Построение графика квадратичной функции. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое квадратичная функция, и с чем ее едят. Если ты считаешь себя профи по части квадратичных функций, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему «Квадратичная функция».

Начнем с небольшой проверки:

  1. Как выглядит квадратичная функция в общем виде (формула)?
  2. Как называется график квадратичной функции?
  3. Как влияет старший коэффициент на график квадратичной функции?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по ссылке.

Итак, ты уже умеешь обращаться с квадратичной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам.

Ну что же, вот она: $latex y=a{{x}^{2}}+bx+c$.

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.

  1. Старший коэффициент $latex \displaystyle a$ отвечает за «крутизну» параболы, или, по-другому, за ее ширину: чем больше $latex \displaystyle a$, тем парабола у́же (круче), а чем $latex \displaystyle a$ меньше, тем парабола шире (более пологая).
  2. Свободный член $latex \displaystyle c$ – это координата пересечения параболы с осью ординат.
  3. А коэффициент $latex \displaystyle b$ каким-то образом отвечает за смещение параболы от центра координат. Вот об этом сейчас подробнее.

С чего мы всегда начинаем строить параболу? Какая у нее есть отличительная точка?

Это вершина. А как найти координаты вершины, помнишь?

Абсцисса ищется по такой формуле:

$latex {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}$.

Вот так: чем больше $latex \displaystyle b$, тем левее смещается вершина параболы.

Ординату вершины можно найти, подставив $latex {{x}_{в}}$ в функцию:

$latex {{y}_{в}}=a{{x}_{в}}^{2}+b{{x}_{в}}+c$.

Подставь сам и посчитай. Что получилось?

Если сделать все правильно и максимально упростить полученное выражение, получится:

$latex {{y}_{в}}=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}$.

Получается, что чем $latex \displaystyle b$ больше по модулю, тем выше будет вершина параболы.

Перейдем, наконец, к построению графика.
Самый простой способ – строить параболу, начиная с вершины.

Пример:

Построить график функции $latex y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+2{x}-1$.

Решение:

Для начала определим коэффициенты: $latex a=\frac{1}{2};\text{ }b=2;\text{ }c=-1$.

Теперь вычислим координаты вершины:

$latex {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot \frac{1}{2}}=-2$

$latex {{y}_{в}}=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}=-\frac{4+2}{2}=-3$

А теперь вспоминаем: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом выглядят одинаково. Значит, если мы построим параболу $latex y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}$ и переместим ее вершиной в точку $latex \left( -2;-3 \right)$, получится нужный нам график:

1

Просто, правда?

Остается только один вопрос: как быстро рисовать параболу? Даже если мы рисуем параболу с вершиной в начале координат, все равно приходится строить ее по точкам, а это долго и неудобно. А ведь все параболы выглядят одинаково, может, есть способ ускорить их рисование?

Когда я учился в школе, учительница математики сказала всем вырезать из картона трафарет в форме параболы, чтобы быстро ее чертить. Но с трафаретом везде ходить не получится, да и на экзамен его взять не разрешат. Значит, не будем пользоваться посторонними предметами, а будем искать закономерность.

Рассмотрим простейшую параболу $latex y={{x}^{2}}$. Построим ее по $latex \displaystyle 7$ точкам:

2

Закономерность здесь такая. Если из вершины сместиться вправо (вдоль оси $latex \displaystyle Ox$) на $latex \displaystyle 1$, и вверх (вдоль оси $latex \displaystyle Oy$) на $latex \displaystyle 1$, то попадем в точку параболы. Дальше: если из этой точки сместиться вправо на $latex \displaystyle 1$ и вверх на $latex \displaystyle 3$, снова попадем в точку параболы. Дальше: вправо на $latex \displaystyle 1$ и вверх на $latex \displaystyle 5$. Дальше что? Вправо на $latex \displaystyle 1$ и вверх на $latex \displaystyle 7$. И так далее: смещаемся на $latex \displaystyle 1$ вправо, и на следующее нечетное число вверх. То же самое потом проделываем с левой веткой (ведь парабола симметрична, то есть ее ветви выглядят одинаково):

3

Отлично, это поможет построить из вершины любую параболу со старшим коэффициентом, равным $latex \displaystyle 1$. Например, нам стало известно, что вершина параболы находится в точке $latex \displaystyle \left( 1;-2 \right)$. Построй (самостоятельно, на бумаге) эту параболу.

Построил?

Должно получиться так:

4

Теперь соединяем полученные точки:

5

Вот и все.

ОК, ну что же, теперь строить только параболы с $latex \displaystyle a=1$?

Конечно, нет. Сейчас разберемся, что с ними делать, если $latex \displaystyle a\ne 1$.

Рассмотрим несколько типичных случаев.

  1. $latex a=-1$.
    То есть функция выглядит как $latex y=-{{x}^{2}}$. Ну что же здесь сложного? Просто переворачиваем параболу рогами вниз, и все.То есть, теперь будем двигаться так:

    • $latex 1$ вправо – $latex 1$  вниз
    • $latex 1$  вправо – $latex 3$  вниз
    • $latex 1$  вправо – $latex 5$  вниз
    • и т.д.

    И то же самое, только влево:
    6

  2. $latex a>1$.Что делать, если, например, $latex a=2$?Все просто: начинаем так же: $latex 1$ вправо, но когда дело доходит до «вверх», любое число увеличиваем в $latex 2$ раза:
    • $latex 1$ вправо – $latex 2$ вверх
    • $latex 1$ вправо – $latex 6$ вверх
    • $latex 1$ вправо – $latex 10$ вверх
    • и т.д.

    Аналогично в случае $latex a<-1$:

    • $latex 1$ вправо – $latex 2$ вниз
    • $latex 1$ вправо – $latex 6$ вниз
    • $latex 1$ вправо – $latex 10$ вниз
    • и т.д.
    В общем случае так:

    • $latex 1$ вправо – $latex a$ вверх
    • $latex 1$ вправо – $latex 3a$ вверх
    • $latex 1$ вправо – $latex 5a$  вверх
    • и т.д.

    Если $latex a<0$, то вместо «вверх» делаем «вниз».

  3. А если $latex -1<a<1$?
    Принцип тот же: каждый шаг вправо или влево сопровождается шагом вверх или вниз, равным какому-то нечетному числу, умноженному на $latex a$. Но отмерять нецелые (дробные) отрезки всегда лень. Поэтому иногда удобнее сделать по-другому: шаг вправо или влево делать не $latex 1$, а $latex \frac{1}{a}$. Тогда вверх/вниз придется смещаться на целые $latex \frac{1}{a}$, $latex \frac{3}{a}$, $latex \frac{5}{a}$, $latex \frac{7}{a}$, … клеток.
    Например: построим график $latex y=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}$. Будем откладывать:

    • вправо $latex 3$ – вниз $latex 3$
    • вправо $latex 3$ – вниз $latex 9$
    • вправо $latex 3$ – вниз $latex 15$

    и затем то же самое влево.

    7

Отлично, параболу рисовать научились, давай теперь потренируемся на настоящих функциях.

Итак, нарисуй графики таких функций:

  1. $latex y={{x}^{2}}-2{x}+3$
  2. $latex y=-2{{x}^{2}}+12{x}-20$
  3. $latex y=\frac{{{x}^{2}}}{2}-2{x}-2$
  4. $latex y={{x}^{2}}+5{x}+3$

Ответы:

1. $latex {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}=1;\text{ }{{y}_{в}}=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}=2$:

8

2. $latex {{x}_{в}}=3;\text{ }{{y}_{в}}=-2$

9

3. Вершина: $latex {{x}_{в}}=2;\text{ }{{y}_{в}}=-4$.

Помнишь, что делать, если старший коэффициент меньше $latex \displaystyle 1$?

Смотрим на знаменатель дроби: он равен $latex \displaystyle 2$. Значит, будем двигаться так:

  • $latex \displaystyle 2$ вправо – $latex \displaystyle 2$ вверх
  • $latex \displaystyle 2$ вправо – $latex \displaystyle 6$ вверх
  • $latex \displaystyle 2$ вправо – $latex \displaystyle 10$ вверх

и так же влево:

10

4. Вершина: $latex {{x}_{в}}=-2,5;\text{ }{{y}_{в}}=3,25$.

Ой, а что с этим делать? Как отмерять клетки, если вершина где-то между линиями?..

А мы схитрим. Нарисуем сперва параболу, а уже потом переместим ее вершиной в точку $latex \left( -2,5;3,25 \right)$. Даже нет, поступим еще хитрее: Нарисуем параболу, а потом переместим оси: $latex \displaystyle Ox$ – на $latex \displaystyle 3,25$ вниз, а $latex \displaystyle Oy$ – на $latex \displaystyle 2,5$ вправо:

11

Этот прием очень удобен в случае любой параболы, запомни его.

Рассмотрим еще один способ записи квадратичной функции: выделение полного квадрата. Этот способ был подробно описан в теме «Квадратные уравнения».

Напомню, что мы можем представить функцию $latex y=a{{x}^{2}}+bx+c$ в таком виде:

$latex y=a{{\left( x-p \right)}^{2}}+q$.

Например: $latex y={{x}^{2}}-6x+5={{\left( x-3 \right)}^{2}}-4$.

Или: $latex 2{{x}^{2}}+6x+1=2{{\left( x+1,5 \right)}^{2}}-3,5$.

Что это нам дает?

Дело в том, что число, которое вычитается из $latex \displaystyle x$ в скобках ($latex \displaystyle p$) – это абсцисса вершины параболы, а слагаемое за скобками ($latex \displaystyle q$) – ордината вершины.

Это значит, что, построив параболу $latex y=a{{x}^{2}}$, нужно будет просто сместить ось $latex \displaystyle Oy$ на $latex \displaystyle p$ влево и ось $latex \displaystyle Ox$ на $latex q$ вниз.

Пример: построим график функции $latex y=0,5{{x}^{2}}+2x+1$.

Выделим полный квадрат:

$latex y=0,5\left( {{x}^{2}}+4x \right)+1=0,5\left( {{x}^{2}}+4x+4-4 \right)+1=0,5\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)-2+1=0,5{{\left( x+2 \right)}^{2}}-1$.

Какое число вычитается из $latex \displaystyle x$ в скобках? Это $latex \displaystyle -2$ (а не $latex \displaystyle 2$, как можно решить не подумав).

Итак, строим параболу $latex y=0,5{{x}^{2}}$:

12

Теперь смещаем ось $latex \displaystyle Ox$ на $latex \displaystyle -1$ вниз, то есть на $latex \displaystyle 1$ вверх:

13

А теперь – $latex \displaystyle Oy$ на $latex \displaystyle -2$влево, то есть на $latex \displaystyle 2$ вправо:

14

Вот и все. Это то же самое, как переместить параболу $latex y=0,5{{x}^{2}}$ вершиной из начала координат в точку $latex \displaystyle (-2;-1)$, только прямые ось двигать намного легче, чем кривую параболу.

Теперь, как обычно, сам:

  1. $latex y=2{{x}^{2}}-8x+3$
  2. $latex y=-{{x}^{2}}-4x+2$

И не забывай стирать ластиком старые оси!

Я в качестве ответов для проверки напишу тебе ординаты вершин этих парабол:

  1. $latex \displaystyle -5$;
  2. $latex \displaystyle 6$.

Все сошлось?

Если да, то ты молодец! Уметь обращаться с параболой – очень важно и полезно, и здесь мы выяснили, что это совсем не трудно.

Успехов!

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий