5 \right)\)

В то же время второе неравенство говорит нам о том, что \(\displaystyle x<3\)! Тогда делаем вывод: данная система решений не имеет. Отсюда решением совокупности

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {x} -4 \right)\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\\x>3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left( 2-x \right)\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\\x<3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

будет решение первой системы:

\(\displaystyle x\in \left( 3;4 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 5;+\infty  \right)\)

Поскольку здесь уже учтено, что \(\displaystyle x\ne 3\), то решение системы

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {x} -4 \right)\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\\x>3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left( 2-x \right)\frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\\x<3\end{array} \right.\end{array} \right.\\x\ne 3\end{array} \right.\)

Совпадает с решением совокупности и будет

\(\displaystyle x\in \left( 3;4 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 5;+\infty  \right)\)

Ответ: \(\displaystyle x\in \left( 3;4 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 5;+\infty  \right)\).

Теперь попробуй проделать похожие выкладки вот для такого примера (он покажется тебе легким по сравнению с предыдущим):

\(\displaystyle {{\left( x+2 \right)}^{x}}>{{\left( x+2 \right)}^{{{x}^{2}}+2}}\)

и сравни свой ответ с моим:

\(\displaystyle x\in \left( -2;-1 \right)\).

Теперь ты вполне можешь справиться с решением многих, очень многих примеров С3. Так чего же ты ждешь? Вперед, просторы интернета пестрят различными задачками такого рода. Кстати, с приведенными ответами. Решай, не боясь их внешнего вида, на самом деле стоит лишь немного подумать, и все окажется простым! Я уверен, теперь у тебя все получится! Сравнивай ответы и гордись своими приобретенными знаниями!

Проверь себя — реши показательные неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий